VI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

ЗАВИСИМОСТЬ РАДИАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ЗВЕЗДНОГО ВЕЩЕСТВА ОТ ПАРАМЕТРОВ НЕПОЛИТРОПНОЙ МОДЕЛИ

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Обидин  Д.С. 1

---

1ГАОУ АО "Казачий кадетский корпус им.атамана И.А. Бирюкова"

Юсупова А.И. 1

---

1ГАОУ АО "Казачий кадетский корпус им.атамана И.А. Бирюкова"

Работа в формате PDF

249.4 KB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение

Внутреннее строение звезд и формы радиального распределения физических параметров звездного вещества изучаются на основе расчетов, в основе которых лежат те или иные модельные представления. Численные расчеты для большинства оправдавших себя математических моделей звезд оказываются весьма трудоемкими, так как основаны на решении сложных систем дифференциальных уравнений. Поэтому является актуальной задача построения таких математических моделей звезд, в частности, звезд главной последовательности, которые бы описывались одним дифференциальным уравнением второго порядка для распределения массы вещества.

Такие математические модели звезд, основанные на фундаментальных законах физики, где с помощью масштабного преобразования, примененного к вариационному уравнению распределению материи, получено безразмерное дифференциальное уравнение радиального распределения массы вещества для сферически симметричной модели звезды. При этом использование эмпирических данных о свойствах звездного вещества и происходящих внутри звезд процессов сводится к минимуму путем введения одного-двух безразмерных постоянных.

В данной работе отражены результаты численных расчетов радиального распределения термодинамических функций вещества в различных неполитропных моделях звездах. Данные, полученные для одной из рассчитанных моделей, совпадают с известными из литературы данными о свойствах Стандартной модели Солнца. Используемый в нашей работе подход существенно расширяет возможности количественного изучения внутреннего строения звезд, позволяет рассчитать радиальное распределение массы вещества, плотности, давления и других характеристик, что обуславливает практическое значение работы.

1. Внутреннее строение звезд главной последовательности

1.1. Звезды главной последовательности и их характеристики

Звезда – это горячий газовый шар, разогреваемый за счет ядерной энергии и удерживаемый силами тяготения. Основную информацию о звездах дает испускаемый ими свет и электромагнитное излучение в других областях спектра. Главными факторами, определяющими свойства звезды, являются её масса, химический состав и возраст. Звезды должны меняться со временем, так как они излучают энергию в окружающее пространство. Информация о звездной эволюции может быть получена из диаграммы Герцшпрунга-Рассела, представляющей собой зависимость светимости звезды от температуры её поверхности (рис.1).

Рис. 1. Диаграмма Герцшпрунга-Рассела

На диаграмме Герцшпрунга-Рассела звезды распределены неравномерно. Около 90% звезд сконцентрировано в узкой полосе, пересекающей диаграмму по диагонали. Эту полосу называют главной последовательностью. Её верхний конец расположен в области ярких голубых звезд. Различие в заселенности звезд, находящихся на главной последовательности и областей, примыкающих к главной последовательности, составляет несколько порядков величины. Причина в том, что на главной последовательности находятся звезды на стадии горения водорода, которая составляет основную часть времени жизни звезды. Солнце находится на главной последовательности. Его положение указано на рис. 1.

Следующие по населенности области после главной последовательности – белые карлики, красные гиганты и красные сверхгиганты. Красные гиганты и сверхгиганты – это в основном звезды на стадии горения гелия и более тяжелых ядер.

Таблица 1

Классификация спектрального класса звезд

Обозначение класса звезд	Характерный признак спектральных линий	Температура поверхности (K)
O	Ионизованный гелий	> 30 000
B	Нейтральный гелий	11 000 – 30 000
A	Водород	7 200 – 11 000
F	Ионизованный кальций	6 000 – 7 200
G	Ионизованный кальций, нейтральные металлы	5 200 – 6 000
K	Нейтральные металлы	3 500 – 5200
M	Нейтральные металлы, полосы поглощения молекул	< 3 500
R	Полосы поглощения циана (CN)2	< 3 500
N	Углерод	< 3 500

Принято указывать класс светимости после спектрального класса звезды. Главная последовательность – это последовательность звезд разной массы. Самые большие по массе звезды располагаются в верхней части главной последовательности и являются голубыми гигантами. Самые маленькие по массе звезды – карлики. Они располагаются в нижней части главной последовательности. Параллельно главной последовательности, но несколько ниже ее располагаются субкарлики. Они отличаются от звезд главной последовательности меньшим содержанием металлов.

сверхгиганты – I класс светимости;

гиганты – II класс светимости;

звезды главной последовательности – V класс светимости;

субкарлики – VI класс светимости;

белые карлики – VII класс светимости.

Выяснилось, что положение звезды на диаграмме Герцшпрунга-Рассела изменяется в зависимости от возраста звезды. Большую часть своей жизни звезда проводит на главной последовательности. В этот период ее цвет, температура, светимость и другие параметры почти не меняются. Но до того, как звезда достигнет этого устойчивого состояния, еще в состоянии протозвезды, она имеет красный цвет и в течение короткого времени большую светимость, чем будет иметь на главной последовательности.

1.2. Теории строения звезд

Теория пылевых конденсаций. В 40-е годы ХХ века межзвездная среда представлялась как сравнительно однородный разреженный газ с плотностью
10^–24 г/см³ и температурой 104 К. Космогонисты уделяли большое внимание межзвездной пыли: ей отводилась не только роль охладителя, способного понизить температуру межзвездной среды до 100 К, но и важная динамическая роль в балансе сил гравитации и давления. Дело в том, что, в отличие от газа, пыль не вносит вклада в давление межзвездной среды, а в гравитацию – вносит. Пока пыль равномерно перемешана с газом, ее вклад в плотность вещества невелик, порядка 2% от массы межзвездной среды (именно столько составляют элементы тяжелее гелия, в основном формирующие пыль). Но всегда ли газ и пыль хорошо перемешаны?

Л. Спитцер (1941) и Ф. Уиппл (1946) предложили радиативный механизм формирования пылевых конденсаций. Они считали, что это может происходить в два этапа: сначала случайно возникшее локальное повышение плотности газа приводит к ускоренному росту пылинок, а затем, когда их размер достигает длины волны света, и они начинают чувствовать его давление, вступает в действие механизм радиативной неустойчивости. Суть его в следующем: из-за поглощения света пылью уплотнение становится менее прозрачным, чем окружающее его разреженное вещество. Поэтому излучение окружающих звезд будет сильнее давить на пылинки снаружи и вдавливать их внутрь флуктуации. Столкновения с атомами газа притормозят движение пылинок, но остановить его не смогут. Оценки указывали, что при стационарном распределении газа пыль сконцентрируется к центру флуктуации за 10⁷ – 10⁸ лет. Детальные расчеты показали, что пылевые конденсации не могут быть слишком маленькими, иначе их разрушит тепловое движение атомов газа; в то же время их максимальный исходный размер ограничен толщиной спиральных рукавов Галактики. Однако 30 лет спустя радионаблюдения обнаружили в облаках сильное турбулентное движение вещества, которое хорошо перемешивает пыль с газом менее чем за 10⁶ лет. Следовательно, механизм радиативной концентрации пыли не должен работать. А замечательное совпадение теории с наблюдениями оказалось случайным.

Теория аккреции. Вернемся в 40-е годы. Если, как тогда думали, звездообразование стимулируется путем концентрации пыли, то звезды должны почти целиком состоять из тяжелых элементов. Однако спектры звезд доказывали, что, по крайней мере, их верхние слои в основном состоят из водорода и гелия.

К. Вейцзеккер предположил, что из переобогащенного пылью вещества формируются лишь ядра звезд, а затем на них происходит аккреция чистого газа, содержащего мало пыли. Именно тогда Ф. Хойл заложил основы теории аккреции, которая потребовалась не только для объяснения химического состава звездных атмосфер, но и для оправдания концентрации наиболее молодых и массивных звезд вблизи межзвездных облаков. Предполагалось, что, пройдя сквозь облако, даже старая звезда сможет существенно пополнеть и омолодиться за счет аккреции свежего газа. При этом, как легко понять, наибольшую массу приобретают самые медленно движущиеся звезды. И это замечательно согласуется с наблюдениями: массивные звезды имеют наименьшие хаотические скорости среди всех прочих звезд.

Теория обжимания темных конденсаций. Бирман и Шлютер (1954), а также Оорт и Спитцер (1955) предложили новый сценарий формирования звезд. Они показали, что если в неоднородной межзвездной среде появляется яркая звезда, то она быстро создает вокруг себя ионизованную область, в которой непрогретыми остаются лишь непрозрачные уплотнения газа. Если температура диффузного газа возрастает в 100 раз (от 100 до 104 К), то во столько же раз в начале этого процесса возрастает и давление. Нагретый газ обжимает небольшие холодные уплотнения, а затем они могут продолжить сжатие за счет самогравитации.

Но влияние горячей звезды этим не ограничивается: ее излучение будет нагревать обращенную к звезде сторону сжимающихся облаков. Разогретый газ, оттекая, вызовет реактивный эффект, в результате чего эти облака получат ускорение в сторону от горячей звезды. По мнению авторов сценария именно так могли бы формироваться расширяющиеся ассоциации молодых звезд. Поскольку скорость оттекающего газа при температуре 104 К близка к 10 км/с, примерно до такой же скорости могли бы ускоряться и сами облака – будущие.

Нетрадиционные теории звездообразования. В 50-е годы было предложено несколько альтернативных теорий рождения звезд. Так, Крат (1952) полагал, что звезды образуются путем концентрации темных планетообразных тел с массами 1023 г. Подобной точки зрения придерживались также Юри (1956) и Хуанг (1957). В отношении звезд этот подход развития не получил.

В.А. Амбарцумян (1953) высказал гипотезу о происхождении звезд в результате распада гипотетических дозвездных тел неизвестной природы. В отличие от прочих, конденсационных гипотез это была единственная эруптивная гипотеза звездообразования, пытавшаяся c единой позиции объяснить расширение звездных ассоциаций, а также вспышечную активность и потерю вещества молодыми звездами и даже активность ядер галактик.

Основным аргументом гипотезы Амбарцумяна было расширение ассоциаций. Рассуждения основывались на том, что полная механическая энергия гравитационно связанного облака. В то же время, энергия звездной ассоциации положительна. В этом Амбарцумян увидел серьезное противоречие, возможно даже неразрешимое в рамках традиционной физики.

Поэтому Амбарцумян выдвинул идею о загадочных Д-телах как предшественниках звезд и звездных систем. В Советском Союзе эта гипотеза широко популяризировалась, хотя большинство астрономов ее не принимало. За рубежом гипотеза Амбарцумяна осталась малоизвестной, поскольку уже в 1950-е было предложено несколько достаточно простых механизмов, способных объяснить происхождение расширяющихся ассоциаций в рамках обычной физики.

2. Масштабное преобразование и уравнение неполитропной модели звезды

2.1. Вывод уравнения неполитропной модели

Из необходимого условия экстремума ( ) находим значение масштабного параметра R, соответствующего минимуму энергии:

. (1)

Будем рассматривать выражение (4) для энергии с равновесным значением R₀ как функционал, определенный на множестве функций . Перейдем от к интегральной функции, имеющей смысл относительной массы звездного вещества внутри сферы с приведенным радиусом :

, (2)

Стационарное состояние системы отвечает решению вариационной задачи . Рассматривая значение R₀ как некоторую постоянную, получаем вариационное уравнение

. (3)

Здесь и . Составив уравнение Эйлера, получаем уравнение для распределения относительной массы в неполитропной модели звезды:

, (4)

где безразмерный коэффициент  равен . При значениях a = b = 0 уравнение (4) может быть записано в виде

. (5)

В этом случае оно физически эквивалентно уравнению Эмдена [1] для изоэнтропного газового шара.

Если в формулах (5) и (6) перейти от приведенных плотностей к приведенной массе, то приведенные интегралы кинетической и потенциальной энергии принимают вид:

, (i = 0, 1, 2), (6)

. (7)

Уравнение (4) радиального распределения массы неполитропной модели звезды должно удовлетворять граничным условиям:

и , (8)

которые вытекают из физического смысла величин.

2.2. Решение уравнения на внешней границе

Рассмотрим асимптотику неизоэнтропной модели. В данном случае уравнение радиального распределения вещества имеет вид

, (1)

где a и b – безразмерные положительные постоянные. В пределе    значения искомой функции N() стремятся к единице, т.е. N () = 1. Поэтому получаем асимптотическое уравнение вида

. (2)

Перейдем согласно соотношению к дифференциальной функции распределения n(). Производные интегральной функции N() выражаются через дифференциальную функцию n() и ее производную. Подставим их в асимптотическое уравнение (2). В результате получаем уравнение

, (3)

которое можно привести к виду

. (4)

При малых значениях функции n, когда имеет место соотношение

, (5)

в уравнении (4) можно пренебречь вторым слагаемым. Уравнение (4) принимает вид уравнения с разделяющимися переменными

. (6)

Решение этого уравнения записывается в виде интеграла

. (7)

Вычислив этот интеграл, получаем асимптотическое решение уравнения (1) звездной модели в виде

. (8)

При достаточно больших значениях переменной  последние два слагаемых в прямоугольных скобках практически не зависят от нее. Поэтому их можно включить в постоянную интегрирования, положив:

. (9)

Проведенный выше анализ возможных значений постоянной интегрирования показывает, что физическому смыслу задачи отвечают лишь отрицательные значения C₂. Если ввести обозначение

, (10)

то получаем асимптотическое решение уравнения (1) в виде

. (11)

Предел    заменяется пределом   _m. Значению параметра отвечает  = _m. Это значение параметра  представляет собой собственное значение нелинейного оператора. В этом случае радиальная переменная должна лежать в интервале 0 <  < _m, а переменная  имеет смысл радиальной переменной, отнесенной к радиусу фотосферы модели стационарной звезды, радиальное распределение вещества в которой описывается уравнением (1). Результаты расчетов показывают, что действительно имеет место локализация решения уравнения неполитропной модели.

Уравнение (1) описывает распределение вещества звезды в зависимости от радиальной переменной , значения которой должны лежать в интервале 0 <  < _m. Предельному значению _m отвечает радиус фотосферы звезды. Если принять его равным единице, то радиальная переменная будет выражаться в относительных единицах. Поэтому определим относительную радиальную переменную как . В случае, когда предельное значение приведенной радиальной переменной равно единице (_m = 1), относительная переменная x и приведенная  совпадают. Чтобы перейти в уравнении (1) от радиальной переменной  к новой переменной x, находим связь производных функции распределения массы:

, . (12)

Подставив выражения (2) в уравнение (1), получаем уравнение в относительных переменных:

. (13)

При замене постоянных:

, , , (14)

получаем уравнение распределения звездной массы в зависимости от относительной радиальной переменной x:

. (15)

Радиусу фотосферы звезды в решении этого уравнения соответствует значение относительной радиальной переменной x_m = 1. Таким образом, замена постоянных (14) устраняет неопределенность звездной модели, связанной с произвольностью значения _m, и приводит к однозначному определению характеристик звезды постоянными a и b.

Итак, приходим к следующим граничным условиям:

; ; , (16)

которые накладываются на решения уравнения (15). Заданным значениям постоянных a и b звездной модели отвечают определенное решение N(x) уравнения (15) и собственное значение  этого уравнения.

2.3. Связь решения с радиальным распределением термодинамических величин

Численное решение уравнения (15) радиального распределения массы звезды из параграфа 2.4 позволяет определить производную функции распределения массы и найти функцию радиального распределения плотности звезды с массой M и радиусом R:

. (1)

Давления в центре звезды равно

. (2)

Формула (2) позволяет рассчитывать радиальное распределение давления внутри звезд. Размерный множитель позволяет оценить порядок величины давления внутри звезды. Например, в случае Солнца этот множитель приблизительно равен 0.910¹⁴ Па. Расчеты показывают, что давление внутри Солнца примерно на два порядка больше этой величины.

Для дискретных вычислений формулу (2) давления в центре звезды представим как

, (3)

а давление на относительном расстоянии _i от центра в виде

, (4)

где k – общее количество дискретных шагов.

Зависимость температуры звездного вещества от радиальной переменной:

. (5)

Для выполнения расчетов по формуле (9) необходимо знать отношение c числа атомов гелия к числу атомов водорода. В дальнейшем будем рассматривать модели звезд, в которых полагаем c = 0.25. Таким образом, полагаем, что число атомов гелия в четыре раза меньше чем атомов водорода в единице объема звездного вещества. При таком выборе единица объема звездной плазмы содержит примерно одинаковые по массе количества гелия и водорода. Для параметров Солнца его значение равно 23.08 млн. К, что примерно в полтора раза больше температуры в центре Солнца.

3. Радиальное распределение термодинамических параметров

3.1. Решение уравнения распределения массы в среде Mathcad

Коэффициент уравнения  представляет собой собственное значение уравнения, при котором решение уравнения соответствует граничным условиям (16).

Для построения модели задаем первоначальные значения параметров a, b и . Уравнение второго порядка (15) сводится к системе двух уравнений первого порядка:

, (1)

, (2)

где введены следующие обозначения: q₀(x) = N(x) и q₁(x) = N(x).

Численное решение системы уравнений (1) и (2) при краевых условиях: q₀(0) = 0 и q₁(1) = 0, осуществляется на множестве дискретных значений приведенной радиальной переменной x с помощью встроенной функции rkfixed, реализующей метод Рунге-Кутты четвертого порядка.

Чтобы исключить деление на ноль начальное значение переменной x выбираем равным x = 0.00001. Задается интервал изменений переменной x, обычно он лежит в пределах от 0.0001 до 1.5. Выбор максимального значения приведенного радиуса определяется выбором значения , но, как показали численные расчеты, удобно взять ее равной x_max = 1.5. Внутри этого интервала шаг выбирался равным x = 0.00001, что обеспечивало достаточную точность расчетов, соответствующую рассматриваемой математической модели звезды.

Для выбранного значения  изменяя начальное значение n(0) приведенной плотности в центре звезды будем добиваться схождения значения функции q₀(x) при x  x_max к q₀(x_max) = 1. Функция q₀(x) визуализируется после завершения каждого расчетного шага с данным начальным значением q₁(0) = 4n₀x², что позволяет судить о выполнении или не выполнении условия q₀(x_max) = 1. Если оно не выполняется, то расчет производится для следующего значения q₁(0). Когда оно будет выполнено, строится график зависимости логарифма приведенной плотности от радиальной переменной x.

Из анализа графика видно, что при некотором x = x_m логарифм плотности резко уменьшается. Таким образом, это значение x = x_m безразмерной радиальной переменной соответствует радиусу фотосферы звезды. Чтобы получить решения, нормированные условием q₀(1) = 1, производили замену параметров уравнения, как описано в параграфе 2.4 (см. формулы (14)):

, , . (14)

Именно эти параметры: a, b и  определяют модель звезды.

3.2. Связь параметров уравнения с моделями звезд

Исследование математических свойств градиента объемной плотности кинетической энергии частиц плазмы показало, что параметр а уравнения распределения массы следует полагать равным нулю (a = 0), если исходить из того, что в центре звезды нет образований, приводящих в центре к сингулярности функции распределения плотности. Это и было учтено в последующих решениях системы уравнений (1) и (2).

Ниже, в таблице 2 приведены для ряда значений постоянной b (a = 0), то есть для ряда моделей звезд главной последовательности, найденные в результате расчетов значения параметра , приведенной плотности n₀ в центре звезды. В этой таблице приведены также расчетные значения плотности, давления и абсолютной температуры в центре звезды в предположении, что ее масса и радиус совпадают с массой и радиусом Солнца.

Таблица 2.

Термодинамические параметры центра звездной модели

Модель звезды с b = 0, рассмотренная в первой строке табл. 2, представляет собой адиабатическую или изоэнтропную модель звезды, в которой удельная энтропия звездного вещества является одинаковой во всем объеме от центра до поверхности.

В случае, когда постоянная b = 18.552313, получается модель звезды (девятая строчка). Ее параметры оказываются очень близкими к параметрам Стандартной модели Солнца. В частности, плотность в центре звезды 156 г/см³, давление 2.7610¹⁶ Па и температура 15.5 млн. К.

3.3. Расчеты давления и температуры моделей звезд

Расчет расчеты радиального распределения давления и температуры моделей звезд, представленных в табл. 2, производились на основе найденных решений системы уравнений (1) и (2) для распределения массы. Задавались предварительно рассчитанные значения постоянных: b,  и n₀.

Рассмотрим свойства нескольких расчетных моделей звезд из представленных в табл. 2. Они определяются следующими значениями параметров (с = 0.25):

Модель 1: b = 0,  = 7.623, n₀ = 1.44067;

Модель 2: b = 9.439923,  = 13.493085, n₀ = 12.912098;

Модель 3:b = 14.241436,  = 15.405845, n₀ = 20.128718;

Модель 4 (Стандартная модель Солнца): b = 18.552313,  = 16.819236, n₀ = 26.905651;

Модель 5:b = 21.139287,  = 17.557684, n₀ = 31.021956.

Модель 1(адиабатическая модель). В адиабатической модели звезды (b = 0,  = 7.623, n₀ = 1.44067) плотность и температура в центре звезды должны быть соответственно равны ₀ = 8.857 г/см³ и T₀ = 8.894∙10⁶ К, а давление в центре звезды P₀ = 0.866∙10¹⁵ Па.

Рис. 2. Зависимость давления (в Па) и температуры (в К) от относительной радиальной
переменной: сплошная кривая – давление, штриховая – температура.

На рис. 2 приведены рассчитанные для адиабатической модели звезды зависимости давления и температуры от относительной радиальной переменной. Кривые изображены в логарифмическом масштабе.

Адиабатическая модель рассматривалась еще Эмденом, как частный случай его политропной теории строения звезд. В настоящее время она имеет в основном историческое и методическое значение. В такой звезде не должно быть фазовых превращений и теплообмена между различными частями системы. Поэтому адиабатическая модель не могла объяснить выделение энергии, необходимой для излучения звезды, в частности из-за недостаточной для термоядерных реакций температуры в ее центральной области.

Модель 2. В этой модели (b = 9.439923,  = 13.493085, n₀ = 12.912098) температура в центре звезды T₀ = 1.0344∙10⁷ К, а давление в центре звезды P₀ = 1.1686∙10¹⁶ Па.

Рис. 3. Зависимость давления (в Па) и температуры (в К) от относительной радиальной переменной: сплошная кривая – давление, штриховая – температура.

Результаты расчета давления и температуры на основе численного решения краевой задачи системы уравнений (1) и (2) для модели 2 отражены на рис. 3. В этой модели давление и плотность вещества (₀ = 78.12 г/см³) в центре звезды на порядок больше, чем в адиабатической модели.

Модель 3. В этой модели (b = 14.241436,  = 15.405845, n₀ = 20.128718) температура в центре звезды равна T₀ = 1.4466∙10⁷ К, а давление составляет P₀ = 1.9151∙10¹⁶ Па.

Рис. 4. Зависимость давления (в Па) и температуры (в К) от относительной радиальной переменной: сплошная кривая – давление, штриховая – температура.

На рис. 4 приведены рассчитанные для этой модели зависимости давления и температуры от относительной радиальной переменной.

Модель 4 (Стандартная модель Солнца). В данной модели (b = 18.552313,  = 16.819236, n₀ = 26.905651) температура в центре звезды T₀ = 1.5535∙10⁷ К, а давление в центре звезды P₀ = 2.7571∙10¹⁶ Па.

Рис. 5. Зависимость давления (в Па) и температуры (в К) от относительной радиальной переменной: сплошная кривая – давление, штриховая – температура.

Здесь на рис. 5 приведены рассчитанные зависимости давления и температуры звезды от относительной радиальной переменной для модели 4. Сравнение этих кривых с литературными данными по распределению давления и температуры показывает, что они вполне соответствуют Стандартной модели Солнца. Плотность в центре составляет ₀ = 156.20 г/см³, а температура T₀ = 15.5 млн. К. При этих условиях могут протекать термоядерные реакции, обеспечивающие необходимое для излучения энерговыделение звезды.

Модель 5. На рис. 6 приведены рассчитанные зависимости давления и температуры от относительной радиальной переменной в модели 5 (b = 21.139287,  = 17.557684, n₀ = 31.021956). В этом случае температура в центре звезды составляет T₀ = 1.6187∙10⁷ К, а давление в центре звезды равно P₀ = 3.3890∙10¹⁶ Па, что заметно больше чем в центре Солнца.

Рис. 6. Зависимость давления (в Па) и температуры (в К) от относительной радиальной переменной: сплошная кривая – давление, штриховая – температура.

Радиальные распределения давлений в рассмотренных представлены на рис. 2 – 6. Чтобы было удобно сравнивать между собой радиальные распределения величины давления в них, ниже на рис. 7 изображены кривые давления для всех рассмотренных выше пяти моделей звезд.

Рис. 7. Радиальная зависимость давления (в Па) моделей звезд: пунктирная
кривая – модели 1; штриховая – модели 2; штрихпунктирная – модели 3;
сплошная – модели 4; верхняя штрихпунктирная – модели 5.

На рис. 8 изображены рассчитанные кривые радиального распределения температуры для пяти рассмотренных моделей звезд.

Рис. 8. Радиальная зависимость температуры (в К) моделей звезд: пунктирная
кривая – модели 1; штриховая – модели 2; штрихпунктирная – модели 3;
сплошная – модели 4; верхняя штрихпунктирная – модели 5.

На рисунках 7 – 8, которые в отличие от рис. 2 – 6 построены в линейном масштабе, пунктирные кривые соответствуют адиабатической модели, а сплошные – Стандартной модели Солнца. Видно, что с увеличением постоянной b неполитропных моделей звезд давление и температура в центральных областях значительно возрастают. Давление в периферийных областях изменяется очень незначительно, а температура периферийных областей с увеличением постоянной b немного уменьшается.

Заключение

По результатам изучения литературы и проведенного теоретического исследования в ходе выполнения бакалаврской работы можно сделать следующие выводы:

1. Дан обзор основных физических характеристик звезд, их классификации в соответствии с положением на диаграмме Герцшпрунга-Рассела.

2. Рассмотрены неполитропные модели звезд главной последовательности, учитывающие вклады энергии теплового движения частиц и гравитационной энергии.

3. Применен метод масштабных преобразований и получено безразмерное уравнение для интегральной функции радиального распределения плотности звездного вещества. Это уравнение с помощью безразмерных постоянных a и b определяет модель звезды. Аналитически исследованы свойства его решения у поверхности звезды. Показано, что в несингулярных звездах постоянная a = 0.

4. Описан алгоритм поиска самосогласованного отвечающего заданным граничным условиям численного решения этого уравнения с заданными параметрами a и b. Он реализуется в среде Mathcad.

5. Для различных значений постоянной b (a = 0) найдены собственные значения  уравнения и определены приведенные значения n₀ плотности в центре звезды. Эти параметры определяют рассмотренные модели звезд.

В Приложении приводится Mathcad-программа, составленная для численного решения уравнения модели звезды и расчета ее параметров.

Литература

Emden R. Theorie der Gaskugeln.– Berlin, 1907.

Eddington A.S. The Internal Constitution of the Stars.– Cambridge Univ. Press, 1926.

Jalmukhambetov A.U., Tarasevich Yu. Yu. The scaling transformation and phenomenological equation of stellar material distribution. //Physics of Extreme States of Matter – 2010.– Chernogolovka, 2010.– p. 19 – 21.

Kurt R. Dimensional analysis and group theory in astrophysics.– Oxford, 1972 (русский перевод: Курт Р. Анализ размерностей в астрофизике.– М.: Мир, 1975.– 232 с.)

Ансельм А.И. Основы статистической физики и термодинамики.– С.Пб., Лань, 2007.– 448 с.

Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление.– М.: ГИФМЛ, 1963.– 228 с.

Гибсон Э. Спокойное Солнце.– М.: Наука, 1977.

Гомбаш П. Статистическая теория атома и ее применения.– М.: Изд-во иностранной литературы, 1951.– 399 с.

Гурский Д., Турбина Е. MATHCAD для студентов и школьников.– СПб.: Питер, 2005.– 400 с.

Дагаев М.М., Демин В.Г., Климишин И.А., Чаругин В.М. Астрономия.– М.: Просвещение, 1983.

Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы.– М. Наука, 1983.– 176 с.

Джалмухамбетов А.У. Масштабная инвариантность в задачах о внутреннем строении звезд и планет //Вопросы управления в социально-экономических процессах и информационной среде: материалы Всероссийской научной конференции (Астрахань, 17 мая 2012 г.).– Астрахань: Издатель: АФ ФБОУ ВПО «ВГАВТ», 2012.– С. 128 – 131. ISBN 978-5-901722-20-6.

Джалмухамбетов А.У. Пространственная локализация решений уравнения неполитропной модели звезд //Тезисы докладов международной конференции «Геометрия в Кисловодске – 2010» под.ред. А.Г. Кушнера и В.В.Лычагина.– Москва-Кисловодск, 2010.– С.24.

Кононович Э.В., Мороз В.И. Общий курс астрономии / Под ред. В.В.Иванова.– М.: Едиториал УРСС, 2004.– 544 с. ISBN 5-354-00866-2.

Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика (серия «Теоретическая физика», том 5).– М.: Наука, 1964.– 568 с.

Макаров Е.Г. Инженерные расчеты в Mathcad. Учебный курс.– СПб.: Питер, 2003.– 448 с.

Попов П.И., Воронцов-Вельяминов Б.А., Куницкий Р.В. Астрономия. – М.: Просвещение, 1967.

Постнов К.А., Засов А.В. Курс общей астрофизики.– М.: Физический факультет МГУ, 2005, 192 с. ISBN 5–9900318–2–3.

Сена Л.А. Единицы физических величин и их размерности, 2 изд. М., 1977.

Соболев В.В. Курс теоретической астрофизики.– М.: Наука, 1985.– 504 с.

Физическая энциклопедия. Гл.ред. А.М. Прохоров.– М.: Советская энциклопедия, 1990.

Физические величины: Справочник/ А.П. Бабичев, Н.А. Бабушкина, А.М. Братковский и др.; Под ред. И.С. Григорьева, Е.З. Мейлихова.– М.: Энергоатомиздат, 1991.– 1232 с.– ISBN 5-283-04013-5.

Шварцшильд М. Строение и эволюция звезд. Перевод с англ. Изд.2. – М.: URSS, 2004. 432 с.

http://www.astronet.ru/db/msg/1222187/sect08.html.