Экономический анализ и численные методы

VI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Экономический анализ и численные методы

Жданкин А.С. 1
1МБОУ «Дединовская школа-интернат среднего общего образования»
Холодных А.А. 1
1МБОУ «Дединовская школа-интернат среднего общего образования»
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

Настоящая научно-исследовательская работа посвящена вопросам применения на практике методов решения уравнений, встречающихся в экономике.

В работе описана экономическая модель Эванса, описываемая уравнениями, решения которых в явном виде не всегда удается дать.

Цели работы:

Описать экономическую модель Эванса.

Применить к дифференциальным уравнениям численные методы решения дифференциальных уравнений.

Задачи работы:

Изучить теорию экономической модели Эванса.

Изучить теорию решения трансцендентных уравнений методом касательных.

Изучить теорию решения дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта четвертого порядка.

Применить метод Рунге-Кутта к дифференциальным уравнениям, описанным в экономической модели Эванса.

Работа состоит из оглавления, введения, двух глав, заключения и списка литературы, включающего семь наименований.

В первой главе вводятся понятия функций спроса и предложения, рыночного равновесия, на основе которых, строится экономическая модель Эванса.

Во второй главе вводятся методы решения трансцендентных и дифференциальных уравнений, методом касательных и методом Рунге-Кутта четвертого порядка, соответственно, а также их применение к частным случаям дифференциальных уравнений, описываемых в первой главе, которые наглядно продемонстрируют алгоритм нахождения рыночного равновесия и его интерпретацию в геометрическом виде.

Работа является актуальной в силу трех обстоятельств:

Она имеет непосредственное практическое отношение к экономике.

Элементы работы могут быть представлены в старшей школе.

Указанный материал позволяет интегрировать два важных раздела математики: дифференциальные уравнения и численные методы.

Глава 1. Функции спроса и предложения. Экономическая модель Эванса

Функция спроса

Материал к данной главе выпускной квалификационной работы взят из лекций профессора Хэкало С.П., ГОУ ВО МО «ГСГУ», г. Коломна [7].

Определение. Спросом называют положительнозначную функцию , определяющую количество товара , которое готовы приобрести потребители по цене и удовлетворяющую следующему свойству: чем выше цена товара, тем менее величина спроса.

Значение называют объемом (величиной) спроса, а график функции — кривой спроса.

Установим свойства функции спроса:

монотонно убывает на всей ;

функция , обратная к

Функция — монотонно убывает на .

Отметим, что свойства 1 и 2 очевидны, а свойства 4 и 5 следуют из свойства 3. Докажем свойство 3.

Пусть и — цены на один и то же товар. Для определенности . Тогда из определения следует, что

Таким образом, функция — убывает.

Исторически кривую спроса рисуют в координатах , то есть, по сути, рисуют не , а .

Функция предложения

Определение.Предложением называют положительнозначную функцию , определяющую количество товара , котрое готовы предложить к реализации производители по цене и удовлетворяющему следующему свойству: чем выше цена товара, тем более величина предложения.

Объемом предложения называют величину , а график функции φ – кривой предложения.

Свойства функции предложения:

монотонно возрастает на всей ;

функция , обратная к

Функция — монотонно возрастает на .

Рыночное равновесие

Естественно, что интерес продавца на рынке товара состоит в желании продать товара больше и по более высокой цене с целью максимальной прибыли. В это же время интерес получателя иной: закупить нужное количество товара по более низкой цене.

Возникает модель поведения «потребитель-продавец» на однотоварном рынке. Проанализируем её.

Пусть и всюду непрерывные функции спроса и предложения одного и того же товара, допускающие «дефицит» товара и «избыточное предложение». Это значит, что найдутся хотя бы две точки и такие, что и . Для нахождения рыночного равновесия (нет ни «дефицита», ни «избыточного предложения») необходимо решить уравнение «спрос = предложение»:

Утверждение. В условиях возможного «дефицита» и «избыточного предложения» на рынке одного товара существует только одна точка равновесия.

Перед доказательством проиллюстрируем графическое содержание утверждения:

Доказательство.

Рассмотрим функцию

Отыщем значения и :

Таким образом, по непрерывности и получаем, что цена (в дальнейшем равновесная цена), такая что:

Покажем, что решение (единственное) уравнения

На самом деле, для любых и имеет место неравенство:

Таким образом, функция строго убывает. В итоге единственная точка с условием .

Модель Эванса

В данном пункте мы будем изучать динамическую модель установления равновесной цены на рынке одного товара.

Рассмотрим рынок одного товара. Будем считать, что время течет непрерывно. Пусть, как и ранее, – спрос, предложение и цена товара в момент времени . Считается, что:

(Естественно считать, что при спрос положителен , а предложение – нет ).

Также увеличение цены на товар прямо пропорционально превышению спроса над предложением и длительности этого превышения

коэффициент пропорциональности .

В итоге получается дифференциальное уравнение:

где предположим, что начало торгов производилось при цене , тогда мы получим задачу Коши:

Прежде чем решать это уравнение, можно сразу отметить, что имеется стационарная точка

которая и является равновесной ценой, то есть

Это как раз хорошо отвечает геометрической интерпретации:

Вычислим :

Отыщем :

Итак,

Отыщем из условия

1)

2)

3)

Глава 2. Решение дифференциального уравнения, описанного в экономической модели Эванса, численными методами

Решение трансцендентных уравнений методом касательных

Рассмотрим следующий алгоритм решения трансцендентных уравнений:

Графическим способом отделить наименьший положительный корень уравнения, выделив отрезок;

Доказать, что выделенный отрезок является интервалом изоляции;

Методом проб сузить интервал изоляции до заданной длины;

Методом касательных уточнить корень.

Решение уравнений с одной переменной.

Решить уравнение с одной переменной , где функция определена и непрерывна на множестве , является одной из основных задач математического анализа. Решить уравнение значит найти такие , которые обращают функцию в 0, то есть являются корнями данного уравнения. Корень называется изолированным, если такой не пустой интервал, в котором этот корень единственный.

Уравнение называется алгебраическим если алгебраическая функция, то есть в ней используются операции сложения, вычитания и умножения. Если не алгебраическая функция, то есть содержится под знаком элементарной функции, то уравнение называется трансцендентным.

Задача отыскания корней алгебраических уравнений степени выше четвертой и трансцендентных уравнений не решаются путем алгебраических преобразований, то есть точными методами. На практике используются методы приближенного вычисления.

Решить уравнение численными методами значит установить:

Имеет ли уравнение корни;

Сколько именно корней;

Найти эти корни с заданной степенью точности .

Численное нахождение корней уравнения состоит из 2 этапов:

Отделение корней (нахождение достаточно малого отрезка из множества , содержащего единственный корень уравнения, то есть выделение интервала изоляции);

Уточнение корней (нахождение корня с точностью ).

Если найден интервал изоляции, то число из этого интервала можно взять в качестве приближенного значения этого корня. Чем меньше тем точнее приближенное значение. Однако на практике получить малый интервал изоляции очень сложно и сделать это получается очень редко.

Поэтому используют методы уточнения, делящиеся на две группы:

Последовательно уменьшают длину интервала по некоторому правилу до тех пор, пока ;

Строится итерационная последовательность приближенных значений сходящаяся к некоторому значению – приближенному корню. Если , то процесс вычисления заканчивается.

Первый способ удобен тем, что позволяет легко установить завершение процесса уточнения, так как интервал изоляции всегда известен, а следовательно, известны и , поэтому проверить достаточно легко, но приходится выполнять большое количество арифметических операций.

Во втором способе выполнить проверку условия не удается никогда, так как неизвестно, но для каждого метода возможность найти оценочную функцию , для которой , при этом приходится выполнить арифметических операций значительно меньше.

Отделение корней.

В основе отделения корней лежит следующий факт:

Если корень отделяется на , то он содержится в и он единственный.

Провести полное отделение корней это значит разбить всю на отрезки, каждый из которых будет содержать только один корень.

Теорема (критерий корня на отрезке).

Если функция

Непрерывна на со своими производными первого и второго порядка;

На концах принимает значения разных знаков, то есть ;

Первая производная функции сохраняет постоянный знак,

То на этом отрезке существует корень и причем он единственный.

Замечание. Условия 1 и 2 гарантируют, что на есть корень, 3 условие гарантирует единственность.

Отделение корней можно провести аналитическим способом (всю разбить на отрезки, рядом точек , выбор которых зависит от поведения функции на каждом и проверкой условий теоремы), либо геометрическим способом. Данный метод построен на геометрическом понятии корня уравнения.

Построив график функции выделяют отрезок , содержащий точку пересечения графика с осью абсцисс и проверяют выполнение условий теоремы. Иногда бывает удобно представить функцию в виде суммы двух функций , то есть . В этом случае выделяют отрезок , содержащий абсциссу точки пересечения графиков полученных функций.

В основе методов уточнения первой группы лежит теорема о вложенных отрезках.

Определение.Последовательность отрезков называется вложенной. Если при то последовательность называют стягивающейся.

Теорема Кантора. Для любой стационарной последовательности вложенных отрезков , принадлежащее всем этим отрезкам.

Метод проб.

Пусть дано уравнение и нам требуется уточнить корень с точностью . предположим, что точки , являются целочисленными. Разобьем на десять равных частей и найдем в каждой точке , где . Найдутся две соседние точки и , для которых . Этот отрезок разбиваем еще на десять частей и найдем значения в каждой из полученных точек. Тогда , для которого … на шаге получим такой, что . Если , то за приближенное значение корня можно принять с точностью .

Метод касательных.

Дан интервал изоляции с точностью . Требуется уточнить корень.

Так как отрезок достаточно мал, то на этом отрезке заменим график функции участком касательной и найдем точку пересечения ее с осью абсцисс.

так как , , то .

Точка разделила отрезок на два отрезка и , выберем тот из них, на концах которого функция принимает разные знаки. Проведем касательную в точке и найдем точку пересечения новой касательной с осью абсцисс … получим формулу:

Докажем, что последовательность приближенных значений, получаемых по данной формуле, сходиться и ее предел есть корень уравнения . Так как последовательность монотонно убывает и ограниченна снизу, то у существует

На основе теоремы о единственности предела и факта, что функция является непрерывной, перейдем к предельной форме формулы метода касательных, то есть

корень уравнения на , а в силу единственности корня на .

Замечание. Мы рассматривали случай, когда , , , .

Признак выбора начального приближения: касательные надо проводить в тот из концов отрезка , для которых значения функции совпадает со знаком второй производной:

Если то ;

Если то .

Если кривая почти горизонтальна вблизи корня, то метод касательных применять не целесообразно.

Оценка погрешности.

Теорема (Формула Тейлора).

Пусть функция имеет в некотором промежутке конечные производные до пор, тогда если числа и принадлежат этому промежутку, то между ними существует такое , что

Теорема. Если

интервал изоляции корня уравнения ;

приближенное значения корня;

;

,

то

Доказательство.

По формуле Тейлора разложим функцию в точке , так как участок кривой заменяется участком касательной, то

Замечание. Последовательность, полученная по формуле метода касательных является сходящейся, то есть существует такой номер , начиная с которого разница , то есть , а это и означает, что число . За оценку погрешности можно взять неравенство: так как .

Решение дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта четвертого порядка

Основной задачей данной работы является отработка умений построения графиков спроса и предложения, действующих на рынке некоторого товара, а также умение находить равновесную цену. Для решения этой задачи мы будем рассматривать примеры, которые не всегда возможно решить стандартными методами, поэтому будем пользоваться методами приближенного вычисления, а именно, методом Рунге-Кутта четвертого порядка для решения дифференциальных уравнений. Выбран именно этот метод, потому что он имеет высокую степень точности, а также реализуем на нескольких пакетах программного обеспечения, например таких как: MicrosoftExcel, BorlandDelphi, Mathcad и других. В данном пункте ВКР рассмотрим реализацию данного метода с последующими выкладками для решения некоторых экономических задач.

Согласно методу Рунге-Кутта 4 порядка для вычисления одного значения функции необходимо вычислить 4 коэффициента уточнения:

которые позволят вычислить следующее значение функции , при помощи формулы:

Метод Рунге-Кутта относится к так называемым одношаговым методам, поскольку для вычисления значения функции в точке требуется знать только значение этой функции в одной, предыдущей, точке .

Пример.

Найти решение дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальному условию на отрезке с точностью .

Для решения данного уравнения составим таблицу значений в MicrosoftOfficeExcel в столбцах, которой будут вычисляться коэффициенты уточнения и значения самой функции.

В первый столбец запишем значения , полученные путем разбиения нашего отрезка шагом . В первой строке второго столбца запишем начальное условие , в 3-6 столбцах вычислим коэффициенты уточнения, воспользовавшись вышеописанными формулами, а также вычислим следующее значение функции.

Получим следующую таблицу:

           

1,8

2,6000

2,7179

2,7903

2,7909

2,8602

1,9

2,8790

2,8601

2,9260

2,9264

2,9884

2,0

3,1716

2,9884

3,0463

3,0464

3,0999

2,1

3,4761

3,0999

3,1486

3,1485

3,1922

2,2

3,7909

3,1923

3,2309

3,2307

3,2640

2,3

4,1139

3,2640

3,2921

3,2919

3,3146

2,4

4,4430

3,3146

3,3322

3,3320

3,3445

2,5

4,7761

3,3445

3,3521

3,3520

3,3551

2,6

5,1113

3,3551

3,3538

3,3538

3,3486

2,7

5,4466

3,3487

3,3399

3,3401

3,3282

2,8

5,7805

       

Таким образом, мы нашли значения данного дифференциального уравнения на отрезке .

Посторенние графиков спроса и предложения, нахождение рыночного равновесия на рынке некоторого товара

Перейдем к реализации на практике вышеописанных экономических моделей с применением к ним методов решения трансцендентных и дифференциальных уравнений первого порядка.

Пример. Функция предложения на некоторый товар имеет вид , а функция спроса . Найти рыночное равновесие и стационарное решение экономической модели Эванса, построить график экономической модели Эванса для данных функций спроса и предложения.

Для нахождения рыночного равновесия на рынке одного товара, необходимо найти такое значение , при котором функции спроса и предложения будут равны, то есть

Получили трансцендентное уравнение, для его решения воспользуемся ранее описанным алгоритмом.

Пусть , , , тогда сначала нам необходимо найти интервал изоляции. Рассмотрим данные функции на полуинтервале , обе функции определены и непрерывны на этой области. На отрезке функция является возрастающей, а функция убывающая, причем , , , . Данные условия гарантируют нам пересечение этих функция на данном отрезке. Рассмотрим данный отрезок и выясним, является ли он интервалом изоляции. Функция является непрерывной на данном отрезке, ее производная также является непрерывной, причем , , то есть отрезок является интервалом изоляции. Для уточнения решения воспользуемся методом проб, то есть сузим интервал изоляции, для этого необходимо разбить наш отрезок на конечное число отрезков шагом и взять такие значения и , при которых . Это и будет наш новый интервал изоляции. Пусть , тогда новым интервалом изоляции будет отрезок . Уточним корень нашего уравнения методом касательных, для этого вычислим вторую производную , она определена и непрерывна на всем интервале изоляции. Определим знак в точках и . Если ,то . Если ,то . Используем формулу до тех пор, пока . Взяв , получим ответ Таким образом, мы с вами нашли равновесную цену, она же стационарное решение экономической модели Солоу. Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка и решим его методом Рунге-Кутта четвертого порядка и построим график получившейся функции . Для решения уравнения составим таблицу коэффициентов приближения.

t

p

k1

k2

k3

k4

0,000

3,000

-3,000

-3,278

-3,303

-3,305

0,050

2,838

-3,594

-3,905

-3,931

-3,933

0,100

2,644

-4,234

-4,527

-4,546

-4,547

0,150

2,420

-4,790

-4,973

-4,978

-4,978

0,200

2,173

-5,063

-5,038

-5,039

-5,039

0,250

1,921

-4,897

-4,649

-4,664

-4,663

0,300

1,686

-4,328

-3,941

-3,979

-3,975

0,350

1,485

-3,554

-3,143

-3,192

-3,186

0,400

1,323

-2,780

-2,416

-2,464

-2,458

0,450

1,198

-2,115

-1,822

-1,863

-1,857

0,500

1,103

-1,588

-1,363

-1,395

-1,390

0,550

1,033

-1,186

-1,017

-1,041

-1,037

0,600

0,980

-0,884

-0,758

-0,776

-0,773

0,650

0,940

-0,660

-0,566

-0,579

-0,577

0,700

0,911

-0,493

-0,423

-0,433

-0,431

0,750

0,889

-0,369

-0,317

-0,324

-0,323

0,800

0,873

-0,276

-0,237

-0,243

-0,242

0,823

0,860

-0,207

-0,178

-0,182

-0,181

0,850

0,851

-0,155

-0,134

-0,137

-0,136

0,900

0,844

-0,117

-0,100

-0,103

-0,102

0,950

0,839

-0,088

-0,075

-0,077

-0,077

1,000

0,835

       

Построим график получившейся функции, также на чертеже отметим стационарное решение.

Из данного чертежа видно, что первоначальное значение функции было больше стационарного решения, также можно заметить, что с течением времени цена будет стремиться к значению равновесной цены, что соответствует решению экономическое модели Эванса.

Рассмотрим задачу о нахождении рыночного равновесия при помощи программы в BorlandDelphi 7.

На картинке представлен интерфейс программы, которая для нашего примера находит рыночное равновесие. Согласно, ранее описанному алгоритму, в данной программе сначала задается интервал изоляции, который после нажатия на кнопку «Метод проб» уточняется при помощи шага уточнения, который также вводится самостоятельно пользователем. После этого программа определяет новый интервал изоляции. Для удобства в данной программе можно построить графики функций, использующихся для решения уравнений геометрическим способом, нажав на кнопку «Построить графики функций». При нажатии на кнопку «Метод касательных» программа находит решение трансцендентного уравнения при помощи метода касательных и выводит ответ с ранее заданной точностью.

Результат работы программы представлен на следующей картинке:

Заключение

Работая над научно-исследовательской работой, мне пришлось изучить учебно-методическую и научную литературу, а также проанализировать материал, изученный мной на дополнительных занятиях с руководителем.

Особенно мне понравилось разрабатывать программы в BorlandDelphi 7 для решения трансцендентных и дифференциальных уравнений, так как при их создании возникало много ошибок и проблем, которые приходилось решать, прибегая к помощи преподавателей и однокурсников.

Целями данной работы было описание экономической модели Эванса, а также применение к дифференциальным уравнениям, описанным в этой модели, численных методов. В связи с этим были поставлены следующие задачи: изучить экономическую модель; изучить теорию решения трансцендентных и дифференциальных уравнений численными методами; применить численные методы к уравнениям, описанным в экономической модели Эванса.

Хоть материал работы и выходит за рамки школьной программы, но он может изучаться в старшей школе. Учащиеся могут самостоятельно, но лучше под руководством преподавателя, познакомиться с несколькими экономическими моделями и овладеть некоторыми способами решения трансцендентных и дифференциальных уравнений численными методами, что способствует развитию логики учащегося и помогает обобщить его знания сразу по нескольким учебным дисциплинам.

Я считаю, что цели работы достигнуты, а задачи решены, так как первая глава данной работы описывает экономическую модель Эванса, а вторая глава описывает методы решения уравнений, представленных в ней. Результатом решения поставленных задач являются программы, разработанные в BorlandDelphi 7 и MicrosoftExcel 10.

Список литературы

Акимов Д.В., Дичева О.В., Щукина Л.Б. Задания по экономике: от простых до олимпиадных – М.: ВИТА-ПРЕСС, (любое издание). – 320 с.

Акимов Д.В., Дичева О.В., Щукина Л.Б. Решения задач по экономике: от простых до олимпиадных. – М.: ВИТА-ПРЕСС, 2011. – 336 с.

Берзон Н.И., Основы финансовой экономики: учеб, пособ. для 10-11 кл. – М.: ВИТА-ПРЕСС, 2011. – 240 с.

Киреев А.П., Экономика в графиках. – М.: ВИТА-ПРЕСС, 2011. – 96 с.

Липсиц И.В., Экономика: учеб. Базовый курс. – М.: ВИТА-ПРЕСС, 2012. – 272 с.

Симонов А.С., Экономика на уроках математики. – М.: Школа-Пресс, 1999. – 160 с. – (Библиотека журнала «Математика в школе»).

Лекции профессора Хэкало С.П. по курсу «Математические методы и модели исследования экономики», рукопись.

Просмотров работы: 111