VI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Механизм инверсора для плоскошлифовальной машины
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
В работе решается конкретная задача из заказа строительной фирмы на создание образца плоскошлифовальной строительной машины для работы в небольших помещениях и комнатах при отделочных работах и доводке качества в соответствие Российским и Международным стандартам.
Повышение требований Заказчика к Подрядчику в отношении качества работ заставляет строительные организации искать новые машины и механизмы, основанные на современных достижениях науки и техники, в том числе не только в области информационных технологий, но и в традиционной механике. В патентных ведомствах отмечается рост количества заявок на изобретения и полезные модели, связанные с новыми применениями известных устройств, способов и материалов в строительной отрасли. Предлагаемая научная работа связана с выполнением конкретного заказа строительной научно-исследовательской организации. Цель работы заключается в создании плоскошлифовальной машины для автоматизированного оштукатуривания плоских стен зданий и сооружений. Санитарные нормы и правила в строительстве в основном требуют соблюдать погрешность отступа от плоскости не более 3 мм на 2 м длины в любом направлении. Это означает, что допускаются впадины и выпуклости до 0,15% от длины. Такие жёсткие требования приводят к необходимости очень дорогого ручного труда с применением очень простых, но точных инструментов – строительных правил. Соблюдать такие нормы в строительстве очень дорого, и даже невозможно с работниками низкой квалификации. В связи с этим строительные организации часто идут на подмену цельных бетонных стен накладками из гипсокартона, который не выдерживает механических нагрузок и через небольшое время даёт трещины.
Плоскошлифовальная машина требует очень точной работы исполнительного механизма, который должен двигаться с минимальными отклонениями от прямой линии или от плоскости.
Общая характеристика работы
Цель работы: выполнение заказа исследовательской организации для выбора исполнительного механизма в плоскошлифовальной строительной машине.
Новизна:
отказ от традиционного ромбовидного прямила Липкина, переход от рабочей точки прямила к рабочему отрезку
Актуальность:
дорогой ручной труд при выполнении штукатурных и отделочных работ в строительстве, большие объёмы работ
Практическая значимость:
уменьшение финансовых затрат на рабочую силу;
сокращение сроков выполнения работ Подрядчиком;
повышение реального качества строительных работ до регламентированного СНиП (отклонение от плоскости 1:1500);
получение дополнительной прибыли от внедрения инновации.
Для достижения цели работы и создания механизма для шлифовальной машины надо было решить три технические задачи, связанные с математикой.
Задача 1.
Максимально уменьшить продольный размер механизма для размещения его в новой шлифовальной машине.
Задача 2.
Заменить рабочую точку механизма, движущуюся строго по прямой линии, на рабочий отрезок или пластину, к которым крепятся шлифовальные инструменты.
Задача 3.
Изготовить действующий макет механизма и практически доказать его работоспособность.
Анализ литературы
Для предложения механизма плоскошлифовальной машины была изучена математическая литература, связанная с инверсным преобразованием плоскости относительно окружности [1]. Принцип инверсного преобразования плоскости относительно окружности показан схематично на рис.1.
Рис.1. Инверсное преобразование плоскости
Основная идея инверсного преобразования заключается в отображении точек внутренней области круга на его внешнюю область. Точка-прообраз может находиться как внутри круга, так и вне круга. Если точка-прообраз А находится внутри круга, то образ В этой точки будет находиться вне круга. Напротив, если точка-прообраз D находится вне круга, то её образ С будет находиться внутри круга. При инверсном отображении строится луч, соединяющий центр О окружности с точкой-прообразом. Затем измеряется расстояние от центра окружности до точки-прообраза. Наконец, на построенном луче находится точка-образ на таком удалении от центра О окружности, что произведение расстояний от центра окружности до прообраза и образа точки равно квадрату радиуса окружности. Если точка-прообраз принадлежит окружности, то и точка образ тоже будет принадлежать этой же окружности. В этом отношении инверсное преобразование плоскости относительно окружности можно рассматривать как аналог осевой симметрии, а саму инверсную окружность как ось симметрии.
Инверсное преобразование плоскости сохраняет неизменными углы между двумя отрезками прообраза и образа, поэтому является комфорным и часто применяется в геодезии и картографии.
Инверсное преобразование плоскости относительно окружности обладает рядом свойств, главным из которых для создаваемого механизма является отображение любой окружности, расположенной внутри инверсной окружности, на прямую линию вне инверсной окружности.
Сначала было желание преобразовать полное вращательное движение кривошипа в движение точки по прямой линии. Однако указанное свойство инверсии запрещает это выполнить технически и практически. Действительно, если кривошип совершит полный оборот вокруг своей оси вращения, то есть точка-прообраз внутри инверсного круга полностью опишет один раз окружность, то точка-образ вне инверсного круга должна будет переместиться по всей прямой линии от минус бесконечности до плюс бесконечности, а это невозможно. Этим доказаны две важные теоремы.
Теорема 1.
Технически невозможно с помощью инверсора преобразовать полное вращение кривошипа вокруг своей оси в движение точки по прямой линии.
Теорема 2.
Технически возможно с помощью инверсора преобразовать только качательное движение ведущего коромысла (а не полное вращение кривошипа) в движение точки по прямолинейному отрезку (а не по всей прямой линии).
Математическая основа плоскошлифовального механизма заключается в возможности преобразования вращательного движения ведущего кривошипа или качательного движения ведущего коромысла в строго прямолинейное движение ведомого исполнительного звена машины. Такое преобразование возможно, если применить инверсию относительно окружности, а траекторию-окружность шарнира ведущего кривошипа пропустить через центр инверсной окружности. По свойству инверсного преобразования плоскости прообраз-окружность, проходящая через полюс инверсии, отобразится на образ-прямую, за исключением полюса инверсии, который отображается на несобственную бесконечную точку. Но если искусственно дополнить инверсное преобразование отображением полюса на бесконечность, то получается биекция. Математическая схема инверсного преобразования показана на рис.2.
Рис.2. математическая схема инверсного преобразования
Для любой точки-прообраза А на окружности, лежащей внутри инверсного круга, строится точка образ В вне инверсного круга. Затем такое же отображение повторяется для точки-прообраза С, лежащей на прямой, соединяющей центры двух окружностей, и строится точка-образ D. Получаются два подобных треугольника. Отношение подобия сторон этих двух треугольников приводит к определению инверсии, если прямая BD перпендикулярна прямой, соединяющей центры окружностей.
Для создания механизма шлифовальной машины вполне достаточно получить возвратно-поступательное движение исполнительного механизма по прямолинейному отрезку, не рассматривая понятие бесконечности. Традиционным механизмом для получения точного прямолинейного движения точки является инверсор Липкина [2,3], схема которого и собранный действующий макет показаны на рис.3.
Рис.3. Традиционный инверсный механизм Липкина
Механизм Липкина был изготовлен по традиционной схеме для практического изучения и оценки характеристик. Характерный размер механизма 50 см, основной материал дюралюминиевые профили, шарнирные соединения заменены винтами, гайками и шайбами. Даже небольшая модель действующего механизма доказала, что вряд ли эта конструкция найдёт применение в создаваемой шлифовальной машине. Именно поэтому был создан «черновик» модели, чтобы убедиться в неудовлетворительных габаритных размерах конструкции механизма. Так как силовых нагрузок нет, а модель применялась только для иллюстрации отрицательного научно-технического результата, то в качестве материала были применены самые простые алюминиевые профили в виде уголков с шириной полок 10 мм. Шарниры были изготовлены из винтов, гаек и шайб М6. Собранная простейшая модель традиционного механизма Липкина подтвердила правильность гипотезы о необходимости замены этого классического механизма другим, пусть даже относительно более сложным. На практике применение такой традиционной схемы затруднительно с позиции механики по двум причинам.
Во-первых, длина механизма оказывается намного больше длины рабочего хода исполнительного механизма, установленного в рабочей точке. Такой механизм будет трудно установить внутри помещения для шлифования стены строящегося здания. Ещё больше трудностей будет при перемещении плоскошлифовальной машины внутри здания из одного помещения в другое, особенно через узкие дверные проёмы с характерной шириной 1 метр.
Во-вторых, в качестве исполнительного механизма в плоскошлифовальной машине должен применяться отрезок, на который можно установить, например, наждачную бумагу, а не точка. В классическом механизме Липкина строго по прямой линии двигается точка, тогда как основным требованием Заказчика является плоская рабочая поверхность для закрепления на ней шлифовального элемента. Такие механические требования и ограничения поставили задачу значительно преобразовать известные прямила для выполнения конкретной механической работы – шлифования или оштукатуривания плоских стен в ограниченном пространстве, то есть не только снаружи строящегося здания, но и внутри помещений.
Решение первой задачи
Для уменьшения длины механизма Липкина был предложен другой известный вариант построения его кинематической схемы, изображённый на рис.4.
Рис.4. Другой вариант механизма Липкина
Этот механизм является известным [3]. Однако, по моему мнению, этот механизм незаслуженно забыт, наверное, по причине меньшей наглядности принципа действия прямила. Даже на первый взгляд сразу видно, что второй вариант механизма Липкина короче первого механизма. Действительно, первый механизм вытянут в длину, слева направо на рисунке и фотографии макета, тогда как вторая схема более сжата. Такое изменение кинематической схемы механизма оказалось возможным по двум причинам.
Во-первых, не затронуто ромбовидное соединение четырёх рычагов. Как в первой схеме, так и во втором механизме сохранён подвижный ромб из четырёх рычагов с четырьмя цилиндрическими шарнирами. Однако в первом, традиционном варианте механизма Липкина «внеромбовидная» часть схемы расположена именно снаружи ромба, что значительно удлиняем механизм и увеличивает его продольный размер. На фотографии макета собранного традиционного механизма Липкина видно, что механизм значительно вытянут в длину слева направо.
Во-вторых, отличие новой кинематической схемы от традиционной заключается только в переносе «внеромбовидной» части механизма во внутреннюю часть ромба. Такой перенос значительно уменьшает продольный размер механизма. С математической точки зрения такой перенос возможен. Математическое обоснование двух вариантов инверсора показано на рис.5.
Рис.5. Сравнение двух вариантов механизма Липкина
С математической точки зрения важно обеспечить прохождение окружности-прообраза (маленькая на рисунке) через центр инверсной окружности (большая на рисунке). Если это свойство выполнено, то образом окружности-прообраза будет прямая линия вне инверсной окружности. Это свойство инверсного преобразования доказано ранее. Однако в этом свойстве ничего не говорится о том участке дуги-прообраза, которая будет применяться в инверсоре и о взаимном расположении окружностей и прямой. Оказывается можно сместить окружность-прообраз на другую сторону диаметра инверсной окружности, не нарушая условий этой теоремы. Первая задача решена, механизм можно сделать короче.
Идея уменьшения продольного механизма Липкина не является новой, содержится в научно-технической литературе по теории механизмов и деталям машин [3], поэтому на защиту не выносится. Выдержка из литературы [3] и сравнительная характеристика двух механизмов Липкина показаны на рис.6.
Рис.6. Известные схемы двух механизмов Липкина
На защиту выносится новое применение известного устройства для достижения положительного эффекта – уменьшения продольного размера.
Решение второй задачи
Более сложной задачей стал переход от рабочей точки к рабочему отрезку. Для этого было предложено воспользоваться известным механизмом двойного параллелограмма, один рычаг которого совмещён с коромыслом механизма Липкина, а рычаг второго параллелограмма совмещён с шатуном механизма Липкина. Схема двух совмещённых механизмов показана на рис.7. Вертикальные шатуны двух параллелограммов на этой схеме всегда сохраняют вертикальное положение, а правый шатун ограничен движением рабочей точки по прямой линии, то есть тоже двигается вдоль прямой. Следовательно, удалось от рабочей точки с её прямолинейным движением перейти к рабочему отрезку с прямолинейным движением шлифовального элемента.
Рис.7. Введение двойного параллелограмма
Основная задача была связана с заменой в исполнительном механизме рабочей точки на рабочий отрезок. Эта задача была решена добавлением в кинематическую схему двойного параллелограмма. Вторая задача по уменьшению продольных размеров механизма была решена отказом от ромбовидного рычажного соединения рычагов.
Решение третьей задачи
В результате работы был собран действующий макет механизма для дальнейших испытаний в плоскошлифовальной машине, фотография которого показана на рис.8.
Рис.8. Собранный механизм
Этот механизм предложен для дальнейших испытаний с изготовлением макета плоскошлифовальной машины.
Основными ближайшими вопросами исследования станут:
дополнение модели электроприводом;
определение величин габаритных размеров;
сопоставление габаритных размеров с рабочим ходом;
анализ работоспособности машины в небольших помещениях.
Новая механико-математическая перспектива
Оказалось, что сохранить главное свойство инверсного преобразования можно, если инверсный образ отразить центрально-симметрично, то есть повернуть на угол 180 градусов относительно инверсной окружности. Это утверждение справедливо не только для прообраза-окружности, проходящей через центр инверсии, и образа-прямой, но и для любой точки-прообраза, за исключением полюса инверсии. Но тогда инверсный образ можно повернуть не только на развёрнутый угол, но и на любой другой угол. Это утверждение схематично показано на рис.8.
Рис.9. Инверсия с поворотом
С технической точки зрения нужно найти механизм, который может выполнить такой поворот на произвольный угол, но это уже выходит за рамки этой работы. Для достижения цели вполне достаточно математического разворота инверсной прямой на угол 180 градусов.
Заключение
1. Не рекомендовано в качестве основного рассматривать традиционный «удлинённый» механизм-инверсор Липкина для плоскошлифовальной строительной машины.
2. Предложено применить «укороченный» механизм-инверсор Липкина в качестве основного исполнительного элемента в плоскошлифовальной строительной машине.
3. Дополнение «укороченного» механизма-инверсора Липкина механизмом двойного параллелограмма позволяет перейти от исполнительного элемента в виде точки к исполнительному элементу в виде отрезка или пластины, на которую устанавливается шлифовальный элемент.
4. Правильность выдвинутых гипотез и полученных результатов проверена натурным экспериментом после сборки действующего макета механизма плоскошлифовальной строительной машины.
5. Сформулирована механико-математическая и техническая задача для дальнейших исследований, связанная с поворотом инверсного образа на произвольный угол для применения этого свойства в перспективных устройствах и машинах.
6. Результаты работы доложены на научно-технических конференциях и конкурсах в НИЯУ МИФИ, НИУ МАИ, НИУ МГСУ, Президиуме РАН, МГУ им. М.В.Ломоносова, а также опубликованы в четырёх научных статьях [4-7]. Работа награждена бронзовой медалью Московского государственного строительного университета (НИУ МГСУ).
Список использованных источников литературы
1. Бакельман И.Я. Инверсия. – Популярные лекции по математике. - Вып.44. – М.: Наука, 1966.
2. Артоболевский И.И., Левитский Н.И. Механизмы П.Л.Чебышева / Научное наследие П.Л.Чебышева. – Вып. II. – Теория механизмов. – М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1945. – Электронный ресурс: http://www.tcheb.ru/1
3. Шарнирно-рычажный прямолинейно-направляющий механизм Поселье-Липкина. – Электронный ресурс (сайт «Азбука металла»): http://azbukametalla.ru/mekhanizmy/chast-1/sharnirno-rychazhnye-mekhanizmy/608-703-mekhanizmy-napravlyayushchie-i-inversory.html
4. Шмагина Ю.В. Новая инженерия и математическая задача для плоскошлифовальной строительной машины / Материалы конференции "Умный дом руками детей" (школьная секция XXIX Международной конференции "Современные информационные технологии в образовании" (ИТО-Троицк-Москва-2018), 26 июня 2018 г.) Научно-методическое издание. // Ред. группа: Алексеев М.Ю. и др. - 122 с. - Ил. - ISBN 978-5-9907219-1-3 - С.41-44. – Эл. ресурс: http://ito2018.bytic.ru/uploads/materials/smarthome.pdf?3
5. Математика инверсорного механизма в плоскошлифовальной строительной машине / С86 Строительство — формирование среды жизнедеятельности: XXI Международная научная конференция [Электронный ресурс]: сборник материалов семинара «Молодежные инновации» (г. Москва, 25–27 апреля 2018 г.) / М-во образования и науки Росс. Федерации, Нац. исследоват. Моск. гос. строит. ун-т. - Москва : Издательство МИСИ–МГСУ, 2018. - 385 с. - ISBN 978-5-7264-1867-4 - С.373-375.
6. Шмагина Ю.В. Доработка механизма инверсора для плоскошлифовальной машины / Ч52 IV Музруковские Чтения: Материалы Всероссийской научно-практической конференции, 15 февраля 2018 г. / ГБПОУ СПТ им. Б.Г.Музрукова, отв. за выпуск И.В.Столяров. – Саров: Интерконтакт, 2018, 310 с. – ISBN 978-5-6040145-6-1.– С.65-68
7. Шмагина Ю.В. Доработка инверсора для применения в шлифовальной машине / XVIII Школьные Харитоновские чтения. Межрегиональная олимпиада школьников "Будущие исследователи - будущее науки". Тезисы. // Сост. О.В.Константинова, М.Д. Селина. - Саров: ФГУП "РФЯЦ-ВНИИЭФ", 2018. - 339 с., ил. - Секция 8 "Физика". - С.299-301. - УДК 016. ББК 72 В 76.