VI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Использование свойств функций в решении заданий с параметром

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Сухова А.С. 1

---

1Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Лицей № 9 имени К.Э. Циолковского» города Калуги

Рылова  И.Г. 1

---

1Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Лицей № 9 имени К.Э. Циолковского» города Калуги

Работа в формате PDF

636.9 KB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

ВВЕДЕНИЕ

Задачи с параметром играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, но их решение вызывает у них значительные затруднения. Трудности решения такого рода задач вызваны прежде всего тем, что в любом случае, даже при решении простейших уравнений и неравенств, содержащих параметры, приходится производить ветвление всех значений параметров на отдельные классы, при каждом из которых задача имеет решение. При этом следует четко и последовательно следить за сохранением равносильности решаемых уравнений или неравенств с учетом области определения выражений, входящих в уравнение или неравенство, а также учитывать выполнимость производимых операций. В материалах ЕГЭ и ГИА предлагаются задания, содержащие параметр. Появление таких заданий на экзаменах далеко не случайно, т.к. с их помощью проверяется техника владения формулами элементарной математики, методами решения уравнений и неравенств, умение выстраивать логическую цепочку рассуждений, уровень логического мышления учащегося и их математической культуры. Гипотеза: владение методами решения задач, содержащих параметры, сегодня как никогда актуально для выпускников школы. _{Цель исследования: изучить способы решения заданий с параметрами, использующие свойства функций. Задачи исследования: 1. Ознакомить с классами задач с параметрами. 2. Ознакомить с методами решений задач с параметрами. 3. Проанализировать решения заданий с параметром с применением свойств квадратичной функции, ограниченность функций, обратные функции. 4. Составить и решить задания с параметрами. 5. Распространить полученный опыт решения задач с параметрами.}

ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

1.Найти все значения а, при каждом из которых уравнение имеет ровно один корень. 2. Найти все значения а, при каждом из которых система уравнений

_{имеет более одного решения.} 3. Найти все значения а, при каждом из которых множество решений неравенства

содержит отрезок

4. Найти все значения а, при каждом из которых множество значений функции содержит отрезок

5. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение на промежутке имеет более двух корней.

6. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение _{имеет четыре решения, где f(x) – четная периодическая функция с периодом Т=16/3, определенная на всей числовой прямой, причем} 7. Найти все значения а, при каждом из которых функция

_{имеет хотя бы одну точку минимума.} 8. Найти все значения а, при каждом из которых неравенство

выполняется для всех значений А также другие уравнения и неравенства.

Известны четыре больших класса задач с параметрами: 1. Уравнения, неравенства и их системы, которые необходимо решить для любого значения параметра, либо для значений параметра, принадлежащих определённому множеству. 2. Уравнения, неравенства и их системы, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра. 3. Уравнения, неравенства и их системы, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения (системы, неравенства) имеют заданное число решений. 4. Уравнения, неравенства и их системы, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения. Методы решений задач с параметрами: 1. Аналитический метод. Это способ прямого решения, повторяющий стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра. 2. Графический метод. В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a) рассматриваются графики в координатной плоскости (x;y) или в плоскости (x;a). 3. Метод решения относительно параметра. При решении этим способом переменные х и а принимаются равноправными, и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение становится более простым. После упрощений нужно вернуться к исходному смыслу переменных х и а и закончить решение. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СВОЙСТВ ФУНКЦИЙ В РЕШЕНИИ ЗАДАНИЙ С ПАРАМЕТРОМ

Пример №1. Найти все значения параметра a_{  }, при которых неравенство

(3a - 5)_{ } >0 выполняется при любых значениях _{ }.

Решение.

Ответ:_{ }

Пример №2. Найти все значения параметра a_{ }, при которых неравенство

(5a-2)_{ } >0 выполняется при любых целых значениях _{ }.

Решение.

Ответ:_{ }

Пример №3. Найти все значения параметра a_{ }, при которых неравенство

(2a+1)_{ } >0 выполняется при любых целых значениях _{ }.

Решение.

Ответ:_{ }

Пример №4. При каких значениях параметра a_{ } (2;5) уравнение _{ } имеет решение, принадлежащее отрезку _{ }

Решение.

следовательно, данное уравнение равносильно системе

Из первого уравнения системы получаем

_{ },_{ }

Из _{ },

Ответ: _{ }

Пример №5. При каких значениях параметра a_{ } (2;7) уравнение

Решение.

Ответ:_{ }

Пример №6. При каких значениях aуравнение _{ } имеет два корня, расстояние между которыми больше _{ }

Решение.

О.Д.З. _{ }

.

Ответ: _{ }

Пример №7. Найти все значения параметра a, при которых неравенство

_{ } имеет решения.

Найти все эти решения.

Решение.

Найдем координаты вершины параболы

_{ } ⇒

_{ }Z

_{  }Z

Ответ: _{   }Z

Пример №8. При каких значениях параметра a неравенство

_{ } выполняется для всех значений _{ }

Решение.

_{ }

О.Д.З. _{ } D = 16-36 = - 20