VI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Решение неполного уравнения третьей степени

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Ткаченко  Г.Р. 1

---

1МБОУ «Лицей № 9 имени К.Э. Циолковского» г. Калуги

Рылова  И.Г. 1

---

1МБОУ «Лицей № 9 имени К.Э. Циолковского» г. Калуги

Работа в формате PDF

282.7 KB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

ВВЕДЕНИЕ

П.Л. Чебышев, величайшийрусский математик и механик, основоположник петербургской математической школы, уроженец Калужской губернии, писал в статье «О втором томе «Истории» Полевого» о людях, способных угадать и схватить суть явлений:

«Ум человеческий, по простонародному выражению, не пророк, а угадчик, он видит общий ход вещей и может выводить из оного глубокие предположения, часто оправданные временем…».

В 1838 году, участвуя в студенческом конкурсе, П.Л. Чебышев получил серебряную медаль за работу по нахождению корнейуравнения n-ной степени. Оригинальная работа была закончена уже в 1838 году и сделана на основеалгоритма Ньютона.

Гипотеза: решение неполного уравнения третьей степени, корни которого не являются целыми, решается с помощью формулы П.Л. Чебышева рациональным способом.

Цель исследования: решить неполное уравнение третьей степени с помощью нескольких способов и определить наиболее рациональный из них.

Задачи исследования:

-ознакомиться с определением производной первого и второго порядка;

-научиться строить графики функций-многочленов третьей степени;

-применить к решению неполногоуравнения третьей степени формулу П.Л. Чебышева;

-применить к решению неполногоуравнения третьей степени известные способы;

-применить алгоритм уточнения корней многочлена, если известны грубо приближенно два значения его корня;

-из полученных способов решения выбрать наиболее рациональный.

ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

Производная функции

Предел функции в заданной точке, предельной для области определения функции – такая величина, к которой стремится значение рассматриваемой функции при стремлении ее аргумента к данной точке.

Производная функции — понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции в данной точке. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Определение производной функции через предел.

Пусть в некоторой окрестности точки {displaystyle x_{0}in mathbb {R} } определена функция {displaystyle fcolon U(x_{0})subset mathbb {R} to mathbb {R} .} .Производной функции {displaystyle f} fв точке {displaystyle x_{0}}называется предел, если он существует,

Производная от первой производной называется производной второго порядка или второй производной.

Формула П.Л. Чебышева

Способы решения алгебраических уравнений высших степеней

Уравнения третьей (и выше) степеней могут быть решены способами:

-графическим, который становится тем сложнее, чем степень многочлена выше, так как график построить иногда труднее, чем найти соответствующие корни;

-оперативным, часто приближенный, но дающий возможность находить корни с большой точностью. Графический способ при оперативном способе является подсобным.

Теорема 1. Если имеется целый корень многочлена с целыми коэффициентами, когда при старшем члене коэффициент единица, то он является делителем свободного члена.

Теорема 2. Всякий многочлен нечетной степени на множестве действительных чисел имеет по крайней мере один действительный корень.

Номограммы

Номограмма (греч.νομοσ — закон) — графическое представление функции от нескольких переменных, позволяющее с помощью простых геометрических операций (например, прикладывания линейки) исследовать функциональные зависимости без вычислений. Например, решать квадратное уравнение без применения формул. Номография (от греч. nómos — закон и ...графия), раздел математики, объединяющий теорию и практические методы построения номограмм – специальных чертежей, являющихся изображениями функциональных зависимостей. Особенность номограмм заключается в том, что каждый чертеж изображает заданную область изменения переменных и каждое из значений переменных в этой области изображено на номограмме определенным геометрическим элементом (точкой или линией); изображения значения переменных, связанных функциональной зависимостью, находятся на номограмме в определенном соответствии, общем для номограмм одного и того же типа.

Номограммы для решения уравнений. Для решения уравнений х ^α + р₀х ^ß + q₀ = 0 используют номограммы из выравненных точек. Получить такую номограмму можно так: Нарисуем две вертикальные параллельные прямые – ось р с началом отсчётаА и ось q с началом отсчёта В (Рис. 1); на этом рисунке отрезок АВ перпендикулярен осям p,q, но это вовсе необязательно).

Рис. 1

Возьмём произвольные числа α, ß и положительное число а. На оси р возьмём точку Сс координатой -а ^α-ß на оси р – точку D с координатой -а ^α . Пусть AD∩BC=E. Проведём через Е произвольную прямую, не параллельную осям р, q. Обозначим координату пересечения М это прямой с осью р через р₀, пересечения N с осью q – через q. Тогда а^α + р₀ α ^ß + q₀ = 0 (1), т.е. число а является корнем уравнения х ^α + р₀х ^ß + q₀= 0 (2). Прямая MN может пересекаться с осями р, q одним из трёх способов: р₀< 0, q₀> 0 (рис.1); р₀> 0, q₀< 0 (рис. 2); р₀ < 0, q₀< 0 (рис.3).

Рис. 2 Рис. 3

Докажем равенство (1) для случая, изображённого на рис. 1 (остальные два случая рассматриваются аналогично). Из подобия треугольников AEC и BED имеем

, откуда

Далее из подобия треугольников AEM и NED следует

,

что и даёт (1). Зафиксируем произвольные α, ß и рассмотрим всевозможные уравнения х ^α+ рх^ß + q = 0 . Номограмма для отыскания положительных корней таких уравнений рисуется следующим образом: 1) параметру а придаются разные положительные значения и для каждого из них строится точкаЕ так, как рассказано выше; 2) полученные точки, помеченные соответствующими значениями параметра, соединяются плавной кривой Г (рис.4).

Рис. 4

Теперь при помощи этой номограммы приближённо можно найти положительные корни конкретного уравнения х^α + р₀х ^ß+ q₀ = 0, для этого надо на оси р взять точку M с координатой р₀, на оси q – точку N с координатой q₀ и провести прямую MN. Каждая точка пересечения прямой MN с кривой Г даёт, в силу (1), положительный корень уравнения (2). Точки, соответствующие коэффициентам p, q уравнения, и точки, соответствующие искомым положительным корням уравнения х^α+ рх^ß + q =0, лежат на одной прямой.

Алгоритм уточнения корней многочлена, если известны грубо приближенно два значения его корня

Теорема. Зная два приближенных значения и многочлена , можно получать улучшенные приближенные значения по рекуррентной формуле:

РЕШЕНИЕ НЕПОЛНОГО УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕЙ СТЕПЕНИ

Пример решения уравнения третьей степени

Пусть дано уравнение

Решение 1.

Так как левая часть уравнения-многочлен третьей (нечетной) степени, то на множестве действительных чисел имеет по крайней мере один действительный корень, т.е. эти числа являются делителями свободного члена 1.

Имеем 1³-5 1+1=-3 и значит, целых корней нет.

Может быть, рациональный корень? Нет, так как многочлен с коэффициентом при старшем члене 1 не имеет и целых корней.

Значит, предположение неверное – корень иррациональный, найдем его приближенно, установив интервал, в котором он находится.

Составим таблицу 1, давая значения переменной х и вычисляя значения функции у:

Таблица 1

Уже найден интервал , имеем корень отрицательный, заключенный в границах:

.

Второй интервал , имеем корень положительный, заключенный в границах

Третий интервал , имеем положительный корень, заключенный в границах

.

Больше находить корни не следует, так как уравнение третьей степени не может иметь более трех корней.

Функция непрерывна на Rи дифференцируема на R.

График функции пересекает ось Оу в точке .

Производная функции равна

Критические точки 1 рода:

Исследуем функцию на монотонность:

Рис. 5

Применили формулу Бернулли для вычисления приближенного значения

Дадим графическое изображение функции , (Рис. 6) которое несколько уточняет значение иррациональных корней, давая рациональные приближения:

Рис. 6

Ответ:

Решение 2.

Преобразуем исходное уравнение к виду:

Решим это уравнение графическим способом.

Введем две функции:

Построим графики данных указанных функций (Рис. 7):

Рис. 7

Ответ:

Решение 3.

Применим формулу П.Л. Чебышева

Используем график функции (Рис. 6)

Видно, что один из корней уравнения расположен близко к

Найдём производные первого и второго порядка данной функции:

Произведем вычисления:

Применим формулу:

Остальные корни проще найти, используя свойства многочленов:

1). Если корень многочлена , то делится на .

2). При делении многочлена на получается остаток, равный значению этого многочлена при .

3). Схемой Горнера, где (Таблица 2):

Таблица 2

Получили остаток деления 0,008 .

Делитель приравниваем к нулю:

Ответ: -2,33; 0,2; 2,13.

Решение 4.

Решим данное уравнение при помощи этой номограммы (Рис. 8), выполнив соответствующие расчёты:

Построим отрезок . Он пересечет полученный график в точках с координатами .

Для получения третьего корня изменим знак х на –х, получаем

Найдем отрицательный корень уравнения, построив отрезок , он пересекает график функции в точке .

Рис. 8

Ответ: -2,3; 0,25; 2,2.

Проверим полученные корни с помощью Интернет ресурсов: сайта

Решение уравнений бесплатно - Калькулятор Онлайн Обычные уравнения

Ответы продемонстрированы на Рис. 9 и Рис. 10:

Рис. 9

Рис. 10

Ответ: 0,2; 2,13; -2,33.

Уточним один из корней многочлена, полученные в Решении 4 с помощью алгоритма уточнения корней многочлена, если известны грубо приближенно два значения его корня.

1. Возьмём , .

, ,

3. .

Можно продолжить уточнение приближенного значения корня. Примем за приближенного значения корня число .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проанализируем использованные способы решения уравнения (Таблица 3):

Таблица 3

Итак, наиболее рациональным оказался способ с применением формулы Чебышева.

Из анкетирования, проведенного в 11 классе, было выяснено, что формула Чебышева и номограммама – это понятия, незнакомые выпускникам, учащимся физико-математического профиля. Оценивание корней уравнения с помощью таблицы с применением свойстванепрерывности функции оказалось новым для 80% учащихся.

Таким образом, умение решать неполное алгебраическое уравнение, имеющего нерациональные корни, является актуальным и, как показала практика, проблематичным.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ

1. Предел функции —Режим доступа: Википедия ru.wikipedia.org(дата обращения 20.07.2018)

2. Производная функции — Режим доступа:Википедияru.wikipedia.org(дата обращения 20.07.2018)

3. Урок-игра "Победитель простых чисел - П.Л. Чебышёв...- Режим доступа: открытыйурок.рф(дата обращения 21.07.2018)
4. Акири И., Гарит В. И др. Математика. Учебник для 11 класса – Кишинев.:PrutInternatijnal, 2004, 120-121 с.

5. И.Клумова «Номограммы из выравненных точек». Научно-популярный журнал «Квант», №9 1978г.

6. Решение уравнений бесплатно - Калькулятор Онлайн Обычные уравненияУпрощение выражений - Режим доступа: kontrolnaya-rabota.ru(дата обращения 19.07.2018)