VI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Решение систем уравнений с помощью свойств геометрии
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
ВВЕДЕНИЕ
В ходе решения геометрических задач приходится часто прибегать к использованию систем каких-либо условий, уравнений. Например, решить задачу «В треугольник АВС вписана окружность, касающаяся сторон в точках M, N, P. Найти в каких отношениях эти точки делят стороны треугольника (Рис. 1), т.е. найти AM:BM, BN:NC, CP:PA, еслиAB:BC:AC=3:4:5» можно с помощью системы уравнений, если ввести обозначения: х – коэффициент пропорциональности сторон, АВ=3х, ВС=4х, СА=5х и m=AM=AP, l=BM=BN, t=NC=CP. Видим пример того, как алгебра помогает решить геометрическую задачу с помощью системы:
Рис. 1
Возникает вопрос, а существуют системы, которые можно решить, используя геометрические понятия и свойства.
Цель работы: определить, какие именно геометрические понятия и свойства можно применять при решении систем уравнений.
Задачи:
1). Найти в различных источниках информации системы, которые решаются с помощью геометрических свойств и понятий;
2). Составить самостоятельно системы уравнений, которые можно решить «геометрически».
ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ
Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
Теорему косинусов иногда называют обобщенной теоремой Пифагора. Такое название объясняется тем, что в теореме косинусов содержится как частный случай теорема Пифагора. В самом деле, если в треугольнике АВС угол А прямой, то и по формуле (1) получаем , т.е. квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними. Скалярное произведение векторов обозначается так: . По определению: .
Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.
Если , то по формуле (1) получаем = . В частности, 2.
Теорема. Скалярное произведение векторов и выражается формулой .(2)
Следствие 1. Ненулевые векторыперпендикулярны тогда и только тогда, когда
Следствие 2. Косинус угла между ненулевыми векторамивыражается формулой: (5)
Для любых векторов и любого числа k справедливы соотношения:
(переместительный закон).
(распределительный закон).
(сочетательный закон).
Решение систем уравнений с помощью скалярного произведения векторов.
Если даны векторы: и , то: и .
Если , где , то это равносильно системе:
Системы линейных уравнений всегда можно решить, например, путем последовательного уменьшения числа неизвестных. Будем рассматривать системы нелинейных уравнений.
1). Системы двух уравнений с тремя переменными
Пример 1. Решить систему уравнений
Решение. Рассмотрим векторы: и . Тогда скалярное произведение: и , кроме того Учитывая, что и , получим: . Следовательно, , а с учетом условия получаем, что
Ответ:
Пример 2. Решить систему уравнений
Решение. Рассмотрим векторы и . Тогда: и
Исходная система равносильна следующей: откуда имеем: и, значит, . Подставляя значения в первое уравнение, получим:
Ответ: .
Пример 3. Решить систему уравнений
Решение. Рассмотрим векторы: и Тогда: и исходная система равносильна системе: С другой стороны, т.е. а это противоречит второму уравнению системы.
Ответ:нет решений.
2) Системы трех уравнений с тремя переменными
Пример 4. Решить систему уравнений
Решение.
Перепишем данную систему в виде:
Рассмотрим векторы: Тогда
Если , то и из третьего уравнения второй системы находим
Если же , то векторы коллинеарны и, следовательно,
Возможны два случая:
, тогда:
Значение находим из первого уравнения исходной системы: или
. Имеем:
Подставляя значения и во второе уравнение второй системы, находим значение , но проверкой убеждаемся, что полученные две тройки чисел не являются решениями системы. Итак, получены два решения системы.
Ответ:
Пример 5. Решить систему
Решение. Рассмотрим векторы .
Поскольку скалярное произведение векторов равно произведению их модулей, то векторы сонаправлены. Отсюда и
Перепишем уравнения данной системы, заменив и на , или
Из первого и второго уравнений . Если и то третье уравнение имеет решение. Однако при получаем . Поэтому данная система не имеет решений для положительных , и .
Ответ: нет решений
Решение систем уравнений с помощью понятия расстояния между точками, уравнений прямых, плоскости и сферы, понятия объема.
Пример 6. Решить систему уравнений
Решение. Уравнение – есть уравнение плоскости (рис. 1), пересекающей оси прямоугольной декартовой системы координат в точках А(3;0;0), B(0;3;0), C(0;0;3). Уравнение есть уравнении сферы с центром в точке О (0;0;0) и радиусом R, равным .
Вычислим расстояние от точки О до плоскости АВС. Для этого рассмотрим тетраэдр ОАВС.
Объем тетраэдра равен , где (D- центр треугольника АВС). Этот объем можно найти иначе:
Рис. 2
Приравняв и , получаем . Это означает, что расстояние от точки О до плоскости АВС равно радиусу сферы, а значит, плоскость касается сферы. Следовательно, точка касания является центром треугольника АВС. Поскольку - центр равностороннего треугольника АВС, где А(3;0;0), B(0;3;0), C(0;0;3), то Заменив и на в уравнениях системы, получаем .
Ответ:{(1;1;1)}.
Пример 7. Решить систему уравнений
Решение. Рассмотрим слагаемые левой части второго уравнения . Пусть это расстояние между точками и . - это расстояние между точками и . Найдем расстояние между точками и : . Итак, второе уравнение системы можно интерпретировать как равенство . Это дает нам право утверждать, что точка принадлежит отрезку , т.е. .
Составим уравнение прямой, проходящей через точки и :
Отсюда т.е. или
Запишем новую систему: Значит,
Ответ:{(6;2)}.
Решение систем с тремя неизвестными с помощью теоремы косинусов.
Пример 8. Из условий для положительных , не вычисляя их значений, указать значение выражения .
Решение. Первое и второе уравнения системы подсказывают нам теорему Пифагора, например, для треугольников с прямым углом и с прямым углом . Числа являются соответственно длинами катетов и гипотенузы треугольника , также есть соответственно длины катетов, и гипотенузы треугольника (рис. 3).
Третье уравнение системы разрешает утверждать, что число есть среднее пропорциональное чисел и по теореме, обратной теореме о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике, угол - прямой.
Рис. 3
Теперь рассмотрим выражение . .
Ответ: 12.
Пример 9. Для положительных значений из условий , не находя значения вычислите значение выражения
Решение. Запишем три условия задачи в виде системы уравнений
По теореме, обратной теореме Пифагора, числа являются длинами соответственно катетов и гипотенузы треугольника . Числа есть длины сторон треугольника с углом , равным 1350. Этот вывод можно сделать, используя теорему, обратную теореме косинусов. Аналогично, есть длины сторон треугольника с углом , равным 1350. На рис. 4 изображены треугольники. Поскольку , то в треугольнике . Теперь найдем площади треугольников , , , .
Видно, что значение выражения равно учетверенной площади треугольника . Итак,
Ответ:120.
Рис.4
Пример 10. Для положительных значений , не вычисляя их значения из системы уравнений определите величину
Решение. Систему заданных уравнений описывает полученная треугольная пирамида (Рис. 5).
Рис. 5
Так как площадь треугольника равна 6, то
Ответ: .
РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
Пример 11. Решить систему уравнений
Решение. Так как не является решением системы, то, разделив обе части первого уравнения системы на , получим систему, равносильную данной
Рассмотрим векторы .
Последнее равенство означает коллинеарность векторов и, значит, пропорциональность их координат:
откуда
Установим, какие из значений являются решениями уравнения. Проверкой убеждаемся, что только две тройки являются решениями данной системы.
Ответ: .
Пример 12. Имеет ли система уравнений
решения для положительных значений переменных ?
Решение. Допустим, что есть такая тройка положительных чисел , удовлетворяющая каждому уравнению данной системы. Тогда возможна ее геометрическая интерпретация (Рис. 6). Но такой треугольник не существует, так как не выполняется неравенство треугольника. Значит, система не имеет решений.
Ответ: нет решений.
Рис. 6
Пример 13. Решить систему уравнений
Решение. Нетрудно убедиться, что и положительны. Поскольку , то числа являются длинами соответственно катетов и гипотенузы треугольника с прямым углом (рис. 7).
Площадь этого треугольника равна 24 кв. ед., а его периметр 24 ед. Поэтому радиус окружности, вписанной в треугольник , равен 2 ед. Так как длина гипотенузы равна сумме длин катетов и без удвоенной длины радиуса вписанной в треугольник окружности, то
Из второго уравнения системы получаем Значит,
Ответ:(10;6) или (10;8).
Рис. 7
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В ходе исследования математической литературы можно обнаружить оригинальные решения различных систем уравнений с помощью геометрических свойств и понятий: свойств скалярного произведения векторов, теоремы косинусов, понятий расстояния между точками в прямоугольной системе координат, уравнений прямой , плоскости, сферы, свойств коллинеарных векторов и т.д. Следует отметить, что найденные системы уникальны, так как привязаны к определенному свойству или понятию. Однако, нельзя не отметить, что благодаря им, еще и еще раз убеждаемся в единстве науки «математика», где переход из одного раздела математики в другой иногда легко «сносит» условные границы, например, между алгеброй и геометрией. «Математика имеет свои неповторимые возможности для формирования правильных взглядов на научное познание, для выявления глубоких связей, существующих между деятельностью и мыслью». (Выгодский М.Я.)
Следует отметить, что решая системы «оригинально» с помощью «геометрии», можно научиться моделировать такие системы самостоятельно. Для этого потребуется лишь использовать математические умения.
Более, чем уверенно, можно утверждать, что такие навыки и умения пригодятся тем учащимся, кто выберет в дальнейшем профессии, связанные с глубоким и вдумчивым знанием математики, например, архитекторы, инженеры и т.д.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ
1. Геометрия: Учебник для 7-9 классов средней школы./ Л.С. Атанасян и др. - М.: Просвещение, 1994.
2. Методические журналы «Математика в школе», 2000-2006.
3. Геометрия: Учебник для 7-9 классов средней школы. /К. Крачилов и др. – Кишинев: МЭА, 1997.