VI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Различные способы приближенных вычислений
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
ВВЕДЕНИЕ
Для того чтобы успешно сдать экзамен по математике, важно пройти всю программу целиком, а не только «то, что пригодится на экзамене», повысить свою культуру вычислений, то есть минимизировать использование калькуляторов и учить формулы.
Чем ученики больше знают - тем меньше стресс и больше уверенность в себе и своих силах. Очень важна аксиома: Больше знаешь – меньше боишься, меньше боишься - больше веришь в победу, веришь в победу - значит победишь. Нехарактерная в прошлых годах ошибка на ОГЭ или ЕГЭ– неумение работать с иррациональными числовыми выражениями. В связи с этим для многих учащихся решение квадратного уравнения или неравенства с иррациональными коэффициентами представляло трудность (чаще всего решение не доводилось до конца).
Например, получив (после замены тригонометрической функции на ) квадратное уравнение многие учащиеся испытывали затруднения даже при вычислении дискриминанта (по причине иррациональности коэффициентов). Некоторые учащиеся, все-таки вычислив дискриминант и получив не провели преобразование Это сделало корни уравнения громоздкими громоздкими и в основном приводило решение в тупик.
Основываясь на анализе типичных ошибок в решениях задачи 15 участников ЕГЭ по математике в 2015 году среди причин их появления можно выделить: незнание основных формул корней простейших тригонометрических уравнений, табличных значений тригонометрических функций; незнание понятия множества значений тригонометрической функции, недостаточно развитые вычислительные навыки и навыки тождественных преобразований.
В практико-ориентированных заданиях базового уровня- задачах с физическим содержанием решение сводится к решению уравнения либо неравенства, в том числе показательных, логарифмических, тригонометрических уравнений и неравенств. Ответ в должен получиться в виде целого числа или конечной десятичной дроби.
В вычислениях или в оценивании пробных точек в неравенствах различного вида также часто возникают затруднения. То, что многие ребята плохо считают без калькулятора — не секрет. Но и те, которые считают хорошо, тоже допускают вычислительные ошибки. Причина видится не только в банальной невнимательности, но и в том, что порой учащимся не хватает умения и/или желания заниматься проверками полученные результатов.
Задание №17 в ЕГЭ по математике базового уровня можно выполнить качественно и быстро, если владеть способами/методами вычисления приближенных значений функции (Рис. 1, Рис. 2, Рис. 3):
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
Гипотеза: существуют способы приближенных вычислений математических выражений, содержащих элементарные функции аргументов, не входящих в различные справочные материалы.
Цель исследования: изучить способы приближенных вычислений.
Задачи исследования:
1. Постижение методов дифференциального исчисления, как качественно новый метод для решения практических задач.
2. Применять различные способы для вычисления приближенных значений квадратных корней.
3. Применить метод представления функций степенными рядами для приближенных вычислений.
4. Определить ряд примеров из жизнедеятельности человека, в которых сталкиваемся с необходимостью приближенного вычисления выражения.
5. Применять формулу Бернулли для приближенных вычислений.
ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ
Введем понятие дифференциала функции и выведем формулу для вычисления приближенных значений функции в заданной точке.
Пусть задана функция, дифференцируемая на области ее определения, а х0-внутренняя точка из области определения функции
Тогда, по определению производной функции,
Используя полученное соотношение и определение предела функции в точке, получим, что
Получаем, что
или
Отсюда следует, что последнее приращение функции в точке х0дифференцируемой функцииf в некоторой точкеx0состоит из двух слагаемых: первое из которых пропорционально приращению аргумента, а второе содержит множитель, являющийся бесконечно малым.
Определение. Линейная функция
называется дифференциалом функции f в точке х0 и обозначается df(x0):
П ример 1. Найдем дифференциал функции
Решение. Так как то Получаем, что
Если функция дифференцируема в любой точке промежутка области определения функции, то
Геометрический смысл дифференциала функции fв точке х0 можно изобразить при помощи рисунка (Рис. 4). Проводим касательную в точке A(x0,f(x0)) графика Gf. Имеем
Тогда
Рис. 4
Геометрический смысл дифференциала функции f в точке х0следующий:
представляет собой приращение «ординаты функции f», отвечающее приращению
ее аргумента, а представляет собой приращение «ординаты касательной» в точке A(x0,f(x0)) графика функции, отвечающее тому же приращению аргумента функции f.
Отсюда следует приближенное с оотношение:
и ли BD=DC.
Из общего вида уравнения касательной, проведенной к графику функции в точке А(х0,f(х0)), следует соотношение:
Тогда для достаточно малых имеем
Иными словами, в окрестности точки А(х0,f(х0)), на достаточно малом участке графика функции f, кривая практически сливается с отрезком касательной в точкеА графика функции f.
Таким образом, при вычислении приближенного значения функции в заданной точке может быть использована формула линеаризации
Из последней формулы выводятся следующие приближенные формулы эффективные для малых
В вычислении значения квадратного корня из числа могут помочь занятные закономерности в серии равенств.
Выделим из множества натуральных чисел (п) серии конечных последовательностей таких, что квадрат каждого члена последовательности оканчивается:
Одной цифрой b: - 1 серия.
Двумя цифрами , образующими квадратное число -2 серия.
Последовательности чисел серии 1.
Пусть п – натуральное число с последней цифрой 7,8,9 или0,1,2,3.
Его квадрат может быть выражен в виде или 0, . Тогда , где - квадратное число, ближайшее к числу сотен (с) в заданном :
Пример 2.
Пример 3.
Последовательности чисел серии 2.
Пусть или тогда - квадрат какого-либо однозначного числа. Для таких чисел, при всяком фиксированном справедливо равенство:
где - квадратное число, ближайшее к числу а, оканчивающееся на 25 для чиселп и на 00 для чисел :
Пример 4.
ближайшее к к числу а, оканчивающееся на 25,
значит
Пример5.
ближайшее к числу а, оканчивающееся на 00,
значит
Вычисление квадратного корня из действительного числа путём деления «уголком» также может помочь нахождению значения квадратного выражения из числа.
Пример 6. Вычислим Пример 7. Вычислим
Приближенное значение квадратных корней из целых чисел умели находить в Древнем Вавилоне около 4 тыс. лет назад. При этом вавилонские ученые пользовались следующим методом:
число а представляли в виде суммы
г де с мало по сравнению с b2, и полагали
П ример 8.
Пример 9.
Пример взят из вавилонской клинописной таблички. Для сравнения укажем более точное значение корня
Неравенство Бернулли принято называть теорему, которая формулируется в три этапа:
1)Если
Замечание. Равенство достигается тогда и только тогда, когда p=1 или h=0.
М етод тригонометрической подстановки позволяет определять значения тригонометрических функций аргументов, которые не входят в таблицы, размещенные в учебниках.
Следует отметить, что данный способ вычисления значения тригонометрической функции указанного аргумента является «искусственным», но полезным.
Рядом в математике называется выражение вида
с оставленное из чисел, , которые называются членами ряда. Таким образом, ряд есть «бесконечная сумма».
Идея представления функций степенными рядами принадлежит И. Ньютону, он нашел разложения многих функций, например,
где х – радианная мера угла, этот ряд сходится для любогох. Для данного разложения можно использовать приближенную формулу:
Правая часть которой -первые два члена разложения функции синус формулы Ньютона, дает значения sinxс ошибкой, меньшей 0,0005, при всех значениях аргумента из интервала от 0 до 0,59, что в градусной мере соответствует углам от 00до 320 38/. С той же точностью до 0,0005 можно считать при всех положительных значениях аргументов,меньших 6033/.
Р ЕШЕНИЕ НЕПОЛНОГО УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕЙ СТЕПЕНИ
Пример 10. Вычислить приближенно
Решение 1.
Решение 2. Применим неравенство Бернулли.
Пример 11. Вычислить приближенно
Решение 1.
Решение 2.
Применим неравенство Бернулли.
В математическом анализе величины углов измеряются только в радианах.
Пример 12. Вычислить приближенно
Решение.
Так как
то получим
В ычислим формуле Ньютона
.
Пример 13. Вычислить приближенно
Решение.
Т ак как
то получим
Пример 14. Вычислить приближенно
Решение.
Так как
то получим
Пример 15. Вычислить приближенно .
Решение.
Пример 16. Вычислить приближенно .
Решение.
Пример 17. Вычислить приближенно
Решение.
Пример приближенных вычислений при решении неравенства из учебного пособия Математика. Подготовка к ЕГЭ 2016. Профильный уровень под редакцией Д.А. Мальцев и др., Москва: Народное образование,2016, вариант 38, № 15:
Найдите все целые значения х, удовлетворяющие неравенству:
Решение.
,
Итак, получаем пересечение полученных решений трех неравенств системы:
Осталось отобрать целые решения.
Вычислим формулу линеаризации:
11=2+9,
Вычислим формулу линеаризации:
5=4+1.
Получили, что
Итак, в промежуток входят целые решения
Ответ:
Используя онлайн – калькулятор (ncor.ru. Помощь. Бесплатный научный калькулятор),получаем, что
Рис. 5
Рис. 6
Примеры из жизнедеятельности человека, в которых сталкиваемся с необходимостью приближенного вычисления выражения, это демонстрируют задания из тестов ЕГЭ профильного уровня.
№1. Мяч бросили под острым углом к горизонту. Время полета мяча, выраженная в секундах, определяется по формуле
№2. На рельсах стоит платформа. Скейтбордист прыгает на неё со скоростью под острым углом α к рельсам. От толчка платформа начинает ехать со скоростью
№3. Катер должен пересечь реку шириной так, чтобы причалить точно напротив места отправления. Скорость течения реки u. Время в пути, измеряемое в секундах, равно , где α—острый угол между осью катера и линией берега.
№4. Плоский замкнутый контур площадью S находится в магнитном поле, индукция которого равномерно возрастает. При этом согласно закону электромагнитной индукции Фарадея в контуре появляется ЭДС индукции, значение которой, выраженное в вольтах, определяется формулой , где α − острый угол между направлением магнитного поля и перпендикуляром к контуру, а=16∙10‐4 Тл/с − постоянная, S− площадь замкнутого контура, находящегося в магнитном поле.
№5. Груз массой т колеблется на пружине со скоростью, меняющейся по закону
, где t − время с момента начала колебаний, T– период колебаний. Кинетическая энергия E(в джоулях) груза вычисляется по формуле
№6. Максимальная высота подъёма тела, брошенного под углом к горизонту, вычисляется по формуле , где v(м/c) – начальная скорость тела, α – угол, под которым тело брошено к горизонту, g – ускорение свободного падения.
№7. Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону
, где t‐ время в секундах, амплитуда U0,-частота, -фаза.
№8. Трактор тащит сани с силой F, направленной под острым углом α к горизонту. Мощность (в киловаттах) трактора при скорости v равна N=Fvcosα .
№8. При движении ракеты её видимая для неподвижного наблюдателя длина, измеряемая в метрах, сокращается по закону , где l0 -длина покоящейся ракеты,с = 3∙105км/с – скорость света, а v – скорость ракеты (в км/с).
№9. На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет форму сферы, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле, где α =4,2–постоянная,r–радиус аппарата в метрах,ρ=1000кг/м3–плотность воды, g–ускорение свободного падения.
№11. Два тела, массой m, движутся с одинаковой скоростью ν углом 2α друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по формуле , где m—масса в килограммах,ν—скорость в м/с.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Проанализируем использованные способы приближенных вычислений (Таблица 1):
|
Способ приближенных вычислений |
Недостатки |
Преимущества |
|
Метод дифференциального исчисления. |
Может быть применен только в случае умения дифференцировать |
Вычисляются приближенные значения всех изучаемых в школьной программе функций |
|
Различные способы для вычисления приближенных значений квадратных корней. |
Неопределенность в выборе того или иного способа |
Применим в вычислениях с 8-11 класс, возможны проверки ответов |
|
Метод представления функций степенными рядами для приближенных вычислений. |
Может быть применен только в случае наличия знаний по представлению функций степенными рядами, следует учитывать ограничения на аргументы |
Значительно упрощает вычисления и допускает любую точность вычислений |
|
Формула Бернулли для приближенных вычислений. |
Применим не ко всем стандартным функциям |
Вычисления производятся быстро |
Таблица 1
Таким образом, метод дифференциального исчисления можно отнести к рациональному способу вычисления приближенных значений функций.
Приближенные вычисления часто применяются тогда, когда не хватает исходных данных для точных вычислений или когда точные вычисления не являются критичными.
В практической деятельности мы постоянно имеем дело с приближенными величинами, равенствами, формулами: строим по точкам графики, извлекаем корни из чисел, решаем уравнения и т. д. В теории приближенных вычислений, которая в наши дни быстро развивается, особое значение имеют методы, пригодные для решения широкого класса математических задач.
Нахождение приближенных значений функции приводит к необходимости уметь считать быстро и без калькулятора. Проверять ответы с точки зрения здравого смысла. Тренировать память и внимание.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И
ЛИТЕРАТУРЫ
Проект «10 основных ошибок, допускаемых в ЕГЭ- Режим доступа: урок.рф›library(дата обращения 06.08.17 в 15:12)
Акири И., ГаритВ. И др. Математика. Учебник для 11 класса – Кишинев.:PrutInternatijnal, 2004, 120-121 с.
Алгебра:Учебник для 7 класса / Ион Акири, Андрей Брайков, Ольга Шпунтенко – Chişinău:PrutInternaţional, 2011.
Научно-теоретический и методический журнал Математика в школе №3, 1988.
Нараленков М.И. Вступительный экзамен по математике. Алгебра. Как решать задачи: учебно-практическое пособие- М.: Экзамен, 2003. 346-351 с.
А.П. Савин. Энциклопедический словарь юного математика-М.: Педагогика, 1989. – 352 с.