VI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Применение теории паркета для доказательтва свойств и признаков параллелограмма и трапеции
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Тема «Четырёхугольники» является основой изучения геометрии. При её изучении рассматриваются важнейшие свойства трапеции, параллелограмма и его частных видов — прямоугольника, ромба, квадрата.
Однако при решении задач, прежде чем воспользоваться теорией — свойством, необходимо доказать, что данная фигура относится к определённому виду. Для этого даны теоремы — признаки.
Поэтому значение признаков указанных четырёхугольников необходимо.
Изучение признаков параллелограмма и трапеция — цель данной работы.
Теорема — признак формулируется как обратное утверждение свойству. Поэтому, группируя по два свойства параллелограмма (аналогично для трапеции) и составляя обратные теоремы, мы либо доказывали их, либо опровергали с помощью контр примера.
Однако таким образом мы не исчерпали всего множества признаков параллелограмма и трапеции. Это было нами осознанно при решении задачи: четырёхугольником произвольной формы заполнить всю плоскость без пропусков и перекрытий.
Использование теории паркета для решения вопроса — сколько всего признаков у параллелограмма и трапеции — позволили сформулировать тему исследования:
«Применение теории паркета для доказательства свойства и признаков трапеции и параллелограмма».
Работа состоит из трёх частей:
Первая — сочетая по два свойства сторон, углов и диагоналей трапеции и параллелограмма, мы составляли теоремы — признаки — утверждения, обратные свойства.
Вторая — паркеты из четырёхугольников. В ней решена задача постоения на плоскости паркеты из четырёхугольников, а также базовые задачи, знание которых поможет при решении более сложных.
Третья — мы применили паркет из четырёхугольников для доказательства свойств и признаков трапеции и параллелограмма, решение которых проще найти с помощью паркета.
Актуальность
Изучив данную тему, мы можем применить свойства паркетов для замощения площадей; используя признаки и свойства параллелограмма и трапеции, которые не изучаются в школьном курсе математики, чтобы решать задачи, которые включены в ЕГЭ и ОГЭ.
Гипотеза
Используя теорию паркетов возможно доказать свойства и признаки трапеции и параллелограмма.
Предмет исследования
Свойства параллелограмма и трапеции.
Объект исследования
Паркеты для доказательства свойств и признаков трапеции и параллелограмма.
Методы исследования
Анализ литературы.
Сравнение.
Исследование и доказательство.
Наблюдения.
Цель
С помощью теории паркета доказать свойства и признаки параллелограмма и трапеции.
Задачи проекта
Изучить свойства и признаки параллелограмма и трапеции.
Изучить свойства и признаки трапеции.
Изучить признаки частных видов трапеции.
Изучить паркеты из четырёхугольников.
Решить задачи с использованием паркетов.
I. Свойства и признаки параллелограмма и трапеции
1 Свойства и признаки параллелограмма
Сколько признаков у параллелограмма? Теорема — признак — это утверждение, обратное свойству. Известно, что теоремой, обратной к данной, называется такая теорема, условием которой служит заключение данной теоремы, а заключением — условие, данной теоремы. Выпишем свойства сторон, углов и диагоналей параллелограмма.
AB||CD
BC||AD
AB=CD
BC=AD
AO=OC
DO=OD
A=C
B=d
A+B=180º
B+C=180º
C+D=180º
D+A=180º
Одного свойства недостаточно для составления признака, а три — избыточно. Поэтому, сочетая по два свойства, составим обратные теоремы.
В ходе рассмотрения этих свойств мы пришли к следующим признакам параллелограмма:
Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
Если в четырёхугольнике две стороны параллельны и диагональ точкой пересечения делится пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
Если в четырёхугольнике две стороны параллельны и два противоположных угла равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
Если в четырёхугольнике две стороны параллельны и два смежных угла, принадлежащих одной из этих сторон, в сумме дают 180 градусов, то этот четырёхугольник — параллелограмм. Если в четырёхугольнике противоположные стороны соответственно равны, то это параллелограмм.
Если в четырёхугольнике две стороны равны и диагональ точкой пересечения делится пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
Если в четырёхугольнике две стороны равны и смежные углы, принадлежащие одной из этих сторон в сумме дают 180 градусов, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
Если в четырёхугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
Если в четырёхугольнике диагональ точкой пересечения делится пополам и смежные углы в сумме дают 180 градусов, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
Если в четырёхугольнике смежные углы одной стороны и другой не противоположной, в сумме дают 180 градусов, то этот четырёхугольник параллелограмм.
Существуют и другие, более «хитрые», свойства параллелограмма. Некоторые из них рассмотрены нами в третьей главе с использованием информации о паркете, а некоторые мы рассмотрим сейчас.
Если в выпуклом четырёхугольнике каждая из средних линий делит его площадь пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
Докажем её.
В четырёхугольнике ABCD М — середина AB, N — середина CD, S(AMNB) = S(MBCN) и S(AMND) = S (MBCN). Следовательно, S(MBC) = S(MAD). В этих треугольниках АМ и ВМ равны. Следовательно, высоты СН и DK равны. CH перпендикулярна AB, DK перпендикулярна АВ, следовательно, СН || DK. CHKD – прямоугольник, следовательно, АВ || СВ.
Аналогично ВС || AD. Следовательно, ABCD – параллелограмм.
Рассмотрим ещё одно очевидное свойство параллелограмма.
В параллелограмме сумма средних линий равна его полупериметру.
MN + PK = ½ PABCD
Составим обратную теорему:
если в выпуклом четырёхугольнике сумма длин средних линий равна его полупериметру, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
Предварительно докажем, что медиана треугольника, проведённая к стороне, меньше полусуммы двух других сторон, BM – медиана треугольника АВС.
Докажем, что ВМ < ½(АВ + ВС). Достроим данный четырёхугольник до параллелограмма — АВСВ(1). Рассмотрим треугольник АВВ(1) ВВ(1) < АВ + АВ(1) (неравенство треугольника).
2ВМ < АВ + ВС
ВМ < ½ (АВ + ВС).
Средняя линия четырёхугольника, что есть линия, соединяющая середины двух противоположных сторон, меньше либо равна полусумме двух противоположных сторон.
Если в четырёхугольнике ABCDAB не параллельна CD, то ВМ = 1/2(АВ + СО) (свойство средней линии трапеции). Если AB не параллельна CD, то АВ пересекается с CD в точке F. тогда в треугольнике BFCFM – медиана и FB < 1/2(BF + FC). В треугольнике AFDFN – медиана, следовательно, FM < 1/2(FA + PB).
FN + MN < 1/2(FB + AB + CD).
FN + MN < 1/2(FB + FC) + 1/2)AB + CD).
Следовательно, MN < 1/2(AB + CD)/
Докажем теперь признак параллелограмма.
Если в выпуклом четырёхугольнике сумма длин средних линий равно его полупериметру, то этот четырёхугольник параллелограмм.
MN ≤ ½ (AB + CD).
KH ≤ ½ (BC + AD).
Равенство в обоих случаях выполняется, когда AB || CD и BC || AD. Поусловию MN + KH = ½ (AB + BC + CD + AD) = ½ (AB + CD) + ½ (BC + AD). Следовательно, MN = ½ (AB + CD) и KH = ½ (BC + AD). Итак, AB || CD и BC || AD, следовательно, ABCD – параллелограмм.
Очевидно свойство параллелограмма: сумма расстояний от точки пересечения средних линий до вершин параллелограмма равна сумме длин его диагоналей. То есть AO + OB + OC + OD = AC + BD.
Обратная теорема. Если в выпуклом четырёхугольнике сумма расстояний от точки пересечения средних линий до вершин равна сумме длин диагоналей, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
Доказательство.
По условию AO + OB + OC + OD = AC + BD. AC ≤ AO + OC, BD ≤ BD + BO (неравенство треугольника). Следовательно, AC > BD = 0. Если диагонали BD, AC и средняя линия MN пересекаются в одной точке, то ABCD – трапеция (BC || AD). Аналогично доказывается, что AB || DC. Следовательно, ABCD – параллелограмм.
Известная теорема: Сумма квадратов длин диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов длин всех его сторон.
Для её доказательства сперва докажем соотношение, выполняемое для любых четырёх точек пространства.
Пусть A, B, C и D — произвольные четыре точки в пространстве, для которых мы хотим доказать соотношение
|AB²| + |CD²| - |BC²| - |AD²| = 2 AC* DB (1)
Произвольно зафиксируем некоторую точку О пространства и рассмотрим векторы OA, OB, OC, OD. Обозначим для краткости эти векторы так:
OA = A, OB = B, OC = C, OD = D.
По формуле вычитания векторов имеем OB – O = AB, то есть AB = B = A. Аналогично CD = D – C, BC = C – B и AD = D – A.
Вспомним, что скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины:
(AB) + AB * AB + |AB²| = |AB²|
Следовательно, левую часть соотношения (1) мы можем переписать так:
|AB²| + |CD²| - |BC²| - |AD²| = (AB²) + (CD²) – (BC²) – (AD²) = (B – A)² + (D – C)² – - (C – B)² – (D – a)² = (2(AD + BC – AB - CD) = 2(C – A) * (B – D) = 2AC * DB
Теперь докажем теорему. Напомним, что квадрат расстояния между двумя точками равен скалярному квадрату вектора, определяемого этими точками. Векторы AD и BC сонаправлены, следовательно, AD * BC = |AD| * |BC| = |AD|² , поскольку |AD| = |BC|. Подставляя найденное значение AB * BC в (1), получим:
|AC|² + |DB|² = |CD|² + |AB|² + 2|AD²| = |CD|² + |AB²| + |AD| ² + |CB|², и теорема доказана.
Прямая теорема доказана, теперь сформулируем и докажем признак параллелограмма.
Но сперва выразим MN² – квадрат расстояния между серединами диагоналей произвольного четырёхугольника.
DM = ½ (DA + DC), DN = ½ DB
MN = DN – DM = ½ (DB – DA – DC)
2MN = DB – DA – DC
4 MN² = DB² + DA² + DC² – 2DB * DA – 2DB * DC + 2DA * DC
2DB * DA = DB² + DA² – AB²
2DB * DC = DB² + DC² – BC²
2DA * DC = DA² + DC² – AC²
4MN² = DB² + DA² + DC² – DB² – DA² + AB² – DB² – DC² + BC² + DA² + DC² – -AC ² = AB² + BC² + DA² + DC² – AC² – DB²
MN² = ¼ (AB² + BC² + DA² + DC² – AC² – DB²)
Таким образом, мы получили формулу, выражающую квадрат расстояния между серединами диагоналей любого четырёхугольника через квадраты его сторон и диагоналей.
Если в четырёхугольнике сумма квадратов длин диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов длин всех его сторон, то этот четырёхугольник - параллелограмм. То есть если в четырёхугольнике стороны и диагонали таковы, что
AC² + DB² = BC² + AD ² + AB² + CD², то этот четырёхугольник — параллелограмм.
По выше доказанной формуле знаем, что в любом четырёхугольнике квадрат расстояния между серединами диагоналей (MN) находится по формуле:
MN² = ¼ (AB² + BC² + DA² + DC² – AC² – DB²).
Тогда получаем, что MN = 0, то есть середины диагоналей AC и DB совпадают. Значит, диагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам, значит четырёхугольник - параллелограмм.
2 Свойства и признаки трапеции
Попробуем найти признаки трапеции аналогичным способом.
BC || AB
AB не параллельна CD
∠A + ∠B =180º
∠C + ∠D = 180º
При рассмотрении известных свойств трапеции мы пришли к следующим признакам трапеции:
Если в четырёхугольнике две стороны не параллельны, сумма двух прилежащих к одной стороне углов равна 180º, то этот четырёхугольник — трапеция.
Вспомним ещё одно свойство средней линии трапеции.
Средняя линия трапеции параллельна противоположным сторонам и равна их полусумме. Докажем.
Пусть ABCD — данная трапеция. Проведём через вершину B и середину Q боковой стороны CD прямую. Она пересекает AD в некоторой точке E. Треугольники QDC и QED равны по второму признаку равенства треугольников.
Из равенства треугольников следует равенство сторон QB = QE, BC = ED. Значит, средняя линия PQ трапеции является средней линией треугольника ABE. По свойству средней линии треугольника PQ || AE и отрезок PQ = ½ AE =1/2 (AD + BC).
Сформулируем обратные утверждения к этим свойствам:
Если в четырёхугольнике средняя линия параллельна противоположным сторонам, то этот четырёхугольник — трапеция.
Если в четырёхугольнике средняя линия равна полусумме основания, то он является трапецией.
Докажем эти утверждения.
MN || AB, MN || CD, следовательно CB || AB.
Доказательство этого признака произведено с помощью теории паркета (см. первую задачу третьей части).
Рассмотрим ещё одно свойство трапеции: отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, проходит через точку пересечения диагоналей и через точку пересечения её боковых сторон.
Обратные утверждения также справедливы:
Если средняя лини четырёхугольника проходит через точку пересечения диагоналей, то этот четырёхугольник трапеция.
Если средняя линия четырёхугольника проходит через точку пересечения боковых сторон, то этот четырёхугольник — трапеция.
3 Признаки частных видов трапеции
Трапеция имеет два частных вида: равнобедренная и прямоугольная. Трапеция называется равнобедренной, если её боковые стороны равны. И она называется прямоугольной, если один из углов у неё прямой. Причём в равнобедренной трапеции равны диагонали и углы при основании.
Существуют обратные теоремы к данным свойствам
Если в трапеции углы при основании равны, то она равнобедренная.
Если в трапеции диагонали равны, то она равнобедренная.
II. Паркеты из четырёхугольников
Задача о построении паркеты из четырёхугольника
Цель данной части— четырёхугольником произвольной формы настлать паркет, то есть заполнить всю плоскость без пропусков и перекрытий. Решение этой задачи можно получить с помощью центральной симметрии.
О
тразим четырёхугольник ABCB симметрично относительно середины стороны AB. На рисунке исходный четырёхугольник помечен цифрой 1, а симметричный — цифрой 2. Теперь 2-й отразим симметрично относительно середины его стороны ВС, а полученный четырёхугольник 3 — относительно середины его стороны СВ. Четырёхугольники 1, 2, 3, 4 примыкают к их общей вершине углами А, В, С, D.А так как сумма углов четырёхугольника равно 360, то эти четыре четырёхугольника располагаются вокруг из общей вершины без пропусков и перекрытий. Такое же построение провести вокруг каждой вершины каждого из новыхчетырёхугольников, что и даёт паркет на всей плоскости. Закрасим четырёхугольники в два цвета. В раскрашенном таким образом паркете два четырёхугольника одного цвета получаются друг из друга параллельным переносом, а два четырёхугольника разных цветов — центральной симметрией. Заметим, что исходный четырёхугольник может быть и не выпуклым — паркет получится и в этом случае.
Примеры решения задач с использованием паркетов
Построенные паркеты позволяют решить ряд задач, связанных со свойствами четырёхугольников. Решение задач можно изложить без использования паркета; рассмотреть только те четырёхугольники, которые нужны для решения, а остальные «следы» паркета стереть. Однако найти решение проще с использованием паркета
З
адача 1.
Из бумаги изготовили два одинаковых выпуклых четырёхугольника. Один
разрезали по одной диагонали, второй — по другой. Докажите, что из четырёх полученных треугольников можно составить параллелограмм. Решение этой задачи становиться очевидным при рассмотрении паркета, изображённого на рис.
Задача 2.
Докажите, что паркет из четырёхугольников можно получить следующим образом: застилается паркет из центрально симметричных шестиугольников (произвольной формы, даже не выпуклых) так, что любые два шестиугольника получаются друг из друга параллельным переносом.
Решение.
На рисунке изображён центрально-симметричные шестиугольник ABCDEF. Другие шестиугольники получены из него параллельным переносом. Сумма внутренних углов шестиугольника, рассчитанная по формуле (n-2) * 180°, равна 720°. угол A = D, C = F, E = B, так как по условию задачи шестиугольник центрально-симметричен. Следовательно, сумма углов D, B, F, примыкающих к общей вершине, равна 360°, а значит, три этих шестиугольника расположены вокруг неё без пропусков и перекрытий. Далее, проводя параллельные диагонали, они образуют параллелограммы и не нарушают паркет
Свойства паркета из параллелограмма
Рассмотрим паркет из параллелограммов. Легко заметить, что каждую «плитку» такого паркета можно получить из любого другого путём параллельного переноса. Это связано с тем, что параллелограмм обладает центральной симметрией. А значит, если мы проведём средние линии — отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, а у параллелограмма ещё и проходящие через точки пересечения диагоналей параллелограммов, то они будут не только лежать на одной прямой, но будут ещё и параллельны его сторонам. Это даёт нам возможность гораздо эффективнее использовать паркет из параллелограммов. Для примера решим следующую задачу:
Д
оказать, что если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм — прямоугольник.
Доказательство:
На рисунке изображён фрагмент паркета из параллелограмма, ОСО'C'' – ромб, так как OC ǀǀ O'C' (свойство паркета из четырёхугольника) и OC = CO' = O'C' = C'O (по условию). Значит, пересекаясь, отрезки O'O и C'C образуют прямые углы. C'D' ǀǀ OO' (свойство паркета из параллелограммов), а значит, ∟D'C'B' – прямой => ABCD – прямоугольник.
III. Применение теории паркета для доказательства свойств и признаков параллелограмма и трапеции
Цель данной части - применить теорию паркета для доказательства свойств и признаков параллелограмма и трапеции.
Свойство
Если средняя линия, соединяющая середины двух противоположных сторон четырехугольника, равна полусумме двух других противоположных сторон, то этот четырехугольник-трапеция.
Доказательство
На рисунке стороны MN и NP –средние линии; отрезки AQ и MP равны и параллельны(поскольку AM и QP равны и параллельны). Если MN=1/3 (AB+CD), то есть AQ= MP=AB+BQ, то точка B принадлежит отрезку AQ. Следовательно, AB || CB, то есть ABCD-трапеция.
Заключение
Начатая нами работа по отыскиванию признаков параллелограмма и трапеции ещё не завершена. Для составления теорем — признаков необходимо знать все свойства параллелограмма и трапеции, многие из которых остались за рамками школьной программы. Не до конца использована нами теория паркета для доказательства свойств и признаков параллелограмма и трапеции. (Эта идея почерпнута нами из статьи «Паркеты из четырёхугольников», автор — доктор физико-математических наук В. Г. Болтянский.)
Во всём этом мы видим перспективы нашего исследования. Однако уже на данном этапе работы нам многое удалось.
Во — первых, нами рассмотрена задачи о «замощении» плоскости четырёхугольниками.
Во — вторых, пополнены «школьные» признаки параллелограмма и трапеции.
В — третьих, доказаны признаки параллелограмма и трапеции, обратные свойствам их средних линий.
В — четвёртых, открыт «новый способ» доказательства признаков параллелограмма и трапеции.
В ходе нашей работы мы научились:
Анализировать признаки и свойства геометрических фигур.
Доказывать теоремы-признаки трапеций и параллелограммов.
Оформлять научную работу.
Решать задачи модуля «Реальная математика».
Используемая литература
Атанасян, Л. С. «Геометрия» учебник для 7-9 кл. сред. шк.
Болтянский, В. Г. «Паркет из четырёхугольников».
Математика «Энциклопедия для детей»
Погорелов, А. В. «Геометрия» учебное пособие для 6 — 10 кл. сред. шк.
Сонин, А. С. «Постижение совершенства».
Приложение (№1)
Замощение плоскости
Плоскость легко замостить паркетом из правильных треугольников, квадратов или шестиугольников.
Можно замостить плоскость и плитками другой формы, например уголками.
Но не всякие плитки годятся: скажем, правильными пятиугольниками замостить плоскость нельзя. Причина простая: трёх углов недостаёт, чтобы составить 360º, но четыре уже не поместятся.
Оказывается, что четырёхугольники годятся любые, даже и невыпуклые. Приложим к жёлтому четырёхугольнику ещё один такой же, получится невыпуклый шестиугольник. У этого шестиугольника противоположные стороны параллельны и равны, и можно сложить шестиугольники в полоску. Верхний и нижний края этой полоски одинаковы, и такими полосками можно выложить всю плоскость.
Все эти замощения периодичны: одна и та же конфигурация плиток повторяется в них со сдвигом.
Заметим, что правильный треугольник и квадрат допускают также и непериодические замощения, а правильный шестиугольник — нет.
Отразив вершину Е правильного пятиугольника ABCDEотносительно диагонали AD, получим невыпуклый пятиугольник
копиями которого можно покрыть плоскость как периодически
так и непериодически.
Рассмотрим девятиугольник с равными сторонами и специально подобранными углами.
Из таких девятиугольников можно составить непериодическую спираль.
Продолжается она следующим образом. К очередной стороне предыдущего витка спирали прикладывается зелёными многоугольниками заполняется «перевёрнутыми» жёлтыми многоугольниками.
Есть и периодическое замощение плоскости теми же девятиугольниками.
Придумать многоугольник, который допускал бы только непериодические замощения, до сих пор никому не удалось.
Условия замещения плоскости
Плоскость можно разбить на одинаковые невыпуклые семиугольники.
Если плоскость разбита на выпуклые семиугольники, то среди них найдется либо сколь угодно маленький, либо сколь угодно большой.
Есть пример разбиения пространства на равные выпуклые 38-граники, но никто не знает, можно ли число 38 заменить большим.
Существует набор из трех выпуклых многоугольников, которым можно замостить плоскость бесконечным числом способов, но каждый из этих способов является непериодическим. При этом никто не знает, можно ли число 3 уменьшить – это открытая проблема. В пространстве задача решена- существует многогранник, которым можно замостить все пространство, но только непериодический.
Неизвестно, каким тетраэдрами можно замостить все пространство.
Есть 3 типа вы выпуклых шестиугольников и 14 типов выпуклых пятиугольников, которым можно замостить все плоскость.
Никто не знает, существует ли алгоритм, который получает на входе многоугольник, а на выходе говорит, можно ли этим многоугольником замостить всю плоскость.
Приложение (№2)
Владимир Григорьевич Болтянский родился 26 апреля 1925 года в Москве. Советский математик, доктор физико-математических наук, член-корреспондент Российской академии образования. Широко известен своими трудами по методике преподавания математики и популярными книгами по математике. Лауреат Ленинской премии 1962 года. Основные работы относятся к комбинаторной геометрии, топологии и теории оптимального управления.
Приложение (№3)
Шахи Зинда — памятник средневековой архитектуры в Самарканде, ансамбль мавзолеев самаркандской знати. Дошедший до нас комплекс состоит из одиннадцати мавзолеев, последовательно пристраивавшиеся друг к другу в течение XIV—XV веков. Тем не менее, в ходе раскопок были обнаружены остатки мавзолеев XI—XII веков. В 2001 году ансамбль мавзолеев Шахи Зинда вместе с другими древними постройками Самарканда включён в Список Всемирного наследия ЮНЕСКО. Ансамбль Шахи Зинда формировался на протяжении 9 веков и включает более двадцати сооружений. Старейшие сооружения ансамбля, от которых сохранились только основания и надгробия, датируются XI—XII веками. Шахи-Зинда — единственный археолого-архитектурный памятник, в котором, отразилась почти 25-вековая история.
Приложение (№4)
Картины из паркетов.
17