VI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

НОВАЯ МАГИЯ КВАДРАТОВ

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Поплевин  Н.Д. 1

---

1МБОУ СОШ №1 им. героя Советского Союза Ивана Сивко

Нирян  Л.В. 1

---

1МБОУ СОШ №1 им. героя Советского Союза Ивана Сивко

Работа в формате PDF

464.8 KB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение

Однажды, несколько лет назад, мои родители подарили мне головоломку, в которой путем передвижения пластинок с неправильным изображением сюжета из известного мультфильма, можно было собрать правильную картинку. Помню, мне удалось тогда довольно быстро собрать ее, и головоломка заняла свое почетное место в истории моих развивающих игрушек. И вот, совсем недавно, она снова попалась мне на глаза, но что делать с ней - мне не приходило на ум, пока я случайно не увидел на витрине одного из магазинов игрушек такую - же головоломку, но на ее квадратных передвигающихся пластинках уже были изображены цифры!

Мне стало интересно, а какое задание нужно выполнить в этом случае. Ну, не сложить же цифры по порядку! Оказалось, что здесь требовалось составить такую математическую картинку, которая, как оказалось, носит имя «Магический квадрат»! Я не поленился и узнал, в чем смысл этого квадрата и был приятно удивлен, что его разновидностей достаточно много.

Оказалось, самым распространенным и известным из них является квадрат, в котором используются также все цифры (кроме нуля) и расположены они так, что сумма цифр по горизонталям, вертикалям и даже по диагоналям одна и та же и она равна 15. Этот, достаточно известный факт, сейчас знает любой, увлекающийся математикой, школьник. Я же, как начинающий исследователь, обязан был сделать небольшой экскурс в историю вопроса. И, вот какие сведения я нашёл в справочной и учебно-познавательной литературе ([3]. Постников М.М., Магические квадраты, Издательская группа URSS, 2010г., [4]. Ru.wikipedia.org ).

Историческая справка

Итак, маги́ческий, или  волше́бный квадра́т — это квадратная таблица , заполненная   числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова. А вот, если в квадрате равны суммы чисел только в строках и столбцах, то он называется  полумагическим.  Нормальным называется магический квадрат, заполненный натуральными числами от   до (то есть без пропусков).

Нормальные магические квадраты существуют для всех порядков , за исключением , хотя случай   тривиален — квадрат состоит из одного числа. Минимальный нетривиальный случай показан слева, он имеет порядок 3.

Кроме того, сумма чисел в каждой строке, столбце и на диагоналях называется магической константой  M. Магическая константа нормального волшебного квадрата зависит только от  n  и определяется формулой:

М_n = n(n² + 1): 2

Первые значения магических констант приведены в следующей таблице:

Не правда ли, красиво?!

Ну, а далее, хочется сказать хоть несколько слов о самых известных с исторической точки зрения магических квадратах.

Квадрат Ло Шу (Китай)

И зображение Ло Шу в книге эпохи Мин. Единственный нормальный магический квадрат 3×3. Был известен ещё в Древнем Китае, первое изображение на черепаховом панцире датируется  2200 годом до нашей эры.

Квадрат, найденный в Кхаджурахо (Индия)

Самый ранний, уникальный магический квадрат обнаружен в надписи XI века в индийском городе Кхаджурахо. Это первый магический квадрат, относящийся к разновидности так называемых « дьявольских » квадратов — магических квадратов, в которых также с магической константой совпадают суммы чисел по ломаным диагоналям (диагонали, которые образуются при сворачивании квадрата в тор) в обоих направлениях.

Магический квадрат Ян Хуэя (Китай)

В 13 веке математик Ян Хуэй  занялся проблемой методов построения магических квадратов. Он рассматривал магические квадраты не только третьего, но и больших порядков. Некоторые из его квадратов были достаточно сложны, однако он всегда давал правила для их построения. Он сумел построить магический квадрат шестого порядка, причем последний оказался почти идеальным (в нем только две пары центрально противолежащих чисел не дают сумму 37)

К вадрат Альбрехта Дюрера

Магический квадрат 4×4, изображённый на гравюре  Альбрехта Дюрера  «Меланхолия», считается самым ранним в европейском искусстве.Два средних числа в нижнем ряду указывают дату создания гравюры (1514). Сумма чисел на любой горизонтали, вертикали и диагонали равна 34. Эта сумма также встречается во всех угловых квадратах 2×2, в центральном квадрате (10+11+6+7), в квадрате из угловых клеток (16+13+4+1), в квадратах, построенных «ходом коня» (2+8+9+15 и 3+5+12+14), в прямоугольниках, образованных парами средних клеток на противоположных сторонах (3+2+15+14 и 5+8+9+12).

Квадраты Генри Э. Дьюдени и Аллана У. Джонсона-мл.

Если в квадрат  n × n заносится не строго натуральный ряд чисел, то данный магический квадрат — нетрадиционный. Ниже представлены два таких магических квадрата, заполненные простыми числами (хотя, как я узнала, 1 в современной теории чисел не считается простым числом). Первый имеет порядок n=3  (квадрат Дьюдени).

Второй (размером 4x4) — квадрат Джонсона. Оба они были разработаны уже в начале двадцатого столетия.

И еще несколько подобных примеров:

Последний квадрат, построенный в 1913 г. Дж. Н.Манси, примечателен тем, что он составлен из 143 последовательных простых чисел за исключением двух моментов: привлечена единица, которая не является простым числом, и не использовано единственное чётное простое число 2. Кроме всех перечисленных, я нашла еще много информации о квадратах с другими дополнительными свойствами. Поэтому, ознакомившись со многими из существующих «братьев - квадратов», я понял, что и эта моя головоломка с цифрами должна занять свое историческое почетное место…. Если бы не случайность!

Однажды, в одном справочнике по математике я увидел огромный набор таблиц с числами. Помню, я был озадачен тем, сколько их там было. Оказалось, каждая из этих таблиц - это набор чисел, собранных по какому-то математическому правилу. Это теперь я знаю, что все числа подразделяются на группы, а некоторые из них могут быть участниками не одной, а сразу нескольких групп. Не знаю, как так получилось, но головоломка с цифрами и эти таблицы не давали мне покоя, и я все время размышлял, а как бы еще можно было применить мой «скучающий» квадратик.

Ход исследования

И первое, что пришло мне в голову, когда я разглядывал его в очередной раз, это вдруг понять, что три цифры в ряд в головоломке – это фактически трехзначное число! И поскольку первой в этой книге была таблица с квадратами двухзначных чисел, то я занялся ее изучением, а именно: смогу ли я найти три таких трехзначных числа, являющихся квадратами целых чисел, которые могут быть составлены из всех известных цифр (кроме нуля) и каждая цифра при этом используется только один раз. Для этого я выделил в этой таблице все трехзначные квадраты чисел. Их оказалось только 22.

Признаюсь, я потратил немало усилий, и были даже минуты отчаяния, но поиск все же дал результат! И все это случилось только после того, как я придумал, как я должен отбирать нужный вариант. Ниже я расскажу, как я сделал свое первое в жизни настоящее открытие. Итак, я вынес все эти 22 числа в таблицу и стаа совершать перебор, отбрасывая неподходящие варианты. Я сразу отбросил все числа с повторяющимися цифрами и нулями:

А затем к каждому числу стал подбирать такие, чтобы цифры не повторялись.

Понятно, что три первых числа (169, 196,961) я смело смог объединить вместе, так как они составлены из одних и тех же цифр. Для наглядности красными я выделил те цифры, которые повторялись в остальных числах. А вот зелеными я с удовольствием выделил те, которые я искал и нашёл! Значит, такой набор в таблице квадратов, представленных трехзначными числами, все-таки существует! И я, можно сказать, торжественно, поместил свои числа в новенький, по-своему, магический квадрат.

Нельзя описать, как я обрадовался этому, но жажда нового открытия заставила двигаться меня вперед, и я обратился к следующей таблице – таблице кубов чисел. А так как моя головоломка – это квадрат 3х3, то я снова выделил трехзначные кубы чисел. Однако из-за их малого количества я сразу понял, что, скорее всего, здесь меня не ждет ничего хорошего.

Ниже в таблице я указал эти числа и выделил предварительно число 343, в котором самом цифры повторяются.

Нетрудно заметить, что для каждого из четырех оставшихся чисел всегда есть повторяющаяся цифра во всех оставшихся трех. Это цифра 2.

Но я не отчаивался, так как следующая таблица - таблица простых чисел, имела в своем арсенале целых 143 трехзначных простых числа!

101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997

Далее я снова исключил все числа с нулем или повторяющимися цифрами (в верхней таблице они выделены красным цветом). И вот, что у меня осталось:

127 137 139 149 157 163 167 173 179 193 197 239 241 251 257 263 269 271 281 283 293 317 347 349 359 367 379 389 397 419 421 431 439 457 461 463 467 479 487 491 521 523 541 547 563 569 571 587 593 613 617 619 631 641 643 647 653 659 673 683 691 719 739 743 751 761 769 821 823 827 829 839 853 857 859 863 937 941 947 953 967 971 983

А затем оставшиеся числа (а таких осталось 83) я собрал по группам, в которых числа состоят из одинакового набора цифр (вертикальная колонка, всего 41 группа). Для наглядности результаты поиска подходящих чисел я решил поместить в таблицу следующим образом:

В итоге, среди 35 групп с положительным результатом я насчитал 66 комплектов нужных мне наборов чисел, которые я снова упорядочил в таблице.

А далее мне стало интересно, сколько же всевозможных полей я смогу составить из этих наборов ( не обращая внимания на порядок их перечисления сверху вниз). И я решил пронаблюдать, как происходит этот подсчет на примере первых двух (вертикальных) колонок. Вот что у меня получилось:

Таким образом, получилось четыре поля. И теперь такую же табличку я составил для второй колонки:

И в общей сложности вторая колонка содержит в себе 24 поля. И мне теперь понятен механизм подсчета возможных полей: в первом случае 2*2*1 = 4, а во втором 4*1*2 + 4*2*1 +4*2*1 = 24

Теперь не оставалось ничего другого, как выполнить общий подсчет для всех колонок.

Однако, учитывая, что во всех этих вариантах набор из трех чисел повторился трижды, делаем вывод, что всего можно набрать ровно 136 полей с трехзначными простыми числами (без учета их возможной перестановки местами). Ниже я представил все эти варианты. Итак, вот они, все эти 136 квадратов, в которых каждая цифра, кроме нуля, встречается один раз, при этом все эти числа (по горизонтали) подобраны по особенному математическому правилу: все они – простые числа!