НОВАЯ МАГИЯ КВАДРАТОВ

VI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

НОВАЯ МАГИЯ КВАДРАТОВ

Поплевин  Н.Д. 1
1МБОУ СОШ №1 им. героя Советского Союза Ивана Сивко
Нирян  Л.В. 1
1МБОУ СОШ №1 им. героя Советского Союза Ивана Сивко
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
 

Введение

Однажды, несколько лет назад, мои родители подарили мне головоломку, в которой путем передвижения пластинок с неправильным изображением сюжета из известного мультфильма, можно было собрать правильную картинку. Помню, мне удалось тогда довольно быстро собрать ее, и головоломка заняла свое почетное место в истории моих развивающих игрушек. И вот, совсем недавно, она снова попалась мне на глаза, но что делать с ней - мне не приходило на ум, пока я случайно не увидел на витрине одного из магазинов игрушек такую - же головоломку, но на ее квадратных передвигающихся пластинках уже были изображены цифры!

Мне стало интересно, а какое задание нужно выполнить в этом случае. Ну, не сложить же цифры по порядку! Оказалось, что здесь требовалось составить такую математическую картинку, которая, как оказалось, носит имя «Магический квадрат»! Я не поленился и узнал, в чем смысл этого квадрата и был приятно удивлен, что его разновидностей достаточно много.

Оказалось, самым распространенным и известным из них является квадрат, в котором используются также все цифры (кроме нуля) и расположены они так, что сумма цифр по горизонталям, вертикалям и даже по диагоналям одна и та же и она равна 15. Этот, достаточно известный факт, сейчас знает любой, увлекающийся математикой, школьник. Я же, как начинающий исследователь, обязан был сделать небольшой экскурс в историю вопроса. И, вот какие сведения я нашёл в справочной и учебно-познавательной литературе ([3]. Постников М.М., Магические квадраты, Издательская группа URSS, 2010г., [4]. Ru.wikipedia.org ).

Историческая справка

Итак, маги́ческий, или  волше́бный квадра́т — это квадратная таблица , заполненная   числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова. А вот, если в квадрате равны суммы чисел только в строках и столбцах, то он называется  полумагическим.  Нормальным называется магический квадрат, заполненный натуральными числами от   до (то есть без пропусков).

   

2

7

6

 

15

   

9

5

1

 

15

   

4

3

8

 

15

             

15

 

15

15

15

 

15

Нормальные магические квадраты существуют для всех порядков , за исключением , хотя случай   тривиален — квадрат состоит из одного числа. Минимальный нетривиальный случай показан слева, он имеет порядок 3.

Кроме того, сумма чисел в каждой строке, столбце и на диагоналях называется магической константой  M. Магическая константа нормального волшебного квадрата зависит только от  n  и определяется формулой:

Мn = n(n2 + 1): 2

Первые значения магических констант приведены в следующей таблице:

Порядок n

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

M (n)

15

34

65

111

175

260

369

505

671

870

1105

Не правда ли, красиво?!

Ну, а далее, хочется сказать хоть несколько слов о самых известных с исторической точки зрения магических квадратах.

Квадрат Ло Шу (Китай)

4

9

2

3

5

7

8

1

6

И зображение Ло Шу в книге эпохи Мин. Единственный нормальный магический квадрат 3×3. Был известен ещё в Древнем Китае, первое изображение на черепаховом панцире датируется  2200 годом до нашей эры.

7

12

1

14

2

13

8

11

16

3

10

5

9

6

15

4

Квадрат, найденный в Кхаджурахо (Индия)

1

8

13

12

14

11

2

7

4

5

16

9

15

10

3

6

Самый ранний, уникальный магический квадрат обнаружен в надписи XI века в индийском городе Кхаджурахо. Это первый магический квадрат, относящийся к разновидности так называемых « дьявольских » квадратов — магических квадратов, в которых также с магической константой совпадают суммы чисел по ломаным диагоналям (диагонали, которые образуются при сворачивании квадрата в тор) в обоих направлениях.

Магический квадрат Ян Хуэя (Китай)

27

29

2

4

13

36

9

11

20

22

31

18

32

25

7

3

21

23

14

16

34

30

12

5

28

6

15

17

26

19

1

24

33

35

8

10

В 13 веке математик Ян Хуэй  занялся проблемой методов построения магических квадратов. Он рассматривал магические квадраты не только третьего, но и больших порядков. Некоторые из его квадратов были достаточно сложны, однако он всегда давал правила для их построения. Он сумел построить магический квадрат шестого порядка, причем последний оказался почти идеальным (в нем только две пары центрально противолежащих чисел не дают сумму 37)

К вадрат Альбрехта Дюрера

16

3

2

13

5

10

11

8

9

6

7

12

4

15

14

1

Магический квадрат 4×4, изображённый на гравюре  Альбрехта Дюрера  «Меланхолия», считается самым ранним в европейском искусстве.Два средних числа в нижнем ряду указывают дату создания гравюры (1514). Сумма чисел на любой горизонтали, вертикали и диагонали равна 34. Эта сумма также встречается во всех угловых квадратах 2×2, в центральном квадрате (10+11+6+7), в квадрате из угловых клеток (16+13+4+1), в квадратах, построенных «ходом коня» (2+8+9+15 и 3+5+12+14), в прямоугольниках, образованных парами средних клеток на противоположных сторонах (3+2+15+14 и 5+8+9+12).

Квадраты Генри Э. Дьюдени и Аллана У. Джонсона-мл.

17

89

71

113

59

5

47

29

101

Если в квадрат  n × n заносится не строго натуральный ряд чисел, то данный магический квадрат — нетрадиционный. Ниже представлены два таких магических квадрата, заполненные простыми числами (хотя, как я узнала, 1 в современной теории чисел не считается простым числом). Первый имеет порядок n=3  (квадрат Дьюдени).

3

61

19

37

43

31

5

41

7

11

73

29

67

17

23

13

Второй (размером 4x4) — квадрат Джонсона. Оба они были разработаны уже в начале двадцатого столетия.

67

1

43

13

37

61

1

73

7

И еще несколько подобных примеров:

1

823

821

809

811

797

19

29

313

31

23

37

9

83

211

79

641

631

619

709

617

53

43

739

97

227

103

107

193

557

719

727

607

139

757

281

223

653

499

197

109

113

563

479

173

761

587

157

367

379

521

383

241

467

257

263

269

167

601

599

349

359

353

647

389

331

317

311

409

307

293

449

503

523

233

337

547

397

421

17

401

271

431

433

229

491

373

487

461

251

443

463

137

439

457

283

509

199

73

541

347

191

181

569

577

571

163

593

661

101

643

239

691

701

127

131

179

613

277

151

659

673

677

683

71

67

61

47

59

743

733

41

827

3

7

5

13

11

787

769

773

419

149

751

 

Последний квадрат, построенный в 1913 г. Дж. Н.Манси, примечателен тем, что он составлен из 143 последовательных простых чисел за исключением двух моментов: привлечена единица, которая не является простым числом, и не использовано единственное чётное простое число 2. Кроме всех перечисленных, я нашла еще много информации о квадратах с другими дополнительными свойствами. Поэтому, ознакомившись со многими из существующих «братьев - квадратов», я понял, что и эта моя головоломка с цифрами должна занять свое историческое почетное место…. Если бы не случайность!

Однажды, в одном справочнике по математике я увидел огромный набор таблиц с числами. Помню, я был озадачен тем, сколько их там было. Оказалось, каждая из этих таблиц - это набор чисел, собранных по какому-то математическому правилу. Это теперь я знаю, что все числа подразделяются на группы, а некоторые из них могут быть участниками не одной, а сразу нескольких групп. Не знаю, как так получилось, но головоломка с цифрами и эти таблицы не давали мне покоя, и я все время размышлял, а как бы еще можно было применить мой «скучающий» квадратик.

Ход исследования

И первое, что пришло мне в голову, когда я разглядывал его в очередной раз, это вдруг понять, что три цифры в ряд в головоломке – это фактически трехзначное число! И поскольку первой в этой книге была таблица с квадратами двухзначных чисел, то я занялся ее изучением, а именно: смогу ли я найти три таких трехзначных числа, являющихся квадратами целых чисел, которые могут быть составлены из всех известных цифр (кроме нуля) и каждая цифра при этом используется только один раз. Для этого я выделил в этой таблице все трехзначные квадраты чисел. Их оказалось только 22.

x2

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

0

1

4

9

16

25

36

49

64

81

1

100

121

144

169

196

225

256

289

324

361

2

400

441

484

529

576

625

676

729

784

841

3

900

961

1024

1089

1156

1225

1296

1369

1444

1521

Признаюсь, я потратил немало усилий, и были даже минуты отчаяния, но поиск все же дал результат! И все это случилось только после того, как я придумал, как я должен отбирать нужный вариант. Ниже я расскажу, как я сделал свое первое в жизни настоящее открытие. Итак, я вынес все эти 22 числа в таблицу и стаа совершать перебор, отбрасывая неподходящие варианты. Я сразу отбросил все числа с повторяющимися цифрами и нулями:

Все трехзначные квадраты чисел (22)

100

121

144

169

196

225

256

289

324

361

400

441

484

529

576

625

676

729

784

841

900

961

Трехзначные квадраты чисел без повторяющихся цифр и нулей (13)

169

196

256

289

324

361

529

576

625

729

784

841

961

А затем к каждому числу стал подбирать такие, чтобы цифры не повторялись.

169

324

784

         

196

961

289

361

576

         

324

169

196

576

961

     

361

289

529

729

784

     

529

361

784

841

       

576

289

324

841

       

625

784

841

         

729

361

841

         

784

169

196

256

361

529

625

961

841

256

529

576

625

729

   

256

784

841

         

Понятно, что три первых числа (169, 196,961) я смело смог объединить вместе, так как они составлены из одних и тех же цифр. Для наглядности красными я выделил те цифры, которые повторялись в остальных числах. А вот зелеными я с удовольствием выделил те, которые я искал и нашёл! Значит, такой набор в таблице квадратов, представленных трехзначными числами, все-таки существует! И я, можно сказать, торжественно, поместил свои числа в новенький, по-своему, магический квадрат.

3

6

1

5

2

9

7

8

4

Нельзя описать, как я обрадовался этому, но жажда нового открытия заставила двигаться меня вперед, и я обратился к следующей таблице – таблице кубов чисел. А так как моя головоломка – это квадрат 3х3, то я снова выделил трехзначные кубы чисел. Однако из-за их малого количества я сразу понял, что, скорее всего, здесь меня не ждет ничего хорошего.

125

216

343

512

729

Ниже в таблице я указал эти числа и выделил предварительно число 343, в котором самом цифры повторяются.

Нетрудно заметить, что для каждого из четырех оставшихся чисел всегда есть повторяющаяся цифра во всех оставшихся трех. Это цифра 2.

Но я не отчаивался, так как следующая таблица - таблица простых чисел, имела в своем арсенале целых 143 трехзначных простых числа!

101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997

Далее я снова исключил все числа с нулем или повторяющимися цифрами (в верхней таблице они выделены красным цветом). И вот, что у меня осталось:

127 137 139 149 157 163 167 173 179 193 197 239 241 251 257 263 269 271 281 283 293 317 347 349 359 367 379 389 397 419 421 431 439 457 461 463 467 479 487 491 521 523 541 547 563 569 571 587 593 613 617 619 631 641 643 647 653 659 673 683 691 719 739 743 751 761 769 821 823 827 829 839 853 857 859 863 937 941 947 953 967 971 983

А затем оставшиеся числа (а таких осталось 83) я собрал по группам, в которых числа состоят из одинакового набора цифр (вертикальная колонка, всего 41 группа). Для наглядности результаты поиска подходящих чисел я решил поместить в таблицу следующим образом:

127

271

349

439

359

593

953

389

839

983

463

643

563

653

569

659

683

863

853

859

       

137

173

317

269

569

659

829

859

                 

139

193

257

457

547

467

647

487

587

857

827

             

149

419

491

941

257

263

283

823

367

673

523

563

653

587

857

683

863

827

853

     

157

571

751

239

293

263

269

283

823

349

439

389

839

983

463

643

683

863

829

       

163

613

631

257

457

547

479

947

487

587

857

827

829

859

         

167

617

761

239

293

283

823

349

439

359

593

953

389

839

983

523

829

853

859

       

179

197

719

971

263

283

823

463

643

523

563

653

683

863

853

           

239

293

157

571

751

167

617

761

457

547

461

641

467

647

487

541

587

857

         

241

421

359

539

953

367

673

379

397

739

937

389

839

983

563

653

569

659

587

857

683

863

769

967

853

859

   

251

521

347

743

349

439

367

673

379

397

739

937

389

839

983

463

643

467

647

479

947

487

683

863

769

967

   

257

139

193

149

419

491

941

163

613

631

349

439

389

839

983

431

461

641

463

643

619

691

683

863

     

263

149

419

491

941

157

571

751

179

197

719

971

457

547

479

947

487

541

587

857

859

       

269

137

173

317

157

571

751

347

743

431

457

547

487

541

587

857

853

       

281

821

347

743

349

439

359

593

953

367

673

379

397

739

937

457

547

463

643

467

647

479

947

563

653

569

659

769

967

 

283

823

149

419

491

941

157

571

751

167

617

761

179

197

719

971

457

547

461

641

467

647

479

947

541

569

659

619

691

769

967

 

347

743

251

521

269

281

821

569

659

619

691

829

859

           

349

439

127

271

157

571

751

167

617

761

251

521

257

281

821

587

857

827

         

359

593

953

127

271

167

617

761

241

421

281

821

461

641

467

647

487

827

         

367

673

149

419

491

941

241

421

251

521

281

821

541

829

859

           

379

397

739

937

241

421

251

521

281

821

461

641

541

               

389

839

983

127

271

157

571

751

167

617

761

241

421

251

521

257

457

547

461

641

467

647

541

     

431

257

269

569

659

587

857

769

967

827

829

859

         

457

547

139

193

163

613

631

239

293

263

269

281

821

283

823

389

839

983

619

691

683

863

829

   

461

641

239

293

257

283

823

359

593

953

379

397

739

937

389

839

983

523

587

857

827

829

853

859

 

463

643

127

271

157

571

751

179

197

719

971

251

521

257

281

821

587

857

827

829

859

     

467

647

139

193

239

293

251

521

281

821

283

823

359

593

953

389

839

983

523

829

853

859

   

479

947

163

613

631

251

521

263

281

821

283

823

523

563

653

683

863

853

       

487

139

193

163

613

631

239

293

251

521

263

269

359

593

953

523

563

653

569

659

619

691

   

523

149

419

491

941

167

617

761

179

197

719

971

461

641

467

647

479

947

487

619

691

769

967

       

541

239

293

263

269

283

823

367

673

379

397

739

937

389

839

983

683

863

769

967

827

829

   

563

653

127

271

149

419

491

941

179

197

719

971

241

421

281

821

479

947

487

827

829

       

569

659

127

271

137

173

317

241

421

281

821

283

823

347

743

431

487

827

       

587

857

139

193

149

419

491

941

163

613

631

239

293

241

421

263

269

349

439

431

461

641

463

643

619

691

 

619

691

257

283

823

347

743

457

547

487

523

587

857

827

853

       

683

863

127

271

149

419

491

941

157

571

751

179

197

719

971

241

421

251

521

257

457

547

479

947

541

     

769

967

241

421

251

521

281

821

283

823

431

523

541

853

         

827

139

193

149

419

491

941

163

613

631

349

439

359

593

953

431

461

641

463

643

541

563

653

569

659

619

691

 

829

137

173

317

157

571

751

163

613

631

167

617

761

347

743

367

673

431

457

547

461

641

463

643

467

647

541

563

653

853

127

271

149

419

491

941

167

617

761

179

197

719

971

241

421

269

461

641

467

647

479

947

619

691

769

967

   

859

127

271

137

173

317

163

613

631

167

617

761

241

421

263

347

743

367

673

431

461

641

463

643

467

647

 

В итоге, среди 35 групп с положительным результатом я насчитал 66 комплектов нужных мне наборов чисел, которые я снова упорядочил в таблице.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

127

271

149

419

491

941

157

571

751

163

613

631

239

293

241

421

251

521

257

263

269

281

821

283

823

347

743

359

593

953

367

673

389

839

983

431

457

547

463

643

683

863

463

643

457

547

461

641

367

673

389

839

983

149

419

491

941

149

419

491

941

431

347

743

457

547

281

821

281

821

241

421

251

521

269

163

613

631

859

257

829

829

587

857

859

467

647

683

863

587

857

587

857

569

659

619

691

569

659

467

647

859

467

647

587

857

829

 

587

857

     

769

967

479

947

389

839

983

   

359

593

953

541

 

461

641

541

257

569

659

283

823

 

263

     

853

683

863

461

641

   

467

647

769

967

 

827

829

461

641

827

619

691

 

563

653

               

479

947

             
 

827

               

563

653

             

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

461

641

463

643

467

647

479

947

487

523

541

563

653

569

659

587

857

619

691

683

863

769

967

827

829

853

859

239

293

127

271

251

521

251

521

523

487

283

823

149

419

491

941

281

821

149

419

491

941

283

823

149

419

491

941

241

421

149

419

491

941

157

571

751

241

421

127

271

587

857

859

389

839

983

683

863

619

691

619

691

769

967

827

347

743

263

457

547

257

853

563

653

463

643

769

967

463

643

389

839

983

157

571

751

359

593

953

281

821

   

367

673

281

821

431

239

293

487

251

521

283

823

359

539

953

163

613

631

 

241

421

257

829

281

821

563

653

   

829

479

947

827

461

523

479

947

541

461

457

547

 

367

763

359

539

953

               

269

     

569

659

367

673

   

827

               

431

     

431

541

   

А далее мне стало интересно, сколько же всевозможных полей я смогу составить из этих наборов ( не обращая внимания на порядок их перечисления сверху вниз). И я решил пронаблюдать, как происходит этот подсчет на примере первых двух (вертикальных) колонок. Вот что у меня получилось:

127

127

271

271

463

643

463

643

859

859

859

859

Таким образом, получилось четыре поля. И теперь такую же табличку я составил для второй колонки:

149

419

491

941

 

149

419

491

941

 

149

419

491

941

257

257

257

257

263

263

263

263

827

827

827

827

683

683

683

683

587

587

587

587

563

563

563

563

149

419

491

941

149

419

491

941

149

419

491

941

257

257

257

257

263

263

263

263

827

827

827

827

863

863

863

863

857

857

857

857

653

653

653

653

И в общей сложности вторая колонка содержит в себе 24 поля. И мне теперь понятен механизм подсчета возможных полей: в первом случае 2*2*1 = 4, а во втором 4*1*2 + 4*2*1 +4*2*1 = 24

Теперь не оставалось ничего другого, как выполнить общий подсчет для всех колонок.

1

2*2*1

4

 

19

2*2*2 + 2*1*3 + 2*1*3

20

2

4*1*2 + 4*2*1 + 4*2*1

24

20

2*2*1 + 2*3*1

10

3

3*2*1

6

21

2*2*3 + 2*2*3

24

4

3*2*1

6

22

2*2*2 + 2*2*2

16

5

2*2*2

8

23

1*1*2

2

6

2*2*1 + 2*2*1

8

24

1*1*2

2

7

2*3*2 + 2*2*2

20

25

1*2*2 + 1*2*1

6

8

1*4*2 + 1*3*2

14

26

2*4*1 + 2*2*2

16

9

1*4*2

8

27

2*2*2 + 2*1*1

10

10

1*1*2

2

28

2*4*1 + 2*2*2 + 2*1*1

18

11

2*2*2 + 2*3*2 + 2*2*2

28

29

2*2*2 + 2*1*1

10

12

2*2*2 + 2*1*2

12

30

2*4*1 + 2*2*2

16

13

2*2*2

8

31

2*2*1 + 2*2*1

8

14

3*2*2 + 3*2*1

18

32

1*4*2 + 1*3*2 + 1*1*2

16

15

2*2*1 + 2*1*1

6

33

1*3*2 + 1*3*2 + 1*2*1

14

16

3*2*2 + 3*1*2

18

34

1*2*2

4

17

1*1*2 + 1*2*1

4

35

1*2*2 + 1*2*2

8

18

2*3*1 + 2*2*2

14

итого

 

408

Однако, учитывая, что во всех этих вариантах набор из трех чисел повторился трижды, делаем вывод, что всего можно набрать ровно 136 полей с трехзначными простыми числами (без учета их возможной перестановки местами). Ниже я представил все эти варианты. Итак, вот они, все эти 136 квадратов, в которых каждая цифра, кроме нуля, встречается один раз, при этом все эти числа (по горизонтали) подобраны по особенному математическому правилу: все они – простые числа!

1

2

7

 

1

2

7

 

2

7

1

 

2

7

1

 

1

4

9

 

1

4

9

 

4

1

9

 

4

1

9

 

9

4

1

 

9

4

1

 

4

9

1

4

6

3

6

4

3

4

6

3

6

4

3

2

5

7

2

5

7

2

5

7

2

5

7

2

5

7

2

5

7

2

5

7

8

5

9

8

5

9

8

5

9

8

5

9

6

8

3

8

6

3

6

8

3

8

6

3

6

8

3

8

6

3

6

8

3

                     

4

9

1

1

4

9

1

4

9

4

1

9

4

1

9

9

4

1

9

4

1

4

9

1

4

9

1

4

9

1

1

4

9

2

5

7

2

6

3

2

6

3

2

6

3

2

6

3

2

6

3

2

6

3

6

5

3

2

6

3

2

6

3

5

6

3

8

6

3

8

5

7

5

8

7

8

5

7

5

8

7

8

5

7

5

8

7

8

2

7

8

5

7

5

8

7

8

2

7

                     

1

4

9

4

1

9

4

1

9

9

4

1

9

4

1

4

9

1

7

5

1

1

5

7

1

5

7

5

7

1

5

7

1

6

5

3

5

6

3

6

5

3

5

6

3

6

5

3

5

6

3

4

6

3

4

6

3

6

4

3

4

6

3

6

4

3

8

2

7

8

2

7

8

2

7

8

2

7

8

2

7

8

2

7

8

2

9

8

2

9

8

2

9

8

2

9

8

2

9

                     

7

5

1

1

6

3

1

6

3

6

3

1

6

1

3

6

3

1

6

1

3

2

3

9

2

3

9

2

9

3

2

9

3

6

4

3

4

5

7

5

4

7

4

5

7

4

5

7

5

4

7

4

5

7

6

4

1

6

4

1

4

6

1

6

4

1

8

2

9

8

2

9

8

2

9

8

2

9

8

2

9

8

2

9

8

2

9

5

8

7

8

5

7

5

8

7

5

8

7

                     

2

3

9

2

3

9

2

9

3

2

9

3

4

2

1

2

4

1

2

4

1

4

2

1

2

4

1

2

4

1

4

2

1

4

6

1

4

6

1

4

6

1

6

4

1

6

7

3

7

6

9

8

5

3

8

5

3

3

6

7

6

7

3

3

6

7

5

8

7

8

5

7

8

5

7

8

5

7

8

5

9

8

5

3

9

6

7

7

6

9

8

5

9

8

5

9

8

5

9

                     

4

2

1

2

5

1

2

5

1

2

5

1

2

5

1

2

5

1

2

5

1

2

5

1

2

5

1

2

5

1

2

5

1

8

5

3

3

8

9

8

3

9

4

6

7

3

8

9

8

3

9

6

4

7

4

7

9

4

7

9

6

8

3

8

6

3

9

6

7

4

6

7

4

6

7

9

8

3

6

4

7

6

4

7

9

8

3

6

8

3

8

6

3

9

4

7

9

4

7

                     

5

2

1

5

2

1

5

2

1

5

2

1

5

2

1

5

2

1

5

2

1

5

2

1

5

2

1

5

2

1

2

5

7

3

8

9

8

3

9

4

6

7

3

8

9

6

4

7

6

4

7

4

7

9

4

7

9

6

8

3

8

6

3

3

8

9

4

6

7

4

6

7

9

8

3

6

4

7

8

3

9

9

8

3

6

8

3

8

6

3

9

4

7

9

4

7

4

6

1

                     

2

5

7

2

5

7

2

5

7

2

5

7

2

5

7

2

6

9

2

6

9

2

8

1

2

8

1

2

8

1

2

8

1

8

3

9

4

6

1

3

8

9

6

4

1

6

4

1

4

3

1

4

3

1

3

4

7

3

4

7

7

4

3

6

5

9

4

6

1

9

8

3

6

4

1

8

3

9

9

8

3

5

8

7

8

5

7

5

6

9

6

5

9

5

6

9

7

4

3

                     

8

2

1

8

2

1

8

2

1

8

2

1

2

8

1

2

8

1

2

8

1

2

8

1

2

8

1

2

8

1

8

2

1

3

4

7

3

4

7

5

6

9

6

5

9

3

5

9

4

6

7

4

6

7

3

5

9

6

4

7

5

9

3

3

5

9

5

6

9

6

5

9

7

4

3

7

4

3

4

6

7

9

5

3

5

9

3

6

4

7

9

5

3

6

4

7

4

6

7

                     

8

2

1

8

2

1

8

2

1

8

2

1

8

2

1

2

8

1

2

8

1

2

8

1

2

8

1

8

2

1

8

2

1

9

5

3

4

6

7

3

5

9

6

4

7

5

9

3

3

7

9

4

7

9

5

6

3

6

5

3

4

7

9

5

6

3

4

6

7

5

9

3

6

4

7

9

5

3

6

4

7

5

6

3

6

5

3

9

4

7

9

4

7

5

6

3

9

4

7

                     

8

2

1

8

2

1

2

8

3

2

8

3

2

8

3

2

8

3

8

2

3

8

2

3

8

2

3

8

2

3

2

8

3

4

7

9

9

4

7

4

5

7

4

5

7

5

4

7

5

4

7

4

5

7

4

5

7

5

4

7

5

4

7

5

4

1

6

5

3

6

5

3

6

1

9

6

9

1

6

1

9

6

9

1

6

1

9

6

9

1

6

1

9

6

9

1

7

6

9

                     

2

8

3

8

2

3

8

2

3

3

5

9

3

5

9

5

9

3

5

6

3

9

5

3

9

5

3

3

6

7

6

7

3

5

4

1

5

4

1

5

4

1

4

6

1

6

4

1

4

6

1

6

4

1

4

6

1

4

6

1

5

4

1

5

4

1

9

6

7

7

6

9

9

6

7

8

2

7

8

2

7

8

2

7

8

2

7

8

2

7

8

2

7

8

2

9

8

2

9

                                                               

4

3

1

4

3

1

4

8

7

4

8

7

                                                       

5

6

9

6

5

9

5

2

3

5

2

3

                                                       

8

2

7

8

2

7

6

1

9

6

9

1

                                                       

И вот тут- то сразу возникает резонный вопрос: а нельзя ли среди этих 136 квадратов найти хотя бы один такой квадрат, у которого простые числа читались бы и по вертикальным направлениям, пусть бы для этого пришлось менять местами числа по горизонтальным линиям?

4

8

7

5

2

3

6

9

1

И я уже была готов к длительному поиску, но вдруг обратил внимание, что (по понятным причинам) все простые числа оканчиваются только на одну из цифр: 1, 3, 7, 9. А теперь давайте представим один из наших квадратов, например, самый последний. Три цифры из указных четырех уже заняты (7, 3, 1). Для того, чтобы простые числа оказались и по вертикали, нужно еще хотя бы две цифры, не равные этим, но из того же набора 1, 3, 7, 9. А их таких у нас осталась только одна неиспользованная цифра – это цифра 9. Поэтому становится понятным, что такого варианта, в принципе, не может существовать.

Вывод

Таким образом, в ходе исследования установлено, что действительно существуют такие тройки трехзначных чисел, в записи которых каждая цифра (кроме нуля) встречается только один раз и эти числа подобраны по какому-то, наперед выбранному, математическому правилу. Так, мне удалось обнаружить, что среди всех двадцати двух трехзначных чисел, являющихся квадратами целых чисел, существует единственная тройка чисел, составленных из всех девяти цифр (кроме нуля). А вот среди пяти имеющихся трехзначных кубов натуральных чисел такой тройки, увы, не существует.

Тогда как из достаточно большого количества трехзначных простых чисел (143) мне удалось собрать 136 таких наборов (без учета их возможной перестановки)! А, значит, в копилке различных математических редкостей (таких, например, как: 48 * 159 = 7632, где каждая цифра, кроме нуля, повторилась только один раз) появились свои новые представители!

Остается добавить, что это, конечно, только начало моих поисков и находок. Ведь ничто не мешает рассмотреть квадрат теперь уже 4 х 4 и провести в нем аналогичное исследование. Кстати, как мне удалось узнать, такие головоломки получили новую волну популярности в середине прошлого столетия и назывались они «Пятнашками», видимо, из-за количества цифр на пластинках, помещенных в квадрат 4х4. Примечательно, что автором этой игры-головоломки был почтмейстер Ной Палмер Челмэн, который в 1874 году впервые показал ее своим друзьям. Тогда головоломка состояла из 16 пронумерованных квадратных костяшек, а цель игры, которую придумал Челмэн, состояла в том, что надо так упорядочить костяшки, чтобы в каждом ряду сумма чисел была равна 34. ([4]. Ru.wikipedia.org).

В «Пятнашках» же их просто необходимо было упорядочить по возрастанию или убыванию.

Или, более того, что стоит рассмотреть, например, уже не квадрат, а целый куб. Но это - уже другая история, новая и тоже очень увлекательная …

Список литературы:

[1]. Выгодский М.Я., Справочник по элементарной математике, М.: Наука, 1976г.

[2]. Источник: http://uchim.org/matematika/tablica-prostyx-chisel

[3]. Постников М.М., Магические квадраты, Издательская группа URSS, 2010г.

[4]. Ru.wikipedia.or

Просмотров работы: 95