ВВЕДЕНИЕ
В одной из книг венгерского математика Ласло Фейеш Тот 1 «Расположение на плоскости, на сфере и в пространстве» [6] я увидела такую изопериметрическую задачу: «Какое из выпуклых тел, имеющих равные по величине поверхности, имеют наибольший объем?» Меня данная задача заинтересовала, и я решила проверить этот факт на стереометрических фигурах, изучаемых в школьной программе.
Начав создание этой работы, я опиралась на исследование изопериметрического неравенства , которое нашла в одной из литератур. Так как я учусь в одиннадцатом классе, мне бы хотелось получить неравенство для стереометрических фигур. Такого неравенства в школьной программе не нашла, поэтому мне захотелось составить его самой. В итоге я получила .
В процессе доказывания неравенства появилась проблема, которая заключалась в следующем: я не учла, что у единицы измерения в квадрате, который при возведении во вторую степень площади превращается в четвертую степень, а единицы объема измеряются в третьей степени, т.е. в кубе.
Следовательно, мне нужно было согласовывать единицы измерения и увеличить коэффициент. В итоге, уже после моего выведения, в одной литературе я нашла изопиранное2 неравенство: , где площадь, объем, а - известное иррациональное число, определяемое как отношение длины окружности к его диаметру.
Цель исследования: выяснить истинно или ложно изопиранное неравенство в трехмерном пространстве.
В соответствии с поставленной целью были определены задачи:
Определение объектов исследования (выписать из школьного курса геометрии объемные тела, соответствующие определению стереометрической фигуры, расположить их от простых к более сложным).
Изучение форм площадей и объемов объектов исследования, способов доказательства неравенств.
Доказать неравенства для каждой из рассматриваемых фигур, затем перейти к доказательству в общем виде.
Гипотеза: изопиранное неравенство верно для трехмерного пространства.
В качестве методов исследования применялись: работа с источниками информации, а также практическая работа на доказательства неравенств на конкретных примерах.
Объект исследования – изопиранное неравенство.
Предмет исследования – процесс доказательства неравенств.
Теоретическая и практическая значимость результатов данной работы - это применение данного материала на уроках математики, на внеурочной деятельности и использование приводимого мною неравенства для практического применения. Основными компонентами работы являются доступность, практическая направленность изучаемого материала.
ГЛАВА 1 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ О ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУРАХ В ПРОСТРАНСТВЕ
Многогранники
Для лучшего понимания напомним некоторые сведения о многогранниках и дадим каждому многограннику наглядное описание.
Куб представляет собой многогранник, у которого шесть граней, и все они — равные квадраты. У куба 12 равных ребер и 8 вершин (см. приложение 1).
Параллелепипед представляет собой многогранник, у которого шесть граней, и каждая из них — параллелограмм. Параллелепипед может быть прямым (см. приложение) или наклонным (см. приложение 2).
Пирамида представляет собой многогранник, одна грань которого, называемая основанием пирамиды, — некоторый выпуклый n-угольник, а остальные n граней — треугольники с общей вершиной (см. приложение 3). Эта общая вершина называется вершиной пирамиды, а треугольники — боковыми гранями пирамиды.
Призма представляет собой многогранник, две грани которого, называемые основаниями призмы, — равные n-угольники, а все остальные n граней — параллелограммы. Они называются боковыми гранями призмы. Призма может быть прямой (см. приложение 4) или наклонной (см. приложение 5). У прямой призмы все боковые грани — прямоугольники, у наклонной призмы хотя бы одна грань — параллелограмм, не являющийся прямоугольником.
Тела вращения
Цилиндр - геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими её (см. приложение 6).
{\displaystyle S_{p}=2\pi Rh+2\pi R^{2}=2\pi R(h+R)}
Конус - тело в евклидовом пространстве, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность. Иногда конусом называют часть такого тела, имеющую ограниченный объём и полученную объединением всех отрезков, соединяющих вершину и точки плоской поверхности (последнюю в таком случае называют основанием конуса, а конус называют опирающимся на данное основание) (см. приложение 7).
Шаром называется множество всех точек пространства, расстояние от каждой из которых до данной точки — центра шара — не превосходит данного положительного числа, которое называется радиусом шара (см. приложение 8).
Сферой называется множество всех точек пространства, удаленных от данной точки, называемой центром сферы, на одно и то же расстояние (см. приложение). Отрезок, соединяющий любую точку сферы с ее центром, называется радиусом сферы. Радиусом сферы называют также расстояние от любой точки сферы до ее центра. Для сферы, как и для окружности, определяются хорды и диаметр (см. приложение 9).
Неравенство Коши в Евклидовом пространстве3
Огюстен Луи Коши (1789-1857) – французский математик, основоположник теории аналитических функций.
Среднее арифметическое двух неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического – это неравенство называется неравенством Коши: если
, то
Неравенство Коши часто используют при доказательстве других неравенств. А само оно доказывается так:
составим разность .
Имеем: .
Неравенство верно при любых неотрицательных значениях x и y. Значит, , причем равенство имеет место лишь в случае x = y.
Из неравенства Коши, в частности, следует неравенство , справедливое для всех x > 0.
В более общем виде: для неотрицательных чисел справедливо неравенство между их средним арифметическим и средним геометрическим
,
причем равенство возможно лишь при условии .
Вывод: Все стереометрические тела, рассматриваемые в школьном курсе геометрии, имеют свои свойства и формулы, с помощью которых можно вычислить площадь поверхности и их объем.
ГЛАВА 2 ИЗОПИРАННОЕ НЕРАВЕНСТВО
Рассмотрим доказательство изопиранного неравенства
на конкретных фигурах, затем перейдем к доказательству в общем виде.
2.1 Изопиранное неравенство для многогранников
1. Доказательство неравенства для куба
Подставим данные формулы в неравенство, получим:
Разделим обе части неравенства на получим: (верно)
2. Доказательство неравенства для прямоугольного параллелепипеда
Заменим π на 4 (Если неравенство будет выполняться при 4, то оно будет выполняться и при π):
Разделим обе части неравенства на 8, получим:
Извлечем корень 3 степени:
Докажем это неравенство с помощью неравенства Коши (среднее арифметическое не меньше среднего геометрического):
, умножим на 3:
и внесем 3 под корень:
(2)
Мне нужно доказать, что
Так как в (1) и (2) неравенствах левые части одинаковые, следовательно, надо доказать, что:
≥
Разделим на получим:
27≥18 (верно)
3. Доказательство неравенства для треугольной правильной призмы
Сразу заменим π на 4:
Извлечем корень:
(3)
Воспользуемся неравенством Коши, предварительно
разбив:
.
Умножим на 3 и сразу внесем тройку под знак корня:
(4)
Левые части неравенств (3) и (4) равны, следовательно, можно сравнить правые части этих неравенств:
.
Разделим обе части на получим
(верно)
Доказательство неравенства для правильной треугольной пирамиды
.
Заменим π на 4:
.
Заменим (по теореме Пифагора) и извлечем корень:
(9)
Воспользуемся неравенством Коши как делали ранее, разбив
(10)
Сравним правые части неравенств (9) и (10):
Занесем в левую часть, получим:
Полученное неравенство верно т.к. в левой части положительное число, а в правой – отрицательное.
Доказательство неравенства для правильной четырехугольной пирамиды
Заменим π на 4:
Заменим (теорема Пифагора) и извлечем корень:
(11)
Воспользуемся теоремой Коши, разбив
:
Умножим обе части неравенства на 3 и внесем тройку под знак корня в правой части неравенства:
(12)
Сравним подкоренные выражения в правых частях полученных неравенств (11) и (12):
(верно)
2.2 Изопиранное неравенство для тел вращения
Доказательство неравенства для цилиндра
, .
Сразу заменим π на 4 в правой части неравенства:
Извлечем корень из каждой части неравенства, получим:
(5)
Воспользуемся неравенством Коши, предварительно разбив
и выполнив манипуляции с тройкой, какие мы делали ранее:
(6)
А далее сравним правые части неравенств, как делали ранее:
,
разделим обе части на :
, (верно)
Доказательство неравенства для конуса
Заменим π на 4 в правой части неравенства:
,
.
Заменим (по теореме Пифагора), раскроем после подстановки скобки и извлечем корень:
(7)
Воспользуемся неравенством Коши как в предыдущих случаях, разбив
(8)
Сравним правые части неравенств (7) и (8):
,
перенесем в левую часть и вынесем за скобки:
неравенство верно, т.к. в левой его части положительное число, а в правой части – отрицательное.
Доказательство неравенства для шара (сферы)
Доказательство неравенства в общем виде
Докажем это утверждение методом от противного. Предположим, что найдется хотя бы одна стереометрическая фигура, для которой не выполняется наше неравенство, а выполняется противоположное: , отсюда , это означает, что объем может принять в качестве наименьшего значения а мы знаем, что это есть наибольшее значение площади, соответствующее единственной фигуре – шару.
Действительно, как мы видели, для шара:
Получили противоречие:
не может быть больше, чем , значит, всегда.
Применение изопиранного неравенства к стереометрическим фигурам
Задача 1. Докажите неравенство для прямого параллелепипеда, в основании которого ромб.
Опять же сразу заменим π на 4:
,
извлечем корень:
Воспользуемся неравенством Коши, предварительно разбив
:
,
умножим на 3, занесем 3 под знак корня и сравним правую часть из неравенства Коши и неравенства, доказуемого мною:
,
разделим на :
, т.к. наибольшее возможное значение , получившееся неравенство верно.
Задача 2. Докажите неравенство для прямого параллелепипеда, в основании которого параллелограмм.
,
Заменим π на 4:
,
Разделим обе части на 8, извлечем корень:
,
Воспользуемся неравенством Коши:
,
опять же умножим на 3, внесем ее под корень, сравним правые части неравенств:
.
Разделим на : т.к. наибольшее возможное значение , полученное неравенство верно.
Задача 3. Докажите изопиранное неравенство для прямоугольной равнобедренной пирамиды, высота которой совпадает с боковым ребром.
, заменим π на 4:
,
сократим на :
(верно).
Задача 4. Докажите изопиранное неравенство для прямоугольной равнобедренной пирамиды, высота которой падает в центр описанной около основания окружности.
,
,
заменим π на 4:
,
Извлечем корень:
Воспользуемся неравенством Коши, сразу умножив обе части неравенства на 3:
,
т.к. левые части у нас одинаковые, можно сравнить правые:
Заменим (Прямоугольный треугольник и радиус описанной окружности), перенесем влево, получим: (верно).
Задача 5. Докажите изопиранное неравенство для прямоугольной равнобедренной пирамиды, высота которой падает в центр вписанной окружности.
,
сразу заменим π на 4:
.
Извлечем корень:
Воспользуемся неравенством Коши:
Умножим обе части на 3 и внесем в правой части 3 под корень:
Сравним правые части как делали ранее:
Заменим и умножим обе части на 4:
, (верно, т.к. слева положительное число, а справа – отрицательное).
Вывод: таким образом, изопиранное неравенство верно для всех стереометрических фигур. Суть изопиранного неравенства: если дан ряд стереометрических тел с одинаковой площадью, наибольший объем будет иметь шар. И наоборот: если дан ряд стереометрических тел с одинаковым объемом, наименьшую площадь будет иметь шар (сфера).
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В процессе исследовательской работы были решены поставленные задачи и получены следующие результаты и выводы:
Доказала справедливость неравенства для стереометрических фигур изучаемых в школьной программе.
2. Доказала справедливость данного соотношения в общем виде, а также доказала факт превращения этого неравенства в истинное равенство для сферы или шара.
3. Провела статистическую обработку данных на применение известных теорем для доказательства изопиранного неравенства для стереометрических фигур (см. приложение 10).
В процессе проведенного исследования гипотеза, о том, что изопиранное неравенство верно для трехмерного пространства, подтверждена.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Беккенбах Э., Беллман Р.. Введение в неравенства. Издательство «Мир». Москва, 1965г.с.165
Гашков С. Б.. Геометрические неравенства. Путеводитель в задачах и теоремах Издательство «Книжный дом «Либроком»», Москва, 2013г.с. 258
Крыжановский Д. А., Изопериметры. Максимальные и минимальные свойства геометрических фигур. Государственное издательство физико – математической литературы, Москва, 1959г. с. 116.
Люстерник Л. А. Выпуклые фигуры и многогранники. Москва, Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956, - 212 с.
Сивашинский И. Х.Неравенства в задачах. Москва. Наука, с. 303
Тот Л. Ф.Расположения на плоскости, на сфере и в пространстве, Государственное издательство физико – математической литературы, Москва, 1958г. с. 363
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%95%D0%B2%D0%BA%D0%BB%D0%B8%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%BE_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1
Куб
Приложение 2
Параллелепипед
Приложение 3
Пирамида
Приложение 4
Призма
Приложение 5
Наклонная призма
Приложение 6
Цилиндр
Приложение 7
Конус
Приложение 8
Шар
Приложение 9
Сфера
Приложение 10
Применение известных теорем для доказательства неравенств стереометрических фигур.
Применение неравенства Коши |
Применение теоремы Пифагора |
Использование метода от противного |
10 |
3 |
1 |
Диаграмма
Применение известных теорем для доказательства неравенств стереометрических фигур.
1 Ласло Фейеш Тот (Сегеда, 12 марта 1915 — Будапешт, 17 марта 2005) — венгерский математик. Наряду с Коксетером и Эрдёшем, Фейеш Тот считается родоначальником комбинаторной геометрии.
2Изопиранное неравенство – это общий термин для обозначения неравенства между объемом и площадью плоской поверхности.
3Евкли́дово простра́нство (также эвкли́дово простра́нство) — в изначальном смысле, пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность, равную 3.