Изопиранное неравенство

VI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Изопиранное неравенство

Степанова Д.А. 1
1ГБОУ СОШ ж.-д. ст. Погрузная
Степанова Г.А. 1
1ГБОУ СОШ ж.-д.ст. Погрузная
Автор работы награжден дипломом победителя I степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

ВВЕДЕНИЕ

В одной из книг венгерского математика Ласло Фейеш Тот 1 «Расположение на плоскости, на сфере и в пространстве» [6] я увидела такую изопериметрическую задачу: «Какое из выпуклых тел, имеющих равные по величине поверхности, имеют наибольший объем?» Меня данная задача заинтересовала, и я решила проверить этот факт на стереометрических фигурах, изучаемых в школьной программе.

Начав создание этой работы, я опиралась на исследование изопериметрического неравенства , которое нашла в одной из литератур. Так как я учусь в одиннадцатом классе, мне бы хотелось получить неравенство для стереометрических фигур. Такого неравенства в школьной программе не нашла, поэтому мне захотелось составить его самой. В итоге я получила .

В процессе доказывания неравенства появилась проблема, которая заключалась в следующем: я не учла, что у единицы измерения в квадрате, который при возведении во вторую степень площади превращается в четвертую степень, а единицы объема измеряются в третьей степени, т.е. в кубе.

Следовательно, мне нужно было согласовывать единицы измерения и увеличить коэффициент. В итоге, уже после моего выведения, в одной литературе я нашла изопиранное2 неравенство: , где площадь, объем, а - известное иррациональное число, определяемое как отношение длины окружности к его диаметру.

Цель исследования: выяснить истинно или ложно изопиранное неравенство в трехмерном пространстве.

В соответствии с поставленной целью были определены задачи:

Определение объектов исследования (выписать из школьного курса геометрии объемные тела, соответствующие определению стереометрической фигуры, расположить их от простых к более сложным).

Изучение форм площадей и объемов объектов исследования, способов доказательства неравенств.

Доказать неравенства для каждой из рассматриваемых фигур, затем перейти к доказательству в общем виде.

Гипотеза: изопиранное неравенство верно для трехмерного пространства.

В качестве методов исследования применялись: работа с источниками информации, а также практическая работа на доказательства неравенств на конкретных примерах.

Объект исследования – изопиранное неравенство.

Предмет исследования – процесс доказательства неравенств.

Теоретическая и практическая значимость результатов данной работы - это применение данного материала на уроках математики, на внеурочной деятельности и использование приводимого мною неравенства для практического применения. Основными компонентами работы являются доступность, практическая направленность изучаемого материала.

ГЛАВА 1 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ О ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУРАХ В ПРОСТРАНСТВЕ

Многогранники

Для лучшего понимания напомним некоторые сведения о многогранниках и дадим каждому многограннику наглядное описание.

Куб представляет собой многогранник, у которого шесть граней, и все они — равные квадраты. У куба 12 равных ребер и 8 вершин (см. приложение 1).

Параллелепипед представляет собой многогранник, у которого шесть граней, и каждая из них — параллелограмм. Параллелепипед может быть прямым (см. приложение) или наклонным (см. приложение 2).

Пирамида представляет собой многогранник, одна грань которого, называемая основанием пирамиды, — некоторый выпуклый n-угольник, а остальные n граней — треугольники с общей вершиной (см. приложение 3). Эта общая вершина называется вершиной пирамиды, а треугольники — боковыми гранями пирамиды.

Призма представляет собой многогранник, две грани которого, называемые основаниями призмы, — равные n-угольники, а все остальные n граней — параллелограммы. Они называются боковыми гранями призмы. Призма может быть прямой (см. приложение 4) или наклонной (см. приложение 5). У прямой призмы все боковые грани — прямоугольники, у наклонной призмы хотя бы одна грань — параллелограмм, не являющийся прямоугольником.

Тела вращения

Цилиндр - геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими её (см. приложение 6).

{\displaystyle S_{p}=2\pi Rh+2\pi R^{2}=2\pi R(h+R)}

Конус - тело в евклидовом пространстве, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность. Иногда конусом называют часть такого тела, имеющую ограниченный объём и полученную объединением всех отрезков, соединяющих вершину и точки плоской поверхности (последнюю в таком случае называют основанием конуса, а конус называют опирающимся на данное основание) (см. приложение 7).

Шаром называется множество всех точек пространства, расстояние от каждой из которых до данной точки — центра шара — не превосходит данного положительного числа, которое называется радиусом шара (см. приложение 8).

Сферой называется множество всех точек пространства, удаленных от данной точки, называемой центром сферы, на одно и то же расстояние (см. приложение). Отрезок, соединяющий любую точку сферы с ее центром, называется радиусом сферы. Радиусом сферы называют также расстояние от любой точки сферы до ее центра. Для сферы, как и для окружности, определяются хорды и диаметр (см. приложение 9).

Неравенство Коши в Евклидовом пространстве3

Огюстен Луи Коши (1789-1857) – французский математик, основоположник теории аналитических функций.

Среднее арифметическое двух неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического – это неравенство называется неравенством Коши: если

, то 

Неравенство Коши часто используют при доказательстве других неравенств. А само оно доказывается так:

составим разность .

Имеем: .

Неравенство   верно при любых неотрицательных значениях x и y. Значит,  , причем равенство имеет место лишь в случае x = y.

Из неравенства Коши, в частности, следует неравенство  , справедливое для всех x > 0.

В более общем виде: для неотрицательных чисел   справедливо неравенство между их средним арифметическим и средним геометрическим

,

причем равенство возможно лишь при условии  .

Вывод: Все стереометрические тела, рассматриваемые в школьном курсе геометрии, имеют свои свойства и формулы, с помощью которых можно вычислить площадь поверхности и их объем.

ГЛАВА 2 ИЗОПИРАННОЕ НЕРАВЕНСТВО

Рассмотрим доказательство изопиранного неравенства

на конкретных фигурах, затем перейдем к доказательству в общем виде.

2.1 Изопиранное неравенство для многогранников

1. Доказательство неравенства для куба

Подставим данные формулы в неравенство, получим:

Разделим обе части неравенства на получим: (верно)

2. Доказательство неравенства для прямоугольного параллелепипеда

Заменим π на 4 (Если неравенство будет выполняться при 4, то оно будет выполняться и при π):

Разделим обе части неравенства на 8, получим:

Извлечем корень 3 степени:

Докажем это неравенство с помощью неравенства Коши (среднее арифметическое не меньше среднего геометрического):

, умножим на 3:

и внесем 3 под корень:

(2)

Мне нужно доказать, что

Так как в (1) и (2) неравенствах левые части одинаковые, следовательно, надо доказать, что:

Разделим на получим:

27≥18 (верно)

3. Доказательство неравенства для треугольной правильной призмы

Сразу заменим π на 4:

Извлечем корень:

(3)

Воспользуемся неравенством Коши, предварительно

разбив:

.

Умножим на 3 и сразу внесем тройку под знак корня:

(4)

Левые части неравенств (3) и (4) равны, следовательно, можно сравнить правые части этих неравенств:

.

Разделим обе части на получим

(верно)

Доказательство неравенства для правильной треугольной пирамиды

.

Заменим π на 4:

.

Заменим (по теореме Пифагора) и извлечем корень:

(9)

Воспользуемся неравенством Коши как делали ранее, разбив

(10)

Сравним правые части неравенств (9) и (10):

Занесем в левую часть, получим:

Полученное неравенство верно т.к. в левой части положительное число, а в правой – отрицательное.

Доказательство неравенства для правильной четырехугольной пирамиды

Заменим π на 4:

Заменим (теорема Пифагора) и извлечем корень:

(11)

Воспользуемся теоремой Коши, разбив

:

Умножим обе части неравенства на 3 и внесем тройку под знак корня в правой части неравенства:

(12)

Сравним подкоренные выражения в правых частях полученных неравенств (11) и (12):

(верно)

2.2 Изопиранное неравенство для тел вращения

Доказательство неравенства для цилиндра

, .

Сразу заменим π на 4 в правой части неравенства:

Извлечем корень из каждой части неравенства, получим:

(5)

Воспользуемся неравенством Коши, предварительно разбив

и выполнив манипуляции с тройкой, какие мы делали ранее:

(6)

А далее сравним правые части неравенств, как делали ранее:

,

разделим обе части на :

, (верно)

Доказательство неравенства для конуса

Заменим π на 4 в правой части неравенства:

,

.

Заменим (по теореме Пифагора), раскроем после подстановки скобки и извлечем корень:

(7)

Воспользуемся неравенством Коши как в предыдущих случаях, разбив

(8)

Сравним правые части неравенств (7) и (8):

,

перенесем в левую часть и вынесем за скобки:

неравенство верно, т.к. в левой его части положительное число, а в правой части – отрицательное.

Доказательство неравенства для шара (сферы)

Доказательство неравенства в общем виде

Докажем это утверждение методом от противного. Предположим, что найдется хотя бы одна стереометрическая фигура, для которой не выполняется наше неравенство, а выполняется противоположное: , отсюда , это означает, что объем может принять в качестве наименьшего значения а мы знаем, что это есть наибольшее значение площади, соответствующее единственной фигуре – шару.

Действительно, как мы видели, для шара:

Получили противоречие:

не может быть больше, чем , значит, всегда.

Применение изопиранного неравенства к стереометрическим фигурам

Задача 1. Докажите неравенство для прямого параллелепипеда, в основании которого ромб.

Опять же сразу заменим π на 4:

,

извлечем корень:

Воспользуемся неравенством Коши, предварительно разбив

:

,

умножим на 3, занесем 3 под знак корня и сравним правую часть из неравенства Коши и неравенства, доказуемого мною:

,

разделим на :

, т.к. наибольшее возможное значение , получившееся неравенство верно.

Задача 2. Докажите неравенство для прямого параллелепипеда, в основании которого параллелограмм.

,

Заменим π на 4:

,

Разделим обе части на 8, извлечем корень:

,

Воспользуемся неравенством Коши:

,

опять же умножим на 3, внесем ее под корень, сравним правые части неравенств:

.

Разделим на : т.к. наибольшее возможное значение , полученное неравенство верно.

Задача 3. Докажите изопиранное неравенство для прямоугольной равнобедренной пирамиды, высота которой совпадает с боковым ребром.

, заменим π на 4:

,

сократим на :

(верно).

Задача 4. Докажите изопиранное неравенство для прямоугольной равнобедренной пирамиды, высота которой падает в центр описанной около основания окружности.

,

,

заменим π на 4:

,

Извлечем корень:

Воспользуемся неравенством Коши, сразу умножив обе части неравенства на 3:

,

т.к. левые части у нас одинаковые, можно сравнить правые:

Заменим (Прямоугольный треугольник и радиус описанной окружности), перенесем влево, получим: (верно).

Задача 5. Докажите изопиранное неравенство для прямоугольной равнобедренной пирамиды, высота которой падает в центр вписанной окружности.

,

сразу заменим π на 4:

.

Извлечем корень:

Воспользуемся неравенством Коши:

Умножим обе части на 3 и внесем в правой части 3 под корень:

Сравним правые части как делали ранее:

Заменим и умножим обе части на 4:

, (верно, т.к. слева положительное число, а справа – отрицательное).

Вывод: таким образом, изопиранное неравенство верно для всех стереометрических фигур. Суть изопиранного неравенства: если дан ряд стереометрических тел с одинаковой площадью, наибольший объем будет иметь шар. И наоборот: если дан ряд стереометрических тел с одинаковым объемом, наименьшую площадь будет иметь шар (сфера).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В процессе исследовательской работы были решены поставленные задачи и получены следующие результаты и выводы:

Доказала справедливость неравенства для стереометрических фигур изучаемых в школьной программе.

2. Доказала справедливость данного соотношения в общем виде, а также доказала факт превращения этого неравенства в истинное равенство для сферы или шара.

3. Провела статистическую обработку данных на применение известных теорем для доказательства изопиранного неравенства для стереометрических фигур (см. приложение 10).

В процессе проведенного исследования гипотеза, о том, что изопиранное неравенство верно для трехмерного пространства, подтверждена.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Беккенбах Э., Беллман Р.. Введение в неравенства. Издательство «Мир». Москва, 1965г.с.165

Гашков С. Б.. Геометрические неравенства. Путеводитель в задачах и теоремах Издательство «Книжный дом «Либроком»», Москва, 2013г.с. 258

Крыжановский Д. А., Изопериметры. Максимальные и минимальные свойства геометрических фигур. Государственное издательство физико – математической литературы, Москва, 1959г. с. 116.

Люстерник Л. А. Выпуклые фигуры и многогранники. Москва, Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956, - 212 с.

Сивашинский И. Х.Неравенства в задачах. Москва. Наука, с. 303

Тот Л. Ф.Расположения на плоскости, на сфере и в пространстве, Государственное издательство физико – математической литературы, Москва, 1958г. с. 363

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%95%D0%B2%D0%BA%D0%BB%D0%B8%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%BE_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1

Куб

Приложение 2

Параллелепипед

Приложение 3

Пирамида

Приложение 4

Призма

Приложение 5

Наклонная призма

Приложение 6

Цилиндр

Приложение 7

Конус

Приложение 8

Шар

Приложение 9

Сфера

Приложение 10

Применение известных теорем для доказательства неравенств стереометрических фигур.

Применение неравенства Коши

Применение теоремы Пифагора

Использование метода от противного

10

3

1

Диаграмма

Применение известных теорем для доказательства неравенств стереометрических фигур.

1 Ласло Фейеш Тот (Сегеда, 12 марта 1915 — Будапешт, 17 марта 2005) — венгерский математик. Наряду с Коксетером и Эрдёшем, Фейеш Тот считается родоначальником комбинаторной геометрии.

2Изопиранное неравенство – это общий термин для обозначения неравенства между объемом и площадью плоской поверхности.

3Евкли́дово простра́нство (также эвкли́дово простра́нство) — в изначальном смысле, пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность, равную 3.

Просмотров работы: 162