VI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Математические головоломки с квадратами

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Талханов Д.А. 1

---

1МБОУ СОШ №30 г. Владикавказ

Караева Д.А. 1

---

1МБОУ СОШ № 30 г.Владикавказ

Работа в формате PDF

431.9 KB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение

Предмет исследования: структура математических объектов.

Объект исследования: математические головоломки.

Цель исследования: выявить скрытую структуру исследуемого объекта.

Задачи исследования:

- изучить существующие виды математических головоломок;

- рассмотреть различные виды математических объектов с точки зрения их решения.

Методологическую базу составили:

- головоломки, предложенные математиками и составителями головоломок Генри Э. Дьюдени, Мартином Гарднером, Яковом Перельманом.

Когда мы решаем какие-либо нестандартные и уникальные задачи, мы подсознательно ощущаем величие математики. Было бы ошибочным считать решение задач скучным и неинтересным занятием. В математике головоломки не являются пустой забавой. Иногда они приводят к глубоким открытиям, сделанным учеными в различных областях науки.

Из-за ограничения во времени, программа средней школы не позволяет подробно останавливаться на решении задач подобного рода, хотя именно занимательная математика учит наблюдательности, умению мыслить логически и способности воспринимать окружающий мир во всем его многообразии. Поэтому, мы посчитали необходимым, еще раз, обратиться к исследованию увлекательного мира математических головоломок. Этот мир настолько разнообразен, что в небольшой исследовательской работе не представляется возможным подробно рассмотреть все существующие виды математических головоломок. В связи с чем, мы рассматривали только те виды головоломок, которые связаны с такой геометрической фигурой как квадрат.

Основная часть

2.1. Квадраты в головоломках со спичками

Головоломки со спичками можно часто встретить в учебниках математики начальной школы, и, как правило, они оказываются не такими уж сложными. Задачи посложнее предлагаются для взрослых, и прекрасно развивают логику и творческое мышление. Их удобно решать, т.к. всегда есть наглядное пособие, в виде спичек, и можно подбирать разные варианты составления геометрических и арифметических фигур.

Известные задачи со спичками, предложенные Я. И. Перельманом:

В представленной на рисунке 1 решетке из спичек, нужно убрать:

а) «4 спички, чтобы получилось 5 квадратов». [4, с.176-179]

Рисунок 1.

Решение представлено на рисунке 2.

Рисунок 2.

б) «8 спичек, чтобы получилось 4 квадрата (возможно два решения)». [4, с.176-179]

Решение представлено на рисунке 3.

Рисунок 3.

в) «6 спи­чек, не перекладывая остальных, чтобы осталось всего 3 квадрата». [4, с.176-179]

Решение представлено на рисунке 4.

г) «8 спичек, чтобы осталось два квадрата».[4, с.176-179]

Решение представлено на рисунке 5.

Рисунок 4. Рисунок 5.

2.2. Квадраты в головоломках с домино

Квадраты встречаются также в головоломках из домино. Г. Дьюдени предлагает следующие головоломки:

Полые квадраты из домино. 

«Надо составить 7 полых квадратов из 28 костяшек домино (похожих на квадрат, изображенный на рисунке 6), так, чтобы в любом квадрате суммы очков вдоль каждой из сторон равнялись между собой. У всех 7 квадратов общие суммы очков не обязаны совпадать. Данный квадрат может не входить в множество из 7 квадратов». [3, с. 193-194]

Рисунок 6.

«Составить 6 квадратов разными способами несложно, но, при попытке сложить из оставшихся четырех костяшек седьмой квадрат могут возникнуть трудности». [3, с. 193-194]

Решение: Как видно из рисунка 7 «можно сложить из 28 костяшек 7 полых квадратов, чтобы при этом суммы очков вдоль каждой из сторон в любом квадрате равнялись между собой. При составлении квадратов нужно учесть, что если сумма очков равна, например, 7, а надо, чтобы их сумма вдоль каждой из сторон равнялась 3, то 4  3 - 7 дает нам 5 — сумму очков в четырех углах. Так, в последнем примере 4  16 = 64 -43 говорит о том, что сумма очков, стоящих по углам, должна равняться 21, что и есть на самом деле» [3, с. 330]

Рисунок 7.

Квадраты из домино. 

Рисунок 8

Составьте из 28 костяшек домино 2 квадрата, как показано на рисунке 8, «чтобы суммы очков вдоль каждой из 8 сторон совпали. Значение сумм должно быть таким, чтобы головоломка оказалась разрешимой. Не обязательно прикладывать костяшки друг к другу согласно обычному правилу — 5 к 5, 1 к 1 и т. д». [3, с. 194]

Решение: На рисунке 9 показано, как можно составить из 28 костяшек два квадрата, «у которых сумма очков вдоль любой из сторон равна 22. Если сумма равна 22, то сумма углов должна равняться 8; если 23, то 16; если 24, то 24; если 25, то 32; если 26, то 40. Сумма не может быть меньше 22 или больше 26». [3, с.330]

Рисунок 9.

2.3. Магические квадраты.

В современных учебниках математики, как задачи повышенной трудности, предлагаются, так называемые магические квадраты.

Магический квадрат – это квадратная таблица, n×n ( n – число строк), в которой сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова. Сумма чисел в каждой строке, столбце и на диагоналях, называется магической константой – М.

«Число клеток, примыкающих к его стороне, называется «порядком» магического квадрата. Магических квадратов порядка 3 существует только один, магических квадратов порядка 4 - 880 типов (если не считать магических квадратов, получающихся из него при поворотах и отражениях) и т.д.» [1, с.256-257]. Наименьшая магическая константа 3 порядка =15; 4 порядка =34; 5 порядка =65 и т. д.

Примеры магических квадратов:

3-го порядка (М – 66):

Рисунок 10

4-го порядка (М – 50):

Рисунок 11.

5-го порядка (М – 115)

Рисунок 12.

Интересен квадрат, представленный на рисунке 13. В нем, одному и тому же числу, равна сумма не только чисел, стоящих в строках, столбцах и двух диагоналях, но и суммы чисел, стоящих в квадратах из четырех клеток, расположенных по углам и в середине, а также сумма чисел, стоящих в вершинах этого магического квадрата (М – 42).

Рисунок 13.

Существуют различные методы заполнения магических квадратов. Это можно сделать, вычислив магическую константу. Магическую константу квадрата любого порядка легко вычислить по общей формуле:

М= n×(n ² +1)/2

Задача: Предлагается заполнить магический квадрат 3 порядка, зная его константу М=30. Мы знаем, что наименьшая магическая константа квадрата 3 –порядка равна 15: М= 3×(9 +1)/2=15. Этот квадрат представлен на рисунке 14.

Рисунок 14.

Решение: Вначале найдем число, записанное в центре магического квадрата. Для этого разделим магическую константу на n (число строк): 30/3=10. Затем каждое число искомого квадрата увеличим на 10-5=5. Мы получим следующий квадрат (рисунок 15).

Рисунок 15

Г. Дьюдени предлагает следующую задачу с магическим квадратом:

«Из девяти цифр, различными способами можно составить квадрат так, чтобы третья строка была суммой чисел первой и второй строк.В трех следующихпримерах обнаруживается еще одна закономер­ность: разность между второй суммой (819) и первой (657) равна разности между третьей суммой (981) и второй (819» (рисунок 16). [3, с.44]

Рисунок 16.

Задача: Надо составить восемь квадратов (каждый из девяти цифр) так, чтобы разность между соседними суммами была по­стоянной (эта разность будет отличаться от 162).

Решение: «В каждом из следующих восьми примеров девять цифр используются по одному разу, а разность между соседними суммами равна 9. [3, с.236]

Следующая головоломка перекликается с приведенными в предыдущей главе примерами головоломок с домино. «На рисунке 17показан магический квадрат из 18 ко­сточек домино. Сумма очков любого его ряда (продоль­ного, поперечного или диагонального) будет 13». [6, с.25-26]

Рисунок 17

Как составить несколько таких же 18-косточковых магических квадратов, но с другой суммой очков в ряду. Наибольшая сумма в рядах магического квадратасоставленного из 18 костей— 23, а наименьшая – 13.

Решение: «На рисунке 18 приводитсяобразец магического квадрата, составленного из 18 костей, с суммою очков в ряду – 18». [6, с.35-36]

Рисунок 18.

2.4. Головоломки на разрезание бумаги и составление квадратов

Разрезание многоугольников на части и составление из них новых многоугольников относится к числу одних из самых увлекательных задач. Доказано, что любой многоугольник можно разрезать на конечное число частей, образующих любой другой многоугольник, равновеликий первому. [1, c. 390]

Головоломка Дьюдени на разрезание:

Испорченный крест. «Из симметричного греческого креста (рисунок 19) вырезан квадратный кусок, в точности равный одному из концов креста. Оставшуюся часть надо разрезать на четыре куска, из которых можно составить квадрат». [3]

Рисунок 19.

Решение: Из рисунка 20 видно, как нужно разрезать крест на четыре части, чтобы из них можно было составить квадрат. «Надо просто продолжить каждую сторону квадратного отверстия до соответствующего угла». [3]

Рисунок 20.

Я. И. Перельман предлагает следующие головоломки:

Двумя взмахами ножниц

«Крест, изображенный на рисунке 21 надо разрезать на четыре части двумя взмахами ножниц, чтобы из них можно было составить сплошной квадрат». [5]

Рисунок 21.

Решение: «Первым взмахом ножниц отрезаем от креста два крайних кусочка. Вторым – разрезаем на две части оставшийся кусок. На рисунке 22 показано, как нужно соединить между собой, полученные четыре кусочка, чтобы получился квадрат». [5]

Рисунок 22.

Из пяти кусочков

Следующая задача (рисунок 23) заключается в том, чтобы из пяти кусочков составить квадрат. [5]

Рисунок 23.

Решение: Квадрат составляется следующим образом (рисунок 24).

Рисунок 24

И, наконец, головоломка, сочетающая в себе и задачу на разрезание, и магический квадрат.

Головоломка с магическим квадратом

Квадрат, представленный на рисунке 25 «надо разрезать на четыре части (вдоль прямых), которые можно было бы сложить заново так, чтобы получился правильный магический квадрат. У квадрата, который получится, сумма чисел в каждой строке, столбце и на каждой диагонали должна быть равна 34». [2]

Рисунок 25.

Решение: На рисунке 26 «показано, как надо разрезать квадрат на четыре части и как их сложить, чтобы получился» магический квадрат, с константой 34. [2, с. 229]

Рисунок 26.

Заключение

При написанииработы по теме исследования была изучена специальная литература, рассматривающая головоломки, предложенные Генри Э. Дьюдени, Мартином Гарднером, Яковом Перельманом.

При решении задач исследования, в работе были проанализированы различные виды головоломок, в частности головоломки со спичками, головоломки с домино, магические квадраты, головоломки на разрезание бумаги. Также былирассмотрены различные виды математических объектов с точки зрения их решения и выявлена скрытая структура исследуемого объекта. Таким образом, задачи, поставленные в исследовании, решены, цель достигнута.

На основании проведённых исследований можно сделать вывод о том, что математические головоломки являются неотъемлемой частью тренировки логического мышления и умения находить нестандартное решение поставленных задач.

Практическая значимость работы заключается в возможности использования предложенных задач для развития логического мышления не только на уроках математики в средней школе, но и в повседневной жизни.

В дальнейшем, нам представляется целесообразным, рассмотреть другие виды геометрических фигур в задачах подобного рода.

Литература:

1. Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. – М.: Мир, 1971. – 511 с.

2. Дьюдени Г.Э. Кентерберийские головоломки. – М.: Мир, 1979. – 353 с.

3. Дьюдени Г.Э. 520 головоломок. – М.: Мир, 1975. – 342 с.

4. Перельман Я.И. Веселые задачи. – М.: АСТ, 2003. – 287 с.

5. Перельман Я.И. Головоломки. Задачи. Фокусы. Развлечения. – М.: АСТ, 2015. – 192 с.

6. Перельман Я.И. Живая математика. – М.: Наука, 1978. – 160 с.