VI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Теория вероятности вокруг нас
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение.
Я выбрала данную тему исследовательской работы, потому что она интересна и познавательна. Мы часто не замечаем, что в повседневной жизни знания из разных разделов и областей математики встречаются на каждом шагу. К примеру, недавно, покупая лотерейный билет, я задалась вопросом: «Какова вероятность того, что я выиграю главный приз? Стоит ли вообще принимать участие в таких лотереях?» Пытаясь найти ответы на свои вопросы, я обратилась к теории вероятностей. Это событие и побудило меня к созданию данного проекта. Тему, выбранную мной, нельзя назвать совсем новой, но это не делает её менее актуальной, так как она связана с нашей жизнью. Я заинтересовалась, как часто мы сталкиваемся с теорией вероятностей в нашей жизни и какую она играет роль.
Также эта тема позволяет углубить знания о важном разделе математики, связанном с вероятностями.
В этом исследовании я поставила перед собой следующую цель: узнать более подробно о теории вероятностей и о возможности её применения в современной жизни.
Данная цель будет решаться через следующие задачи:
- собрать и представить наиболее полную информацию по данной теме;
- определить применение теории вероятностей в практической жизни.
Гипотеза: теория вероятностей применяется в самых разных областях жизни.
Объект исследования: теория вероятностей.
Предмет исследования: применение теории вероятностей в современном мире.
Методы исследования: формально-догматический (сбор, обработка теоретического материала, описание, толкование, систематизация), логический (анализ и синтез, гипотеза).
Хронологические рамки проводимого исследования:
октябрь – ноябрь 2018 года.
Определенную помощь мне оказали книги: Бородин А. Н. «Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики.»; Гнеденко Д. В. «Курс теории вероятностей». В этих книгах описывается теория вероятностей и способы её использования при решении задач.
Практическая значимость работы: данный материал можно использовать на уроках математики при изучении теории вероятностей, а также при подготовке к Государственной Итоговой Аттестации (ОГЭ и ЕГЭ).
Основная часть.
«Теория вероятностей есть в сущности не что иное, как здравый смысл, сведенной к исчислению» Лаплас
Математику многие любят за ее вечные истины: дважды два всегда четыре, сумма четных чисел четна, а площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. В любой задаче, которую мы решаем на уроках математики, у всех получается один и тот же ответ – нужно только не делать ошибок в решении.
Реальная жизнь оказывается не такой простой и однозначной. Исходы многих явлений невозможно предсказать заранее, какой бы полной информацией мы о них не располагали. Нельзя, например, сказать наверняка, какой стороной упадет брошенная вверх монета, когда в следующем году выпадет первый снег или сколько человек в городе захотят в течение ближайшего часа позвонить по телефону.
Такие непредсказуемые явления называются случайными. Однако случай тоже имеет свои законы, которые начинают проявляться при многократном повторении случайных явлений. Именно такие закономерности изучаются в специальном разделе математики – теории вероятностей.
Понятие и история теории вероятностей.
Теория вероятностей - математическая наука, позволяющая по вероятностям одних случайных событий находить вероятности других случайных событий, связанных каким-либо образом с первыми.
Вероятность – это числовая характеристика возможности появления случайного события в конкретных условиях, которые могут быть воссозданы многократно.
Теория вероятностей возникла в середине 17 в. Первые работы по ней, принадлежащие французским учёным Б. Паскалю и П. Ферма и голландскому учёному X. Гюйгенсу. Теория появилась в связи с подсчётом различных вероятностей в азартных играх. В конце 18 – начале 19 века теория вероятности уже находит ряд весьма актуальных применений в естествознании и технике (главным образом в теории ошибок наблюдений в геодезии и астрономии, и в теории стрельбы). Развитие теории вероятности во второй половине 19 века связано в основном с именами русских математиков: П. Л. Чебышева, А. М. Ляпунова и А. А. Маркова.
Применение теории вероятностей.
В физике: Дело в том, что в любом опыте существует большое количество неучтенных факторов. В случае скорости света такими факторами могут быть непостоянство температуры, неточность в измерении длины волны и т. д., но они могут сказываться лишь в восьмом знаке после запятой. Степень достоверности этого утверждения и оценивается вероятностью. Теория вероятности очень важна при вычислении достоверных значений основных физических величин.
Пример: Одним из основных положений квантовой механики является то, что микроскопические частицы в своем поведении проявляют волновые свойства. Но если в классической физике мы говорили, например, о волнах напряженности электромагнитного поля, то для микроскопических частиц речь идет волнах вероятности, описывающимися комплексными «амплитудами вероятности», известными также под названием «волновая функция».
В метеорологии: На основе разных измерений, прошедшего опыта и знаний о природных явлениях специалисты-метеорологи составляют прогнозы: вероятности выпадения осадков, движения ветров и даже опасных природных явлений. Например, можно рассчитать вероятность извержений вулканов или вероятность того, что в вас попадет молния.
Какая вероятность извержения Йеллоустоунского супервулкана? Несмотря на то, что новое исследование подтверждает возможность возникновения в течение нескольких десятилетий благоприятных условий для извержения Йеллоустонского вулкана, вероятность того, что вы лично застанете взрыв такого масштаба, по-прежнему очень низкая. Согласно данным Геологической службы США, шансы извержения супервулкана в течение 2017 года составляли 1 на 730 000.
Национальная администрация по океанам и атмосфере оценивает шансы получить удар молнией как 1 к 700 000. Однако если учесть количество незарегистрированных случаев, то шансы возрастают до 1 к 240 000. Если оценивать вероятность попадания молнии на протяжении всей жизни человека, она составит 1 из 3000.
Пример: Одним из напрямую связанных с вероятностным подходом к прогнозированию является метод рассмотрения модельных ансамблей (см. Приложение 1) - не единовременных цифровых срезов модели на конкретное время, а целой совокупности данных с немного отличающихся друг от друга методов моделирования, описывающих одну и ту же величину. Например, модельный ансамбль GFS ( Global Ensemble Forecast System ) включает в себя 21 прогноз, создаваемый слегка отличающимися друг от друга по алгоритмам и исходным данным системами моделирования. Расхождения между прогнозами, обработанные статистическими методами, позволяют оценить качество полученного прогноза.
В сельском хозяйстве: При выведении новых пород животных и растений рассчитываются вероятности приобретения особями новых качеств и свойств (например, морозостойкости у некоторых видов злаковых).
Пример: ирландские сеттеры могут быть слепыми в результате действия рецессивного гена. Пара животных с нормальным зрением дала помёт из нескольких щенков, один из которых оказался слепым. Установить генотипы родителей. Какова вероятность рождения гетерозиготного щенка среди зрячих? (см. Приложение 2)
Аа - генотипы обоих родителей, при скрещивании получаем щенков : АА Аа Аа аа - первый - полностью зрячий (гомозиготный) второй и третий - зрячий (гетерозиготный) четвертый – слепой; соответственно вероятность рождения гетерозиготного щенка равна 2/4 или 0.5.
В экономике: Теория вероятностей – основа вероятностно-статистических методов принятия решений в управлении. Чтобы получить возможность использовать в них математический аппарат, нужно задачи принятия решений выразить в терминах вероятностно-статистических моделей. Применение конкретного вероятностно-статистического метода принятия решений состоит из трех этапов:
– переход от экономических, управленческих и технологических реалий к абстрактной математико-статистической схеме, т.е. создание вероятностной модели управления, технологического процесса, порядка принятия решений, в частности по результатам контроля, основанного на статистических данных.
– проведение расчетов и получение выводов математическими методами в рамках вероятностной модели;
– представление полученных ранее выводов применительно к имеющейся ситуации. Принятие соответствующего решения (например, о соответствии или несоответствии качества продукции и услуг имеющимся стандартам, потребности в корректировке технологического процесса и т.п.), в частности, заключения (о доле единиц продукции в партии, не соответствующих требованиям; о конкретном виде законов распределения контролируемых параметров технологического процесса и др.).
Пример: пусть банк выдает кредит размером 3 млн. рублей на 1 год. Вероятность не погашения ссуды 10%, соответственно вероятность погашения – 90%. Доход кредитной организации является случайно величиной, так как заёмщик может как вернуть кредит, так и нет. Закон распределения этой случайной величины таков: p=0,9; q=0,1. Найдем математическое ожидание: 0,9р-0,1. Решив неравенство 0,9p-0,1>0, мы придем к тому, что, р>0,1/0,9. Следовательно, ставка процента по кредиту должна быть выше 11%.
В археологии: Археологи и историки, изучая захоронения прошлого и события до нашей эры тоже используют теорию вероятности.
Пример: Шампольон - французский востоковед, основатель египтологии. Благодаря проведённой им расшифровке текста Розеттского камня 14 сентября 1822 года стало возможным чтение египетских иероглифов.
Он проштудировал всё, что за последние две тысячи лет было написано об иероглифах в самом Египте. Оснащенный таким образом, но не скованный в своих действиях, он приступил к собственно изучению египетского письма и в отличие от других ученых начал с демотического, то есть народного, письма, которое он считал самым простым и одновременно наиболее древним, полагая, что сложное развивается из простого. Но тут он ошибался; применительно к египетскому письму дело обстояло как раз наоборот. Долгие месяцы продвигался он в строго намеченном направлении. Когда убеждался, что попал в тупик, начинал все сызнова. «Эта возможность испробована, исчерпана и отвергнута. Больше к ней незачем возвращаться. А это тоже имеет свое значение». Таким образом, Шампольон «отбрасывал» не подходящие ему письмена, чтобы увеличить вероятность нахождения правильной расшифровки.
В азартных играх: В основе всех лотерей лежит теория вероятностей. По подсчётам, вероятность выиграть в «Гослото 5 из 36» равна 1 к 376 992, в «Гослото 6 из 45» - 1 к 8 145 060, а в международную лотерею «PowerBall» - 1 к 175 223 510. В покере, рулетке, казино, игре в кости и других также используется теория вероятностей.
Пример: В покере вероятности рассчитываются по таблицам (см. Приложение 3) или в специальных программах. Например, вы входите в тоги с двумя карманными Королями против одного соперника. Посмотрев в таблицу, Вы поймете, что есть шанс в 15%, что у противника есть один Туз и меньше 1%, что он получил пару Тузов. Если на борд выпал Туз, Вам следует подумать – играть дальше или нет. Конечно, карманных Королей сбросить довольно непросто, но если это ответственная стадия турнира, Вы должны понимать, что есть риск примерно в 15%, что Вы проиграете.
Задача кавалера де Мере. При четырехкратном бросании игральной кости что происходит чаще: выпадет шестерка хотя бы один раз или же шестерка не появится ни разу? Эта одна из тех задач, с которыми кавалер де Мере обратился к Б. Паскалю в надежде узнать выигрышную стратегию.
На каждой из четырех костей может выпасть любое из шести чисел, независимо друг от друга. Всего вариантов 6 ∙ 6 ∙ 6 ∙ 6 = 1296. Количество вариантов без шестерки будет, соответственно, 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 = 625. В остальных 1296 – 625 = 671 вариантах шестерка выпадет хотя бы один раз. Значит, появление шестерки хотя бы один раз при четырех бросаниях происходит чаще, чем ее не появление.
В экзаменах: Согласно теории вероятностей, ученик может просто угадать до 30% правильных ответов. Задачи на нахождение вероятностей есть в ОГЭ (задание 9) и ЕГЭ (задание 4) по математике. Я хочу разобрать некоторые из них.
Задачи из ЕГЭ.
Задача 1: Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,96. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0, 87. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
Решение: Вероятность того, что чайник прослужит больше года (А) равна сумме вероятностей, что чайник прослужит больше года, но меньше двух лет (В) и что чайник прослужит больше двух лет (С). Получаем, А=В+С. Значения А и С нам известны: 0,96 и 0,87 соответственно. Значит, В=А-С=0,96-0,87=0,09.
Ответ: вероятность того, что чайник прослужить больше года, но меньше двух лет, равна 0,09.
Задача 2: Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 10, но не дойдя до отметки 1 час.
Решение: Всего на циферблате 12 секций, между отметками 10 часов и 1 час таких секций 3. Значит, по формуле теории вероятностей: Р=3/12=0,25.
Ответ: 0,25.
Задача 3: Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.
Решение: Формула вероятности двух независимых одновременных событий равна Р=А*В. Значит, Р=0,52*0,3=0,156.
Ответ: 0,156.
Задача 4: Какова вероятность того, что случайно выбранный телефонный номер оканчивается двумя чётными цифрами?
Решение: всего существует пять четных цифр: 0, 2, 4, 6, 8. Вероятность, что число окажется четным равна 5/10=0,5. По формуле, вероятность того, что номер оканчивается на две четных цифры равна 0,5*0,5=0,25.
Ответ: 0,25.
Задача 5: Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.
Решение: Вероятность каждого из первых трех событий равна 0,8. Вероятности 4 и 5 события одинаковы и равны 1-0,8=0,2. Так как события одновременны и независимы, мы перемножаем вероятности: 0,8*0,8*0,8*0,2*0,2=0,02048. Округляя до сотых, получаем 0,02.
Ответ: 0,02.
Задача 6: Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,01. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,96. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,05. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.
Решение: Система может забраковать как исправную, так и неисправную батарейку. Эти события несовместны, тогда вероятность их суммы равна сумме их вероятностей. Возможны два варианта: батарейка неисправна и система ее забраковала, вероятность этого события равна P1=0.01∗0.96=0.0096. Если батарейка исправна, то система тоже может ее забраковать, но с вероятностью P2=0.99∗0.05=0.0495. Тогда найдем искомую вероятность как P=P1+P2=0.0591.
Ответ: 0.0591.
Задача 7: В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,7 погода завтра будет такой же, как и сегодня. 15 июня погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 18 июня в Волшебной стране будет отличная погода.
Решение: Так как нам надо найти вероятность того, что 18 июня будет отличная погода, то на погоду 16, 17 и 18 июня возможны следующие варианты (Х- хорошая погода, О - отличная погода): Х Х О, Х О О, О Х О, О О О. Найдем вероятности каждого из вариантов с учетом того, что 15 июня погода хорошая.
P1=0.7∗0.7∗0.3=0.147,
P2=0.7∗0.3∗0.7=0.147,
P3=0.3∗0.3∗0.3=0.027,
P4=0.3∗0.7∗0.7=0.147.
Так как эти события (варианты развития погоды) являются несовместными, то чтобы найти вероятность того, что 18 июня будет отличная погода, надо сложить получившиеся вероятности (вероятность суммы событий равна сумме вероятностей событий). P=P1+P2+P3+P4=0.468.
Ответ: 0.468.
Задача 8: Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Монтёр» по очереди играет с командами «Ротор», «Статор» и «Мотор». Найдите вероятность того, что «Монтёр» будет начинать только первую игру.
Решение: Капитан команды "Монтер" будет трижды кидать жребий: с капитаном команды "Ротор", затем с капитаном команды "Статор" и с капитаном команды "Мотор". В первом жребии вероятность начать игру равна 0.5. Далее вероятность не начинать игру со "Статором" и с "Мотором" равна также по 0.5. Таким образом, вероятность начать только первую игру равна P=0.5∗0.5∗0.5=0.125.
Ответ: 0.125.
Задача 9: Какова вероятность того, что при бросании двух игральных кубиков выпадут числа, сумма которых делится на 5? Ответ округлите до сотых.
Решение: Всего при бросании двух кубиков возможны 6∗6=36 вариантов. Варианты, при которых выпадут числа, сумма которых кратна 5, следующие: 1 4, 4 1, 5 5, 2 3, 3 2, 6 4, 4 6. Итого имеем 7 таких вариантов. Тогда вероятность того, что сумма чисел будет кратна 5, равна (с учетом округления до сотых) P=7/36=0.19.
Ответ: 0.19.
Задача 10: С 5 по 24 июня включительно в доме должны произвести проверку газовых счетчиков. Найдите вероятность того, что эта проверка осуществится в течение первой недели, т.е. в период с 5 по 11 июня.
Решение: Всего на проверку счетчиков заложено 24-5+1=20 дней. Вероятность того, что проверка произойдет в течение первой недели (7 дней) равна P=7/20=0.35.
Ответ: 0.35.
Формула Бернулли. Закон больших чисел.
При введении понятия вероятности отмечалось, что если вероятность некоторого события А равна p, то вероятнее всего, что при повторении испытания много раз относительная частота благоприятных этому событию исходов будет мало отличаться от значения р. Это утверждение, называемое в теории вероятностей законом больших чисел, лежит в основе всех практических приложений этой теории – оно позволяет с помощью вычисленных вероятностей предсказывать частоту наступления данного события в длинной серии независимых испытаний.
Выведем формулу Бернулли, позволяющую вычислить вероятность того, что в серии из n независимых испытаний событие А, имеющее вероятность р, встретится m раз. Результат серии из nиспытаний можно записать в виде кортежа из букв А и Ᾱ, имеющего длину n. Например, если проведено семь испытаний, причем событие А произошло во втором, третьем и пятом испытаниях, то запишем результат данной серии в виде ᾹААᾹАᾹᾹ. Условие, что испытания данной серии независимы друг от друга, означает, что для вычисления вероятности данного исхода испытаний надо заменить в записи этой серии каждую букву А её вероятностью р, а каждую букву Ᾱ ее вероятностью 1-р и перемножить эти числа.
Пример 1: Проводится серия из 8 независимых испытаний. Событие А имеет вероятность р=0,7. Чему равна вероятность того, что получится исход серии вида ААᾹААᾹАᾹ?
Решение: Заменяем каждую букву А на 0,7, а каждую букву Ᾱ на 1-0,7=0,3. Получаем произведение 0,7*0,7*0,3*0,7*0,7*0,3*0,7*0,3, которое можно записать короче в виде 0,75*0,33. Вычисляя, находим, что искомая вероятность равна 0,00453789≈0,005.
Ответ: ≈0,005.
Вообще, если событие А имеет вероятность р, то вероятность появления конкретной серии из n независимых испытаний, в которой это событие произошло m раз, равна pmqn-m, где q=1-p.
Формула Бернулли:, где – вероятность того, что в серии из n независимых испытаний событие А, вероятность которого равна р, произойдет m раз; – биномиальный коэффициент, равный .
Пример 2: Какова вероятность того, что при десяти бросаниях игральной кости 3 очка выпадут ровно два раза?
Решение: Вероятность выпадения 3 очков при одном броске равна . Поэтому . Так как, кроме того, n=10 и m=2, то по формуле имеем:
Ответ: ≈0,29.
Пример 3: Страховая компания заключила договор со спортсменом-теннисистом на 365 дней (n=365), предусматривающий выплату страхового возмещения клиенту в случае травмы специального вида. Из предыдущей практики известно, что вероятность получения такой травмы теннисистом в любой фиксированный день равна р=0,00037. Вычислить вероятность того, что в течение срока действия договора:
а) не произойдет ни одного страхового случая (m=0);
б) произойдет один страховой случай (m=1);
в) произойдут два страховых случая (m=2).
Решение: q=1-0,00037=0,99963. Подставляем все данные в формулу, имеем:
а) ;
б) ;
в) .
Ответ: а) ≈0,87365; б) ≈0,11803; в) ≈0,00795.
Заключение.
В ходе моей исследовательской работы я познакомилась с теорией вероятностей и некоторыми областями жизни, в которых она применяется. Я узнала много новых и интересных фактах, о которых не знала раньше. Я познакомилась с формулой Бернулли. В дальнейшем я продолжу работу по данной проблематике, но уже более углубленно.
Проанализировав собранную мной информацию, я поняла, что шанс выиграть в лотерею крайне мал, поэтому играть в них не стоит.
Создавая эту работу, я удивилась, насколько широко применяется теория вероятностей, и научилась решать задание 4 в ЕГЭ, связанное с ней. Данный материал можно использовать на уроках математики при изучении теории вероятностей, а также при подготовке к Государственной Итоговой Аттестации (ОГЭ и ЕГЭ).
Выдвинутая мной гипотеза подтвердилась: Теория вероятностей очень часто встречается в нашей жизни и играет в ней немалую роль.
Я считаю цель работы достигнутой.
Используемая литература.
Бородин А. Н. «Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики.» - Спб.: Издательство «Лань», 2004
Гнеденко Д. В. «Курс теории вероятностей» - М.: Физматгиз, 1988
Ивченко Г. И., Медведев Ю. И. «Математическая статистика» 2-е изд. М., 1992
Бытдаева Ф.А., Рудская Ю.Ю. «Использование методов теории вероятностей и математической статистики в экономической сфере» - Международный студенческий научный вестник, 2016
Бочаров П. П., Печенкин А. В. «Теория вероятностей. Математическая статистика.» - М.: Гардарика, 1998
Интернет-ресурсы:
http://vseloterei.com/vazhnoe-o-lotereyakh/loterejnaya-matematika/veroyatnost-vyigrat-v-lotereyu.html про лотереи
https://natworld.info/novosti/verojatnost-i-posledstvija-izverzhenija-supervulkana-jelloustoun про вулкан
https://www.e-reading.club/chapter.php/142510/30/Zamarovskiii_-_Taiiny_Hettov.html про Шампольона
http://interesnik.com/zdorove-i-medicina-kakovy-shansy-popast-pod-udar-molnii-i-pod-motocikl/ про молнии
https://60north.ru/article/mezomasshtab-mify-i-realnost/ про прогнозирование погоды
Приложение 1.
Приложение 2.
Приложение 3.