VI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Решение задач с помощью кругов Эйлера
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
1. Введение
Во все времена представителям самых различных специальностей приходится решать задачи, в которых рассматриваются те или иные комбинации, составленные из букв, цифр и иных объектов.
Комбинаторика – раздел математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, можно составить из данных объектов.
Выбор объектов и расположением их в том или ином порядке приходится заниматься чуть ли не во всех областях человеческой деятельности, например, конструктору, разрабатывающему новую модель механизма, учёному-агроному, планирующему распределение сельскохозяйственных культур на нескольких полях, химику, изучающему строение органических молекул, имеющих данный атомный состав [3].
Гипотеза: показать, что решение комбинаторных задач с помощью кругов Эйлера имеет практическое применение.
Проблема: как решение комбинаторных задач с помощью кругов Эйлера помогают в изучении математики и в жизни.
Цель работы: показать широту применения решений комбинаторных задач с помощью кругов Эйлера для привития интереса учащихся к математике.
Задачи:
Познакомиться с историей возникновения науки комбинаторики;
Научиться составлять и решать задачи с помощью кругов Эйлера;
Применять полученные знания в дальнейшем обучении;
Расширить и углубить представление о практическом значении математики в жизни;
Работать с научно-познавательной литературой, анализировать, делать выводы;
Создать собственный банк задач.
Актуальность выбранной темы заключается в необходимости решения комбинаторных задач на уроках математики, применении их в жизни, т.к. они имеют социальную значимость, помогают разобраться в новых веяниях жизни. Основа хорошего понимания комбинаторики – умение считать, думать, рассуждать, находить удачные решения задач.
2. Основная часть
2.1 Решение задач с помощью кругов Эйлера
Круги Эйлера – это геометрическая схема, которая помогает находить и/или делать более наглядными логические связи между явлениями и понятиями. А также помогает изобразить отношения между каким-либо множеством и его частью [4].
Круги Эйлера – это тот метод, который наглядно демонстри-рует: лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать. Его заслуга в том, что наглядность упрощает рассуждения и помогает быстрее и проще получить ответ.
Метод Эйлера является незаменимым при решении некоторых задач.
При решении целого ряда задач Леонард Эйлер использовал идею изображения множеств с помощью кругов. Однако этим методом ещё до Эйлера пользовался выдающийся немецкий философ и математик Готфрид Вильгельм Лейбниц. Лейбниц использовал их для геометрической интерпретации логических связей между понятиями, но при этом всё же предпочитал использовать линейные схемы [3].
Но достаточно основательно развил этот метод сам Л. Эйлер. Методом кругов Эйлера пользовался и немецкий математик Эрнст Шрёдер в книге «Алгебра логики». Особенного расцвета графические методы достигли в сочинениях английского логика Джона Венна, подробно изложившего их в книге «Символическая логика», изданной в Лондоне в 1881 году. Поэтому такие схемы иногда называют Диаграммы Эйлера — Венна [2].
Задача №1
В классе учатся 40 человек. Из них по русскому имеют «тройки» 19 человек, по математике – 17 человек и по физике – 22 человека. Только по одному предмету имеют «тройки»: по русскому языку – 4 человека, по математике – 4 человека и по физике – 11 человек. Семь человек имеют «тройки» и по математике, и по физике, из них пятеро имеют «тройки и по русскому языку. Сколько людей учатся без «троек»? Сколько людей имеют «тройки» по двум из трёх предметов? [1] Приложение1, Рис. 1
Дальнейшие расчёты не составляют труда.
40-(4+4+11+4+6+2+5)=4 человек учатся без «троек»
6+4+2=12 человек имеют «тройки» по двум предметам
Ответ: 4 человек учатся без «троек», человек имеют «тройки» по двум предметам.
Задача №2
В небольшом городке NN живут 10000 человек. Недавно среди них был проведён опрос «какие машины вам нравятся больше всего?». Результат был таким: 5 000 людям нравятся отечественные машины, 6 000 людям иностранные машины, а 7 тысяч довольны и общественным транспортом. 2000 людям нравятся отечественные машины, но при этом готовы поездить на автобусах. 4000 предпочитаю иностранные машины и автобусы. 2500 людей любят и отечественные и иностранные машины. И только 1000 человек всем довольны. Сколько человек участвовало в опросе? [1]
Решение:
2000 – 1000 = 1000 людей любят только отечественные машины и автобусы
4000 – 1000 = 3000 людей любят только иностранные машины и автобусы
2500 – 1000 = 1500 людей любят и отечественные, и иностранные машины
5 000 людям нравятся отечественные машины, но при этом 1000+1500+1000=3500 людей предпочитают и другие машины, следовательно только отечественные авто любят 500 человек. Также иностранные машины предпочитают 500 людей, а автобусы – 2000 человек. Теперь находим общее количество людей.
3000+1000+500+2000+1000+500+1000=9000 человек
Ответ: 9000 человек участвовали в опросе.
Приложение 1, РИС. 2
Задача №3
На стройке работают 30 рабочих. 17 рабочих строят обувной магазин, 20 рабочих строят парикмахерскую. Сколько рабочих работают на обоих объектах?
Решение:30 – 17= 13 людей строят только обувной магазин. Теперь от 20 отнимем 13 и найдём, что и там, и тут работают только 7 человек. [1] Приложение 1, Рис.3
Задача № 4
Часть туристов разговаривает на английском, а часть на немецком. Английский – 90%, немецкий - 60%. Сколько учеников в классе изучают сразу два языка.
Решение: от всего класса (100%) отнимем английских туристов (90%), получим туристов говорящих только по-английски (10%). А теперь от всех, изучающих немецких (60%), отнимем эти 10%. Получим говорящих на обоих языках (50%).[1] Приложение 2, Рис.4
Задача №5
В классе 30 человек.19-ходят на кружок по математике, 10-на кружок по русскому языку, 1-человек ходит на русский и на математику.
Сколько человек не посещают кружки?
Решение:
19-1=18
10-1=9
30-(18+9+1)=2 человека не посещают ни математику, ни русский.
Приложение 2, Рис.5
Задача № 6
Из 90 детей на футбол ходят 35 детей, на волейбол 28 и на баскетбол 27 детей. На футбол и волейбол ходят одновременно 10 детей, на футбол и баскетбол – 8 детей, на волейбол и баскетбол - 5, на все три – 4. Сколько детей никуда не ходят? [1]
Решение:
10-4=6 ходят на футбол и волейбол
8-4=4 ходят на футбол и баскетбол
5-4=1 ходят на волейбол и баскетбол
На футбол ходят 35 детей, но 4+4+6=14 из них ходят и на другие секции, следовательно, только на футбол ходят 21 ребёнок. Аналогично получаем, что на волейбол ходят 17, а на баскетбол 18. По условию задачи всего 90 детей. 21+17+18+1+4+6+4=71 детей ходят хотя бы на одну секцию, следовательно, 19 детей никуда не ходят.
Приложение 2, Рис. 6
Задача № 7
100 шестиклассников участвовали в опросе, в ходе которого выяснялось, какие пирожки нравятся им нравятся больше: с мясом, с капустой и картошкой. В результате 20 опрошенных выбрали с мясом, 28-с капустой, 12 с картошкой. Выяснилось, что 13 школьников отдают одинаковое предпочтение пирожкам с мясом и капустой, 6-учеников-с мясом и картошкой, 4 ученика с капустой и картошкой, а 9 ребят совершенно равнодушны к пирожкам. Некоторые из школьников ответили, что одинаково любят и мясом, и картошкой, и капустой. Сколько таких ребят? [1]
Решение:
Пусть X – искомое число учеников, любящие все виду пирожков. Тогда: 20+28+12+13+6+4+9+Х=100 Х=6 Приложение 3, Рис. 7
Задача №8
Каждый из 35 шестиклассников является читателем, по крайней мере, одной из двух библиотек: школьной и районной. Из них 25 человек берут книги в школьной библиотеке, 20 – в районной. [1]
Приложение 3, Рис. 8
Сколько шестиклассников:
1. Являются читателями обеих библиотек;
2. Не являются читателями районной библиотеки;
3. Не являются читателями школьной библиотеки;
4. Являются читателями только районной библиотеки;
5. Являются читателями только школьной библиотеки?
Заметим, что первый вопрос является ключевым для понимания и решения данной задачи. Ведь не сразу сообразишь, как получается 20 + 25 = 45 из 35. В первом вопросе звучит подсказка к пониманию условия: есть ученики, которые посещают обе библиотеки. А если условие задачи изобразить на схеме, то ответ на первый вопрос становится очевидным.
Решение.
1. 20 + 25 – 35 = 10 (человек) – являются читателями обеих библиотек. На схеме это общая часть кругов. Мы определили единственную неизвестную нам величину. Теперь, глядя на схему, легко даем ответы на поставленные вопросы.
2. 35 – 20 = 15 (человек) – не являются читателями районной библиотеки. (На схеме левая часть левого круга)
3. 35 – 25 = 10 (человек) – не являются читателями школьной библиотеки. (На схеме правая часть правого круга)
4. 35 – 25 = 10 (человек) – являются читателями только районной библиотеки. (На схеме правая часть правого круга)
5. 35 – 20 = 15 (человек) – являются читателями только школьной библиотеки. (На схеме левая часть левого круга).
Очевидно, что 2 и 5, а также 3 и 4– равнозначны и ответы на них совпадают.
Задача №9.
Часть жителей нашего дома выписывают только газету «Комсомольская правда», часть – только газету «Известия», а часть – и ту, и другую газету. Сколько процентов жителей дома выписывают обе газеты, если на газету «Комсомольская правда» из них подписаны 85%, а на «Известия» – 75%? [1]
Решение.
Здесь нет принципиального отличия от решения предыдущей. На готовом рисунке заменим данные: 25 на 85% и 20 на 75%. Учитывая, что все жители дома составляют 100%, заменяем 35 на 100% и получаем готовое решение: 85% + 75% – 100% = 60%.
Ответ: обе газеты выписывают 60% жителей.
Чем более сложная и запутанная логическая задача, связанная с множествами, тем более очевиден эффект от применения кругов Эйлера. Только после составления рисунка их решение становится достаточно очевидным.
Задача №10.
В трёх седьмых классах 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют в хоре, не увлекаются спортом и не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом? [1] Приложение 3, Рис. 9
Решение.
Д – драмкружок,
Х – хор,
С – спорт.
в круге Д – 27 ребят,
в круге Х – 32 человека,
в круге С – 22 ученика.
Те 10 ребят из драмкружка, которые поют в хоре, окажутся в общей части кругов Д и X. Трое из них ещё и спортсмены, они окажутся в общей части всех трёх кругов. Остальные семеро спортом не увлекаются. Аналогично, 8 – 3 = 5 спортсменов, не поющих в хоре и 6 – 3 = 3, не посещающих драмкружок.
Легко видеть, что 5 + 3 + 3 = 11 спортсменов посещают хор или драмкружок,
22 – (5 + 3 + 3) = 11 занимаются только спортом;
70 – (11 + 12 + 19 + 7 + 3 + 3 + 5) = 10 – не поют в хоре, не занимаются в драмкружке, не увлекаются спортом.
Ответ: 10 человек и 11 человек.
Задача №11.
В классе 30 человек. 20 из них каждый день пользуются метро, 15 – автобусом, 23 – троллейбусом, 10 – и метро, и троллейбусом, 12 – и метро, и автобусом, 9 – и троллейбусом, и автобусом. Сколько человек ежедневно пользуется всеми тремя видами транспорта? [1]
Решение.
1 способ. Для решения опять воспользуемся кругами Эйлера. Приложение 4, Рис. 10
Пусть х человек пользуется всеми тремя видами транспорта. Тогда пользуются только метро и троллейбусом – (10 – х) человек, только автобусом и троллейбусом – (9 – х) человек, только метро и автобусом – (12 – х) человек.
Найдем, сколько человек пользуется одним только метро:
20 – (12 – х) – (10 – х) – х = х – 2.
Аналогично получаем: х – 6 – только автобусом и х + 4 – только троллейбусом, так как всего 30 человек, составляем уравнение:
х + (12 – х) + (9 – х) + (10 – х) + (х + 4) + (х – 2) + (х – 6) = 30,
отсюда х = 3.
2 способ. А можно эту задачу решить задачу другим способом: 20 + 15 + 23 – 10 – 12 – 9 + х = 30, 27 + х = 30, х = 3. Здесь сложили количество учеников, которые пользуются хотя бы одним видом транспорта и из полученной суммы вычли количество тех, кто пользуется двумя или тремя видами и, поэтому, вошли в сумму 2-3 раза. Таким образом, получили количество всех учеников в классе.
Ответ. 3 человека ежедневно пользуются всеми тремя видами транспорта.
2.2 Практическая часть
Я проводила опрос среди учащихся 7-х классов. В опросе принимали участие 87 человек.
Результаты социологического опроса представлены на диаграмме. Приложение 5.
Из результатов диаграммы видно, что хотели научиться решать задачи с помощью кругов Эйлера около 80 % учащихся.
2.3 Сборник задач по комбинаторике
Жена попросила своего мужа купить лук, капусту и морковь. Какими различными способами муж мог совершить покупку?
Записанный номер телефона из пяти цифр (5, 3, 4, 7, 2) оказался неверным. Необходимо определить варианты номера телефона.
Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 2,4,6,8 используя в записи числа каждую из них не более одного раза?
Сколько всевозможных вариантов pin-кода надо перебрать, чтобы среди них наверняка был и забытый?
Из группы теннисистов, в которую входят четыре человека – Иванов, Петров, Сидоров и Федоров, тренер выделяет пару для участия в соревнованиях. Сколько существует вариантов выбора такой пары?
Составьте все возможные трёхзначные числа из указанных цифр,
используя в записи числа каждую из них не более одного раза:
1, 3, 6, 8.
У Арины пять подруг: Катя, Юля, Лиза, Алёна и Таня. Она решила пригласить двух из них в кино. Укажите все возможные варианты выбора подруг. Сколько таких вариантов?
Из города А в город В ведут две дороги, из города В в город С – три дороги, из города С до пристани – две дороги. Туристы хотят проехать из города А через города В и С к пристани. Сколькими способами они могут выбрать маршрут?
В школьных кружках занимаются 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом?
Из 100 ребят, отправляющихся в детский оздоровительный лагерь, кататься на сноуборде умеют 30 ребят, на скейтборде – 28, на роликах – 42. На скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8 ребят, на скейтборде и на роликах – 10, на сноуборде и на роликах – 5, а на всех трех – 3. Сколько ребят не умеют кататься ни на сноуборде, ни на скейтборде, ни на роликах?
В классе 30 учеников. Все они являются читателями школьной и районной библиотек. Из них 20 ребят берут книги в школьной библиотеке, 15 — в районной. Сколько учеников не являются читателями школьной библиотеки?
В классе 35 учеников. 24 из них играют в футбол, 18 — в волейбол, 12 — в баскетбол. 10 учеников одновременно играют в футбол и волейбол, 8 — в футбол и баскетбол, а 5 — в волейбол и баскетбол. Сколько учеников играют и в футбол, и в волейбол, и в баскетбол одновременно?
58 человек ежедневно добираются на работу общественным транспортом: на автобусе, на трамвае или на метро. Каждый пользуется хотя бы одним из видов транспорта. 42 человека из них используют метро, 32 – трамвай, 44 – автобус. 21 человек из них используют метро и трамвай, 31 – метро и автобус, 22 – трамвай и автобус. Сколько среди них человек, которые используют все три вида транспорта, чтобы добраться на работу?
В 6 А классе 15 человек. В кружок «Эрудит» ходят 5 человек, в кружок «Путь к слову» 13 человек, спортивную секцию посещают 3 человека. Причем 2 человека посещают кружок «Эрудит» и кружок «Путь к слову», «Эрудит» и спортивную секцию, спортивную секцию и «Путь к слову». Сколько человек посещают все три кружка?
В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и микроволновку, 19 - и микроволновку, и телевизор, 15- холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?
В детском саду 52 ребенка. Каждый из них любит либо пирожное, либо мороженое, либо и то, и другое. Половина детей любит пирожное, а 20 человек — пирожное и мороженое. Сколько детей любит мороженое?
В поход ходили 80 % учеников класса, а на экскурсии было 60 %, причем каждый был в походе или на экскурсии. Сколько процентов класса были и там, и там?
В нашем классе 24 ученика. Все они хорошо провели зимние каникулы.10 человек катались на лыжах, 16 ездили на каток, а 12 — лепили снеговиков. Сколько учеников смогли покататься и на лыжах, и на коньках, и слепить снеговика?
9 моих друзей любят бананы, 8 – апельсины, а 7 – сливы, 5 – бананы и апельсины, 3 – бананы и сливы, 4 – апельсины и сливы, 2 – бананы, апельсины и сливы. Сколько у меня друзей?
В пионерском лагере «Дубки» в смене актива отдыхали: 30 отличников, 28 победителей олимпиад и 42 спортсмена. 10 человек были и отличниками и победителями олимпиад, 5 — отличниками и спортсменами, 8 — спортсменами и победителями олимпиад, 3 — и отличники, и спортсмены, и победители олимпиад. Сколько ребят отдыхали в лагере?
У всех моих подруг есть домашние питомцы. Шестеро из них любят и держат кошек, а пятеро - собак. И только у двоих есть и те и другте. Угадайте, сколько у меня подруг?
В кондитерском отделе супермаркета посетители обычно покупают либо один торт, либо одну коробку конфет, либо один торт и одну коробку конфет. В один из дней было продано 57 тортов и 36 коробок конфет. Сколько было покупателей, если 12 человек купили и торт, и коробку конфет?
Во дворе стоят машины. Некоторые из них — москвичи, а остальные — жигули. Некоторые из машин красные, а остальные белые. Некоторые из машин новые, а остальные — старые. Известно, что красных москвичей — 3, новых москвичей — 4, а новых красных машин — 5. При этом старых белых москвичей — 2, новых белых жигулей — 1, а старых красных москвичей вообще ни одного. Сколько во дворе новых красных москвичей, если всего машин 21, а старых белых жигулей — 6.
В результате выполнения проектной работы был создан задачник, который состоит из 23 задач и по теории вероятности, и по комбинаторике.
Как видно из моей исследовательской работы, задачи состоят из множества данных. Выстроив данные в единую цепочку, можно увидеть, что решение задач подчиняется одному и тому же способу. Для решения задач, решаемых с помощью кругов Эйлера, был составлен алгоритм, состоящий из следующих этапов:
• Записываем краткое условие задачи.
• Выполняем рисунок.
• Записываем данные в круги (или в диаграмму Эйлера).
• Выбираем условие, которое содержит больше свойств.
• Анализируем, рассуждаем, не забывая записывать результаты в части круга (диаграммы).
• Записываем ответ.
Логические задачи заставляют думать, рассуждать, составлять цепочку действий, последовательность, учат алгоритмизации, что немаловажно в современной жизни. А исследовательские работы учат искать информацию из различных источников (включая и интернет) и обрабатывать её, учат находить из большого материала лишь тот, который необходим.
На уроках математики мы решали эти задачи, некоторые из них вызывали у нас затруднение.
3. Заключение
Диаграммы Эйлера — это общее название целого ряда способов графической иллюстрации, широко используемых в различных областях математики: теория множеств, теория вероятностей, логика, статистика, компьютерные науки, и др. Применение кругов Эйлера позволяет даже пятикласснику легко решать задачи, которые обычным путем решаются только в старших классах.
Моя работа заключалась в том, чтобы узнать подробнее об одном из разделов математики - комбинаторике. Я постаралась выяснить, какие комбинаторные методы применяются в наше время. Научилась составлять и решать задачи с помощью кругов Эйлера. В школьных учебниках мало комбинаторных задач. А ведь они включены в олимпиадные задания, ОГЭ и ЕГЭ. Поэтому мне захотелось помочь учителям и ребятам в изучении данной темы. Я надеюсь продолжить работу над этой темой, разработать уже задачи для учащихся старших классов. Самое главное я считаю, что своей работой я заинтересовала и учащихся нашей школы, и учителей. Ведь придумывая самостоятельно задачи, ребята будут развивать в себе еще логическое мышление и творческие способности.
Список использованной литературы
Гусев В. А., Орлов А. И., Розенталь А. Л. Внеклассная работа по математике в 6-8 классах: книга для учителя. М.: Просвещение, 1984– 286с
Савин А. П. Энциклопедический словарь юного математика – М.: Педагогика, 1989. – 352с.
http://ru.wikipedia.org
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Задачи № 1, № 2, № 3
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Задачи № 5, № 6
Рис. 4
Рис. 5
Рис. 6
ПРИЛОЖЕНИЕ 3. Задачи № 7, № 8, № 10
Рис. 7
Рис. 8
Рис. 9
ПРИЛОЖЕНИЕ 4. Задача № 11
Рис. 10
ПРИЛОЖЕНИЕ 5. Результаты социологического опроса