VI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Практическое применение логарифмов
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Предмет исследования. Применение логарифма на практике, (тема) исторические примеры данного применения.
Актуальность. Регламентирующим принципом не только науки, но и жизни современного человека является поиск разумных объяснений, что значительно отличается от понятия выдвижения мнимых предсказаний. Наличие объяснительной теории в том или ином вопросе является критерием демаркации между научным и ненаучным подходом, к которому в свою очередь относятся различного рода мифы и легенды. Для такого подхода в науке имеются своего рода инструменты для выдвижения основательных гипотез. Логарифм – один из подобных приспособлений науки. О нем заходит речь в случаях беспрерывного изменения состояния изучаемого объекта с ходом времени, что в природе и технике является довольно часто встречающимся случаем.
Гипотеза. Логарифмы, как математический инструмент, позволяют делать основательные предсказания, основываясь на фундаментальной объяснительной теории, а так же позволяют значительно упрощать вычисления в области научных исследований.
Цель. Подтвердить гипотезу на ряде практических примеров.
Задачи.
Методологическое обоснование структуры изучаемого объекта.
Анализ проблемы.
Применение в различных математических вычислениях логарифм.
Создание программного кода для наглядного подтверждения или опровержения выдвинутой гипотезы.
Формулировка выводов проведенного исследования.
Методы исследования:
Восхождение от абстрактного к конкретному
Анализ
Метод визуализации данных
Метод динамического программирования
1. Понятие и свойства логарифмов
Для полного понимания концепции логарифмов и всего с ними связанного следует начать с элементарных основ. Два математических действия имеют по одному обратному. Речь идет о сложении и умножении. Обратное сложению – вычитание, это мы знаем с первого класса. Обратное умножению – деление. Это очень простые действия, с помощью которых математика в самом широком ее понимании не может справиться без дополнительных "инструментов". Возвышение в степень – пятое математическое действие. Оно имеет два обратных. Первое – извлечение корня, т.е. нахождение основания. Второе – логарифмирование, т.е. нахождение показателя, о котором и пойдет речь в работе.
Научное определение логарифма: "Логарифмом числа по основанию называется показатель степени , в которую нужно возвести , чтобы получить число "(М.Я.Выгодский Справочник по элементарной математике, с[274]). Нетрудно запутаться, но в целом понятно. Как и любой другой элемент элементарной математики, логарифмы имеют определенный ряд свойств. Не зная их, большая вероятность допустить ошибку или потратить порядком больше времени на вычисления. Логарифмы имеют следующие свойства:
Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей:
Логарифм частного равен логарифму делимого без логарифма делителя:
Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания:
Логарифм корня равен частному от деления логарифма подкоренного выражения на показатель корня:
Последнее свойство является следствием предыдущего, т.к. .
В отдельные группы выделены логарифмы с основаниями 10 – десятичные и – натуральные. Их легко преобразовать друг в друга. Для представления десятичного логарифма в виде натурального необходимо разделить его на десятичный логарифм числа ( ).
2. Предшественники логарифма
На протяжении всего периода развития арифметики и счетной грамоты люди пытались находить различные способы упрощения и ускорения вычислительных работ. До того как логарифмы вошли в обиход их роль выполнял простой алгоритм вычислений, с помощью которого находили произведение двух чисел путем вычисления разности четвертей квадратов их суммы и равности. В виде формулы это выглядело так:
Это верно и можно проверить, является ли это выражение тождеством, выполнив раскрытие скобок и упрощение.
Этот алгоритм выполнялся быстро за счет того, что каждый математик имел составленную таблицу четвертей квадратов и все что нужно было сделать, это посчитать сами квадраты и вычесть их четверти. Однако раз уже был в ходу довольно удобный способ счета, сводивший умножение к вычитанию, зачем было придумывать такие сложные логарифмы? Все довольно просто. Мало какие важные вычисления обходятся перемножением только двух чисел. В жизни этот ряд может выглядеть нескончаемым. Это тождество удобно, если перемножать нужно только два числа. Точнее не столько удобно, сколько быстро выполнимо. Логарифмы позволяют не смотреть на количество множителей и одновременно упрощать и ускорять действия.
Что такого произошло в истории, что люди стали думать о новом способе счета? Потребность в этом была всегда, но настоятельная потребность возникла в 16 веке. Этот век славится обильным развитием судоходства, мореплавания на большие расстояния. Из этого факта вытекает следствие – сильное совершенствование астрономических расчетов, что в свою очередь и привело к появлению логарифмических расчетов. Попрошу читателя запомнить эту часть рассуждений. Мы к этому еще вернемся.
В конце столетия несколько ученых, независимо друг от друга приходят к выводу о том, что сложности сократятся, если заменить умножение и деление на порядок легче сложение и вычитание. Для этого необходимо было сопоставить геометрическую прогрессию с арифметической, при том, что геометрическая – исходная. Тогда упрощаются не только умножение и деление, но и извлечение корня определенной степени преобразуется в деление логарифма подкоренного выражения на имеющуюся степень.
Вся эта идея принадлежит Михаэлю Штифелю. Так считают, потому что он был первым, кто опубликовал ее в книге собственного написания.
Следующим этапом распространения логарифмов стал 1614 год. Выходит книга на латинском языке под названием "Описание удивительной таблицы логарифмов", автором которой является шотландец Джон Непер.
В одно время с Непером жил еще один математик – Бригг, который всю жизнь восхищался открытием своего современника и немало об этом говорил речей. Однажды он лично поехал в Шотландию только чтобы увидеть в глаза изобретателя столь гениальной вещи как логарифм. В течение своей жизни Бригг интересовался данной темой и даже прославился благодаря ей. Он сделал открытие десятичных логарифмов.
1703 год. Впервые выходят в свет таблицы на русском языке со значениями логарифмов, однако в каждой из них были допущены ошибки. Таблицы, заполненные правильными значениями, были изданы в 1857 году в Берлине.
Со временем логарифмы стали применяться практически во всех сферах жизни, где вычисление проводятся над многозначными числами или где необходима точность до 5-ого знака после запятой. На практике более точные результаты не используются. Логарифмы настолько уникальны, что способны описать практически любое физическое явление.
3. Логарифмическая линейка
Уже не раз говорилось о том, что логарифмы упрощают вычисления, делают их быстрее. Идею этого можно понять разве что на примере. Допустим, перед нами стоит задача найти произведение двух чисел: 10000 и 100. Можно начать их перемножать по всем установленным правилам, записать их в столбик и так далее. Однако согласитесь, более рационально посчитать, сложив количество нулей и приписав это количество в конечный результат. На основе чего этот метод имеет широкое распространение и неоспоримость итогового результата? На основе использования логарифмов. Представим это произведение таким образом: По всем правилам степеней результат будет равен . Однако чисел, которые можно так просто перемножать не так уж и много: 10, 100, 1000, 10000, 10000, 1000000 …
Этих чисел гораздо больше, если основание взять более близкое к 1. Стандартно для примера берут степени двойки. Хотелось бы посмотреть, как это работает, например с тройкой.
Составим таблицу.
Поставим задачу перемножить и . В таблице эти числа стоят под цифрами и соответственно. Складываем показатели степени и получаем . Под девяткой в таблице стоит число . Значит, Для деления справедлив алгоритм обратный данному. То есть если нам нужно разделить на , делаем следующее: под стоит , значит . Немного неясно, зачем это делать и знать, если всегда имеется при себе калькулятор. Чтобы понять смысл стоит задаться вопросом, а как калькулятор получает значение результата? Каждый калькулятор запрограммирован, код программы – те же вычисления, что мы только что провели, только написаны они на языке, понятном компьютеру. Суть этих действий одна как для человека, так и для машины.
Несмотря на то, что в таблице в нижней строке больше чисел, нежели когда мы брали числа с основанием 10, все же числа там далеко не все. Эта таблица не может нести практического значения. Однако, взяв за основание число гораздо более близкое к единице, эта проблема устраняется, и таблица становится очень полезным инструментом для вычислений.
На основе данного метода был создан уникальный инструмент для вычислений – логарифмическая линейка, которую изобрел английский ученый Гунтер. Ее можно отнести к логарифмическим диковинкам. Это такой же рядовой вычислительный прибор как калькулятор для школьника или счеты для греческого математика средневековья.
4. Логарифмы в различных сферах нашей жизни
На самом деле логарифмы применяются в любой науке, связанной с вычислениями, а иногда даже не имеющей к ним никакого отношения, как мы чуть позже убедимся. Чтобы рассмотреть каждую из них не хватит и месяца. Будут рассмотрены лишь некоторые из них.
1. Астрономия
"Изобретение логарифмов, сокращая вычисления нескольких месяцев в труд нескольких дней, словно удваивает жизнь астрономов". Знаменитая фраза великого ученого Лапласа о логарифмах упоминает астрономов. Астрономы не редко проводят сложные вычисления на основе данных, полученных в ходе долгих наблюдений. Какие же именно вычисления требуют применения логарифмов?
В астрономии логарифмы имеют очень обширное распространение. Это объясняется в первую очередь тем, что в этой науке задействованы очень большие масштабы. Для того чтобы просто представить себе Вселенную как объект или посмотреть на нее со стороны времени нужен соответствующий масштаб. Человеческое сознание не способно воспринимать такие вещи в реальном размере, а иногда даже не может воспринять в 10000000 раз уменьшенном виде. Для этого была создана логарифмическая шкала, которая используется не только в астрономии, но имеет в ней большое значение. Есть даже бумага, разлинованная в логарифмическом масштабе. Практически ее иногда используют для графиков степенных функций.
Практически каждая вторая формула в астрономии, астрофизике и других перекрестных науках не обходятся без логарифма. Примеры:
Расчет абсолютной визуальной звездной величины
Расчет относительной визуальной звездной величины
Расчет абсолютной болометрической звездной величины
Расчет относительной болометрической звездной величины
Теоретическая зависимость радиуса от массы для твердых планет
Расчет площади поверхности планеты
Разберем каждый случай по отдельности
Первые четыре пункта высчитывают различные звездные величины. Звездная величина – это классы, на которые разделены звезды по их блеску. Болометрическая звездная величина – это величина по всему спектру, включающая невидимое глазом излучение.
Соответствующие формулы для данных расчетов:
-
где относительная (наблюдаемая) визуальная звездная величина, – расстояние до звезды, – световой поток от звезды, – световой поток от Солнца: люмен. Все значения для практических измерений имеются для каждой изученной в полной мере звезды.
-
-
где – светимость звезды, – светимость Солнца: Вт, – относительная (наблюдаемая) болометрическая звездная величина.
-
- – теоретическая зависимость радиуса от массы для твердых планет, где радиус и масса планеты, – коэффициенты, зависящие от химического состава планеты.
На таблице представлены коэффициенты в формуле теоретической зависимости радиуса от массы для твердых планет.
По итогу изучения теоретического материала, представленного выше, была создана программа, позволяющая рассчитать абсолютную визуальную и абсолютную болометрическую звездные величины. Программа была написана на высокоуровневом языке общего назначения Python версии 3.4 (см. приложение 1 )
import math
#идет рассчет абсолютной визуальной звездной величны
F = int(input('Введите значение светового потока от рассматриваемой звезды\n'))
d_1 = F/3.4690000000000000000000000000000
d_2 = math.log10(d_1)
d_3 = 2.5 * d_2
d_4 = 4.82-d_3
print('Абсолюная визуальная звездная величина данной звезды ', d_4)
#рассчет абсолютной болометрической (по всему спектру, включая невидимое глазом излучение) звездной величины, для красивой работы лучше вводить запрашиваемые данные той же звезды
l1 = 3.842*10**26
l = int(input('Введите значение светимости звезды: '))
d1 = l/l1
d2 = math.log10(d1)
d3 = 2.5 * d2
d4 = 4.75 - d3
print('абсолютная болометрическая звездная величина данной звезды ', d4)
- – формула расчета площади поверхности планет, где , экваториальная полуось эллипсоида (для планет обе экваториальные полуоси равны, т.к. они представляют собой эллипсоиды вращения), полярная полуось (параллельная оси вращения).
В рамках практической части была проведена работа над созданием программ, высчитывающих площади поверхностей планет, также на высокоуровневом языке общего назначения Python версии 3.4 (см. приложение 2 ).
import math
a = float(input('Введите значение экваториальной полуоси эллипсоида \n'))
b = float(input('Введите значение полярной полуоси (параллельной оси вращения) \n'))
first = b/a
second = first**2
third = 1-second
e = math.sqrt(third)
d1 = 1+e
d2 = 1-e
d4 = math.log(d1/d2)
d5 = 1-e**2
d6 = 2*e
d7 = d5/d6
d8 = d7*d4
d9 = 1+d8
d10 = 2 * math.pi * a**2
d11 = d10*d9
print('площадь поверхности рассматриваемой планеты равна ', d11).
Правдивость данной расчетной программы была проверена на примере планеты Венеры путем ввода в программу ее данных. Программа показала высокую точность и верность вычислений (см. приложение 2 )
2. Навигация
Формулы помогают нам найти нужные значения, но для полного понимания сути существования логарифмов следует найти и изучить более наглядный материал. Навигация для этого самый лучший вариант.
Локсодромия – линия на сфере, которая пересекает под одинаковым углом меридианы. Другими словами это кривая, в каждой точке имеющая путевой угол
С использованием в навигации магнитных компасов стало зарождаться понятие локсодромии. Простой пример: самолет летит с постоянным курсом относительно меридиана, над которым пролетает, и если магнитное склонение нулевое и нет ветра, то самолет в этой ситуации осуществляет движение по линии локсодромии.
Уравнение локсодромии выглядит следующим образом: , где – постоянные для данной локсодромии величины. Для того чтобы найти долготу нужно подставить в правую часть равенства соответствующую ей широту . Локсодромия - не единственная область навигации, использующая логарифмы в своих вычислениях. Однако в данной работе будет рассмотрена только она.
По определению локсодромии можно понять, что она представляет собой логарифмическую спираль на сфере, которая асимптотически приближается к полюсам, но никогда не пересекает их.
Итогом была проведена практическая работа по построению логарифмической спирали различными способами. В приложении 3 показана спираль, построенная путем заложения в основу программы GeoGebra уравнения логарифмической спирали в полярных координатах ( ). В приложении 4 представлена логарифмическая спираль, построенная с помощью прямоугольников, стороны которых имеют определенное отношение. Длины их сторон представлены числовым рядом Фибоначчи. Такая же работа была проведена вручную.
3. Психология
Громкость звука измеряют в децибелах, которые пропорциональны логарифму мощности звука, воздействующего на ухо. Употребление логарифмических шкал продиктовано особенностями наших органов чувств: зрения, слуха и т.д. Человеческий мозг воспринимает раздражения от органов чувств не пропорционально силе раздражителя (как мы рассматривали мощность звука), а лишь пропорционально ее логарифму. Именно поэтому ухо одинаково способно слышать шорох листьев и не оглохнуть от громкого удара станка на заводе. А глаз может заметить, как блестит снег на свету и не ослепнуть, если посмотрит на Солнце, которое в миллиарды раз ярче.
Описанные выше сведения объединяются законом психофизики, установленным Фехнером, который говорит, что мера ощущения пропорциональная логарифму величины раздражения.
4. История
Тот факт, что логарифмическая шкала позволяет увидеть и осознать объекты большого масштаба позволяет применять понятие логарифма и в истории. Чтобы представить себе всю эволюцию нашего человечества нужно представить его историю в масштабе, который подвластен представлению. В этом на помощь приходит логарифмический масштаб (шкала). Такая система называется логарифмической шкалой времени.
Из этого следует, что логарифмы применимы в математическом моделировании развития мира, культуры, экономики и так далее.
5. Физика
То, какое значение логарифм имеет в физике, является отдельной темой для проекта по количеству материала, имеющегося по этому направлению. Здесь будет рассмотрена только одна формула – формула Циолковского.
Формула Циолковского значительно выделяется на фоне всех приведенных в этой работе расчетов. Это достижение было важным для истории тем, что открыло новую эпоху в сфере естествознания и космонавтики. Формула предназначена для того, чтобы рассчитывать характеристическую скорость летательного аппарата, т.е. скорость которую он приобретает под действием тяги двигателя, не имея воздействия со стороны других сил. Эта формула приобретает соответствующий вид в зависимости от вида самого рассматриваемого аппарата. Речь идет о количестве ступень ракеты. Для ракет с 2-мя, 3-мя ступенями действительная более сложная формула, которая не рассматривается в данной работе. Для ракет с 1-ой ступенью используется формула более простого вида: . Где – удельный импульс ракетного двигателя, – начальная масса РН (ракета-носителя), включающая в себя массу полезной нагрузки, самого аппарата и топлива на момент старта, – "сухая масса", т.е. масса полезной нагрузки и аппарата. На данный момент существует одна ракета подобного вида, разрабатываемая в России, обладающая одной ступенью. Она называется РН "Корона" и разрабатывается уже на протяжении 25 лет. Данные необходимые для подстановки были взяты из характеристик этого ракета-носителя и написана соответствующая программа. Результаты смотрите в приложении 5.
5. Незамысловатый фокус
Представьте, что в ваш город приехал фокусник, утверждающий, что может с легкостью вычислить корень высокой степени из многозначного числа. Перед представлением вы заготовили 31-ю степень какого-нибудь многозначного числа и в итоге получили пятизначное. Уверенные в том, что фокусник не сможет извлечь из него корень вы начинаете говорить "31-ая степень этого числа : пятизначное число …" и тут произошло чудо, этот волшебник уже написал вам ответ на доске, даже не услышав само число. Как так вышло?
На самом деле здесь нет ничего сложного. Есть только одно число, которое в 31-й степени дает пятизначное число. Однако даже если так, то откуда тот фокусник знал это и смог так быстро отыскать нужное число?
Для этого он заучил двузначные логарифмы для первых 15-20 чисел. Тем более эта задача сильно упрощается знанием того факта, что зная логарифмы 2,3 и 7, можно в уме легко найти логарифмы чисел первого десятка ( ).
Когда вы сказали фокуснику, что 31-ая степень числа дает пятизначное число, ему оставалось только выполнить следующее действие: . Значение этого выражения лежит где-то между 1,09 и 1,13. Этот интервал включает в себя только один логарифм от целого числа. Это 1,11 – логарифм числа 13. Конечно, чтобы такое проделать в уме нужна тренировка, но если видеть это все перед глазами, то все довольно просто.
Теперь уже перед вами стоит задача извлечь корень 64 степени из 20-значного числа. Получим: То есть значение лежит в интервале между или по-другому между 0,29 и 0,31. Такое значение только одно 0,3 – логарифм числа 2.
Заключение
Использование логарифмов дает людям преимущество в виде упрощения и ускорения сложных вычислительных операций. Бесспорно, будет нерационально использовать это при умножении 6 на 3, но при действиях с по-настоящему большими числами данное преимущество значительно упростит задачу.
Логарифмическая функция дает нам возможность по-другому взглянуть на масштабные процессы, происходящие в огромных пространствах и временных интервалах для понимания и осмысления общей картины.
В ходе работы поставленные задачи были выполнены, гипотеза подтверждена, проработана практическая часть и цель достигнута.
Список литературы
1. . Вильчек Ф. Красота физики: постигая устройство природы: пер. с англ. – 2-е изд. – М.: Альпина нон-фикшн, 2017.
2. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике – Москва: Издательство: АСТ: 2017
3.Засов А.В., Постнов К.А. Общая астрофизика – Фрязино: Век 2: 2015
4 Перельман Я.И. Занимательная алгебра. – СПб.: СЗКЭО, 2017
5. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов – Москва: государственное издательство физико-математической литературы, 1963
6. Энциклопедия для детей: Т.8. Астрономия. – 2-е изд., глав.ред. М.Д.Аксенова – М.: Аванта+, 1999
7. https://ru.wikipedia.org – Википедия, Свободная Энциклопедия
Приложения
Приложение 1. Звездные величины. Расчет.
Приложение 2. Площадь планеты. Расчет и проверка.
(взято с википедии)
Приложение 3. Логарифмическая спираль
Приложение 4. Логарифмическая спираль
Приложение 5. Формула Циолковского. Расчет и проверка.