VI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Умножение с увлечением
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
«Предмет математики настолько серьезен,
что полезно не упустить случая,
сделать его немного занимательным».
Блез Паскаль
Выдающийся педагог Иоганн Песталоцци утверждал, что «Счет и вычисления – основа порядка в голове». К сожалению, у современного поколения снижен уровень вычислительных навыков. Мы даже не пытаемся считать без помощи калькулятора. Эту тему я выбрал в надежде, что найду способы быстрого счета, которые снизят нашу зависимость от гаджетов. Русский математик Всеволод Беллюстин в книге «Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики» пишет, что нам привыкшим умножать в «столбик» методом Адама Ризе, представляется чем-то странным, что могут существовать еще другие способы умножения, а между тем их очень много. Ни в каком другом действии не встречается такого разнообразия как в умножении.
Актуальность и новизна моей работы в том, что я подобрал удобные способы умножения, для разных возрастных групп (даже для детей, не знающих таблицу умножения), опираясь на которые можно решать примеры любой сложности без помощи калькулятора. Также, я сравнил по правильности и быстроте вычислений новые способы и хорошо изученный метод - умножение в «столбик».
Цель работы: научиться умножать, без калькулятора и научить этому всех желающих. В своей работе я выдвинул следующую гипотезу: без помощи калькулятора можно умножать любые числа, нужно только верно подобрать способ умножения.
Объект исследования: арифметическое действие умножение. Предмет исследования: быстрота и правильность умножения различными способами.
Задачи исследования:
изучить научно-методическую литературу об умножении;
освоить новые методы умножения;
обучить желающих различным методам умножения;
сравнить быстроту и правильность умножения различными методами.
Методы исследования: анализ научно-методической литературы по указанной теме; математические вычисления; социологический опрос; наблюдение; составление таблиц и диаграмм; сравнение и сопоставление.
Основная часть. Теоретическое исследование
С чего начать? Пифагор говорил: «Всё есть число». Для записи чисел чаще всего мы пользуемся арабскими цифрами, которые «изобрели» в Индии примерно 1500 лет назад. Поэтому первым я решил рассмотреть индийский способ умножения.
1. Индийский способ(рис.1). Арабский математик Абу Мусса аль – Хорезми в «Книге об индийском счете» описал способ, используемый в Древней Индии - «метод решётки».
Описание способа: 1) Чертим «решетку». Вверху (слева направо) и справа (сверху вниз) записываем числа. 2) Каждую клетку «решетки» делим пополам диагональю и перемножаем цифры. Результат заносим в соответствующую клетку таким образом: над диагональю записываем количество десятков (выделено красным цветом), под диагональю – количество единиц (выделено синим цветом). 3) Сложим числа, которые получились в каждой большой диагонали и запишем результат справа налево. Если сумма чисел в диагонали – двузначное число, то цифру десятков прибавляем к числу, стоящему слева. Запишем цифры, полученные в разряде единиц справа налево, и получим искомое произведение.
Плюсы способа: Надёжный способ вычисления. Ничего не нужно держать в уме. Минусы способа: Долго чертить «решетку», нужны знания таблицы умножения. Затруднения, которые возникли, при изучении способа: Оформление «решетки».
2. Китайский способ(рис.2). В Древнем Китае для умножения использовали «рисовальный» способ. Уникальность его в визуализации чисел.
Описание способа: 1) Изобразим первое число горизонтальными, а второе вертикальными линиями, отделяя разрядные слагаемые достаточно большими промежутками. 2) Далее, диагональными линиями отделяем точки, полученные на пересечениях прямых. 3) Подсчитаем количество точек в каждой группе. Если число точек оказалось двузначным, то цифру десятков прибавляем к числу слева. 4) Записываем цифры, которые получились в разряде единиц справа налево. Полученное число и является ответом.
Плюсы способа: Можно умножать любые числа, не зная таблицу умножения. Минусы способа: Становится трудоёмким при работе с числами, содержащими большие цифры (например, цифры 9 и 8). Затруднения: Я не нашёл информации об умножении этим способом чисел, содержащих цифру нуль. Если исключить «нулевой» разряд, то правильный ответ не получится, тогда я попробовал обозначать «нулевые» разряды пунктирными линиями, а точки пересечения с ними считать за нуль. Оказалось, что в этом случае данный способ также работает.
3. Древнерусский способ(рис.3). В России 2-3 века назад был распространен способ, который получил название – «крестьянского» или «удвоение и раздвоение».
Описание способа: 1) Первый множитель (как правило, чётный) делим на 2, а второй множитель умножаем на 2. Результаты записываем в столбцы под соответствующими числами. Процесс повторяется, пока в частном не получим 1. Число, стоящее напротив 1 и есть ответ (рис.3 вариант 1). 2) Если оба множителя нечётные, или при делении получаем нечётное число, то откидываем единицу и делим остаток пополам. Далее, к последнему числу правого столбца прибавляем все числа из этого столбца, которые стоят напротив нечетных чисел левого столбца – сумма и будет искомым произведением (рис.3 вариант 2) .
Плюсы способа: Можно перемножать любые числа, зная лишь таблицу умножения на 2. Минусы способа: Умножение больших чисел, особенно нечетных, трудоемко. Затруднения: Длительность и громоздкость записи.
4. Египетский способ(рис.4). Это самый древний способ умножения. Ему 40 веков. Он дошел до нас благодаря «папирусу Ринда» (по имени ученого, открывшего его).
Описание способа: Первый множитель заменяли 1. Оба множителя параллельно умножались на 2. Неполные произведения записывались столбцами под своими множителями, пока сумма чисел в первом столбце не равнялась первому множителю. Тогда искомым произведением будет сумма, соответствующих чисел из второго столбца.
Плюсы способа: Можно перемножать любые числа, зная таблицу умножения на 2. Минусы способа: Трудоемкость при умножении больших чисел. Затруднения: Длительность и громоздкость записи.
5. Умножение на 9(рис.5). Несомненно, счёт на пальцах относится к древнейшим способам счёта. При помощи пальцев люди научились не только изображать различные числа, складывать и вычитать, но даже умножать.
Описание способа: Положив обе руки рядом на стол, по порядку пронумеруем пальцы обеих рук слева направо. Загибаем «тот палец, номер которого означает число, на которое умножается 9; тогда число пальцев, лежащих слева от загнутого пальца, определяет число десятков, а число пальцев, лежащих справа от загнутого пальца, обозначает число единиц полученного произведения». [7, с.22]
Плюсы способа: Визуальность. Облегчает изучение таблицы умножения на 9. Минусы способа: Работает только при умножении однозначных чисел на 9. Затруднения, которые возникли при изучении этого способа: Не было.
6. Умножение на 11 (рис.6). Выдающийся математик Яков Перельман в своей книге «Быстрый счет. Тридцать простых приемов устного счета», предлагает универсальный способ умножения на 11: «Чтобы устно умножить число на 11, приписывают к нему ноль и прибавляют множитель». Например: 62 х 11 = 620 + 62 = 682 [6, с.9].
Предлагаю еще один очень удобный способ умножения на 11.
Описание способа: 1) Записываем множитель, раздвигая цифры, как бы с «пробелом» посередине. Далее складываем цифры, образующие число, а их сумму вносим в «пробел» (вариант 1). 2) Если полученное в сумме число двузначное, то к цифре слева прибавляем 1, а число единиц записываем посередине (вариант 2).
Плюсы способа: Я попробовал применить этот способ для чисел большего порядка и у меня получилось. В этом случае, также раздвигаем первую и последнюю цифры числа, а в «пробел» справа налево последовательно вносим суммы всех пар соседних цифр составляющих число. Количество десятков, также прибавляем к цифре слева. Минусы способа: Нет. Затруднения, которые возникли при изучении этого способа: Не было.
7. Умножение в интервале от 10 до 19(рис.7). Изучая интернет источники, я нашёл очень оригинальный, похожий на математический фокус, способ умножения. [4]
Описание способа: 1) Произведением всегда будет трехзначное число. 2) Первые цифры произведения получаем, прибавляя к первому множителю единицы второго множителя. 3) Последние цифры произведения получаем, перемножая единицы обоих множителей. 4) В случае, если при умножении единиц, получается двузначное число, то его десятки прибавляем к числу слева.
Плюсы способа: Простота и быстрота счета. Минусы способа: Ограниченность применения заданным числовым интервалом. Затруднения: Изначально данный способ предлагался для умножения всех двузначных чисел. Однако я заметил, что он действует только в пределе второго десятка, а при умножении чисел, превышающих 19, этот метод не работает.
8. Умножение двузначных чисел методом Ферроля(рис. 8).
Описание способа: 1) Для получения единиц перемножаем единицы множителей. 2) Для получения десятков умножаем десятки первого числа на единицы второго и наоборот: десятки второго на единицы первого. Результаты складываем. 3) Для получения сотен перемножаем десятки.
Плюсы способа: Универсальность. Можно перемножать любые двузначные числа. Минусы способа: Умножение чисел с большими цифрами достаточно трудоёмко. Затруднения: Непривычен горизонтально ориентированный алгоритм вычислений.
9. Умножение «крестом»(рис.9). Этим способом любили считать греки и называли его «хиазмом», потому, что греческая буква «Х», как раз напоминает крестик. Индусы были в восхищении от этого метода, умножали им очень быстро и называли его «молниеносным».
Описание способа: 1)Перемножаем десятки и записываем в виде двузначного числа под десятками. 2)Перемножаем единицы и записываем в виде двузначного числа под единицами. 3)Крестом перемножаем десятки первого на единицы второго множителя, результат записываем ниже, со сдвигом на один шаг влево. И наоборот десятки второго на единицы первого. Результат записываем под предыдущим. 4) Все цифры складываем по вертикали.
Плюсы способа: Компактность и привычная вертикальная ориентация записи. Минусы способа: В первоначальной версии этого метода были промежуточные вычисления, которые выносились за пределы основной записи. Затруднения: Оформление записи. Для удобства вычислений я решил записывать результаты не отдельными строками, а столбиком, как уже описывал выше. Суть метода от этого не изменилась, а получить ответ стало намного легче и быстрее.
10. Умножение двузначных чисел начинающихся с одинаковых первых цифр, сумма вторых цифр которых равна 10(рис.10).
Описание способа: 1) Для получения первых двух цифр произведения, число десятков умножаем на следующее, стоящее за ним в натуральном ряду число. 2) Для получения последних двух цифр произведения перемножаем единицы. Если в результате получаем однозначное число, записываем его как двузначное с нулём впереди.
Плюсы способа: Я попробовал считать этим способом числа больших разрядов, и оказалось, что если считать цифры перед единицами единым числом, то метод работает. Минусы способа: Ограниченность применения. Затруднения, которые возникли при изучении этого способа: Не было.
11. Возведение в квадрат двузначных чисел оканчивающихся на 5(рис. 11). Этот способ является частным примером предыдущего метода.
Описание способа: 1) Для получения первых цифр произведения, число десятков умножаем на следующее, стоящее за ним в натуральном ряду число. 2) К полученному результату приписываем 25.
Плюсы способа: Как и предыдущий способ, этот тоже можно расширить на числа, больших разрядов. В этом случае все цифры, стоящее перед 5 нужно считать одним числом. Минусы способа: Ограниченность применения. Затруднения, которые возникли при изучении этого способа: Не было.
12. Возведение в квадрат любых двузначных чисел(рис. 12).
Описание способа: 1) Округлим число. Запомним разницу между круглым и первоначальным числом. 2) Найдём второе число: если при округлении разницу прибавляли к первоначальному числу, то теперь мы её должны вычесть, а если вычитали, то прибавить к первоначальному числу. 3) Найдём произведение чисел, полученных в 1 и 2 пунктах. 4) К произведению прибавим квадрат разницы.
Плюсы способа: Универсальность для двузначных чисел. Минусы способа: Много вычислений. Затруднения, которые возникли при изучении этого способа: Не было.
13. Умножение чисел близких к 100, 1000,10 000…1000 000…(рис.13).
Описание способа: 1) Количество цифр в ответе равно количеству цифр в обоих множителях. 2) Каждый множитель запишем в виде разности ближайшего круглого числа (100, 1000…) и разницы между ним и первоначальным числом. 3) Первые цифры ответа состоят из разности первого множителя и разницы от второго множителя (или из второго множителя можно вычесть разницу от первого множителя). 4) Чтобы получить последние цифры перемножаем разницы от обоих множителей. 5) Свободные места в произведении заполняем нулями.
Плюсы способа: Опытным путем я установил, что использовать этот способ можно и для множителей с разным количеством разрядных слагаемых. Особенность в этом случае состоит в том, что округлять оба множителя необходимо до одного числа. Минусы способа: Удобно применять только на числах близких к круглым. Затруднения, которые возникли при изучении этого способа: Не было.
Основная часть. Практическое исследование
Исследовать быстроту и правильность новых методов умножения мне помогали ученики 5, 8 и 9 классов. Я решил познакомить их с китайским способом, потому что при его использовании не требуется знание таблицы умножения. Также я рассказал ребятам о возведении в квадрат чисел, оканчивающихся на 5 и умножении чисел, близких к 100, 1000 и т.д., потому что данные способы позволяют значительно сократить время вычислений.
1. Сравнительный анализ различных методов умножения среди учеников 5 класса (таблица 1). В исследовании приняли участие 23 ученика 5 класса. Сначала ребята решали примеры на умножение в «столбик», а потом, после демонстрации новых методов умножения, решали аналогичные примеры предложенными способами. Все вычисления фиксировались по времени и оценивались на правильность.
2. Исследование различных методов умножения на правильность и быстроту вычислений среди учеников 5 класса (таблица 2.). В данной возрастной группе, Китайский метод по времени уступает традиционному лишь на 3 секунды, однако, количество ошибок при этом уменьшилось вдвое. При возведении чисел в квадрат время вычислений сократилось в 3 раза, однако, количество ошибок возросло на 8%. А вот при умножении чисел, близких к 100 и время уменьшилось в 2 раза и количество ошибок сократилось на 13% (диаграммы 1.1 и 1.2).
3. Исследование быстроты правильных вычислений различными способами среди учеников 5 класса (таблица 3). В каждом способе получился большой размах по времени, в основном из-за неверных ответов и я решил проанализировать быстроту только правильных вычислений. Оказалось, что у тех, кто понял новые методы, на Китайский способ тратится только на 5 секунд больше, чем на решение в «столбик»; в квадрат числа возводятся в 4 раза быстрее и примерно в 2 раза быстрее умножаются числа, близкие к 100 (диаграмма 2).
4. Сравнительный анализ различных методов умножения среди учеников 8 и 9 классов (таблица 4.). В исследовании приняли участие 41 ученик 8-9 классов. Сначала ребята решали примеры на умножение традиционным способом – в «столбик», а потом, после демонстрации методов умножения, ученики решали аналогичные примеры на умножение предложенными способами. Все вычисления фиксировались по правильности и времени.
5. Исследование различных методов умножения на правильность и быстроту вычислений среди учеников 8 и 9 классов (таблица 5). При решении Китайским способом количество ошибок больше на 15% и времени тратится в среднем на 19 секунд больше, чем при решении традиционным способом. При возведении чисел в квадрат и умножении чисел, близких к 100 сократилось как время вычислений (в 2-2,5 раза) так и количество ошибок (на 2-15%) (диаграммы 1.1 и 1.2).
6. Сравнительный анализ умножения «столбиком» и альтернативными способами выполненный одним учеником (таблица 6). Я сравнил время, затраченное мною на решение примеров каждым новым способом и умножением в «столбик». Индийский, Китайский, Египетский, Древнерусский методы требуют в 2-6 раз больше времени на решение, чем традиционный способ. Незначительный выигрыш по времени дают: умножение на 11, «крестом» и методом Ферроля. А вот остальные способы сокращают время вычислений в 3-9 раз. Например: в 9 раз быстрее возводятся в квадрат числа, оканчивающиеся на 5, и перемножаются числа, близкие к 1000 (диаграмма 3).
7. Анализ всех вычислений по количеству ошибок (таблица 7). При анализе количества ошибок, оказалось, что в обеих возрастных группах при решении новыми способами ошибок не намного, но меньше, чем при решении в «столбик» (у 5 класса на 7%, у 8-9 классов на 0,8%) (диаграмма 4). При сравнении между группами получилось, что ученики 8-9 классов допустили меньше ошибок, чем пятиклассники как при решении в «столбик» (на 11,6%) так и при решении новыми методами (на 5,4%).
Выводы
Данное исследование может быть полезно учащимся разных параллелей. С уверенностью можно сказать, что способы, основанные на удвоении и визуализации чисел эффективнее использовать на начальных этапах обучения. В связи с простотой применения и подробностью записи, они позволяют лучше усвоить материал и уменьшить количество ошибок, но не могут сократить время вычислений.
Умножение больших чисел в «столбик» сложный процесс для любого возраста и сопровождается ошибками (до 36%). Новые способы умножения, похожи на арифметические фокусы, их применение ведет к снижению количества ошибок, облегчает и ускоряет процесс вычислений в 2-9 раз.
Заключение
В ходе работы 7 из 13 способов умножения были уточнены и дополнены, проведены занятия в 5, 8 и 9 классах, выпущено «Пособие по быстрому умножению» в виде брошюры (фото 1.1, 1.2) и наглядные пособия по наиболее востребованным способам (фото 2.1 – 2.8).
В процессе исследования, я и ребята, которые мне помогали, приобрели опыт вычислений без помощи калькулятора. Думаю, что работа в этом направлении может быть продолжена. Полагаю, что полученные знания позволят нам избежать ошибок при вычислениях не только на уроках, но и в повседневной жизни.
В ходе исследования доказано, что в связи с большим разнообразием способов умножения, можно подобрать оптимальный метод для любого частного случая. Это дает возможность быстро, и что особенно актуально, правильно считать без калькулятора. Следовательно, гипотеза работы верна.
Русский математик Всеволод Беллюстин писал: «Подобные приемы, действительно дают при устном счете громадную выгоду и удобство.
Список использованных источников и литературы
Баврин И.И., Фрибус Е.А. Старинные задачи. М. «Просвещение»,1994. – 128с.
Беллюстин В. Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики. Статья. [Электронный ресурс] режим доступа:: https://www.rulit.me/books/kak-postepenno-doshli-lyudi-do-nastoyashchej-arifmetiki-s-tablicej-read-257007-3.html
Китайско-Японская система. Статья. [Электронный ресурс] режим доступа: http://uk-optimist.ru/spravka/obmen-opytom/450-kitajsko-yaponskaya-sistema-umnozheniya
Математические хитрости. Умножение двузначных чисел. Статья. [Электронный ресурс] режим доступа http://www.tutortube.ru/index.php?catid=2:articles&id=31:2011-01-30-10-06-45&Itemid=72&option=com_content&view=article,
Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В., Потапов М.К. Старинные занимательные задачи. М. «Наука»,1988. – 160с.
Перельман Я.И. Быстрый счет. Тридцать простых приемов устного счета. Л.: Лениздат, 1941. - 12с.
Перельман Я.И. Занимательная арифметика. М. АСТ Астель, 2003. – 268с.
Приложение 1.
|
Рис.1 |
Рис.2 |
|
|
Рис.3 |
Рис.4 |
|
|
Рис.5 |
Рис.6 |
|
|
Рис.7 |
Рис.8 |
|
|
Рис. 9 |
Рис.10 |
Рис.11 |
|
Рис.12 |
Рис.13 |
|
Приложение 2
Таблица 1. Сравнительный анализ умножения «столбиком» и альтернативными способами умножения (группа учеников 5 класса).
|
№ |
1задание |
2 задание |
3 задание |
||||||||||
|
Столбик |
Китайский способ |
Столбик |
Возведение в квадрат чисел на 5 |
Столбик |
Умножен. близких к 100 |
||||||||
|
правильность |
время (сек) |
правильность |
время (сек) |
правильность |
время(сек) |
правильность |
время(сек) |
правильность |
время (сек) |
правильность |
время (сек) |
||
|
1 |
1 |
26 |
1 |
30 |
1 |
55 |
0 |
24 |
0 |
170 |
0 |
39 |
|
|
2 |
1 |
30 |
1 |
30 |
1 |
60 |
0 |
20 |
0 |
126 |
1 |
62 |
|
|
3 |
1 |
64 |
1 |
62 |
1 |
30 |
1 |
15 |
1 |
83 |
1 |
23 |
|
|
4 |
1 |
61 |
1 |
74 |
0 |
29 |
0 |
31 |
0 |
72 |
1 |
25 |
|
|
5 |
0 |
50 |
1 |
58 |
1 |
100 |
1 |
5 |
1 |
60 |
1 |
20 |
|
|
6 |
1 |
36 |
1 |
50 |
0 |
40 |
1 |
30 |
0 |
99 |
1 |
49 |
|
|
7 |
0 |
30 |
1 |
60 |
1 |
35 |
0 |
12 |
1 |
98 |
0 |
74 |
|
|
8 |
1 |
34 |
1 |
32 |
1 |
30 |
1 |
3 |
1 |
89 |
1 |
26 |
|
|
9 |
0 |
67 |
1 |
40 |
1 |
26 |
1 |
17 |
0 |
99 |
0 |
35 |
|
|
10 |
1 |
114 |
0 |
90 |
1 |
32 |
1 |
12 |
0 |
96 |
0 |
24 |
|
|
11 |
0 |
90 |
1 |
46 |
1 |
20 |
0 |
5 |
1 |
97 |
0 |
47 |
|
|
12 |
1 |
26 |
1 |
61 |
1 |
24 |
0 |
3 |
0 |
100 |
0 |
45 |
|
|
13 |
1 |
34 |
1 |
94 |
1 |
22 |
1 |
10 |
0 |
57 |
0 |
85 |
|
|
14 |
1 |
17 |
1 |
24 |
1 |
31 |
1 |
4 |
0 |
60 |
0 |
78 |
|
|
15 |
1 |
14 |
1 |
60 |
0 |
54 |
1 |
11 |
1 |
87 |
1 |
44 |
|
|
16 |
0 |
43 |
1 |
59 |
1 |
20 |
1 |
8 |
0 |
23 |
0 |
72 |
|
|
17 |
0 |
78 |
0 |
46 |
1 |
19 |
1 |
5 |
1 |
90 |
0 |
83 |
|
|
18 |
1 |
40 |
1 |
35 |
0 |
103 |
0 |
22 |
0 |
45 |
1 |
77 |
|
|
19 |
1 |
47 |
1 |
51 |
1 |
29 |
1 |
14 |
0 |
180 |
1 |
40 |
|
|
20 |
1 |
31 |
0 |
48 |
1 |
14 |
1 |
4 |
1 |
105 |
1 |
70 |
|
|
21 |
1 |
62 |
1 |
31 |
0 |
30 |
1 |
4 |
0 |
120 |
1 |
22 |
|
|
22 |
0 |
134 |
1 |
72 |
1 |
40 |
1 |
11 |
1 |
60 |
1 |
43 |
|
|
23 |
1 |
44 |
1 |
42 |
1 |
28 |
1 |
9 |
1 |
93 |
1 |
24 |
|
Таблица 2. Исследование различных способов умножения на быстроту и правильность умножения (группа учеников 5 класса)
|
Исследуемые |
1 задание |
2 задание |
3 задание |
|||
|
Столбик |
Китайский способ |
Столбик |
Возведение в квадрат чисел на 5 |
Столбик |
Умн.близких к 100 |
|
|
Ошибки |
7 (30%) |
3 (13%) |
5 (22%) |
7 (30%) |
13(56,5%) |
10 (43,5%) |
|
Мин.время (сек.) |
14 |
24 |
14 |
3 |
23 |
22 |
|
Макс.время (сек.) |
134 |
90 |
103 |
31 |
180 |
85 |
|
Средн. время (сек.) |
51 |
54 |
38 |
12 |
93 |
45 |
|
Размах (сек.) |
120 |
66 |
89 |
28 |
157 |
63 |
|
Кол-во участников |
23 |
23 |
23 |
23 |
23 |
23 |
Таблица 3. Исследование быстроты правильных вычислений различными способами (группа детей 5 класс).
|
№ |
Названия методов |
Среднее время (секунды) |
Размах (секунды) |
|
1 |
Столбик |
42 |
50 |
|
Китайский способ |
47 |
70 |
|
|
2 |
Столбик |
89 |
45 |
|
Умножение чисел близких к 100 |
41 |
57 |
|
|
3 |
Столбик |
35 |
86 |
|
Возведение в квадрат чисел оканчивающихся на 5 |
8 |
14 |
Таблица 4. Сравнительный анализ умножения «столбиком» и альтернативными способами умножения (группа учеников 8 и 9 классов).
|
№ |
1задание |
2 задание |
3 задание |
||||||||||||||
|
Столбик |
Китайский способ |
Столбик |
Возведение в квадрат чисел на 5 |
Столбик |
Умножен. близких к 100 |
||||||||||||
|
Правильность |
Время (сек) |
Правильность |
Время (сек) |
Правильность |
Время (сек) |
Правильность |
Время (сек) |
Правильность |
Время (сек) |
Правильность |
Время (сек) |
||||||
|
1 |
1 |
29 |
1 |
19 |
1 |
15 |
1 |
10 |
1 |
35 |
1 |
19 |
|||||
|
2 |
1 |
21 |
1 |
35 |
1 |
13 |
1 |
3 |
1 |
33 |
1 |
13 |
|||||
|
3 |
1 |
20 |
1 |
23 |
1 |
16 |
0 |
12 |
1 |
23 |
0 |
32 |
|||||
|
4 |
1 |
17 |
1 |
24 |
0 |
9 |
1 |
5 |
0 |
19 |
0 |
12 |
|||||
|
5 |
1 |
14 |
0 |
76 |
1 |
10 |
1 |
10 |
0 |
25 |
1 |
80 |
|||||
|
6 |
1 |
13 |
1 |
21 |
1 |
18 |
1 |
4 |
1 |
24 |
1 |
15 |
|||||
|
7 |
0 |
26 |
0 |
30 |
0 |
40 |
1 |
6 |
0 |
40 |
0 |
20 |
|||||
|
8 |
1 |
13 |
1 |
27 |
1 |
11 |
1 |
8 |
1 |
24 |
1 |
27 |
|||||
|
9 |
1 |
11 |
1 |
47 |
1 |
9 |
1 |
4 |
1 |
35 |
1 |
12 |
|||||
|
10 |
1 |
30 |
0 |
77 |
1 |
28 |
0 |
18 |
1 |
39 |
1 |
25 |
|||||
|
11 |
1 |
30 |
1 |
29 |
1 |
19 |
1 |
4 |
1 |
33 |
1 |
31 |
|||||
|
12 |
1 |
25 |
1 |
15 |
1 |
15 |
1 |
8 |
1 |
28 |
1 |
37 |
|||||
|
13 |
0 |
21 |
0 |
49 |
0 |
14 |
1 |
6 |
0 |
30 |
1 |
7 |
|||||
|
14 |
0 |
21 |
0 |
33 |
1 |
7 |
1 |
3 |
0 |
32 |
1 |
10 |
|||||
|
15 |
1 |
19 |
1 |
31 |
1 |
16 |
1 |
5 |
1 |
24 |
0 |
13 |
|||||
|
16 |
1 |
20 |
1 |
41 |
1 |
13 |
1 |
4 |
1 |
19 |
0 |
13 |
|||||
|
17 |
1 |
16 |
0 |
13 |
0 |
14 |
1 |
13 |
1 |
33 |
0 |
14 |
|||||
|
18 |
0 |
20 |
1 |
59 |
0 |
15 |
1 |
4 |
0 |
32 |
1 |
8 |
|||||
|
19 |
1 |
18 |
0 |
32 |
1 |
16 |
1 |
5 |
1 |
19 |
1 |
10 |
|||||
|
20 |
0 |
18 |
0 |
24 |
1 |
15 |
1 |
5 |
1 |
48 |
1 |
12 |
|||||
|
21 |
0 |
19 |
1 |
40 |
1 |
15 |
1 |
5 |
1 |
31 |
1 |
15 |
|||||
|
22 |
1 |
19 |
0 |
23 |
1 |
20 |
1 |
4 |
1 |
35 |
1 |
10 |
|||||
|
23 |
1 |
19 |
1 |
36 |
1 |
13 |
1 |
4 |
0 |
33 |
1 |
11 |
|||||
|
24 |
1 |
20 |
1 |
42 |
1 |
16 |
1 |
4 |
0 |
32 |
0 |
14 |
|||||
|
25 |
1 |
19 |
0 |
21 |
1 |
15 |
1 |
10 |
1 |
30 |
0 |
16 |
|||||
|
26 |
0 |
19 |
1 |
46 |
1 |
20 |
1 |
5 |
0 |
20 |
0 |
30 |
|||||
|
27 |
1 |
21 |
0 |
40 |
1 |
15 |
1 |
10 |
0 |
72 |
1 |
29 |
|||||
|
28 |
1 |
21 |
1 |
38 |
1 |
15 |
1 |
5 |
1 |
21 |
1 |
8 |
|||||
|
29 |
1 |
20 |
0 |
58 |
1 |
17 |
1 |
5 |
1 |
21 |
1 |
7 |
|||||
|
30 |
1 |
33 |
1 |
60 |
1 |
15 |
1 |
5 |
0 |
38 |
0 |
21 |
|||||
|
31 |
1 |
21 |
0 |
18 |
1 |
16 |
1 |
3 |
0 |
36 |
1 |
9 |
|||||
|
32 |
1 |
20 |
1 |
27 |
1 |
16 |
1 |
4 |
1 |
23 |
1 |
8 |
|||||
|
33 |
1 |
20 |
1 |
60 |
1 |
19 |
1 |
13 |
1 |
20 |
1 |
29 |
|||||
|
34 |
1 |
18 |
0 |
37 |
1 |
14 |
1 |
11 |
1 |
18 |
1 |
15 |
|||||
|
35 |
1 |
16 |
0 |
69 |
1 |
27 |
1 |
12 |
0 |
23 |
1 |
23 |
|||||
|
36 |
1 |
34 |
1 |
101 |
1 |
40 |
1 |
18 |
1 |
38 |
1 |
52 |
|||||
|
37 |
1 |
25 |
1 |
30 |
1 |
32 |
0 |
3 |
0 |
35 |
1 |
20 |
|||||
|
38 |
1 |
18 |
1 |
44 |
1 |
30 |
1 |
5 |
0 |
30 |
1 |
21 |
|||||
|
39 |
0 |
12 |
1 |
62 |
1 |
16 |
1 |
4 |
1 |
25 |
1 |
7 |
|||||
|
40 |
0 |
21 |
1 |
24 |
1 |
13 |
1 |
5 |
1 |
37 |
1 |
9 |
|||||
|
41 |
1 |
21 |
1 |
31 |
1 |
17 |
0 |
11 |
0 |
36 |
1 |
8 |
|||||
Таблица 5. Исследование различных способов умножения на быстроту и правильность умножения (группа детей 8 и 9 классов)
|
Исследуемые параметры |
1 задание |
2 задание |
3 задание |
||||
|
столбик |
Китайский способ |
столбик |
Возведение в квадрат чисел на 5 |
столбик |
Умн.близких к 100,1000. |
||
|
Ошибки |
9 (22%) |
15 (37%) |
5 (12%) |
4 (10%) |
16 (39%) |
10 (24%) |
|
|
Мин.время (сек) |
11 |
13 |
7 |
3 |
19 |
7 |
|
|
Макс.время (сек) |
34 |
101 |
40 |
18 |
72 |
80 |
|
|
Средн.время(сек) |
20 |
39 |
17 |
6 |
29 |
19 |
|
|
Размах (сек) |
23 |
88 |
33 |
15 |
53 |
73 |
|
|
Кол-во чел. |
41 |
41 |
41 |
41 |
41 |
41 |
|
Таблица 6. Сравнительный анализ умножения «столбиком» и альтернативными способами (один ученик – автор работы).
|
№ |
Название способа |
Исследуемый способ |
«Столбик» |
|||||
|
пример |
правильно |
время |
пример |
правильно |
время |
|||
|
1 |
Индийский |
235х312 |
+ |
60 |
241х213 |
+ |
35 |
|
|
2 |
Китайский |
123х213 |
+ |
45 |
134х212 |
+ |
34 |
|
|
3 |
Египетский |
6х12 |
+ |
18 |
7х13 |
+ |
9 |
|
|
4 |
Древнерусский |
8х14 |
+ |
48 |
6х13 |
+ |
8 |
|
|
5 |
Умножение на 9 |
7х9 |
+ |
5 |
6х9 |
+ |
1 |
|
|
6 |
Умножение на 11 |
84х11 |
+ |
8 |
83х11 |
+ |
9 |
|
|
7 |
Умнож.в интервале 10 -19 |
12х14 |
+ |
3 |
13х14 |
+ |
9 |
|
|
8 |
Метод Ферроля |
34х27 |
+ |
10 |
32х24 |
+ |
13 |
|
|
9 |
Метод «крестиком» |
21х32 |
+ |
12 |
23х34 |
+ |
13 |
|
|
10 |
Умн.чисел нач. с одинак.десятков сумма единиц которых равна 10 |
87х83 |
+ |
4 |
82х88 |
+ |
18 |
|
|
11 |
Возвед. в квадрат чисел оканч. на 5 |
852 |
+ |
2 |
452 |
+ |
19 |
|
|
12 |
Возв. в квадрат любых чисел |
282 |
+ |
6 |
262 |
+ |
12 |
|
|
13 |
Умнож.чисел близких к 100 |
98х99 |
+ |
4 |
98х95 |
+ |
25 |
|
|
14 |
Умнож.чисел близких к 1000 |
998х999 |
+ |
11 |
992х993 |
+ |
108 |
|
Таблица 7. Анализ всех вычислений по количеству ошибок.
|
Количество вычислений |
Количество ошибок |
|||||||
|
Всего |
Столбик |
Новые способы |
Столбик |
Новые способы |
||||
|
Абс. |
% |
Абс. |
% |
|||||
|
5 класс |
138 |
69 |
69 |
25 |
36% |
20 |
29% |
|
|
8-9 классы |
246 |
123 |
123 |
30 |
24,4% |
29 |
23,6% |
|
|
Всего |
384 |
192 |
192 |
55 |
28,7% |
49 |
25,5% |
|
Приложение 3.
Диаграмма 1.1.
Диаграмма 1.2
Диаграмма 2.
Диаграмма 3.
Диаграмма 4.
Анализ всех вычислений по количеству ошибок
Приложение 4.
Фото 1.1 Фото 1.2
Фото 2.1 Фото 2.2
Фото 2.3 Фото 2.4
Фото 2.5 Фото 2.6
Фото 2.7 Фото 2.8