Вычисление площадей фигур на клетчатой бумаге разными способами

VI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Вычисление площадей фигур на клетчатой бумаге разными способами

Авдеева Е.А. 1
1МБОУ "Карагайская средняя общеобразовательная школа №1"
Ашмарина Н.С. 1
1МБОУ "Карагайская средняя общеобразовательная школа №1"
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

Ещё  в начальной  школе мы освоили формулы нахождения площадей прямоугольника S = a • b, квадрата S = a2 и прямоугольного треугольника 

S = (a • b) : 2.

При  изучении  математики  в 5 классе  мы  тоже  применяли  эти формулы  для  вычисления  площадей  фигур. А  также  освоили  основные  свойства  площадей:  равные  фигуры  имеют  равные  площади;  площадь  фигуры  равна  сумме  площадей  её  частей.  В  учебнике  по  математике  для      5 класса  есть  задачи  на  клетчатой  бумаге  на  нахождение  площадей  фигур. [1]

Мне  стало  очень  интересно,  какие  способы  решения  таких  задач существуют. При  изучении  литературы  выявилось,  что  их  достаточное количество. Я  решила  изучить  их  и  проверить  какой  из  них  самый  результативный, т.е. малозатратный  по  времени  и  дает  безошибочный  результат.

Проблема: Существует ли самый результативный способ нахождения площади фигуры на клетчатой бумаге?

Гипотеза: Самым эффективным способом вычисления площадей на клетчатой бумаге будет способ по формуле Пика.

Цель работы: Изучить способы решения задач на клетчатой бумаге и выбрать самый наилучший.

Задачи:

  1. Изучить литературу по теме исследования.
  2. Выбрать  и изучить способы нахождения площадей фигур на клетчатой бумаге.
  3. Подобрать задачи.
  4. Провести эксперимент.
  5. Сделать выводы.

Объект исследования: фигуры на клетчатой бумаге.

Предмет исследования: площадь фигур.

Методы исследования:

1) теоретический – изучение литературы;

2) эмпирический – эксперимент, анализ, сравнение;

3) математический – построение таблиц, вычисления.

Актуальность данной темы выбрана желанием показать разнообразие способов решения одной задачи. При решении олимпиадных задач я часто находилась в затруднении при встрече с задачами на клетчатой бумаге. А увидев такие задачи в КИМах ЕГЭ, ОГЭ приняла решение исследовать задачи на клетчатой бумаге и помочь выпускникам освоить их, чтобы как можно меньше времени тратить на выполнение таких заданий.

Рассмотрим основные способы решения таких задач в исследовательской  работе.

Основная часть

2.1  Площадь фигуры как сумма площадей её частей

Задача 1. Найдём площадь фигуры АВСD (см.рис.1). Если клетки размером 1х1см.

Разобьем фигуру АВСD на части (1 и 2).

По свойству площадей:

 S = S1  + S2  = (2•3):2 + 3•2  = 3 + 6 = 9 см²

Ответ: 9 см²

Рис.1

Задача 2. Найдём площадь фигуры АВСD (см.рис.2). Если клетки размером 1х1см.

Разобьем фигуру АВСD на части (1, 2, 3 и 4).

По свойству площадей:

S = S1  + S2  + S3 + S4 =

= (1•4):2 + (1•3):2 + 1•1 + (1•2):2  =

= 2 + 1,5 + 1 + 1 = 5,5 см²

Ответ: 5,5 см²

Рис.2

Задача 3. Найдём площадь фигуры АВСD (см. рис.3). Если клетки размером 1х1см.

Разобьем фигуру АВСD на части (1, 2 и 3).

По свойству площадей:

S = S1  + S2  + S3 = (1•4):2 + (3•3):2 + (1•3):2  = 2 + 4,5 + 1,5 = 8 см²

Ответ: 8 см²

Рис.3

2.1  Площадь фигуры как часть площади прямоугольника

Задача 4. Найдём площадь фигуры АВСD (см. рис.4). Если клетки размером 1х1см.

Опишем около фигуры АВСD прямоугольник.

Из площади прямоугольника (в данном случае это квадрат) вычтем площади полученных простых фигур (1, 2, 3 и 4):

S = Sпр  – S1 – S2 – S3 – S4  =

= 4•4 – (3•1):2 – (3•1):2 – (3•1):2 – (3•1):2 =

=16 – 1,5 – 1,5 – 1,5 – 1,5 = 10 см2.  Ответ: 10 см²  

Рис.4    

Задача 5. Найдём площадь фигуры АВСD (см. рис.5). Если клетки размером 1х1см.

Опишем около фигуры АВСD прямоугольник.

Из площади прямоугольника (в данном случае это квадрат) вычтем площади полученных простых фигур (1, 2 и 3):

S = Sпр  – S1 – S2 – S3 = 

= 4•4 – (4•4):2 – (2•1):2 – (2•1):2  = 16 – 8 – 1 – 1 =

= 6 см².  Ответ: 6 см²

Рис. 5

Задача 6. Найдём площадь фигуры АВСD (см.рис.6). Если клетки размером 1х1см.

Опишем около фигуры АВСD  прямоугольник.
Из площади прямоугольника вычтем площади полученных простых фигур (1, 2, 3 и 4):

S = Sпр  – S1 – S2 – S3 – S4  =

= 3•6 – (4•1):2 – (2•2):2 – (4•1):2  – (2•2):2 =

= 18 – 2 – 2 – 2 – 2 = 10 см².  Ответ: 10 см²


2.3  Формула Пика

Линии, идущие по сторонам клеток, образуют сетку, а вершины клеток – узлы этой сетки.

Нарисуем на листе многоугольник с вершинами в узлах (рис. 7) и найдем его площадь. [2]

Оказывается площади многоугольников, вершины которых  расположены в узлах сетки, можно  проще: есть формула, связывающая их площадь с количеством узлов, лежащих внутри и на границе многоугольника.

Рис. 7

Рис. 8   

Пусть АВСD – прямоугольник с вершинами  в узлах и сторонами, идущими по линиям сетки (рис.8). Обозначим через В - количество узлов, лежащих внутри прямоугольника, а через Г – количество узлов на его границе. Сместим сетку на полклетки вправо и полклетки вниз. Тогда территорию прямоугольника можно «распределить» между узлами следующим образом: каждый из В узлов «контролирует» целую клетку смещённой сетки,  а каждый из Г узлов – 4 граничных не угловых узла – половину клетки, а каждая из угловых точек – четверть клетки. Поэтому площадь прямоугольника вычисляется по формуле:

S = В +  4 ·  = В +  – 1.

Итак, для прямоугольников с вершинами в узлах и сторонами, идущими по линиям сетки, освоили формулу  S = В +  – 1. Оказывается, эта формула верна не только для прямоугольников, но и для произвольных многоугольников с вершинами в узлах сетки! Это и есть формула Пика. [5]

Она секретной не является. Информация о ней в интернете имеется. Об этой формуле обычно рассказывается применительно к нахождению площади треугольника. На примере треугольника мы её и рассмотрим. Автор этой формулы австрийский математик Георг Пик (приложение 1). [2]  

Можно убедиться в том, что формула Пика верна для всех рассмотренных выше примеров. Оказывается, что если многоугольник можно разрезать на треугольники с вершинами в узлах сетки, то для него верна формула Пика.

Рассмотрим применение формулы Пика на примерах:

Задача 7.  Найдем площадь треугольника (см. рис.9). Отметим узлы (пересечение линий) на границе треугольника и внутри треугольника:

В = 34 (обозначены черным), Г = 15 (обозначены серым).

S= 34 + 15/2 – 1 = 40,5 ед²   Ответ: 40,5

Понятно, что находить площадь трапеции, параллелограмма, треугольника проще и быстрее по соответствующим формулам площадей этих фигур. А вот когда дан многоугольник, у которого пять и более углов эта формула работает хорошо. [7]

Рис.9

Задача 8. Вычислим площадь пятиугольника (см.рис.10).

Отметим узлы (пересечение линий) на границе пятиугольника и внутри пятиугольника:

В = 43 (обозначены черным),

Г = 14 (обозначены серым).

S= 43 + 14/2 – 1 = 49 ед²   Ответ: 49.

Рис.10

Конечно, есть ещё способы нахождения фигур на клеточной бумаге. Например, можно просто считать количество целых клеток внутри фигуры, а из оставшихся кусочков «складывать» целые клетки, но это довольно долго и трудно, особенно если фигура сложной формы.

Можно находить площади фигур на клеточной бумаге, используя формулы площади произвольного треугольника, трапеции, ромба, параллелограмма. Но для этого нужно знать эти формулы и уметь ими пользоваться.

И есть такие фигуры на клеточной бумаге, для которых эти формулы применить очень трудно, да и затратно по времени. А на экзамене по математике в 9-м и в 11-м классе каждая минута дорога!

2.4  Эксперимент и исследование

Мы решили провести эксперимент для того, чтобы выяснить какой из рассмотренных способов является самым эффективным, т.е. результативным (решение без ошибок) и малозатратным по времени.

Обучающимся 9-го и 11-го классов (13 и 8 человек соответственно) мы показали и объяснили способы нахождения площадей фигур на клетчатой бумаге. Ученики решали задачи с помощью способов описанных в п.2.1, 2.2 (приложение 2) [3], [6], [7].  Каждому нужно было решить по четыре задачи и засечь время их выполнения.

Затем рассказали им о формуле Пика, показали на примерах её применение и предложили решить другие задачи на клетчатой бумаге, но по формуле Пика (снова засекали время).

Результаты эксперимента представлены в таблицах (приложение 3).

Общие результаты эксперимента:

 

Затраченное время - среднее значение (мин)

Количество уч-ся, допустивших ошибки

Безошибочных работ

T1

T2

Т3

 

О1

О2

О3

 

Б1

Б2

Б3

  

11 класс

(13 учеников)

2,9

2,8

 

2,0

 

9

10

 

9

 

4

3

4

 

9 класс

(8 учеников)

2,4

2,3

1,4

 

8

6

3

 

-

2

5

 

Всего

(21 ученик)

2,7

2,6

1,7

 

17

16

12

 

4

5

9

 

 

Заключение

Выполненный эксперимент показал, что:

  1. Из двух классов почти никто не знал формулу Пика.
  2. 17 из 21 учащихся допустили ошибки при вычислении площадей фигур, используя одно из свойств площадей – площадь фигуры равна сумме площадей ее частей;
  3. 16 из 21 учащихся допустили ошибки при вычислении площадей фигур на клетчатой бумаге, используя правило площади фигуры, как части площади прямоугольника;
  4. 12 из 21  учащихся допустили ошибки при решении задач, используя формулу Пика;
  5. количество ошибок, допущенных при решении задач по формуле Пика, сократилось;
  6. количество безошибочных работ увеличилось;
  7. время, затраченное на решение по формуле Пика, сократилось.

Существует достаточное количество способов нахождения площадей фигур на клетчатой бумаге. Мы рассмотрели основные из них. Задачи, поставленные в самом начале нашей работой, выполнили. Все способы нахождения площадей фигур на клетчатой бумаге хороши, но самым результативным оказался способ решения по формуле Пика!

Наша гипотеза подтвердилась. А тем выпускникам, которые недостаточно знают формулы площадей фигур или имеют проблемы с геометрией, эта работа – неоспоримая помощь в подготовке к выполнению таких заданий.

Список использованных источников и литературы

  1. Виленкин В.Я. Математика 5 класс: учебник для учащихся общеобразовательных школ / В.Я. Виленкин. – М. : Мнемозина, 2016. – 280 с.
  2. Смирнова И.М. Геометрия на клетчатой бумаге: учебно-методическое пособие / И.М. Смирнова, В.А. Смирнов – М: Чистые пруды, 2009. – 32 с.
  3. Смирнова И.М. Геометрические задачи с практическим содержанием: пособие для учащихся / И.М. Смирнова, В.А. Смирнов – М.: Чистые пруды, 2010. – 136 с.
  4. Википедия. Пик. Георг. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://ru.wikipedia, свободный. – Загл. с экрана.
  5. Жарковская Н.М., Рисс Е.А. Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика // Математика, 2009, № 17. – [Электронный ресурс]. – Режим доступа:  http://mat.1september.ru/2009/23/gazeta_23_09.pdf, свободный. – Загл. с экрана.
  6. ФИПИ. Открытый банк заданий ЕГЭ 2017-2018 по математике. – [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.fipi.ru/content/otkrytyy-bank-zadaniy-ege, свобоный. – Загл. с экрана.
  7. Математика? Легко!!! Площади фигур. – [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://matematikalegko.ru/category/plocshadi-figur, свободный. – Загл. с экрана.
  8.  Фигуры на квадратной решётке - «РЕШУ ОГЭ»: математика. ОГЭ - [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://oge.sdamgia.ru/test?theme=14, свободный. Загл. с экрана.

Приложение 1

Георг Алекса?ндр Пик  (нем. Georg Alexander Pick; 10 августа 1859 г. – 13 июля 1942 г.) – австрийский математик.  В 16 лет Георг окончил школу и поступил в Венский университет. В 20 лет получил право преподавать физику и математику.  16 апреля 1880 года под руководством Лео Кёнигсбергера  Пик защитил докторскую диссертацию «О классе абелевых интегралов». В 1881 году он получил место ассистента у Эрнста Маха, который занял кафедру физики в Пражском университете. Чтобы получить право чтения лекций, Георгу необходимо было пройти  хабилитацию.  Для этого он написал работу «Об интеграции гиперэллиптических дифференциалов логарифмами». Это произошло в 1882 году, вскоре после разделения Пражского университета на чешский (Карлов университет) и немецкий (Университет Карла-Фердинанда). Пик остался в Немецком университете. В 1884 году Пик уехал в Лейпцигский университет к Феликсу Клейну. Там он познакомился с другим учеником Клейна, Давидом Гильбертом. Позже, в 1885 г., он вернулся в Прагу, где и прошла оставшаяся часть его научной карьеры. Преподавательская деятельность в Немецком университете в Праге в 1888 г. Пик получил место экстраординарного профессора математики, затем в 1892г. стал ординарным профессором. В 1910 г. Георг Пик был в комитете, созданном Немецким университетом Праги для рассмотрения вопроса о принятии Альберта Эйнштейна профессором в университет. Пик и физик  Антон Лампа были главными инициаторами этого назначения, и благодаря их усилиям Эйнштейн, с которым Пик впоследствии сдружился, в 1911г. возглавил кафедру теоретической физики в Немецком университете в Праге. Круг математических интересов Пика был чрезвычайно широк. В частности, им написаны работы в области функционального анализа  и  дифферен-циальной геометрии, эллиптических и абелевых функций, теории  дифференциальных уравнений  и комплексного анализа, всего более 50 тем. С его именем связаны матрица Пика, интерполяция Пика - Неванлинны,  лемма Шварца-Пика. Широкую известность получила открытая им в 1899 году теорема Пика для расчёта площади многоугольника. В Германии эта теорема включена в школьные учебники. [4]

Приложение 2

Вычислить площадь фигуры, используя одно из свойств площадей – площадь фигуры равна сумме площадей ее частей.

  1. Найдите площадь трапеции ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.
  1. Найдите площадь трапеции ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.
  1. Найдите площадь четырехугольника ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.
  1. Найдите площадь четырехугольника ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1. 

Вычислить площадь фигуры, используя правило пощади фигуры как части площади прямоугольника.

  1. Найдите площадь параллелограмма ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.
  1. Найдите площадь треугольника ABC, считая стороны квадратных клеток равными 1.
  1. Найдите площадь трапеции ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.
  1. Найдите площадь четырехугольника ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.

Вычислить площадь фигуры, используя формулу Пика.

  1. Найдите площадь параллелограмма ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.
  2. Найдите площадь треугольника ABC, считая стороны квадратных клеток равными 1.
  3. Найдите площадь трапеции ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.
  4. Найдите площадь четырехугольника ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.

Приложение 3

Результаты эксперимента в 9-м классе:

 

Затраченное время

Количество ошибок

T1

T2

T3

 

О1

О2

О3

 

1/9

2,1

2,57

2,0

 

3

2

4

 

2/9

1,09

2,36

1,28

 

3

3

4

 

3/9

1,38

2,15

1,20

 

3

1

2

 

4/9

0,51

1,10

0,50

 

1

1

0

 

5/9

6,10

3,50

2,01

 

2

1

0

 

6/9

1,10

-

1,03

 

2

4

0

 

7/9

1,13

1,52

0,55

 

2

0

0

 

8/9

5,35

1,45

2,20

 

2

0

0

 

Всего

(8 учеников)

2,4

2,3

1,4

 

8

6

3

 

 

Индекс 1 – решение задач, используя одно из свойств вычисления площадей – площадь фигуры равна сумме площадей ее частей.

Индекс 2 – решение задач, используя правило площади фигуры, как части площади прямоугольника.

Индекс 3 – решение задач по формуле Пика.

Результаты эксперимента в 11-м классе:

 

Затраченное время

 

Количество ошибок

 

T1

T2

T3

 

О1

О2

О3

 

1/11

1,00

1,30

1,00

 

0

0

0

 

2/11

4,55

3,15

2,10

 

4

1

0

 

3/11

3,10

4,00

2,08

 

4

3

0

 

4/11

2,55

3,33

2,12

 

1

1

0

 

5/11

2,39

2,20

2,03

 

1

0

1

 

6/11

2,58

1,44

1,10

 

2

0

3

 

7/11

1,59

2,28

3,03

 

2

2

1

 

8/11

3,30

3,45

2,50

 

1

3

4

 

9/11

3,50

2,44

2,05

 

3

2

1

 

10/11

3,50

4,00

1,10

 

4

2

4

 

11/11

2,07

3,21

1,30

 

0

2

3

 

12/11

3,58

2,06

3,08

 

0

2

1

 

13/11

4,15

3,20

3,28

 

0

3

1

 

Всего

(13 учеников)

2,9

2,8

2,0

 

17

16

12

 

 

Индекс 1 – решение задач, используя одно из свойств вычисления площадей – площадь фигуры равна сумме площадей ее частей.

Индекс 2 – решение задач, используя правило площади фигуры, как части площади прямоугольника.

Индекс 3 – решение задач по формуле Пика.

 

Просмотров работы: 1328