VI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Квадрат Пирсона в задачах на смеси и сплавы
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение.
Математика, давно став языком науки и техники, в настоящее время всё шире проникает в повседневную жизнь и обиходный язык, всё более внедряется в традиционно далекие от неё области.
Основная задача обучения математике в школе заключается в обеспечении прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности каждому члену современного общества, достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования, а также в профессиональной деятельности, требующей достаточно высокой математической культуры. Для жизни в современном обществе важным является формирование математического стиля мышления, проявляющего в определённых умственных навыках.
Очень часто при решении задач приходится встречаться со случаями приготовления растворов с определенной массовой долей растворенного вещества, смешением двух растворов разной концентрации или разбавлением крепкого раствора водой. Задачи на смеси, растворы и сплавы входят в обязательный курс школьной математики и встречаются на Едином государственном экзамене, но умеют решать их, увы, немногие. В некоторых случаях можно провести достаточно сложный арифметический расчёт. Однако это малопродуктивно. Чаще для этого лучше применить правило смешения (диагональную модель «квадрата Пирсона», или, что тоже самое, правило креста). Квадрат Пирсона – это механический способ, который позволяет рационально и экономно проводить вычисления при решении задач на концентрацию, что особенно ценно на ЕГЭ и ГИА. Поэтому, зная, два способа решения задач на растворы, один из них всегда можно применить в нужной ситуации, этим и показана актуальность данной темы.
Цель данной работы: изучить и раскрыть суть способа решения задач на сплавы и смеси, используя «квадрат Пирсона», сравнить данный способ решения с алгебраическим способом и сделать выводы.
Для достижения цели были поставлены следующие задачи:
изучить способ «квадрат Пирсона» при решении задач на смеси и сплавы;
провести исследование при решении задач на смеси и сплавы из сборников ОГЭ и ЕГЭ с помощью данного метода;
провести сравнительный анализ успешного решения данного типа задач среди одноклассников и практического применения данного типа задач.
Историческая справка.
Карл Пирсон — английский математик, статистик, биолог и философ; основатель математической статистики, один из основоположников биометрики. Автор свыше 650 опубликованных научных работ. В русских источниках иногда называется Чарлз Пирсон.
Родился в семье преуспевающего лондонского адвоката. Закончил Кембриджский университет в 1879 году. Затем изучал физику в Гейдельбергском и Берлинском университетах. С 1884 по 1911 год — профессор прикладной математики и механики Лондонского университета, с 1911 года — директор Лаборатории евгеники Лондонского университета, заслуженный профессор.
Пирсон много усилий приложил для применения своих открытий в прикладных областях, прежде всего в биологии, евгенике, медицине. Ряд работ относится к философии и к истории науки. Наукой Пирсон продолжал заниматься до самой своей смерти – даже после выхода на пенсию. Скончался Карл в 1936-м.
Теоретические основы.
Для начала примем некоторые допущения:
все получающиеся смеси и сплавы однородны;
для всех веществ выполняется закон сохранения массы (или объема): масса смеси нескольких веществ равна сумме масс компонентов.
Определение. Процентным содержанием (концентрацией или массовой долей) вещества в смеси называется отношение его массы к общей массе всей смеси. Это отношение может быть выражено либо в дробях, либо в процентах. Терминология: процентное содержание вещества; концентрация вещества; массовая доля вещества. Всё это синонимы.
Пусть требуется приготовить раствор определенной концентрации. В распоряжении имеется два раствора с более высокой и менее высокой концентрацией, чем нужно.Сначала сформулируем и решим задачу в общем виде – составив таблицу. Допустим, имеется два раствора с концентрациями х1 % и х2 %, из которых требуется приготовить раствор с заданной концентрацией k %.
Пусть m1 – масса первого вещества, m2 – масса второго вещества, тогда при смешивании общая масса смеси будет равна m = m1 + m2.
При этом массовые доли растворенных веществ в данных растворах равны соответственно 0,01∙ х1 ∙ m1 и 0,01∙ х2 ∙ m2.
Заполним таблицу:
|
Процентное содержание вещества (%) |
Масса вещества (кг) |
Массовая доля растворенного вещества |
|
|
I раствор |
х1 |
m1 |
0,01∙ х1 ∙ m1 |
|
II раствор |
х2 |
m2 |
0,01∙ х2 ∙ m2 |
|
Смесь |
k |
m = m1 + m2 |
0,01∙ (х1 ∙ m1 + х2 ∙ m2) 0,01∙ k ∙ m или 0,01∙ k ∙ (m1 + m2) |
Очевидно, что выполняется равенство:
0,01∙ k ∙ (m1 + m2) = 0,01∙ (х1 ∙ m1 + х2 ∙ m2),
k ∙ (m1 + m2) = х1 ∙ m1 + х2 ∙ m2,
или х1 ∙ m1 + х2 ∙ m2 = k ∙ m, (1)
откуда получаем уравнение:
m1 ∙ (k – х1) + m2 ∙ (k – х2) = 0. (2)
Применим к этой ситуации другой подход. Построим квадрат и начертим обе его диагонали. Слева от квадрата рядом с его вершинами запишем одну над другой процентное содержание растворенного вещества в исходных растворах, а в его центре – процентное содержание вещества в смеси, которую нужно приготовить, и общую массу вещества. Внутри квадрата у соответствующих вершин запишем массы взятых растворов.
Х1
k
m1
m2
m
Х2
Теперь выполним следующие действия:
Умножим выражения, стоящие внутри и снаружи квадрата, рядом с верхней, а затем и нижней вершинами. Согласно формуле (1), их сумма равна произведению чисел, стоящих в центре квадрата.
Вычтем вдоль каждой диагонали квадрата процентные содержания веществ и запишем у свободного конца диагонали, умножив их на соответствующие массы исходных растворов.
Получим выражения: (k – x1) ∙ m2 и (k – x2) ∙ m2 .
По формуле (2) сумма этих выражений равна 0.
Таким образом, мы получили механический способ решения таких задач с помощью квадрата Пирсона.
Аналогично решается задача и для смеси из трех и более сплавов.
Решение задач из сборников ОГЭ и ЕГЭ.
Задача 1.(ОГЭ-2018, 12 вариант) Имеется два сосуда. Первый содержит 30 кг, а второй — 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 68% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 70% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?
Решение:
1 способ (алгебраический). Пусть х-концентрация в 1 сосуде, у- концентрация во втором, тогда 30х кг кислоты в 1 сосуде, а 20у кг кислоты во втором, если растворы смешать: 30х+20у=0,68*50, если смешать равные массы (примем за 1 кг), то:х+у=0,7*2
Составим систему уравнений:
3 0х+20у=34,
х+у=1,4
30*(1,4-у)+20у=34,
42-30у+20у=34,
-10у=-8,
у=0,8, х=0,6, значит, в первом сосуде будет 0,6*30=18кг.
2 способ. («квадрат Пирсона»). Пусть процентное содержание вещества в первом растворе равно х %, а во втором – y%.
При заполнении первого квадрата масса смеси равна 30 + 20 = 50 (кг), а во втором – примем массы растворов равными 1 кг, тогда общая масса смеси равна 1 + 1 = 2 (кг).
С оставим систему уравнений:
30 х + 20 y = 3400,
х + y = 140,
откуда х = 60 (%).
Масса кислоты, содержащейся в первом сосуде, равна
60 % (от 30 кг) = 0,6 ∙ 30 = 18 (кг).
Ответ: 18 кг.
Задача 2(ОГЭ – 2015, 8 вариант). Смешали 4 литра 15% водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25% водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Р ешение: 15% 25-Х 4л
Х
25% Х-15 6л
-3Х=2Х-30
-5Х=-105
Х=21%
Ответ: 21%.
Задача 3 (ЕГЭ-2012 , 6 вариант). Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% меди, второй — 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.
Р ешение: Построим квадрат Пирсона и сложим два выражения, записанные справа от квадрата.
Получаем уравнение:
20 х – 10 (х + 3) = 0,
откуда х = 3 (кг) – масса первого сплава,
тогда х + 3 = 3 + 3 = 6 (кг) – масса второго сплава.
Масса третьего сплава равна:
3 + 6 = 9 (кг).
Ответ: 9 кг.
Задача 4 (ОГЭ-2018, 19 вариант) Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 20 килограммов изюма, если виноград содержит 90% воды, а изюм содержит 5% воды?
Р ешение: Содержание «мякоти» в винограде равно 100 – 90 = 10 (%), а в изюме – (100 – 5) = 95 %.
Составим уравнение :
10 х = 95 ∙ 20,
х = 190 (кг).
Ответ: 190 кг винограда.
Анализ результатов решения задач среди одноклассников и практическое применение.
В начале года на элективных курсах учитель предложил нам решить задачу на смеси и сплавы, по результатам выяснилось, что лишь 10% класса справились с этой задачей (2 ученика из 20), при разборе данной задачи выяснилось, что она имеет очень сложный расчет, мы заинтересовались, можно ли решить данную задачу проще?
Оказалось, что можно, с помощью «квадрата Пирсона», разобравшись в данном способе, я поделилась, своими знаниями с одноклассниками, и на одном из занятии, когда нам встретилась задача на сплавы с ней уже справились 25% класса (5 человек из 20). Данные исследования можно увидеть на диаграмме:
Таким образом, очевидно, что данный способ позволяет рационально и экономно проводить вычисления при решении задач на концентрацию.
Однажды, мама спросила меня, как из 9%-го раствора уксуса приготовить 2%-ый раствор, необходимый для маринада, т.е. сколько нужно добавить воды в 100 г 9%-го раствора уксуса, чтобы получить раствор для маринада?
9 % 2 100г
2%
0% 7 Хг
Х=
Х=350
Значит, мы должны взять 350г воды, чтобы получить раствор для маринада.
Заключение.
Задачи на смеси и сплавы - это важная часть подготовки ученика к экзаменам. Ведь эти задачи, ранее встречающиеся практически только на вступительных экзаменах в ВУЗы и олимпиадах, сейчас включены в сборник для подготовки и проведения экзамена по алгебре за курс основной школы (9 класс). Практика показывает, что учащиеся, не знавшие вначале года как подойти к решению этих задач, в конце успешно решали и составляли сами задачи. Так же эти задачи, имеющие практическое значение, являются также хорошим средством развития мышления учащихся. По моему мнению, цели и задачи, поставленные перед написанием данной работы, достигнуты. Данного типа задачи часто используется в разных отраслях нашей жизни. Она помогает избегать нам неудачные ситуации, предугадывая правильный ответ. Знания по данной теме помогут мне в подготовке к ЕГЭ по математике, а также в различных жизненных ситуациях.
Список использованной литературы
Задачи открытого банка заданий по математике/ http://mathege.ru.
Азия, А.П. Вольпер, И.М. Квадрат Пирсона / А. П. Азия А., И. М. Вольпер// Квант. – 1973. - № 3. – С. 61.
Квант №3, 1973 г/http://kvant.mccme.ru/1973/03/kvadrat_pirsona.htm
Я. И. Перельман «Занимательная математика»/– М.: издательство «Наука», 2005
«Математический праздник» Часть III.- М.: «Бюро Квантум», 2001. – 128 с.
Иду на экзамен №2 2007г.«Математика для школьников».
И.В.Ященко Сборники «ОГЭ-2018» /- М.:«Национальное образование», 2018.
И.В.Ященко Сборники «ОГЭ-2015» /- М.:«Национальное образование», 2015.
И.В.Ященко Сборники «ЕГЭ-2012» /- М.:«Национальное образование», 2012.
Приложение1.
Примеры задач:
Задача 1. Имеется два сосуда. Первый содержит 30 кг, а второй — 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 68% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 70% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?
Решение: Пусть процентное содержание вещества в первом растворе равно х %, а во втором – y%.
П ри заполнении первого квадрата масса смеси равна 30 + 20 = 50 (кг), а во втором – примем массы растворов равными 1 кг, тогда общая масса смеси равна 1 + 1 = 2 (кг).
С оставим систему уравнений:
30 х + 20 y = 3400,
х + y = 140,
откуда х = 60 (%).
Масса кислоты, содержащейся в первом сосуде, равна
60 % (от 30 кг) = 0,6 ∙ 30 = 18 (кг).
Ответ: 18 кг.
Задача 2. Смешали 4 литра 15% водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25% водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Р ешение: 15% 25-Х 4л
Х
25% Х-15 6л
25-Х/Х-15 =4/6
-3Х=2Х-30
-5Х=-105
Х=21%
Ответ: 21%.
Задача 3. Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% меди, второй — 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.
Р ешение: Построим квадрат Пирсона и сложим два выражения, записанные справа от квадрата.
Получаем уравнение:
20 х – 10 (х + 3) = 0,
откуда х = 3 (кг) – масса первого сплава,
тогда х + 3 = 3 + 3 = 6 (кг) – масса второго сплава.
Масса третьего сплава равна:
3 + 6 = 9 (кг).
Ответ: 9 кг.
Задача 4. Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 20 килограммов изюма, если виноград содержит 90% воды, а изюм содержит 5% воды?
Р ешение: Содержание «мякоти» в винограде равно 100 – 90 = 10 (%), а в изюме – (100 – 5) = 95 %.
Составим уравнение :
10 х = 95 ∙ 20,
х = 190 (кг).
Ответ: 190 кг винограда.
Задача 5. В сосуд, содержащий 5 литров 12-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Решение:
Вещество составляет 12% от 5 литров первоначального раствора, т.е. его объем
V = 0.12*5 = 0.6 литра
Когда добавили воды, количество вещества не изменилось, но общий обем стал = 5+7 = 12 литров.
Процентное содержание вещества в новом растворе = 0,6 / 12 = 1/20 = 0,05 = 5%
Ответ:5%
Задача 6. Для размножения водорослей вода в аквариуме должна содержать 2% морской соли. Сколько литров пресной воды нужно добавить к 80 л морской воды с 55%-ым содержанием соли, чтобы получить воду, пригодную для заполнения аквариума?
Решение:
55% 2%
2
0% 53%
Т.е на 2 части воды с 55% содержанием соли необходимо добавить 53 части пресной
Воды, чтобы получить воду с 2% содержанием соли
Пусть k-одна часть, тогда
2k=80;
k=40.
53k=53*40=2120;
Значит, мы должны взять 2120 л воды, чтобы получить воду, пригодную
для заполнения аквариума.
Ответ: 2120 л воды.
Задачи для самостоятельного решения:
Сколько нужно взять 10% и 30% растворов марганцовки, чтобы получить 200 г 16% раствора марганцовки?
Сколько граммов 35% раствора марганцовки надо добавить к 325 г воды, чтобы концентрация марганцовки в растворе составила 10%?
Сколько граммов воды нужно добавить к 5% йодной настойке массой 100г, чтобы концентрация йода уменьшилась до 1%?
Требуется приготовить 100г 10%-го раствора нашатырного спирта. Сколько для этого потребуется воды и 25%-го раствора нашатырного спирта?
Собрали 8 кг свежих цветков ромашки, влажность которых 85%. После того как цветки высушили, их влажность составила 20%. Чему равна масса цветков ромашки после сушки?
Имеется руда из двух пластов с содержанием меди 6% и 11%. Сколько надо взять «бедной» руды, чтобы при смешивании с «богатой» получить 20 т руды с содержанием меди 8%?
Имеется два сосуда, содержащие 30 кг и 35 кг раствора кислоты различной концентрации. Если смешать оба раствора, то получится раствор, содержащий 46 % кислоты. Если смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 47% кислоты. Какова концентрация данных растворов?
В сосуде объемом 10 л содержится 20%-й раствор соли. Из сосуда вылили 2 л раствора и долили 2 л воды, после чего раствор перемешали. Эту процедуру повторили ещё один раз. Определите концентрацию соли после первой и второй процедуры.
Смешали 30%-ный раствор соляной кислоты с 10%-ным и получили 600г 15%-ного раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?
Имеется кусок сплава меди с оловом массой 15 кг, содержащий 40% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому куску, чтобы получившийся новый сплав содержал 30% меди?
Сколько чистой воды нужно добавить к 100г 60%-го раствора кислоты, чтобы получить 30%-ный раствор?
К раствору, содержащему 40г соли, добавили 200г воды, после чего массовая доля растворенной соли уменьшилась на 10%. Сколько воды содержал раствор, и какова была в нем массовая доля соли?
Ответы и решения:
1 ) Решение:
Исходя из схемы, делаем выводы: в 200 г смеси содержится 14 частей 10% -го раствора и 6 частей 30% раствора. Найдем их массы: 200(14+6)·14=140; 200(14+6)·6=60.
Ответ: 140 г 10% и 60 г 30% раствора.
2 ) Решение: x 35 10-0=10
10
35-10=25
X=325:25*10=130г
Ответ: 130г
3) Решение:
x 5 1
1
4
Найдем массы:1%=0,01
0,01(х+100)=5
0,01х=4
х=400г
Ответ:400г
4) Решение:
Х 0 100г 15
10
Y 25 10
Исходя из схемы, делаем вывод: в 100 г раствора содержится
100 : (15 + 10) · 10 = 40 г нашатырного спирта и
100 : 25 · 15 = 60 г воды
5) Ответ: 1,5 кг масса цветков ромашки после сушки
6) Решение:
х 6 20т 3
8
11 2
Х=20:5*3 =12т
Отве:12т
7) Решение:Пусть в первом сосуде х, а во втором у кг кислоты
0,46*65=x+y 29,9=x+y 897=30x+30y
2*0,47=x/30+y/35 x/30+y/35=0,94 35x+30y=987 5x=90 x=18 y=11,9
oтвет 18 и 11,9 соответственно
8) Ответ:1,6л : 10л · 100% = 16% - концентрация соли после 1-й процедуры
12,8% - концентрация соли после 2-й процедуры\
9) Решение:
Х 30% 600г 5%
15%
Y 10% 15%
Х=600:20*15=450г
Y=600:20*5=150г
Ответ:450г и 150г
10) Решение:
1 5 - 40 х 30
30
10
Х=15*30/40
х=11.25кг - олова надо добавить, чтобы получился 30% сплав меди
Ответ:11.25КГ
11) Решение:
m-100 60 x+100 30
30
m-x 0 30
0,3 (100+X)= 100*0,6
0,3X+30=60
X=100г
Ответ:100г
12) Ответ: 160г воды , 20% соли было в растворе.