VI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
МАТЕМАТИКА В ИЗОБРАЗИТЕЛЬНОМ ИСКУССТВЕ
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Актуальность работы
На протяжении веков математика играла важную роль в изобразительном искусстве, в частности при изображении перспективы, что подразумевает реалистичное изображение трехмерной сцены на плоскости.
Тем не менее, большая часть людей не замечает связь между математикой и искусством. В настоящее время математика и изобразительное искусство считаются очень удаленными друг от друга дисциплинами, первая - аналитическая, вторая – творческая.
Данная работа должна продемонстрировать ошибочность мнения о малой практической применимости в искусстве законов математики и ее свойств.
Обоснование выбора данной темы
Выбор данной темы основывается на интересе людей к теме красоты и гармонии в изобразительном искусстве. Исследование в данной области должно привлечь внимание школьников к изучению математики, повысить их заинтересованность в данном предмете.
Цель работы
Целью работы является исследование связи математики и различных видов изобразительного искусства, исследование практики применения основных геометрических пропорций.
Задачи
Для достижения заданной цели необходимо решить следующие задачи:
Рассмотреть основные геометрические закономерности, применяемые в живописи, скульптуре, архитектуре;
Рассмотреть методы отображения трехмерного пространства на двумерную плоскость картины;
Рассмотреть понятие симметрии;
Изучить принцип золотого сечения;
Узнать о математике в работах великих художников.
Основная часть
Определение математики и искусства
Математика—наукао структурах, порядке и отношениях, исторически сложившаяся на основе операций подсчёта, измерения и описания формы объектов. Математика — фундаментальная наука, предоставляющая (общие) языковые средства другим наукам; тем самым она выявляет их структурную взаимосвязь и способствует нахождению самых общих законов природы.
Искусство —образноеосмыслениедействительности; процесс или итог выражениявнутреннегоили внешнего (по отношению к творцу) мира вхудожественном образе. Творчество отражает то, что интересует не только самого автора, но и других людей. Искусство – способ познания и отражения действительности, результат творческой деятельности всех поколений, всего человечества. В масштабах всего общества, искусство — особый способ познания и отражения действительности, одна из форм художественной деятельностиобщественного сознанияи частьдуховнойкультуры. В науке искусством называют как собственно творческую художественную деятельность, так и её результат —художественное произведение.
Математические закономерности в изобразительном искусстве начали применять еще в глубокой древности. В первом наскальном изображении первый первобытный художник столкнулся с непростой математической задачей: отобразить трехмерный оригинал на двумерную плоскость «картины». Сама природа помогла ему в решении этой задачи ибо, как заметил Леонардо да Винчи «первая картина состояла из одной-единственной линии, которая окружала тень человека, отброшенную солнцем на стену». Почему художник не довольствовался трехмерной скульптурой, а стремился к двумерному изображению оригинала, понять нетрудно, люди использовали то, что было «под рукой», например, плоская поверхность пещеры или стены храма. А глиняная табличка или папирус, пергамент, а позднее бумага были удобным носителем графической информации. В последних случаях такую поверхность можно было попросту свернуть в рулон и унести с собой.
Геометрия дарила живописи новые изобразительные возможности, обогащала язык живописи, и наоборот, живопись эпохи Возрождения стимулировала исследования по геометрии, дала начало проективной геометрии. Геометрия, будучи могучей ветвью древа математики, является в то же время и тем связующим стержнем, который проходит через всю историю живописи.
Геометрия в искусстве
Своеобразие геометрии, выделяющее ее из других разделов математики, заключается в неразрывном, органическом соединении живого воображения со строгой логикой. В ней всегда присутствуют эти два неразрывно связанных элемента: наглядная картина и точная формулировка, строгий логический вывод.
Геометрия соединяет в себе эти противоположности, они в ней взаимно проникают, организуют и направляют друг друга.
В самом деле, существуют три принципиальных геометрических метода отображения трехмерного пространства на двумерную плоскость картины: перспектива, метод ортогональных проекций и аксонометрия. Все эти принципиальные возможности изображения пространства на плоскости были реализованы в искусстве живописи, причем в разных пластах художественной культуры каждый из этих методов находил свое наиболее полное и чистое выражение. Так, система ортогональных проекций составила геометрическую основу живописи Древнего Египта, аксонометрия (параллельная перспектива) характерна для живописи средневекового Китая и Японии; обратная перспектива - для фресок и икон Византии и Древней Руси; прямая перспектива - это геометрический язык ренессансной живописи, а также станковой и монументальной живописи европейского искусства XVII века и русского искусства XVIII - XIX веков.
Линейная перспектива
Перспектива как наука возникла в глубокой древности в связи с необходимостью изображать на плоскости предметы в трехмерном пространстве и развивалась в двух направлениях: в области науки (строительстве, технике) и в живописи.
Перспектива ‑ это:
1. Изобразительное искажение пропорций и формы реальных тел при их визуальном восприятии. Например, два параллельных рельса кажутся сходящимися в точку на горизонте.
2. Способ изображения объёмных тел, передающий их собственную пространственную структуру и расположение в пространстве.
С учётом того, что линейная перспектива — это изображение, построенное на плоскости, плоскость может располагаться вертикально, наклонно и горизонтально в зависимости от назначения перспективных изображений.
Линейная прямая перспектива (рис.1а) - вид перспективы, рассчитанный на фиксированную точку зрения и предполагающий единую точку схода на линии горизонта (предметы уменьшаются пропорционально по мере удаления их от переднего плана).
Перспектива, как явствует из рисунка, может быть прямой или обратной.
При изображении в обратной перспективе (рис.1б) предметы представляются увеличивающимися по мере удаления от зрителя. Созданное изображение при этом имеет несколько горизонтов, точек зрения и другие особенности.
Панорамная перспектива - это изображение, строящееся на внутренней цилиндрической (иногда шаровой) поверхности. Слово «панорама» в буквальном переводе означает «всё вижу», то есть это перспективное изображение на картине всего того, что зритель видит вокруг себя.
Аксонометрия — один из видов перспективы, основанный на методе проецирования (получения проекции предмета на плоскости), с помощью которого наглядно изображают пространственные тела на плоскости бумаги.
Аксонометрия делится на три вида (рис. 2):
1. Изометрия (измерение по всем трём координатным осям одинаковое);
2. Диметрия (измерение по двум координатным осям одинаковое, а по третьей - другое);
3. Триметрия (измерение по всем трём осям различное).
Симметрия
Симметрия является еще одним фундаментальным понятием науки. Наряду с «гармонией» она имеет отношение практически ко всем элементам природы и науки. Она имеет место практически во всех видах искусства.
Симметрия – соразмерность. Неизменность структуры, свойств, формы материального объекта относительно его преобразований (т.е. изменений ряда физических условий) симметрия – это свойство геометрических фигур к отображению.
Симметрия широко встречается в объектах живой и неживой природы. Например, симметрия в химии отражается в геометрической конфигурации молекул. Понятие "симметрии" является центральным при исследовании кристаллов. При этом симметрия внешних форм кристаллов определяется симметрией его атомного строения, которая обуславливает и симметрию физических свойств кристалла. Особенно широко понятие "симметрии" применительно к физическим законам используется в современной физике.
Виды симметрии:
Лучевая симметрия (= лучистая, радиальная) (Рис.3(д, е)) – расположение частей тела, позволяющее его разделить на 2 равные, зеркально отражающие друг друга половины в нескольких плоскостях.
Билатеральная (двусторонняя) (Рис. 3 (а…е)) - осевая симметрия. Расположение частей тела, позволяющее разделить его на 2 равные, зеркально отражающие друг друга половины лишь одной плоскостью. Эта плоскость носит название оси симметрии.
Центральная симметрия (Рис. 3 (в…е)) Фигура симметрична относительно точки (центр С), если её точки попарно лежат на прямых, проходящих через центр С, по разные стороны и на равных расстояниях от него.
Зеркальная симметрия (Рис. 3 (а…е)). Относительно плоскости а, точка Р расположена по одну сторону от плоскости а, соответствует Р, расположенной по другую сторону от плоскости а.
На явление симметрии в живой природе обратили внимание еще пифагорейцы в связи с развитием ими учения о гармонии. Билатеральной симметрией обладает бабочка, листок или жук и часто такой вид симметрии называется "симметрией листка". К формам с лучевой симметрией относятся гриб, ромашка, сосновое дерево и часто такой вид симметрии называется "ромашко-грибной" симметрией.
Принцип "симметрии" широко используется в искусстве. Бордюры, используемые в архитектурных и скульптурных произведениях, орнаменты, используемы в прикладном искусстве, - все это примеры использования симметрии. Художники разных эпох использовали симметричное построение картины. Симметричными были многие древние мозаики. Живописцы эпохи Возрождения часто строили свои композиции по законам симметрии. Такое построение позволяет достигнуть впечатления покоя, величественности, особой торжественности и значимости событий. Симметрия в искусстве основана на реальной действительности, изобилующей симметрично устроенными формами. Например, симметрично устроены фигура человека, бабочка, снежинка и многое другое. Симметричные композиции - статичные (устойчивые), левая и правая половины уравновешены.
Золотое сечение
Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определённом отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе.
В математике пропорцией называют равенство двух отношений:
Отрезок прямой AB можно разделить на две части следующими способами:
на две равные части – ;
на две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют);
таким образом, когда .
Последнее и есть золотое деление или деление отрезка в крайнем и среднем отношении.
Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему:
или
.
Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробьюAE = 0,618..., еслиABпринять за единицу,BE = 0,382... Для практических целей часто используют приближённые значения 0,62 и 0,38. Если отрезокABпринять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая – 38 частям.
Принято считать, что понятие о золотом делении ввёл в научный обиходПифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор своё знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян.
И действительно, пропорциипирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Французский архитекторЛе Корбюзьенашёл, что в рельефе из храмафараона Сети Iв Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображённый на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления.
Математика в архитектуре
«Золотое сечение» многократно встречается при анализе геометрических соразмерностей Парфенона. Это древнее сооружение с его гармоничными пропорциями дарит нам такое же эстетическое наслаждение, как и нашим предкам. Кроме того, заметим, что человеческое творчество во всех своих проявлениях тяготеет к симметрии. Известно, что принципы симметрии являются руководящими принципами для любого архитектора.
Асимметричное в целом сооружение может являть собой гармоничную композицию из симметричных элементов. Примером может служить собор Василия Блаженного на Красной площади в Москве. Нельзя не восхищаться этой причудливой композицией из десяти различных храмов. Каждый храм геометрически симметричен, однако собор как целое не обладает ни зеркальной, ни поворотной симметрией
Люди с древних времен, возводя свои жилища, думали, в первую очередь, об их прочности. Прочность связана и с долговечностью. Прочность сооружения обеспечивается не только материалом, из которого оно создано, но и конструкцией, которая используется в качестве основы при его проектировании и строительстве. Прочность сооружения напрямую связана с той геометрической формой, которая является для него базовой. Математик бы сказал, что здесь очень важна геометрическая форма (тело), в которое вписывается сооружение. В старину люди интуитивно чувствовали, что симметричная форма строения является наиболее надежной, ведь тогда нагрузка здания распределена равномерно. Позднее это научились выражать через формулы и производить необходимые расчеты прочности.
Ни один из видов искусств так тесно не связан с геометрией как архитектура.Архитектурные произведения живут в пространстве, являются его частью, вписываясь в определенные геометрические формы. Кроме того, они состоят из отдельных деталей, каждая из которых также строится на базе определенного геометрического тела. Часто геометрические формы являются комбинациями различных геометрических тел.
Исследовательская часть
Анализ математических пропорций в картине И.И.Шишкина «Сосновая роща»
В процессе исследовательской работы, была разобрала знаменитая картина И.И Шишкина «Сосновая роща».(Прил.5)
На этой картине без труда можно заметить визуальное деление в пропорциональном соотношении.
В данной картине, как и в большинстве живописных пейзажей, линия горизонта делит полотно по высоте в отношении золотой пропорции, также как и отношение ширины картины к ее высоте. На картине «Сосновая роща» в качестве линии горизонта выступает освещенный солнцем пригорок, расположенный в правой ее части. Ярко освещенная солнцем сосна (стоящая на первом плане) делит длину картины по золотому сечению вертикально. Слева от главной сосны находится множество сосен - при желании можно с успехом продолжить деление картины по золотому сечению и дальше.
Центром композиции является лесной ручей, расположенный на переднем плане. Данный ручей равномерно сужается по мере отдаления от наблюдателя, что говорит об использовании художником прямой перспективы.
Не смотря на кажущуюся, на первый взгляд асимметричность, на картине присутствует множество геометрических форм и прямых линий, что являет собой симметрию в движении.
Таким образом, математические закономерности в картине И.И Шишкине «Сосновая роща» представлены очень ярко, что не мешает, а наоборот способствует ей выглядеть естественно. К примеру, стволы сосен являют собой множество параллельных прямых, которые выглядят невероятно живо, воплощают собой спокойствие природы.
Золотая пропорция
В качестве эксперимента было проведено измерение пропорции лица и руки ученицы 6 класса. Результаты измерений представлены в таблице 1.
Таблица 1
|
Лицо |
Рука |
||||
|
Лоб - брови |
75 мм |
Нос - губы |
22 мм |
Изгиб - косточки |
80 мм |
|
Брови - подбородок |
125 мм |
Губы - подбородок |
45 мм |
Изгиб - фаланги |
125 мм |
Данные измерения показывают, что пропорции «лоб – брови» и «брови – подбородок» в данном случае не соответствуют золотым пропорциям. А пропорции «нос – губы» и «губы – подбородок» соответствуют. Пропорции рук «изгиб косточки» и «изгиб – фаланги» также полностью соответствуют.
По аналогии были проведены измерения пропорций руки и лица для всего класса. Результаты данных измерений показаны на диаграмме 1.
Диаграмма 1
Большой процент соответствия измерений пропорций показывает, что данные соотношения в действительности описывают пропорции реальных людей и потому хорошо применимы в живописи.
Заключение
Результаты исследования
В данной исследовательской работе был проведен анализ применения математических закономерностей в изобразительно искусстве. В ней были рассмотрены основные геометрические построения, изучен фундаментальный принцип симметрии, на котором построен союз математики и искусства. Также были охарактеризованы геометрические методы отображения трехмерного пространства на двумерную плоскость картины, рассмотрена золотая пропорция, являющаяся основой эстетической математики. В результате измерений было выявлено соответствие золотых пропорций пропорциям реального мира. На практическом примере была показана значимость геометрических пропорций в классической живописи.
Выводы
Анализ результатов, полученных в ходе данной работы, позволяет сделать выводы:
геометрические пропорции являются неотъемлемой частью изобразительного искусства;
перспектива является геометрической основой живописи;
симметрия в изобразительном искусстве основана на симметрии в природе;
при анализе картин, скульптур, архитектурных сооружений можно вычислить, что зрительное разделение в отношении золотого сечения способствует наилегчайшему восприятию и появлению у зрителя ощущения красоты.
пропорции золотого сечения наиболее точно описывают человека, так как близки к пропорциям реальных людей
Библиография
Ковалев Ф. Золотое сечение в живописи // Учеб. пособие.— К.: Ваша школа. Головное изд-во, 1989.— 143 с, 90 ил.
Лаврус В. Золотое сечение // Наука и техника. – 2000. – 15 марта
Википедия – свободная энциклопедия [Электронный ресурс]. http:/wikipedia.org . - (дата обращения: 24.02.2017).
Математика и искусство [Электронный ресурс]. - http://matematikaiskusstvo.ru. - (дата обращения: 24.02.2017).
Симметрия, виды симметрии и их использование //Теория искусства. Статьи о творчестве. [Электронный ресурс]. - http://zen-designer.ru/articles. - (дата обращения: 24.02.2017).
Приложение 1.Геометрические методы отображения трехмерного пространства
а) прямая перспектива б) обратная перспектива
Рис 1.1 Прямая и обратная перспектива
Рис.1.2. Панорамная перспектива
Рис.1.3. Аксонометрия
Приложение 2.Живопись древности
Рис.2.1. Живопись Древнего Египта
Рис.2.2. Живопись Средневекового Китая
Рис.2.3. Византийская икона
Рис.2.4. Европейская живопись периода Ренессанса
Приложение 3.Симметрия
Рис.3.1. Лучевая симметрия
Рис.3.2. Билатеральная симметрия
Рис.3.3. Центральная симметрия
Плоскость зеркала
Рис.3.4. Зеркальная симметрия
Рис.3.4. Симметрия в природе
Рис.3.5. Симметрия в архитектуре
Приложение 4. Золотое сечение
Рис.4.1. Геометрическое изображение золотой пропорции
Рис.4.2. Золотые пропорции в частях тела человека
Рис.4.3. Золотые треугольники в картине «Мона Лиза» («Джоконда»)
Леонардо да Винчи
Приложение 5. И.И. Шишкин «Сосновая роща»