УДИВИТЕЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЛИСТА МЕБИУСА

VI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

УДИВИТЕЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЛИСТА МЕБИУСА

Ковалев Е.Д. 1Панфёрова Д.С. 2
1Муниципальное автономное образовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №93 (МАОУСОШ "93)
2МБОУ средней общеобразовательной школы с углубленным изучением отдельных предметов №1 им. М.Ю.Лермонтова (МБОУ СОШ №1 им. М.Ю.Лермонтова)
Панфёрова И.С. 1Обмочиева  Г.Л. 2
1ООО "БиоТест" (Лаборатория "БиоТест")
2Муниципальное автономное образовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №93 (МАОУСОШ "93)
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

Для многих людей математика является и трудной, и непонятной, и неинтересной. Сухомлинский считал, «что чувство удивления – могучий источник желания знать: от удивления к знаниям – один шаг». А математика замечательный предмет для удивления. Одним из таких предметов является лента Мебиуса.

1.1. Актуальность. В наше время актуально изучение различных свойств и нестандартных применений необычных фигур. Лист Мебиуса востребован, его применение развивается, и свойства не до конца изучены. Его ценность состоит в том, что он дал толчок новым обширным математическим исследованиям. Именно поэтому его часто считают символом современной математики и изображают на различных эмблемах и значках, как, например, на значке механико-математического факультета Московского университета (рисунок 1).

1.2. Цель работы: определить и опытно – экспериментальным путём проверить удивительные свойства ленты Мебиуса.

1.3. Задачи исследования:

- раскрыть понятие топологии;

- изучить вклад А.Ф. Мебиуса в развитие науки топологии;

- описать лист Мебиуса и процесс его изготовления;

- показать области применения листа Мебиуса;

- разработать методику определения удивительных свойств листа Мебиуса;

- проверить опытно-экспериментальным путём эти свойства.

1.4. Рабочая гипотеза: если лента Мебиуса обладает только одной стороной, то я предполагаю, что край у ленты тоже один.

1.5. Объект исследования - лист Мебиуса как модель односторонней поверхности.

1.6. Предмет исследования - свойства односторонней поверхности на примере ленты Мебиуса.

1.7. Методы исследования: изучение и сбор информации в печатных изданиях, интернет-сайтах; практический эксперимент.

1.8. Значимость работы: с точки зрения теории - это обобщение мнения ученых и выдвижение своего личного отношения к данному предмету. В ходе исследования анализируются особенности применения и необычность геометрической поверхности. Больший интерес составляет то, что у этой фигуры только одна поверхность.

Практическая ценность моей работы в том, чтобы доказать гипотезы ученых в виде экспериментов.

1.9. Применение объекта исследования.

«Мышление начинается с удивления»,- заметил 2500 лет назад Аристотель. Наш современник Сухомлинский считал, «что чувство удивления – могучий источник желания знать: от удивления к знаниям – один шаг». А математика замечательный предмет для удивления, а значит, будет всегда актуальна и востребована.

Удивительные свойства ленты Мебиуса используются в самых различных изобретениях. Свойство односторонности листа Мебиуса было использовано в дизайне одежды и украшений, кулинарии, в химии, физике, технике, биологии. Если ремень передачи сделать в виде листа Мебиуса, то его поверхность будет изнашиваться вдвое медленнее, чем у обычного кольца. Это дает ощутимую экономию. В матричных принтерах красящая лента также имела вид листа Мебиуса для увеличения срока годности. В виде парадоксальной геометрической фигуры можно, оказывается, изготовить лопасти бетономешалки или обычного бытового миксера — энергозатраты снизятся на одну пятую, а качество бетона (или кондитерского крема) улучшится. Лист Мебиуса применяют в велосипедной и волейбольной камере. Совсем недавно ей нашли другое применение - она стала играть роль особенной пружины в заводных игрушках. Такая пружина могла бы стать бесценной– её нельзя перекрутить, как обычную, это своего рода вечный двигатель.

Свойства, которыми обладает лента Мебиуса, можно использовать еще в швейной промышленности при оригинальном раскрое ткани, при автоматизации сельского хозяйства.

Мебиус повлиял не только на математиков, но и на художников, скульпторов, архитекторов и многих, многих, многих… В результате появились картины, скульптуры, марки и прочие произведения искусства с изображением ленты Мебиуса.

Обзор литературы

2.1 Биография Мебиуса Августа Фердинанда

Одним из великих геометров XIX столетия был Август Фердинанд Мебиус (1790-1868) - немецкий математик и астроном - теоретик. Родился 17 ноября 1790 года на территории княжеской школы Шульпфорте, близ Наумбурга (Саксония-Анхальт).

Его отец занимал в этой школе должность учителя танцев. Мать Мебиуса была потомком Мартина Лютера. Отец умер, когда мальчику было всего три года. Начальное образование Мебиус получил дома и сразу показал интерес к математике. С 1803 по 1809 годы учился в колледже Шульпфорте, затем поступил в Лейпцигский университет. Первые полгода, в соответствии с рекомендациями семьи, он изучал право, но затем принял окончательное решение посвятить жизнь математике и астрономии.

В 1813—1814 годах Мебиус жил в Гёттингене, где посещал университетские лекции Гаусса по астрономии. Затем он уехал в Халле, чтобы прослушать курс лекций математика Иоганна Пфаффа, учителя Гаусса. В результате Мебиус получил глубокие знания по астрономии и математике.

Когда Мебиус работал над докторской диссертацией (1815 год), была сделана попытка призвать его в прусскую армию. С трудом избежав этой угрозы, он успешно получил докторское звание. Математические исследования Мебиуса принесли ему известность в научном мире. В 1848 году Мебиус становится директором обсерватории.

2.2. Историческое открытие

В 1858 году в возрасте шестидесяти восьми лет Мебиус представил Парижской академии мемуары об «односторонних» поверхностях. В своей работе «Об объёме многогранников» он описал геометрическую поверхность, обладающую совершенно невероятным свойством: она имеет только одну сторону! Семь лет он дожидался рассмотрения своей работы и, не дождавшись, опубликовал ее результаты.

Что же подтолкнуло Мебиуса к этому открытию? Есть три версии:

Открыть свой «лист» Мебиусу помогла служанка, сшившая однажды неправильно концы ленты.

Придумал ленту Мебиус, когда наблюдал за горничной, неправильно одевшей на шею свой платок.

3. Виноват во всём портной, который неправильно вшил манжет рубашки.

Позже эта поверхность была названа лентой Мебиуса. В 1868 году Август Фердинанд Мебиус умирает. Статья о знаменитой ленте Мебиуса опубликована посмертно.

Одновременно с Мебиусом изобрел этот лист и другой ученик К. Ф. Гаусса — Иоганн Бенедикт Листинг (1808— 1882), профессор Геттингенского университета. Свою работу он опубликовал на три года раньше, чем Мебиус, - в 1862 году.

Что же это за поверхность – лента Мебиуса? Самое удивительное то, что сделать её своими руками совсем несложно: надо лишь взять полоску бумаги и склеить её концы, предварительно повернув один из них на 180о. И тогда в ваших руках окажется лист или лента Мебиуса (рисунок 2).

С того момента, как немецкий математик обнаружил существование удивительного одностороннего листа бумаги, начала развиваться целая новая ветвь математики, называемая топологией. Термин «топология» может быть отнесён к двум разделам математики. Одну топологию, родоначальником которой был Пуанкаре, долгое время называли комбинаторной. За другой, у истоков которой стоял немецкий учёный Георг Кантор, закрепилось название общей или теоретико-множественной.

Комбинаторная топология – раздел геометрии. «Геометрия» - слово греческое, в переводе на русский язык означает «землемерие», («гео» - по - гречески земля, а «метрео» - мерить) изучает свойства фигур. Как и любая наука геометрия делится на разделы.

1. Планиметрия (лат. слово, «планум» - поверхность + метрия), раздел геометрии, изучающий свойства фигур на плоскости (треугольник, квадрат, круг, окружность и т. д.)

2. Стереометрия (греч, «стереос» - пространство + метрия) - раздел геометрии, изучающий свойства фигур в пространстве (шар, куб, параллелепипед и т. д.)

З. Топология (греч. «топос» - место, местность + логия) является одним из самых «молодых» разделов современной геометрии, в котором изучаются свойства таких фигур, которые не меняются, если их гнуть, растягивать, сжимать, но не склеивать и не рвать, т. е не изменяются при деформациях. Примером топологических объектов являются: буквы И и Н, тонкие длинные воздушные шарики.

Комбинаторная топология изучает свойства геометрических фигур, остающиеся неизменными при взаимно однозначных и непрерывных отображениях. Долгое время топология воспринималась как наука, далёкая от жизни, призванная лишь «прославлять человеческий разум». Но в наше время выяснилось, что она имеет самое непосредственное отношение к объяснению устройства мироздания.

Общая топология примыкает к теории множеств и лежит в основании математики. Это аксиоматическая теория, призванная исследовать такие понятия, как «предел», «сходимость», «непрерывность» и т. п. Основы аксиоматики топологического пространства были заложены Феликсом Хаусдорфом и завершены российским математиком Павлом Сергеевичем Александровым.

Свойства листа Мебиуса

Рассмотрим же свойства этого топологического объекта.

1) Возьмем карандаш и начнем закрашивать ленту в каком-нибудь направлении. Вскоре мы вернемся в то место, откуда начали. Закрашенной оказалась вся лента целиком! А ведь мы ее не переворачивали, чтобы закрасить с другой стороны. Да и не смогли бы перевернуть, даже если бы очень захотели. Потому как поверхность ленты Мебиуса - односторонняя. Такое вот любопытное свойство!

Что же из этого свойства следует? А следуют удивительные превращения ленты, если разрезать ее вдоль. При разрезании точно посередине мы получаем большое перекрученное кольцо. А вот если разрезать ленту на расстоянии 1/3 ее ширины от края, то получаются два кольца - но! - одно большое и сцепленное с ним маленькое. Если же разрезать еще и маленькое кольцо вдоль посередине, то получаются переплетенные два кольца - одинаковых по размеру, но разных по ширине. Другие интересные комбинации лент могут быть получены из лент Мебиуса с двумя или более полуоборотами в них. Например, если разрезать ленту с двумя полуоборотами, то получится два одинаковых кольца, сцепленных между собой. Если разрезать ленту с тремя полуоборотами, последовательно два раза, то получится четыре кольца, сцепленных между собой. Разрез ленты Мебиуса с дополнительными оборотами даёт неожиданные фигуры, названные парадромными кольцами.

2) Второе свойство – непрерывность. На листе Мебиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой и при этом не придётся переходить через край «ленты». Разрывов нет – непрерывность полная.

3) Еще одно интересное свойство – связность. Если квадрат разрезать бритвой от стороны к стороне, то он распадётся на два отдельных куска. Точно также любой удар ножом разделит яблоко на две части. Но вот чтобы располовинить кольцо, нужно уже два разреза. И два раза придётся резать бублик, если вы хотите угостить им двух друзей. Поэтому любой тополог скажет вам, что квадрат– односвязен, кольцо и оправа от очков – друсвязны, а всяческие решётки, диски с отверстиями и подобные сложные фигуры – многосвязны. Ну, а лист Мебиуса? Конечно двусвязен, т.к. если разрезать его вдоль, он превратится не в два отдельных кольца, а в одну целую ленту. Если перекрутить ленту на два оборота, то лист становится односвязным. Три оборота – связность снова равна двум. Связность принято оценивать числом Бетти, названным так в честь известного итальянского математика и физика. Иногда пользуются другой величиной – эйлеровой характеристикой – с той же целью: определить число сквозных, от края и до края, разрезов, которое выдерживает фигура, не распадаясь при этом на части.

4) Ориентированность - это то, чего нет у листа Мебиуса! Вообразите, что в нём заключён целый плоский мир, где есть только два измерения, а его обитатели – несимметричные рожицы, не имеющие, как и сам лист никакой толщины. Если эти несчастные создания пропутешествуют по всем изгибам листа Мебиуса и вернутся в начальную точку, то в изумлении обнаружат, что превратились в своё собственное зеркальное отображение. Конечно, всё это случится, только если они живут в листе, а не на нём.

5). «Хроматический номер». Он равен максимальному числу областей, которые можно нарисовать на поверхности так, чтобы каждая из них имела общую границу со всеми другими. Если каждую такую область выкрасить по-разному, то любой цвет должен соседствовать с любым другим. Хроматический номер листа Мебиуса равен шести.

Уравнения листа Мебиуса

Параметрическое описание листа Мебиуса (рисунок 3).

Одним из способов представления листа Мебиуса как подмножества  является параметризация:

где  и  . Эти формулы задают ленту Мебиуса ширины 1, чей центральный круг имеет радиус 1, лежит в плоскости x − y с центром в  . Параметр u пробегает вдоль ленты, в то время как v задает расстояние от края.

В цилиндрических координатах  , неограниченная версия листа Мебиуса может быть представлена уравнением:

где функция логарифма имеет произвольное основание.

Подобные объекты

1. Бутылка Клейна

Близким "странным" геометрическим объектом является бутылка Клейна (или Кляйна) — неориентируемая (односторонняя) поверхность, впервые описанная в 1882 году немецким математиком Ф. Клейном. Название, по-видимому, происходит от схожести написания слов нем. Fläche (поверхность) и нем. Flasche (бутылка).

Первое описание бутылки Клейна появилось в монографии Ф. Клейна «О теории Римана алгебраических функций и их интегралов», вышедшей в 1882 году. В ней Клейн так описывает эту поверхность:

Описание бутылки Клейна языком математических терминов или формул ничего не скажет непрофессионалу. Многих ли удовлетворит такое определение: бутылка Клейна – это неориентируемое многообразие (или поверхность), обладающее рядом свойств. После слова «свойств» можно выстроить длинный ряд, состоящий из тригонометрических функций, цифр и греческих и латинских букв. Но это может только запутать неподготовленного человека, уже получившего представление о том, чем является проекция бутылки в трехмерном пространстве. Бутылка Клейна может быть получена путём склеивания двух лент Мебиуса по краям. В обычном трёхмерном евклидовом пространстве сделать это, не создавая самопересечения, невозможно (рисунок 4).

2. Односторонняя поверхность Кипенского

Поверхность Кипенского получается из трёх цилиндрических полосок бумаги, склеенных последовательно друг с другом. То, что поверхность односторонняя, видно из среднего рисунка, обход по синей линии возвращает к этой точке с другой стороны бумаги, хотя линия не переходит через край. Интересно, что, если поверхность разрезать по красным линиям, она разбивается на две зеркально-симметричные части. Одна из них показана на нижнем рисунке. Такой вариант поверхности был придуман А. В. Кипенским.

Применение листа Мебиуса

Лист Мебиуса находит многочисленное применение в науке, технике и изучении свойств Вселенной. Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе является фрагментом ленты Мебиуса и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Больше того - такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти - спираль замыкается сама на себя и происходит самоуничтожение или аннигиляция, как подтверждают физики. Они, кстати, утверждают также, что все оптические законы основаны на свойствах ленты Мебиуса, в частности отражение в зеркале - это своеобразный перенос во времени, краткосрочный, длящийся сотые доли секунды, ведь мы видим перед собой зеркального своего двойника.

В ритмологическом ключе знак ленты Мебиуса приобретает иное наполнение. Мы знаем, что есть ритмы, благодаря которым мы развиваем своё энергетическое, сердечное начало, и есть ритмы, обеспечивающие раскрытие нашего мозга, наших информационных возможностей. Чтобы эти противоположные начала развивались в нас равновелико и гармонично, между «энерго» - ритмами и «информо» - ритмами разместились ритмы Мебиусного вихря. Благодаря им, мы имеем возможность непрерывно и бесконечно перемещаться от сердца к мозгу, от информации к энергии, сохраняя при этом баланс между планетарной и человеческой сторонами жизни. Ритмы Мебиусного вихря позволяют нам совершать своеобразный «обмен» энергии на информацию и наоборот.

Имеются материальные воплощения простого листа Мебиуса. Недавно построенный в Лондоне Олимпийский велодром имеет контуры, которые можно назвать вариацией на тему листа Мебиуса (фотография 1).

Существуют технические применения ленты Мебиуса. Полоса ленточного конвейера выполняется в виде ленты Мебиуса, что позволяет ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты изнашивается равномерно.

Благодаря ленте Мебиуса появился «Механизм управления», на который получено Авторское свидетельство. Механизм управления можно применить в детских заводных игрушках и затворе фото - или кинокамеры.

Международный символ переработки представляет собой Лист Мебиуса (рисунок 5).

Лист Мебиуса служил вдохновением для скульптур, и для графического искусства. Лента Мебиуса также распространена в художественной литературе и дорожных развязках.

В 1967 году, когда в Бразилии состоялся международный математический конгресс, его устроители выпустили памятную марку достоинством в пять сентаво. На ней была изображена лента Мебиуса (рисунок 6).

Лист Мебиуса, разрезанный по средней линии, превращается в поверхность, гомеоморфную поверхности цилиндра. В теории чисел и алгебре известны обратные формулы Мебиуса.

Также в системах записи на непрерывную плёнку применялись ленты Мебиуса.

В матричных принтерах красящая лента имела вид листа Мебиуса для увеличения срока годности. Это дает ощутимую экономию.

Конечно же, главная ценность листа Мебиуса, представленного в моей работе, состоит в том, что он дал толчок новым исследованиям. Математические исследования продолжаются и в наши дни. Именно поэтому его часто считают символом современной математики и изображают на различных эмблемах и значках, как, например, на значке механико-математического факультета Московского университета.

Задача

Каждые две из пяти произвольно заданных в плоскости точек A, B, C, D, E соединены прямой. Площади возникающих при этом пяти треугольников EAB, ABC, BCD, CDE, DEA заданы; требуется выразить через них площадь пятиугольника ABCDE.

Решение: вместо площадей этих пяти треугольников можно также считать заданными  площади пяти четырёхугольников: BCDE, CDEA, DEAB, EABC, ABCD, — и искать выражение через них площади пятиугольника ABCDE (Приложение № 7).

Площадь  пятиугольника ABCDE у которого площади треугольников EAB, ABC, BCD, CDE, DEA равны соответственно a, b, c, d, e есть корень квадратичного уравнения

Не менее интересно и то, что площадь  пятиугольника ABCDE, у которого площади четырёхугольников BCDE, CDEA, DEAB, EABC, ABCD равны соответственно  есть корень "такого же" квадратного уравнения

Мебиус рассматривает не только выпуклые многоугольники, но и учитывает, что порядок, в котором следуют точки A, B, C и точки B, C, D, соответствует обходу по сторонам этих треугольников по часовой стрелке, а порядок, в котором следуют точки C, D, E— обходу по сторонам треугольника CDE против часовой стрелки.

Более того, Мебиус рассматривает не только "обычные" многоугольники, но и такие, у которых стороны могут пересекаться не только в вершинах многоугольника. И, как итог, можно сказать — если каждые две точки какой-либо системы и точек, расположенных в плоскости, соединить прямой линией, и если считать заданными площади (независимые между собой) каких-либо 2n-5 многоугольников, возникающих от пересечения этих прямых, то через них можно выразить площадь каждого из остальных многоугольников".

Практическая часть

Опытные исследования.

Мною были проведены следующие опыты:

I опыт: Поставили точку на одной стороне кольца и начертили непрерывную линию вдоль него.

II опыт: Закрасили полностью только одну сторону колец. Раскрасили внутреннюю и внешнюю сторону обычного кольца разными красками.

III опыт: Закрасили непрерывной линией только один край колец. Закрасили узенькую полоску края ленты.

IV опыт: На внутреннюю сторону обычного кольца мысленно посадим зайца, а на наружную - волка. Разрешим им бегать как угодно, запретив перелезать через края кольца. Посадим на ленту Мебиуса зайца и волка. Разрешим им бежать в разных направлениях.

V опыт: Разрезали кольца пополам вдоль. (Чтобы проверить, какая поверхность получилась необходимо снова прочертить непрерывную линию).

VI опыт: Разрезали кольцо вдоль, отступив от края 1/3. (Чтобы проверить, какая поверхность получилась необходимо снова прочертить непрерывную линию).

VII опыт: Разрезали результат I опыта (уже разрезанную ленту) пополам вдоль.

VIII опыт: Склеили ленту из квадрата или из прямоугольника, у которого стороны приблизительно равны, не сминая бумаги.

IX опыт: Склеили ленту из квадрата или из прямоугольника, у которого стороны приблизительно равны, складывая бумагу.

X опыт: Проводили опыты с многоразовым перекручиванием и разрезанием.

Можно, конечно, провести еще немало опытов с перекручиванием ленты на четыре оборота, на пять, на шесть, и с последующим разрезанием кольца вдоль посередине, и на расстоянии в 1/3 ширины от края, и в 1/4. Но усложнение эксперимента часто не приводит к более эффектным результатам.

Результаты моих экспериментов с бумагой и экспериментальных исследований свойств ленты Мебиуса представлены в Таблице 1.

Таблица 1

Опыт/объект

Действие/результат

Опыт I

Поставили точку на одной стороне каждого кольца и чертили непрерывную линию вдоль него, пока не пришли снова в отмеченную точку

Обычное кольцо

Линия проходит вдоль кольца по одной стороне, сходясь в точке начала. Вторая сторона остается чистой (фотография 1)

Лента Мебиуса

Непрерывная линия проходит по двум сторонам, заканчиваясь в начальной точке

Опыт II

Закрасили полностью только одну сторону колец

Обычное

кольцо

Одна сторона закрашена, другая – нет (фотография 2)

Лента Мебиуса

Лента закрашена целиком

Опыт III

Закрасили непрерывной линией только один край колец

Обычное

кольцо

Один край кольца закрашен, второй край нет

(фотография 3)

Лента Мебиуса

Линия края получилась непрерывно закрашена на всем кольце

Опыт IV

На внутренней поверхности стоит заяц, а по внешней идет в любую сторону волк

Обычное

кольцо

Заяц и волк никогда не встретятся, не пересекая края

Лента Мебиуса

Заяц и волк встретятся, не пересекая края в любом случае

Опыт V

Разрезали кольца вдоль пополам по линии параллельной краям

Обычное

кольцо

Получилось два кольца, уже, чем исходное, причем длина окружности каждого будет такой же, как длина окружности первоначально взятого

Лента Мебиуса

Получилось одно кольцо в виде восьмёрки (фотография 4)

V.A

Для проверки, какая получилась поверхность на полученных в опыте V кольцах, необходимо провести непрерывную линию

Обычное

кольцо

Непрерывная линия будет проходить только по одной стороне кольца

Лента Мебиуса

Непрерывная линия будет проходить только по одной стороне кольца (Получилась не лента Мебиуса)

Опыт VI

Разрезали кольцо вдоль, отступив от края на 1/3 ширины кольца

Обычное

кольцо

Получилось 2 кольца - одно уже, другое шире

Лента Мебиуса

Получилось два сцепленных друг с другом кольца - одно маленькое, другое – большое (фотография 5)

VI.A

Для проверки, какая получилась поверхность на полученных в опыте VI кольцах, необходимо провести непрерывную линию

Обычное

кольцо

Непрерывная линия будет проходить только по одной стороне кольца

Лента Мебиуса

Непрерывная линия будет проходить только по одной стороне большого кольца (не лента Мебиуса), по всей поверхности маленького кольца будет проходить линия с двух сторон (лента Мебиуса)

Опыт VII

Разрезали результат V опыта (уже разрезанную ленту) пополам вдоль

Обычное

кольцо

Получились отдельные кольца

Лента Мебиуса

Получилось два больших кольца, переплетенных между собой в виде восьмерки (фотография 6)

Опыт VIII

Склеили ленту из квадрата или из прямоугольника, у которого стороны приблизительно равны, не сминая бумаги

Обычное кольцо

Получилась «труба»

Лента Мебиуса

Невозможно осуществить на практике, не сминая бумаги

Опыт IX

Склеили ленту из квадрата или из прямоугольника, у которого стороны приблизительно равны, складывая бумагу

Обычное кольцо

Получилась «труба»

Лента Мебиуса

Получили ленту Мебиуса

Опыт Х

Проводили опыты с многоразовым перекручиванием и разрезанием (фотографии 7 и 8)

Экспериментальные исследования.

Мною были проведены нижеописанные эксперименты:

Эксперимент 1. Завязать на шарфе узел, не выпуская из рук его концов.

После получения результата я систематизировал свои действия и вывел нижеследующий порядок действий.

Инструкция к эксперименту 1.

Положите шарф на стол. Скрестите руки на груди. Продолжая держать их в таком положении, нагнитесь к столу и возьмите поочередно по одному концу шарфа каждой рукой. После того как руки будут разведены, в середине шарфа сам собой получится узел. Пользуясь топологической терминологией, можно сказать, что руки зрителя, его корпус и шарф образуют замкнутую кривую в виде “трехлистного” узла. При разведении рук узел только перемещается с рук на платок.

Эксперимент 2. Вывертывание жилета на изнанку, не снимая с человека.

Инструкция к эксперименту 2.

Владельцу жилета необходимо сцепить пальцы рук за спиной. Окружающие должны вывернуть жилет наизнанку, не разнимая рук владельца. Для демонстрации этого опыта необходимо расстегнуть жилет и стянуть его по рукам за спину владельца. Жилет будет болтаться в воздухе, но, конечно, не снимется, потому что руки сцеплены. Теперь нужно взять левую полу жилета и, стараясь не измять жилет, просунуть ее как можно дальше в правую пройму. Затем взять правую пройму и просунуть ее в ту же пройму и в том же направлении. Осталось расправить жилет и натянуть его на владельца. Жилет окажется вывернутым на изнанку.

Полученные наблюдения.

На основе проведенных теоретических и практических исследований, мною сделаны наблюдения, позволяющие сделать вывод о свойствах ленты Мебиуса.

Лента Мебиуса имеет одну поверхность.

Лента Мебиуса имеет один край. Гипотеза подтвердилась.

Лента Мебиуса имеет одну искривленную поверхность, и, если по ней двигаться, можно с внутренней части переместиться на внешнюю.

Лист Мебиуса - топологический объект. Как и любая топологическая фигура, лента Мебиуса не меняет своих свойств, пока ее не разрезают, не разрывают, или не склеивают ее отдельные куски.

Один край и одна сторона листа Мебиуса не связаны с его положением в пространстве, не связаны с понятиями расстояния.

Если закрашивать одну сторону ленты Мебиуса, не пересекая края, то в итоге закрасится вся поверхность ленты.

Если пустить по поверхности ленты Мебиуса движущиеся объекты, они будут двигаться бесконечно долго.

Лента Мебиуса получается из прямоугольника, у которого длина намного больше ширины.

Если допустить, что можно взять квадрат или прямоугольник любого размера и при этом можно сгибать бумажную поверхность, то мы сможем склеить ленту Мебиуса.

Если разрезать ленту Мебиуса вдоль посередине параллельно краю, то можно получить не две отдельные ленты, а одну длинную ленту, которая будет уже исходной и дважды перекручена, но не ленту Мебиуса.

Если разрезать ленту Мебиуса вдоль, отступив от края 1/3 ее ширины, то получится два кольца, сцепленных между собой, одно большое – не лента Мебиуса, другое маленькое – лента Мебиуса.

4. Выводы

В ходе работы, используя полученные теоретические знания, я провел серию практических опытов, позволивших вывести в наблюдения совокупность свойств изучаемого объекта.

На основании 10 проведенных опытных исследований и 2 экспериментов я доказал, что лист Мебиуса - топологический объект. Как и любая топологическая фигура, лента Мебиуса не меняет своих свойств, пока ее не разрезают, не разрывают, или не склеивают ее отдельные куски.

До начала эксперимента я выдвинул гипотезу, основанную на теоретическом знании некоторых свойств ленты Мебиуса. Я предположил, чтоесли лента Мебиуса обладает только одной стороной, то край у ленты тоже только один. В результате опытно-экспериментальных работ моя рабочая гипотеза полностью подтвердилась.

На основании данных подтвержденной гипотезы и результатах эксперимента я также сделал вывод о том, что лента Мебиуса обладает также такими действительно неожиданными свойствами, как непрерывность и связность.

Заключение

Работая над этой темой, я узнал много нового об известном учёном Мебиусе и о его изобретениях. Лист Мебиуса – первая односторонняя поверхность, которую открыл учёный. Позже математики открыли ещё целый ряд односторонних поверхностей. Но эта – самая первая, положившая начало целому направлению в геометрии, по-прежнему привлекает к себе внимание учёных, изобретателей, худож­ников. В этой работе я пытался описать свойства этой прекрасной поверхности - листа Мебиуса, показать его значимость на практике, доказать, что лист Мебиуса – топологическая фигура.

В своей научно-практической работе мне удалось сделать следующее:

- раскрыть понятие топологии;

- изучить вклад А.Ф. Мебиуса в развитие математики и науки топологии;

- описать лист Мебиуса и процесс его изготовления;

- показать области применения листа Мебиуса;

- разработать методику определения удивительных свойств листа Мебиуса;

- проверить опытно-экспериментальным путём свойства листа Мебиуса.

В ходе работы мне удалось изучить лист Мебиуса с теоретической и практической стороны.

Таким образом, цели и задачи, поставленные в работе, решены, опытно-экспериментальным путем подтверждена рабочая гипотеза.

Для меня проведенная работа открыла главную ценность – понимание того, что открытие листа Мебиуса дало мощный толчок новым обширным исследованиям от математики до скульпторов, от физиков, до спортсменов.

Список литературы:

Гарднер М. Математические досуги. –М., 1992.

Кордемский Б.А., Ахадов А.А. Удивительный мир чисел для учащихся. – М., 1996.

Леман И. Увлекательная математика. - М., 1985.

Лоповок Л.М. Математика на досуге: Книга для учащихся среднего школьного возраста (IV-VIII классы). - М., 1990.

Научно-популярный журнал "Квант" 1974 № 3, 1975 год №7, 1977 №7.

Интернет – ресурсы:

https://videouroki.net/razrabotki/nauchnaia-rabota-na-tiemu-udivitiel-naia-lienta-miebiusa.html

https://pandia.ru/text/79/032/21231.php

https://multiurok.ru/files/intieriesnyie-svoistva-lienty-miebiusa.html

https://nsportal.ru/ap/library/nauchno-tekhnicheskoe-tvorchestvo/2013/02/10/issledovatelskaya-rabota-lenta-myobiusa-i-eyo

https://infourok.ru/issledovatelskaya-rabota-lenta-mebiusa-3091817.html

Приложение 1

Описание свойств ленты Мебиуса в рисунках и фото.

Рисунок 1. Значок механико-математического факультета Московского университета

Рисунок 2. Лента Мебиуса

Рисунок 3. Лента Мебиуса

Рисунок 4. Бутылка Клейна

Фотография 1. Олимпийский велодром в Лондоне

Рисунок 5. Международный символ переработки

Рисунок 6. памятная марка в честь Международного математического конгресса в Бразилии

Приложение 2.

Фото-документирование практической части работы.

Фотография 1.

Линия проходит вдоль кольца по одной стороне, сходясь в точке начала.

Фотография 2.

Одна сторона закрашена, другая – нет.

Фотография 3.

Один край кольца закрашен, второй край нет

Фотография 4.

Кольцо в виде восьмёрки.

Фотография 5.

Два сцепленных друг с другом кольца - одно маленькое, другое – большое.

Фотография 6.

Два больших кольца, переплетенных между собой в виде восьмерки

Фотография 7. Фотография 8.

Опыты с лентой Мебиуса Опыты с лентой Мебиуса

Просмотров работы: 1521