Решение квадратного уравнения различными способами

VI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Решение квадратного уравнения различными способами

Захаров Е.А. 1
1Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение "Лицей № 9 имени К.Э. Циолковского"
Рылова И.Г. 1
1Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение "Лицей № 9 имени К.Э. Циолковского"
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

Теория уравнений занимает ведущее место в алгебре и математике в целом. Значимость ее заключается не только в теоретическом значении для познания естественных законов, но и служит практическим целям. Большинство жизненных задач сводится к решению различных видов уравнений, и чаще это уравнения квадратного вида.

В школьной программе рассматривается только 3 способа их решения. Готовясь к предстоящим экзаменам, следует знать и другие способы решения, для того, чтобы, например, проверять полученные результаты. Поэтому тема «Решение квадратного уравнения различными способами» - актуальная тема.

Актуальность этой темы заключается в том, что на уроках алгебры, геометрии, физики мы очень часто встречаемся с решением квадратных уравнений. Поэтому каждый ученик должен уметь верно и рационально решать квадратные уравнения, что также пригодится и при решении более сложных задач, в том числе и при сдаче экзаменов.

Цель исследований: изучить способы решения квадратных уравнений и отобрать самые рациональные из них для практического применения.

Задачи исследования:

Изучить найденную литературу по данному вопросу.

Рассмотреть особенности каждого найденного способа.

Определить закономерности в решении квадратных уравнений.

Выяснить, какой из рассмотренных способов решения квадратных уравнений является универсальным, и какой является рациональным.

Показать практическое применение полученных знаний и оценить степень сложности в использовании различных способов.

Распространить опыт решения квадратных уравнений среди учащихся 8-11 классов.

Гипотеза: при изучении различных способов решения квадратного уравнения смогу ли я найти такие, которые помогут не прибегать к традиционному решению по формулам, а найти корни рациональнее и быстрее.

Обзор литературы

Квадратное уравнение – уравнение вида , где – некоторые числа – неизвестное.

Числа называются коэффициентами квадратного уравнения:

называется первым коэффициентом

называется вторым коэффициентом

- свободный член

Приведенное квадратное уравнение – уравнение вида , первый коэффициент которого равен единице (a=1).

Если в квадратном уравнении коэффициенты b и c не равны нулю, то уравнение называется полным квадратным уравнением. Например, . Если один из коэффициентов b или c равен нулю или оба коэффициента равны нулю, то квадратное уравнение называется неполным. Например, .

Значение неизвестного x, при котором квадратное уравнение обращается в верное числовое равенство, называется корнем этого уравнения. Например, значение x=2 является корнем квадратного уравнения , потому что или 0=0 — это верное числовое равенство.

Решить квадратное уравнение — это значит найти множество его корней или доказать, что их нет.

Существуют различные способы решения квадратных уравнений:

Решение с помощью различных формул

Решение на основе свойств коэффициентов

Решение графическим способом

Решение с помощью номограммы

Результаты и обсуждение

1. Разложение левой части уравнения на множители

Для решения уравнения таким способом необходимо разложить его левую часть на множители, например методом группировки.

, ,

Ответ: -12;2

2. Метод выделения полного квадрата

Чтобы решить уравнение таким способом необходимо представить левую часть уравнения как сумму квадрата суммы или квадрата разности и числа.

, ,

Ответ: -7;1.

3. Решение квадратных уравнений по формуле

Этот способ широко используется в школе и достаточно прост. Для решения уравнений таким способом необходимо знать две формулы:

(если D>0 2 корня, D=0 1 корень, D<0 действительных корней нет)

Ответ: -7;1.

4. Решение уравнений с помощью теоремы Виета.

Таким способом можно решать только приведенные уравнения, то есть уравнения вида , первый коэффициент которого равен единице (a=1). Корни такого уравнения удовлетворяю теореме Виета, которая имеет вид:

, отсюда можно сделать вывод, что по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней. Также существуют некоторые закономерности, связанные с pи q:

а) Если свободный член q приведенного уравнения положителен (q > 0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависит от второго коэффициента p. Если p>0, то оба корня отрицательные, если p < 0, то оба корня положительны.

, корни этого уравнения 2 и 1, так как q=2>0,p=-3<0.

б) Если свободный член q приведенного уравнения отрицателен (q < 0), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p < 0, или отрицателен, если p > 0.

, корни этого уравнения -5 и 1, так как q=-5<0, p=4>0.

5. Решение уравнений способом «Переброски».

Этот способ действует, если выполняется условие .

Решим уравнение:

Сначала нужно «перебросить» коэффициент a, то есть умножить с на а. Получится:

Теперь по теореме Виета решим полученное уравнение. Затем поделим полученные корни на коэффициент а.

Ответ: 3, 2,5.

6. Решение квадратных уравнений по свойствам коэффициентов.

Всего существует 3 свойства коэффициентов квадратного уравнения.

I свойство:

Если то

Решим уравнение:

следовательно,

Ответ: 1;1/2019.

II свойство:

Если , то

Решим уравнение: , следовательно,

Ответ: -1; -115/132.

III свойство:

Если , то

Решим уравнение:

Здесь , значит корни этого уравнения:

Ответ: -1,5;-2/3.
7. Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.

Номограмма — графическое представление функции от нескольких переменных, позволяющее с помощью простых геометрических операций (например, прикладывания линейки) исследовать функциональные зависимости без вычислений (Рис. 1). Старый и незаслуженно забытый способ решения квадратных уравнений.

Криволинейная шкала номограммы построена по формулам:

Полагая  ,   ,  , из подобия треугольников САН и CDF получим пропорцию .

Рис. 1

Откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение  ,причем буква x означает метку любой точки криволинейной шкалы.

Пример:

Для уравнения   номограмма (Рис. 2) дает корни x1 = 8,0 и x2 = 1,0.

Рис. 2

Ответ: 8, 1.

Историческая справка.

Основным источником знаний о решении квадратных уравнений служат вавилонские математические клинописные тексты. Древнейшие из них относятся к эпохе Хамураби (около 2000 лет до н. э.). Именно эти тексты свидетельствуют о высокой математической культуре древнего Востока. В частности, вавилоняне создали шестидесятеричную нумерацию, которая носила позиционный характер. Для записи чисел они использовали всего 2 клинописных знака ▼ и ◀, первый из которых обозначал 1 и 60, а второй 10 и 600. Таким образом древние вавилоняне в основном решали неполные квадратные уравнения вида . Способ, с помощью которого они это делали, назывался «метод ложного положения (метод множителя пропорциональности)».

8. Решение квадратных уравнений методом ложного положения (метод множителя пропорциональности).

Таким способом решаются уравнения вида . Допустим, ложное значение неизвестного х равно 1, тогда получим Разделив с на а найдем число на которое необходимо умножить ложное значение x2, чтобы получилось истинное значение. Таким образом, .

Уравнение можно решить таким способом. Допустим, ложное значение равно 1, тогда . – это коэффициент, а следовательно .

Ответ: 4/3.

9. Геометрический метод

А вот, например, как древние греки решали уравнение у2 + 6у - 16 = 0.

Выражения у2 + 6у + 9 и 16 + 9 геометрически представляют собой один и тот же квадрат, а исходное уравнение у2 + 6у - 16 + 9 - 9 = 0 - одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что у + 3 = ± 5, или у1 = 2, у2 = - 8 (Рис.3).

Рис. 3

10. Графический метод.

Построим график функции x2−2x−3=0.

1. Имеемa=1, b=−2, x0=−b/(2a)=1,y0=f(1)=12−2−3=−4. Значит, вершиной параболы служит точка (1;−4), а осью параболы — прямая x=1.

 2. Возьмём на оси Оx две точки, симметричные относительно оси параболы, например точки x=−1 и x=3. Имеем f(−1)=f(3)=0. Построим на координатной плоскости точки (−1;0) и(3;0).

 3. Через точки (−1;0), (1;−4), (3;0) строим параболу (Рис. 4).

 Корнями уравнения x2−2x−3=0 являются абсциссы точек пересечения параболы с осью х; значит, корни уравнения таковы: x1=−1; x2=3.

Ответ: −1; 3

Рис. 4

11. Решение квадратных уравнений с помощью различных программ.

Существует большое количество программ и приложений, с помощью которых можно решать квадратные уравнения. Среди них: Excel, Photomath и другие. Вот так можно решить уравнение в приложении для смартфонов Photomath (Рис. 5):

Рис. 5

Выводы

Для того, чтобы подвести итоги своей работы решим одно квадратное уравнение всеми возможными описанными способами. Этим уравнением будет .

1 способ

, ,

Ответ:

2 способ

, ,

Ответ:

3 способ

Ответ:

4 способ

Ответ:

5 способ

Для способа переброски необходимо уравнение, у которого а≠1, например,

Сначала нужно «перебросить» коэффициент a, то есть умножить с на а. Получится:

Теперь по теореме Виета решим полученное уравнение. Затем поделим полученные корни на коэффициент а.

Ответ:

6 способ

По первому свойству коэффициентов: 1-9+8=0, значит

Ответ:

7 способ

Для уравнения номограмма (Рис. 6) дает корни

Рис. 6

Ответ:

8 способ

Решение данного квадратного уравнения этим способом невозможно, так как он подходит только для неполных квадратных уравнений.

10 способ

По этому графику (Рис. 7) видно, что корни уравнения 1 и 8, так ка график пересекается с Ох в этих точках.

Рис. 7

Ответ:

11 способ (Рис. 8)

Рис. 8

Название способа

+

-

Разложение левой части уравнения на множители

Дает возможность сразу увидеть корни уравнения.

Нужно правильно вычислить слагаемых для группировки.

Метод выделения полного квадрата

За минимальное количество действий можно найти корни уравнений

Нужно правильно найти все слагаемые для выделения полного квадрата.

По формуле

Можно применить ко всем квадратным уравнениям.

Нужно выучить формулы.

Через теорему Виета

Достаточно легкий способ, дает возможность сразу увидеть корни уравнения.

Легко находятся только целые корни

Метод переброски

За минимальное количество действий можно найти корни уравнения, применяется совместно со способом теоремы Виета

Легко найти только целые корни

По свойствам коэффициентов

Не требует особых усилий

Подходит только к некоторым уравнениям

С помощью номограммы

Наглядный способ, прост в применении.

Не всегда под рукой имеется номограмма.

Метод ложного положения

Удобен при решении неполного квадратного уравнения определенного вида

Не применим ко всем квадратным уравнениям

Геометрический метод

Наглядный способ

Похож на способ выделения полного квадрата

Графический метод

Наглядный способ.

Могут быть не точности при составлении графиков

С помощью различных программ

Позволяет очень быстро решать уравнения

Не всегда есть под рукой компьютер для этой программы

Таблица 1

В ходе выполнения данной исследовательской работы мне удалось обобщить и систематизировать изученный материал по выбранной теме (Таблица 1), изучить различные способы решения квадратных уравнений, научиться решать квадратные уравнения 11 способами. Нужно отметить, что не все они удобны для решения, но каждый из них по-своему интересен. С моей точки зрения, наиболее рациональными для использования будут способы, изучаемые в школе: по формуле, по теореме Виета, а также используя свойства коэффициентов.

Подводя итоги, можно сделать вывод: так как квадратные уравнения играют огромную роль в математике, найденные и освоенные новые знания могут пригодиться не только в школе и в ВУЗе, но и на протяжении всей жизни.

Список литературы

1. Мордкович А.Г. М 79 Алгебра. 8 класс: В двух частях. Ч.1: Учебник для общеобразовательных учреждений. - 4-е издание - М.: Мнемозина, 2002. - 223 с.:

2. Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика: Справочные материалы: Книга для учащихся. - М.: Просвещение, 1988

3. Глейзер Г.И. История математики в школе. - М.: просвещение, 1982

4. Окунев А.К. Квадратичные функции, уравнения и неравенства. Пособие для учителя. - М.: Просвещение, 1972

5. Дробышев Ю.А. Из истории развития методов решения квадратных уравнений. Элективный курс. – Калуга: Изд-во КГПУ им. К.Э. Циолковского, 2009. – 135 с.

Просмотров работы: 75