В мире эллипсов

VI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

В мире эллипсов

Садовникова А.Э. 1
1МОУ Лицей №10 им. Д. И. Менделеева
Садовникова О.П. 1
1МОУ Лицей №10 им. Д. И. Менделеева
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

Почему я взялась за эту работу?

Кривые с древних времен привлекали к себе внимание ученых и использовались ими для описания различных природных явлений от траектории брошенного камня до орбит космических тел. В школьном курсе математики в качестве кривых рассматриваются графики функций. На уроках математики я изучала параболу, гиперболу, окружность. Мне захотелось познакомиться с другими фигурами, населяющими удивительный мир математики, которые часто встречаются в нашей жизни. Одной из таких замечательных кривых является эллипс.

Актуальность темы. Я выбрала эту тему, так как считаю её интересной и увлекательной, открывающей практическое приложение математики в жизни. Кроме того, тема эллипс затрагивается при изучении темы «Конус» на уроках стереометрии.

Объектом исследования в моей работе является эллипс, а предметом исследования – характеристики эллипса, его свойства, их применение человеком в науке и технике.

Гипотеза. Знакомство с кривыми, изучение их свойств будет способствовать расширению геометрических представлений, позволит углубить знания, повысить интерес к геометрии, создаст содержательную основу для дальнейшего изучения математики, физики и др. наук.

Цель моей работы:изучить эллипс, совершенствуя тем самым уровень своей математической подготовки и расширяя свои знания по планиметрии. Я поставила перед собой следующие задачи: узнать, что такое эллипс; изучить свойства эллипса; научиться строить эллипс и касательную к нему с помощью циркуля и линейки; научиться решать задачи; рассмотреть практическую направленность свойств эллипса; обобщить найденный материал; выступить по данной теме на одном из уроков математики перед учащимися.

Практическая значимость.Я считаю, что использование данного материала на уроках математики позволит расширить кругозор учащихся, познакомит их с замечательными свойствами кривых, которые широко применяются в жизни. Также моя работа научит строить эллипс при помощи несложных школьных инструментов, продемонстрирует решение задач на нахождение элементов эллипса.

Методы исследования:научный (изучение литературы);исследовательский (анализ и обобщение материала); практический (выполнение построений).

2. Основная часть

2.1.Теоретическая часть

2.1.1. Каноническое уравнение эллипса.

Эллипс (от греч. «ellipsis» значит «недостаток» - возможно, имеется ввиду недостаток площади деформированной окружности) - этуфигуру знают все.Онабылаизвестна еще вДревней Греции. Еёоткрыл некий Менехм около 360 года до нашей эры, а до нас она дошли по сочинению выдающегося математика Аполлония, написанному примерно 200 лет спустя. С эллипсом встречаются в начальной астрономии и географии (траектории движения планет и спутников, форма земного меридиана, путь электрона вокруг ядра атома), в черчении, рисовании и стереометрии (рисунки технических деталей, круглых предметов и геометрических тел).

На уроках геометрии мы знакомились с уравнением окружности (х - а)2 + (у - b)2 = R2, где (а; b) – центр окружности, R – радиус.

А как задать уравнение эллипса? Как с помощью формулы задать «приплюснутость» окружности?

Меня очень заинтересовал этот вопрос. Попробуем получить эллипс из окружности. Построим окружность. Через центр О окружности радиуса а проведем взаимно перпендикулярные диаметры А'А и D'D. На радиусах ОD, ОD' отложим от точки О равные отрезки ОВ, ОВ' длиной в (меньшей, чем а). Из каждой точки N окружности опустим перпендикуляр NP на диаметр А'А и на этом перпендикуляре отложим от его основания Р отрезок РМ так, чтобы (1). Это построение преобразует каждую точку N в другую соответствующую ей точку М, лежащую на том же перпендикуляре NР, причем РМ получается из РN уменьшением в одном и том же отношении k.Такое преобразование называется равномерным сжатием. Прямая АА' называется осью сжатия. Линия АВА'В', в которую преобразуется окружность после равномерного сжатия, называется эллипсом. Точка О называется центром эллипса. Точки А, А', В, В' называются вершинами эллипса [15]. Отношение kназывается коэффициентом сжатия эллипса. Величина 1-k= (отношение) называется сжатием эллипса, оно обозначается буквой α [11]. Окружность можно рассматривать как эллипс с коэффициентом сжатия k=1. Так земной меридиан точнее принять не за окружность, а за эллипс. Земная ось есть малая ось этого эллипса. Длина ее приближенно 12 712 км. Длина большой оси равна приближенно 12 754 км. Зная это, можно найти коэффициент сжатия kи сжатие α этого эллипса:k = 1 – α ≈ 0,997; ≈0,003 [12].

Р ассмотрим прямоугольный треугольник ОNР. Мы имеем: ОР2N2 N2=а2 (2) В силу (1) имеем:РN=РМ(3). Подставляя в (2), находим: ОР2+РМ2=а2, т.е. х2+у2=а2(4). Разделив левую и правую часть уравнения на а2, получим равносильное уравнение = 1(5). Итак, если М (х;у) лежит на эллипсе АВА'В', то х и у удовлетворяют уравнению (5). Если же М не лежит на этом эллипсе, то равенство (3), а значит и уравнение (5) не удовлетворяются. Значит, мы получили уравнение эллипса. Уравнение (5) называется каноническим уравнением эллипса. (Каноническое от греческого слова «канон» - образец). Каноническое уравнение эллипса есть уравнение второй степени с двумя переменными, поэтому эллипс есть кривая второго порядка. Если в каноническом уравнении эллипса взять а=b, то уравнение эллипса превратится в уравнение окружности. Таким образом, окружность является частным случаем эллипса. Точки пересечения эллипса с осями координат называются вершинамиэллипса. Найдем две точки пересечения эллипса с осью абсцисс: А (-а; 0) и С (а; 0) и с осью ординат: В (-b; 0) и Д (b; 0).

2.1.2. Геометрические свойства эллипса.

Свойство ограниченности. Эллипс является ограниченной фигурой, которую можно поместить в прямоугольник АВСД со сторонами 2а и 2в. Этот прямоугольник называется основным прямоугольником эллипса. Свойство симметрии.Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии. Для эллипса изображенного на рисунке осями симметрии служат оси координат, а центром симметрии – начало координат. Начало координат является точкой симметрии эллипса, так как если точка К(х; у) принадлежит эллипсу, то и симметричная ей относительно начала координат точка К'(-х;-у) также принадлежит ему:== 1. Отрезок большей длины называется большой осью эллипса, а отрезок меньшей длины – малой осью. Числа а и b (в данном случае а>b), однозначно определяют эллипс и называются соответственно большой и малой полуосями эллипса [1,15].

1.3. Геометрическое определение эллипса.

Можно дать геометрическое определение эллипса. Эллипс есть геометрическое место точек (М), сумма расстояний, от которых до двух данных точек F, F' имеет одно и то же значение 2а: F'М + FМ = 2а. Точки F и F' называются фокусами эллипса, а расстояние FF' - фокусным расстоянием; оно обозначается 2с: FF' = 2с. Так как FF' < FМ + F'М, то 2с < 2а, т. е. с<а [1]. Фокус - латинское слово; означает «очаг». Если в точке F (или F') поместить источник света, то после отражения от эллипса все лучи соберутся в точке F' (или F) и помещенное там горючее вещество загорится. Это зрелище поражало зрителей; поэтому слово «фокус» получило тот смысл, который это слово имеет в обиходе и сейчас [2,3]. Софокусные (имеющие одинаковые фокусы) эллипсы или совпадают, или не пересекаются.

2.1.4. Эллипс в быту и природе.

Эллипсы мы часто наблюдаем в жизни. Если, например, наклонить стакан с водой, то очертание верхнего слоя будет эллипсом. Когда мы режем наискосок колбасу, то получающееся сечение имеет эллиптическую форму. Еще Кеплер обнаружил, что планеты движутся вокруг Солнца по эллиптическим орбитам, причем Солнце находится в одном из фокусов. Один раз за время оборота планета бывает в вершине эллипса, ближайшей к солнцу (в перигелии), и один раз – в наиболее удаленной от Солнца (в афелии). Земля бывает в перигелии, когда в нашем полушарии зима, а в афелии – когда в нашем полушарии лето. По эллиптическим траекториям вращаются вокруг Земли тысячи искусственных спутников [3].

2.1.5. Как получить эллипс.

Геометрическое определение эллипса используется при построении эллипса с помощью натянутой нити. Если концы нити закрепить кнопками в точках F1 и F2 (фокусах), а острие М карандаша передвигать, натягивая нить, то оно опишет эллипс. Этот способ используют садовники при изготовлении цветочных эллиптических клумб. Вместо кнопок в землю втыкают два кола, кольцо делается из толстой веревки, а эллипс вычерчивается на земле не карандашом, а палкой [2].Эллипс (сплюснутую окружность) можно получить из окружности, если провести какой-нибудь ее диаметр, а затем заменять точки окружности другими, лежащими на перпендикулярах к диаметру, на расстояние в несколько раз (в 2, 3, ит.д.) более близких к нему [3]. Для другого способа получения эллипса потребуется сковорода и картонный круг диаметром вдвое меньше диаметра сковороды. Клейкой лентой укрепим на дне сковороды лист бумаги. Положив круг на сковороду, продырявим его в любом месте, отличном от центра, отточенным карандашом. Если теперь катить круг по краю сковороды, прижимая острие карандаша к бумаге, то на бумаге появится эллипс [2].

2.1.6. Эллипсограф.

Конечно, если заданы оси эллипса, то проще всего начертить эллипс от руки, построив сначала прямоугольник, а затем впи­сав в него овальную кривую, но этот способ неточен. Интересно начертить эллипс непрерывным движением, подобно тому, как мы вычерчиваем окружность циркулем. Это можно сделать специальным прибором — эллипсографом. Пусть отрезок PQ движется в плоскости так, что один его конец Q скользит по прямой ОХ, а Р по перпендикулярной ей прямой 0Y. Точка М опишет эллипс. На этом результате основана конструкция эллипсографа. На бумагу или чертежную доску накладывается крест, в котором имеются две взаимно перпендикулярные прорези. С прямолинейной планкой соединены три муфточки, которые можно закрепить в любых точках планки. Крайние муфточки Р и Q могут ходить в прорезях креста, а средняя М снабжена карандашом, который при движении планки вычерчивает эллипс. Закрепив муфточки по заданным полуосям РМ =а, QM =b, мы можем вычертить эллипс с этими полуосями [12].

2.1.7. Эксцентриситет эллипса.

О тношение фокусного расстояния к большой оси , т. е. величина , называется эксцентриситетомэллипса. Эксцентриситет обозначается греческой буквой ε: ε = . Так как с<а, то ε<1. Эксцентриситет ε и коэффициент сжатия k эллипса в силу равенства b22–с2 связаны соотношением k2=1–ε2. Если окружность рассматривать как частный вид эллипса, то b=а, то с=0, т. е. фокусы F и F' нужно считать совпавшими. Эксцентриситет окружности равен 0. Чем больше эксцентриситет эллипса ε = с/а (т.е. чем ближе ε к единице), тем больше «сплющен» (вытянут эллипс к оси ОХ), и чем меньше эксцентриситет, тем более «круглым», более близким к окружности становится эллипс [7,12,15]. Согласно одному из законов Кеплера, каждая планета Солнечной системы движется по эллиптической траектории, в одном из фокусов которой находится Солнце. Так эксцентриситет орбиты Меркурия 0,21; Венеры–0,007; Земли–0,017; Луны–0,055; Марса–0,093; Юпитера-0,048; Сатурна-0,056; Урана–0,047; Нептуна–0,009; Плутона–0,249. Чем меньшую массу имеет тело, тем эксцентриситет орбиты у нее больше. Кометы движутся по очень вытянутым орбитам. Например, комета Галлея имеет эксцентриситет 0,967 [8].

2.1.8. Фокальные радиусы и директрисы.

П усть М(х;у) - произвольная точка эллипса с фокусами F и F'. Д лины отрезковFМ=r и F'М=r' называются фокальными радиусами точки М. Очевидно, r+r'=2а. Имеют место формулы: r'=а+εх, r =а–εх. Директрисами эллипса называются прямые . Каждой из директрис ставится в соответствие тот фокус эллипса, который лежит по ту же сторону от центра, т. е. директрисе QP – фокус F, а директрисе Q'P' - фокус F'. Значение директрисы эллипса выявляется следующим утверждением. Если r" – расстояние от произвольной точки эллипса до какого-нибудь фокуса, d – расстояние от этой же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение r/d есть величина постоянная, равная эксцентриситету эллипса: r/d[1]. Так как для эллипса ε<1, то всякая точка эллипса ближе к фокусу, чем к соответствующей директрисе. Если большая ось эллипса остается неизменной, а эксцентриситет стремится к нулю, то директрисы неограниченно удаляются от центра. У окружности директрисы нет. Если взять а<b, то уравнение =1определяет эллипс, большая ось которого 2b лежит на оси ОУ, а малая ось 2а – на оси ОХ. Фокусы такого эллипса находятся в точках F(0;с) и F'(0;-с), где с= [12,15].

2.1.9. Сопряженные эллипсы.

Два эллипса, заданные уравнениями =1и =1 называются сопряженными. На рисунке

изображены два сопряженных эллипса [12].

2.1.10. Эллипс как коническое сечение.

Эллипс называют еще коническим сечением, так как его можно получить на поверхности круглого конуса в пересечении с плоскостью Р, не проходящей через вершину конуса. Древнегреческий математик Менехм, решая задачу об удвоении куба, задумался: «А что получится, если разрезать конус плоскостью, перпендикулярной его образующей? Какие кривые предстанут нашему взору?». Так, изменяя угол при вершине прямого кругового конуса, Менехм получил три вида кривых: эллипс – если угол при вершине конуса острый; параболу – если угол прямой; одну ветвь гиперболы – если угол тупой. Названия этих кривых предложил один из древнейших геометров древности Аполлоний Пергский, посвятивший замечательным кривым трактат из восьми книг «Конические сечения». Если плоскость Р не параллельна ни одной из образующей конуса, то коническое сечение будет эллипс [7].

2.1.11. Теорема о «мистическом шестивершиннике».

Еще одно свойство эллипса доказал Блез Паскаль. Сам Паскаль назвал это утверждение теоремой о «мистическом шестивершиннике». Теорема. Пусть на эллипсе произвольно выбраны и пронумерованы 6 точек. Обозначим через P, Q, R точки пересечения трех пар прямых: (1, 2) и (4, 5); (2, 3) и (5, 6); (3, 4) и (6, 1). Тогда точки Р, Q, R лежат на одной прямой [12].

2.1.12. Касательная к эллипсу.

Касательной к эллипсуназывается прямая, имеющая с эллипсом только одну общую точку. Теорема. Пусть А – произвольная точка эллипса с фокусами F1 и F2. Тогда касательной к эллипсу, проходящей через точку А, является прямая, содержащая биссектрису угла, смежного с углом F1АF2. Доказательство. Докажем, что прямая a, содержащая биссектрису угла, смежного с углом F1АF2, будет касательной к эллипсу. Обозначим AF1 + AF2 = c. Рассмотрим точку F' на прямой F1A, для которой АF' = АF2. Тогда прямая a будет серединным перпендикуляром к отрезку F2F'. Для произвольной точки A’ прямой a, отличной от А, имеем A’F2 =AF' и A’F1 + A’F2 = AF1 + AF'>F1F'=c. Это означает, что точка A’ не принадлежит эллипсу, и, следовательно, прямая a имеет только одну общую точку А с эллипсом, т.е. является касательной [2,13].

2.1.13. Свойства эллипса и их применения.

У эллипса есть ряд свойств, которые имеют самые неожиданные применения. Фокальное свойство: отрезки, соединяющие точку эллипса с его фокусами, составляют равные углы с касательной, проведенной к эллипсу в этой точке [4]. Так, если мы сделаем зеркало в форме эллипса и поместим в одном из фокусов источник света, то лучи, отразившись от зеркала, соберутся в другом фокусе.

Фокальное свойство лежит в основе интересного акустического эффекта, наблюдаемого в некоторых пещерах и искусственных сооружений, своды которых имеют эллиптическую форму: если находиться в одном из фокусов, то речь человека, стоящего в другом фокусе, слышна так хорошо, как будто он находится рядом, хотя на самом деле расстояние велико. Это свойство используют архитекторы для создания звуковых эффектов: «говорящих» бюстов, «мистического» шепота, «потусторонних» звуков. Если источник звука находится в одном из его фокусов, то максимальная слышимость будет в другом фокусе. Поэтому если крыша здания или его стены имеют эллипсоидальную форму, то вне зависимости от остальной архитектуры здания два человека, находящиеся в фокусах эллипсоида, могут прекрасно пошептаться, не обращая внимания на окружающих. Чтобы построить собственное шепчущее строение, необходимо выбрать в качестве его основания эллипс [7,12]. Свойства эллипса применяются не только в архитектуре. Если на двух одинаковых эллипсах нанести зубчики, то получится две шестеренки. Свойства эллипса применяются во многих областях: в астрономии и космонавтике, геодезии и картографии, в архитектуре и строительстве, в физике и черчении. Их применяют в своей работе иллюзионисты и дизайнеры.

2.1.14. Площадь эллипса. Длина эллипса.

П лощадь эллипса =1можно найти по формуле Sав. Длину эллипса можно приближенно найти по формулам . Пример. На школьной площадке надо сделать клумбу в виде эллипса длиной 3 м и площадью равной 1,5π м2. Решение. Так как S = πав, то b = S/ πа. а=1,5 м, b=1,5π/1,5π=1(м). c2=a2b2, с2=1,25, с ≈1,12 м. Значит, надо колышки поставить на расстояние равное 2с ≈2,24м, а верёвку взять длиной 2а+2с≈ 5,24(м) [12].

2.2. Практическая часть.

2.2.1. Построение эллипса циркулем и линейкой.

Я построила эллипс двумя способами. Пусть даны две перпендикулярные прямые (оси будущего эллипса) и два отрезка длиной a (большая полуось) и b (малая полуось). Точку пересечения прямых обозначим O, это центр эллипса.

С помощью циркуля. 1. Раствором циркуля, равным a, с центром в точке O отметим на одной из прямых точки P1 и Р2, а на второй прямой раствором, равным b - точки Q1 и Q2. Полученные точки являются вершинами эллипса, а отрезки P1Р2 и Q1Q2 - его большая и малая оси. 2. Раствором циркуля, равным a, с центром в точке Q1 (или Q2) отметим на отрезке P1Р2 точки F1 и F2. Полученные точки являются фокусами эллипса.

3. На отрезке P1Р2 выберем произвольную точку T. С помощью циркуля начертим две окружности: первую - радиуса TP1, с центром в точке F1 и вторую радиуса, TP2, с центром в точке F2. Точки пересечения этих окружностей принадлежат искомому эллипсу, т.к. сумма расстояний из обоих фокусов равна длине большой оси 2a. 4. Повторяя несколько раз шаги предыдущего пункта, получим искомый эллипс.

С помощью циркуля и линейки.

1. Строим две окружности с центром в точке О. Диаметр меньшей окружности равен b, диаметр большей - a. Точки пересечения этих окружностей с перпендикулярными прямыми назовем P1 , Р2 и Q1 , Q2. Полученные точки являются вершинами эллипса, а отрезки P1Р2 и Q1Q2 - его большая и малая оси. 2. С помощью линейки проводим через точку O произвольную наклонную линию, которая пересекает каждую из окружностей в четырех точках. Берем пары точек, лежащих с одной стороны от центра. Из точки большей окружности опускаем перпендикуляр на прямую P1Р2. Аналогичным способом опускаем перпендикуляр из точки меньшей окружности на прямую Q1Q2. 3. Точка пересечения построенных перпендикуляров принадлежит эллипсу. 4. Повторяя несколько раз шаги двух последних пунктов, получим искомый эллипс.

Для нахождения фокусов надо: найти середину отрезка Р1О, построить окружность с центром в этой точке и радиусом, равным половине Р1О, которая пересечет меньшую из двух окружностей в точке Е. Отрезок ЕР1 равен половине фокального расстояния эллипса. От точки Е отложить по обе стороны на Р1Р2 отрезок ЕР1. Получить точки F1, F2, которые являются фокусами эллипса [6,11,14].

2.2.2. Выполнение рисунков с помощью канонического уравнения эллипса.

И спользуя каноническое уравнение эллипса можно построить разные рисунки. Я построила два таких рисунка.

1.Краски. Уравнения эллипсов:

; - палитра; , - кисть; ; - оранжевая и зеленая краски; ; - красная и желтая краски; ; - синяя и сиреневая.

2. Гусеница. Уравнения: (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) ; (6) ; (голова) ; (глаза) ; ; (рот) .

2.2.3. Построение касательной к эллипсу.

П усть эллипс задан своими фокусами и константой c. Используя циркуль и линейку, построим касательную к эллипсу, проходящую через данную точку C. С центром в точке C и радиусом CF2 проведем окружность. С центром в точке F1 и радиусом c проведем другую окружность и найдем ее точки пересечения с первой окружностью. Таких точек может быть – две F’, F” – одна или ни одной, в зависимости от расположения точки C. В первом случае проведем биссектрисы углов F'СF2 , F”СF2 . Соответствующие прямые a’, a” являются серединными перпендикулярами к отрезкам F’F2 , F”F2 и, значит, будут искомыми касательными к эллипсу. Для построения точек касания проведем прямые F1F’, F1F” и найдем их точки пересечения A', A'A с касательными a’, a” соответственно. Они и будут искомыми. Во втором случае, когда проведенные окружности имеют одну общую точку, будем иметь одну касательную. Если же окружности не имеют общих точек, то касательных нет [2,13].

2 .2.4. Получение эллипса из листа бумаги.

Способ получения эллипса из листа бумаги. Вырежем из бумаги большой круг и в любом его месте, отличном от центра, поставим точку F. Сложим круг так, чтобы эта точка совместилась с какой-нибудь точкой F’ окружности круга, и на бумаге образовалась линия сгиба a. Линия сгиба будет серединным перпендикуляром к отрезку FF’ и, следовательно, к асательной к эллипсу. Разогнем круг и снова согнем его, совместив точку с другой точкой окружности круга. Сделаем так несколько раз, пока вся бумага не покроется линиями сгибов. Линии сгибов будут касательными к эллипсу. Граница участка внутри этих сгибов будет иметь форму эллипса [2,13].

2.2.5. Решение задач.

Я решила несколько задач на нахождение элементов эллипса.

Задача 1. Пусть фокусное расстояние эллипса 2с=8см, а сумма расстояний от произвольной его точки до фокуса 10см. Найти эксцентриситет; коэффициент сжатия эллипса, составить уравнение. Решение: большая ось 2а=10см, эксцентриситет ε=с/а=0,8. Коэффициент сжатия k= =0,6. Малая ось 2b=2аk=2=6см. Каноническое уравнение эллипса есть =1.

Задача 2. Найти центр, полуоси, фокальное расстояние и эксцентриситет эллипса: [5].

Решение. Приведем уравнение к виду: , тогда центром эллипса является начало координат, ; - полуоси эллипса, с22-b2=7, откуда - фокальное расстояние. Найдем - эксцентриситет эллипса.

Задача 3. Дано:,F1F2=4. Составить уравнение эллипса, его директрис, найти его эксцентриситет [1]. Решение: а) 2с = F1F2 = 4. Тогда с = 2 и b2 = а2 - с22 - 8, , , а2 = 9а2–72, 8а2=72, а2=9, а=3,b2=9–8=1. Получим =1 -уравнение эллипса;б). в) ,тогда х , х .

Задача 4. Составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки М ( ; ); N (-2; ) [9]. Решение: подставим координаты: откуда , тогда = 1 - уравнение эллипса.

Задача 5. Эллипс проходит через М(1;1) и имеет эксцентриситет . Составить уравнение эллипса [9]. Решение: Подставим координаты точки М в уравнение эллипса =1,тогда . Получим систему Решая систему получим = 1; = 1; = 1; 1,64 = 0,64 а2. Имеем a2 = , тогда b2 = a2 c2 = откуда = 1, - уравнение эллипса.

Задача 6. Составить уравнение эллипса, если сумма полуосей 8, расстояние между фокусами 8 [8].

Решение: a + b = 8; 2с = 8 с = 4; b2 = a2c2 тогда a=5, с=4; b=3.

Получим = 1 - уравнение эллипса.

Задача 7. Определить вид кривой, приведя уравнение к каноническому виду а)х2+4у2+4х–16у–8=0; б)х2+2у2+8х–4=0. Определить центр, полуоси, фокусное расстояние [8].

Решение: а) выделим квадраты х2+4у2+4х–16у–8=0; (х+2)2+4(у2–4у+4)–28=0; получим . Эллипс с полуосями ; , центр А (-2;2), фокусное расстояние: ; б) выделим квадраты х2+8х+16+2у2–16–4=0; (х+4)2+2у2–20=0; получим . Эллипс с полуосями ; , центр в т. А (-4; 0), фокусное расстояние: .

3.Заключение. Выводы.

Итак, я проанализировала и изучила большое количество литературы, познакомилась с Интернет-ресурсами, содержащими определение эллипса, его характеристики и свойства, их практическое применение.

Я познакомилась с удивительной темой, узнала много интересного. Этот проект открыл мне еще одну страничку в математике. Я выступила с сообщением по данной теме на уроке математики перед учащимися и рассказала сверстникам об эллипсе, о его замечательных свойствах, используемых человеком в жизни, привела примеры.

При выполнении проекта я выполнила много практических работ, занималась построением эллипса и касательной к нему несложными школьными инструментами линейкой и циркулем, придумала и выполнила рисунки, состоящие из эллипсов, заданных каноническими уравнениями, решила несколько задач на нахождение элементов эллипса.

Помимо основных целей, поставленных в начале работы, я преследовала еще одну: прикосновение к замечательному, удивительному миру геометрии.

В процессе работы над проектом я обнаружила большое количество различных замечательных кривых и причудливых спиралей в мире геометрии. Я рассмотрела лишь эллипс и продолжу изучение замечательных кривых в будущем. Также я планирую изучение аналога эллипса в пространстве – эллипсоида.

4. Библиографический список литературы и

Интернет-источников.

Л. С. Атанасян. Учебник для общеобразовательных учреждений. Геометрия 10,11. Москва. Просвещение. 2007 г.

И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Учебное пособие для общеобразовательных учреждений. Кривые. 9 класс. Мнемозина. Москва. 2007 г.

А. И. Маркушевич. Замечательные кривые. Москва. Наука. 1978 г.

Н. Б. Васильев, В. Л. Гутенмахер. Прямые и кривые. Москва. Наука. 1978 г.

А. А. Рылов Материалы по теме «Декартовы координаты на плоскости» Журнал «Математика в школе» №1 1993 г.Москва. Школа-пресс.

Н.А. Гордеенко. Черчение. Учебник для 9 класса общеобразовательных учреждений. Москва. Издательство Астрель. 2003 г.

Энциклопедия для детей. Математика. Том 11.Москва. Аванта+. 2005 г.

Энциклопедия для детей. Астрономия. Том 8. Москва, Аванта+, 2001 г.

В. Г. Зубков, В.А. Ляховский и.др. Курс высшей математики. Учебное пособие. Том 1. Москва. ГИНФО. 1999г.

П. Е. Данко, А.Г. Попов и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть 1. Москва. ОНИКС 21 век. 2003г.

http://ru.wikipedia.org/wiki/Эллипс

http://portfolio.1september.ru/files/works/56/5657/565725/565725.zip

http://geometry2006.narod.ru/Art/Lecture3.htm

http://www.granitvtd.ru/index.php?option=com_content&task=view&id=18&Itemid=6

http://e-science.ru/math/theory/?t=271

Просмотров работы: 2023