Теорема Пифагора: неизвестные доказательства

VI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Теорема Пифагора: неизвестные доказательства

Федорова  Т.С. 1
1Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Краснооктябрьская средняя общеобразовательная школа»
Тюленева  И.Ю. 1
1Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Краснооктябрьская средняя общеобразовательная школа»
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

Прежде чем приступить к возведению

дворца вселенной,

сколько нужно еще добыть

материала из рудников опыта!

К. Гельвеций

Данная работа посвящена изучению различных доказательств теоремы Пифагора, неизвестных большинству школьников.

В настоящее время всеобщее признание получило то, что успех развития многих областей науки и техники зависит от развития различных направлений математики. Важным условием повышения эффективности производства является широкое внедрение математических методов в технику и народное хозяйство, что предполагает создание новых, эффективных методов качественного и количественного исследования, которые позволяют решать задачи, выдвигаемые практикой.

Впервые о теореме Пифагора я узнала на уроках геометрии. Задачи на эту тему давались мне очень легко. В самом деле, теорема Пифагора проста, но не очевидна. Теорема имеет огромное значение: она применяется в геометрии буквально на каждом шагу, и тот факт, что существует около 500 различных доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических и т.д.) свидетельствует о гигантском числе ее конкретных реализаций, поэтому эта тема и стала основой для моего исследования. Благодаря такому количеству доказательств, теорема Пифагора попала в Книгу рекордов Гиннеса, как теорема с наибольшим количеством доказательств. Это говорит о неослабевающем интересе к ней со стороны широкой математической общественности.

Исходя из вышеизложенного, определена проблема исследования: существует множество доказательств теоремы Пифагора, однако они не рассматриваются в школьной программе. Разрешение этой проблемы в первую очередь ценностно для обучения математике учащихся средней школы.

Сформулированная проблема и определила выбор темы исследовательской работы – «Теорема Пифагора: неизвестные доказательства».

Объект исследования: теорема Пифагора.

Предмет исследования: неизвестные доказательства.

Цель работы: познакомиться с различными доказательствами теоремы Пифагора, освоить методы доказательства этой теоремы.

Гипотеза исследования: еслиизучить другие доказательства теоремы, которые не рассматриваются в школьной программе, мы убедимся в её совершенстве, красоте, простоте и особой значимости в математике.

Поставленная цель и выдвинутая гипотеза определили решение следующих задач исследования:

-изучить и проанализировать литературу о теореме Пифагора;

- определить особенности различных доказательств теоремы;

- выявить её место в математике, значимость для развития науки и области применения.

Для решения поставленных задач использовались следующие методы:

- анализ литературы по теме исследования;

- обобщение и систематизация сведений.

Работа состоит из введения, четырёх параграфов, заключения, списка используемой литературы. В первом параграфе речь идёт об истории теоремы Пифагора. Во втором параграфе рассказывается об особенностях теоремы Пифагора: различные формулировки теоремы; следствия из нее; теорема, обратная теореме Пифагора; обобщение теоремы. В третьем параграфе повествуется о различных доказательствах теоремы Пифагора, незнакомых многим школьникам. В четвёртом параграфе описываются области применения теоремы.

В работе использовано 7 источников. Наиболее ценными оказались книги: «История математики в школе» Глейзера Г. И., «Теорема Пифагора» Литцмана В., «Геометрические миниатюты» Скопеца З. А.

§1. История теоремы Пифагора

И нтересна история теоремы Пифагора. Хотя эта теорема и связана с именем Пифагора, она была известна задолго до него. В вавилонских текстах эта теорема встречается за 1200 лет до Пифагора, а в Египте это соотношение использовалось для построения прямого угла еще пять тысяч лет назад. Возможно, что тогда еще не знали ее доказательства, а само соотношение между гипотенузой и катетами было установлено опытным путем на основе измерений. Пифагор, по-видимому, нашел доказательство этого соотношения. Сохранилось древнее предание, что в честь своего открытия Пифагор принес в жертву богам быка, по другим свидетельствам – даже сто быков. На протяжении последующих веков были найдены различные другие доказательства теоремы Пифагора. Это говорит о неослабевающем интересе к ней со стороны широкой математической общественности. Теорема Пифагора послужила источником для множества обобщений и плодородных идей. Глубина этой древней истины, по-видимому, далеко не исчерпана.

И сторический обзор начнем с древнего Китая. Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чу-пей. В этом сочинении так говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5: "Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4". В этой же книге предложен рисунок, который совпадает с одним из чертежей индусской геометрии Басхары.

К рупнейший немецкий историк математики Кантор считает, что равенство 32 + 42 = 52 было известно уже египтянам еще около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея). По мнению Кантора "натягиватели веревок", строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5.

Н есколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян. В одном тексте, относимом ко времени Хаммураби, т. е. к 2000 г. до н. э., приводится приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника. Отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере в некоторых случаях.

Основываясь, с одной стороны, на сегодняшнем уровне знаний о египетской и вавилонской математике, а с другой – на критическом изучении греческих источников, голландский математик Ван-дер-Варден сделал следующий вывод: "Заслугой первых греческих математиков, таких как Фалес, Пифагор и пифагорейцы, является не открытие математики, но ее систематизация и обоснование. В их руках вычислительные рецепты, основанные на смутных представлениях, превратились в точную науку".

В настоящее время известно, что эта теорема не была открыта Пифагором. Однако одни полагают, что Пифагор первым дал ее полноценное доказательство, а другие отказывают ему и в этой заслуге. Некоторые приписывают Пифагору доказательство, которое Евклид приводит в первой книге своих "Начал".

В некоторых списках "Начал" Евклида эта теорема называлась "теоремой нимфы" за сходство чертежа с пчелкой, бабочкой, что п о-гречески называлось нимфой. Но словом этим греки называли еще некоторых богинь, а также вообще молодых женщин и невест. При переводе с греческого арабский переводчик, не обратив внимания на чертеж, перевел слово "нимфа" как "невеста", а не "бабочка". Так появилось ласковое название знаменитой теоремы – "теорема невесты".

Д оказательство теоремы Пифагора учащиеся средних веков считали очень трудным и называли его Dons asinorum – ослиный мост, или elefuga – бегство «убогих», так как некоторые «убогие» ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии. Слабые ученики, заучившие теоремы наизусть, без понимания, и прозванные поэтому «ослами», были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста. Из-за чертежей, сопровождающих теорему Пифагора, учащиеся называли ее также «ветряной мельницей», составляли стихи, вроде «Пифагоровы штаны на все стороны равны», рисовали карикатуры.

Итак, рассматриваемая нами теорема, имеет разные названия, но в памяти школьников многих поколений хранится главное ее имя – теорема Пифагора как дань памяти великого ученого, распространившего математические знания.

§2. Особенности теоремы Пифагора

Изучая теорему Пифагора, которая отражает очень интересное соотношение между сторонами прямоугольного треугольника, обратимся к различным формулировкам теоремы, следствиям из нее, а также теоремам, связанным с ней.

Формулировки теоремы.

Приведем различные формулировки теоремы Пифагора в переводе с греческого, латинского и немецкого языков.

Во времена Пифагора теорема звучала так:

«Доказать, что квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах».

«Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах».

У Евклида эта теорема гласит (дословный перевод):

«В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол».

Латинский перевод арабского текста Аннаирици (около 900 г. до н. э.), сделанный Герхардом Клемонским (начало 12 в.), в переводе на русский гласит:

«Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол».

В GeometriaCulmonensis (около 1400 г.) в переводе теорема читается так:

«Итак, площадь квадрата, измеренного по длинной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу».

В первом русском переводе евклидовых "Начал", сделанном Ф. И. Петрушевским, теорема Пифагора изложена так:

«В прямоугольных треугольниках квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол».

Существует три современные формулировки теоремы Пифагора:

1. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

2. Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

3. Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равносоставлен с квадратами, построенными на катетах.

2. Теорема Пифагора имеет три следствия:

1. Если к прямой из одной точки проведены перпендикуляр и наклонная, то любая наклонная больше перпендикуляра.

2. Равные наклонные имеют равные проекции.

3. Из двух наклонных больше та, у которой проекция больше.

Теорема, обратная теореме Пифагора.

Формулировка теоремы: Если квадрат длины стороны треугольника равен сумме квадратов длин двух других сторон, то такой треугольник прямоугольный.

Докажем эту теорему.

Д ано:

Доказать:.

Доказательство теоремы.

Построим прямоугольный треугольник с катетами и . Угол – прямой. ( ; ; ).

Такой треугольник существует. В этом прямоугольном треугольнике действует прямая теорема Пифагора, то есть: .

Но по условию: .

Отсюда следует, что . Значит, .

Выясняется, что треугольники равны друг другу по трем сторонам: .

Теорема доказана.

Малоизвестное обобщение теоремы Пифагора.

Теорема Пифагора – пожалуй, самая известная из математических теорем. Сколько существует оригинальных доказательств! Сколько применений она находит в технике! Сколькими благами цивилизации мы обязаны этой великой теореме! Однако, совсем недавно, я открыла для себя совершенно новую, ранее неизвестную грань этой теоремы, которая значительно расширяет область ее применения.

Новая теорема

Итак, у нас есть все, что нужно. Прямоугольные (!) пирамиды, боковые грани-катеты и секущая грань-гипотенуза. Пришло время нарисовать еще одну картинку.

Теорема Пифагора для прямоугольной пирамиды. На картинке изображена пирамида с вершиной в начале прямоугольных координат (пирамида как бы лежит на боку). Пирамида образована тремя взаимно-перпендикулярными векторами, отложенными из начала координат вдоль координатных осей. То есть каждая боковая грань пирамиды — это прямоугольный треугольник с прямым углом при начале координат. Концы векторов определяют секущую плоскость и образуют грань-основание пирамиды.

Теорема:

П усть есть прямоугольная пирамида, образованная тремя взаимно-перпендикулярными векторами , , , у которой площади граней-катетов равны – A, B, C, и площадь грани-гипотенузы – D.

Тогда D2 = A2 + B2 + C2.

Альтернативная формулировка: У четырехгранной пирамиды, у которой при одной из вершин все плоские углы прямые, сумма квадратов площадей боковых граней равна квадрату площади основания.

Разумеется, если обычная теорема Пифагора формулируется для длин сторон треугольников, то новая теорема формулируется для площадей сторон пирамиды. Доказать эту теорему в трех измерениях очень просто, если вы немного знаете векторную алгебру.

Доказательство:

Выразим площади A, B, C, D через длины векторов , , ,

A = ab, B = ac, C = , гдеa = , b = , c = . Площадь D представим как половину площади параллелограмма, построенного на векторах и , где = – , = – .

Как известно, векторное произведение двух векторов – это вектор, длина которого численно равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах.

Поэтому: D =

= (ab)2 + (ac)2 + (bc)2 .

Таким образом, D2 = (ab)2 + (ac)2 + (bc)2 = A2 + B2 + C2.

Что и требовалось доказать!

§3. Неизвестные доказательства теоремы

Самое простое доказательство.

С одной стороны площадь квадрата со стороной (а + b) равна (a + b)2, что в результате использования формулы сокращенного умножения равно a2 + 2ab + b2.

С другой стороны площадь квадрата равна сумме площадей фигур, из которых он составлен (квадрата со стороной с и 4-х равных прямоугольных треугольников с катетами а и b), а именно,

c2 + 4 ab = c2 + 2ab.

Значит, a2 + 2ab + b2= c2 + 2ab, т.е. c2 = a2 + b2.

Простейшее доказательство теоремы с помощью мозаики.

П олучается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Вероятно, с него и начиналась теорема. В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников (рис. 1), чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для треугольника ABC: квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах, – по два. Теорема доказана.

Алгебраическое доказательство.

Д ано: ABC – прямоугольный треугольник,

С = 90º.

Доказать: AB2 = AC2 + BC2

Доказательство:

1) Проведем высоту CD из вершины прямого угла С.

2) По определению косинуса угла соsА = AD/AC=AC/AB, отсюда следует AB AD = AC2.

3) Аналогично соsВ = BD/BC=BC/AB, значит AB BD = BC2.

4) Сложив почленно полученные равенства, получим:

AC2 + BC2 = АВ (AD + DB).

AB2 = AC2 + BC2.

Доказательства, основанные на использовании понятия равновеликости фигур.

П ри этом можно рассмотреть доказательства, в которых квадрат, построенный на гипотенузе данного прямоугольного треугольника «складывается» из таких же фигур, что и квадраты, построенные на катетах. Можно рассматривать и такие доказательства, в которых применяется перестановка слагаемых фигур и учитывается ряд новых идей. На рис. 2 изображено два равных квадрата. Длина сторон каждого квадрата равна a + b. Каждый из квадратов разбит на части, состоящие из квадратов и прямоугольных треугольников. Ясно, что если от площади квадрата отнять учетверенную площадь прямоугольного треугольника с катетами a, b, то останутся равные площади, т. е. c2 = a2 + b2. Впрочем, древние индусы, которым принадлежит это рассуждение, обычно не записывали его, а сопровождали чертеж лишь одним словом: «Cмотри!» Вполне возможно, что такое же доказательство предложил и Пифагор.

Доказательство Евклида.

Д ано: ABC – прямоугольный треугольник

Доказать: S(ABDE) = S(ACFG) + S(BCHI).

Доказательство:

Пусть ABDE – квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника ABC, а ACFG и BCHI – квадраты, построенные на его катетах. Опустим из вершины C прямого угла перпендикуляр CP на гипотенузу и продолжим его до пересечения со стороной DE квадрата ABDE в точке Q; соединим точки C и E, B и G. Очевидно, что углы CAE и GAB равны A + 90°; отсюда следует, что треугольники ACE и AGB (закрашенные на рисунке) равны между собой (по двум сторонам и углу, заключённому между ними). Сравним далее треугольник ACE и прямоугольник PQEA; они имеют общее основание AE и высоту AP, опущенную на это основание, следовательно

S(PQEA) = 2 S(ACE).

Точно так же квадрат FCAG и треугольник BAG имеют общее основание GA и высоту AC; значит,

S(FCAG) = 2 S(GAB).

Отсюда и из равенства треугольников ACE и GBA вытекает равновеликость прямоугольника QPBD и квадрата CFGA; аналогично доказывается и равновеликость прямоугольника QPAE и квадрата CHIB. А отсюда, следует, что квадрат ABDE равновелик сумме квадратов ACFG и BCHI, т.е. теорема Пифагора.

Аддитивные доказательства.

Э ти доказательства основаны на разложении квадратов, построенных на катетах, на фигуры, из которых можно сложить квадрат, построенный на гипотенузе.

Доказательство Эйнштейна основано на разложении квадрата, построенного на гипотенузе, на 8 треугольников.

Здесь: ABC – прямоугольный треугольник с прямым углом C; CMN; CKMN; PO||MN; EF||MN.

Доказательство Хоукинсa.

П риведем еще одно доказательство, которое имеет вычислительный характер, однако сильно отличается от всех предыдущих. Оно опубликовано англичанином Хоукинсом в 1909 году; было ли оно известно до этого – трудно сказать. Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C повернем на 90° так, чтобы он занял положение A'CB'. Продолжим гипотенузу A'В' за точку A' до пересечения с линией АВ в точке D. Отрезок В'D будет высотой треугольника В'АВ. Рассмотрим теперь заштрихованный четырехугольник A'АВ'В. Его можно разложить на два равнобедренных треугольника САA' и СВВ' (или на два треугольника A'В'А и A'В'В).

S(CAA') = b²/2, S(CBB') = a²/2, S(A'AB'B) = (a² + b²)/2. Треугольники A'В'А и A'В'В имеют общее основание с и высоты DA и DB, поэтому: S(A'AB'B) = c DA/2 + c DB/2 = c (DA+DB)/2 = c²/2. Сравнивая два полученных выражения для площади, получим: a² + b² = c² Теорема доказана.

Доказательство Вальдхейма.

Это доказательство также имеет вычислительный характер. Можно использовать рисунки для доказательства, основанного на вычислении площадей двумя способами.

Д ля того чтобы доказать теорему пользуясь первым рисунком, достаточно только выразить площадь трапеции двумя путями.

Sтрапеции = (a + b)²/2

Sтрапеции = a²b² + c²/2

Приравнивая правые части получим:

a² + b² = c². Теорема доказана.

Доказательство, основанное на теории подобия.

В прямоугольном треугольника АВС проведем из вершины прямого угла высоту CD; тогда треугольник разобьется на два треугольника, также являющихся прямоугольными. Полученные треугольники будут подобны друг другу и исходному треугольнику. Это легко доказать, пользуясь первым признаком подобия (по двум углам). В самом деле, сразу видно что, кроме прямого угла, треугольники АВС и ACD имеют общий угол a, треугольники CBD и АВС – общий угол b. То, что малые треугольники также подобны друг другу, следует из того, что каждый из них подобен большому треугольнику. Впрочем, это можно установить и непосредственно.

Доказательство индийского математика Басхары.

И зображено на рисунке. В пояснение к нему он написал только одну строчку: "Смотри!". Ученые считают, что он выражал площадь квадрата, построенного на гипотенузе, как сумму площадей треугольников (4ab/2) и площадь квадрата (a-b)².

Следовательно:

c² = 4ab/2 + (a – b

c² = 2ab + a² – 2ab + b²

c² = a² + b².

Теорема доказана.

Луночки Гиппократа.

С уществует одно интересное приложение обобщения теоремы Пифагора, которое встречается во многих учебниках геометрии под названием теоремы о гиппократовых луночках.

Гиппократ Хиосский (вторая половина пятого века до н. э., Афины) занимался квадратурой луночек. Он называл луночкой часть плоскости, ограниченную двумя дугами окружностей. Наше предложение в том виде, как оно будет здесь сформулировано, не встречается у самого Гипократа, который нашел квадратуру только для некоторых луночек. Во всей общности теорему доказал араб Ибн Альхаитам:

" Если на гипотенузе прямоугольного треугольника как на диаметре описать полуокружность, лежащую с той же стороны гипотенузы, что и сам треугольник, то она пройдет через вершину прямого угла".

Эту теорему греки приписывали Фалесу Милетскому, но в действительности ее знали еще древние вавилоняне.

Для того, чтобы доказать теорему о гиппократовых луночках, докажем следующее предложение: Если на катетах и на гипотенузе прямоугольного треугольника построены какие угодно подобные между собой фигуры Fa , Fb , Fc , так, что катеты и гипотенуза являются сходственными отрезками этих фигур, то имеет место равенство: Fa+Fb =Fc.

Для доказательства воспользуемся следующей теоремой из теории подобия: площади подобных многоугольников относятся как квадраты сходственных сторон. Если через Fa , Fb , Fc обозначить площади подобных многоугольников, построенных на катетах a, b и гипотенузе с прямоугольного треугольника, то согласно вспомогательной теореме можно написать: Fa/Fb/Fc=a²/b²/c². Эта пропорция означает, что можно найти число k (коэффицент пропорциональности) такое, что Fa = ka², Fb = kb², Fc = kc². Умножив обе части равенства на k и принимая во внимание предыдущие равенства, получим: Fa + Fb = Fc. Если равенство Fa + Fb = Fc имеет место хотя бы для одной тройки подобных между собой многоугольников, построенных на катетах и на гипотенузе прямоугольного треугольника АВС так, что АС, ВС и АВ есть сходственные отрезки этих многоугольников, то ka² + kb² = kc² (где k имеет какое-то определенное значение, зависящее от выбора многоугольников, - нам совершенно не важно, какое именно). Но отсюда вытекает, что а² + b² = с², а это влечет за собой тот факт, что равенство Fa + Fb = Fc выполняется для любых построенных на сторонах прямоугольного треугольника подобных многоугольников, в частности, и для квадратов.

Векторное доказательство.

Пусть АВС – прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине С, построенный на векторах. Тогда справедливо векторное равенство: b + c = a откуда имеем c = a – b возводя обе части в квадрат, получим c² = a² + b² – 2ab. Так как a перпендикулярно b, то ab = 0, откуда c² = a² + b² или c² = a² + b² Нами снова доказана теорема Пифагора. Если треугольник АВС – произвольный, то та же формула дает так называемую теорему косинусов, обобщающую теорему Пифагора.

Геометрическое доказательство методом Гарфилда.

Дано: ABC – прямоугольный треугольник.

Д оказать: BC2 = AB2 + AC2.

Доказательство:

1) Построим отрезок CD равный отрезку AB на продолжении катета AC прямоугольного треугольника ABC. Затем опустим перпендикуляр ED к отрезку AD, равный отрезку AC, соединим точки B и E.

2) Площадь фигуры ABED можно найти, если рассматривать её как сумму площадей трёх треугольников: S(ABED) = 2*AB*AC/2+BC2/2

3) Фигура ABED является трапецией, значит, её площадь равна: S(ABED) = (DE+AB)*AD/2.

4) Если приравнять левые части найденных выражений, то получим: AB*AC+BC2/2 = (DE+AB)(CD+AC)/2, AB*AC+BC2/2 = (AC+AB)2/2 AB*AC+BC2/2 = AC2/2 + AB2/2 + AB*AC.

Доказательства методом достроения.

С ущность этого метода состоит в том, что к квадратам, построенным на катетах, и к квадрату, построенному на гипотенузе, присоединяют равные фигуры таким образом, чтобы получились равновеликие фигуры.

На рисунке изображена обычная Пифагорова фигура – прямоугольный треугольник ABC с построенными на его сторонах квадратами. К этой фигуре присоединены треугольники 1 и 2, равные исходному прямоугольному треугольнику.

Справедливость теоремы Пифагора вытекает из равновеликости шестиугольников AEDFPB и ACBNMQ. Здесь CEP, прямая EP делит шестиугольник AEDFPB на два равновеликих четырехугольника, прямая CM делит шестиугольник ACBNMQ на два равновеликих четырехугольника; поворот плоскости на 90° вокруг центра A отображает четырехугольник AEPB на четырехугольник ACMQ.

Доказательство через подобные треугольники.

П усть ABC – прямоугольный треугольник с прямым углом C. Проведём высоту из C. Обозначим её основание через H.

Треугольник ACH подобен треугольнику ABC по двум углам.

Аналогично, треугольник CBH подобен ABC.

a/c = HB/a, b/c = AH/b, т.е. a2 = c*HB, b2 = c*AH.

Следовательно a2 + b2 = c*(HB+AH) = c2. Что и требовалось доказать.

§4. Применение теоремы Пифагора

О бласть применения теоремы достаточно обширна. Теорема Пифагора даёт возможности для вычисления длин отрезков некоторых фигур на плоскости: Диагональ d квадрата со стороной а можно рассматривать как гипотенузу прямоугольного равнобедренного треугольника с катетом а.

Таким образом, d =2a².

Теорема Пифагора используется практически везде.

Молниеотвод

И звестно, что молниеотвод защищает от молнии все предметы, расстояние которых от его основания не превышает его удвоенной высоты. Необходимо определить оптимальное положение молниеотвода на двускатной крыше, обеспечивающее наименьшую его доступную высоту.

Решение:

По теореме Пифагора h2 ≥ a2 + b2, значит, h ≥ (a2 + b2)½.

Ответ: h ≥ (a2 + b2)½.

Астрономия

Н а этом рисунке показан путь светового луча только с другой точки зрения, например из космического корабля. Предположим, что корабль движется влево. Тогда две точки, между которыми движется световой луч, станут двигаться вправо с той же скоростью. Причем, в то время, пока луч пробегает свой путь, исходная точка A смещается и луч возвращается уже в новую точку C.

Окна

В зданиях готического и романского стиля верхние части окон расчленяются каменными ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон. На рисунке представлен простой пример такого окна в готическом стиле. Способ построения его очень прост: Из рисунка легко найти центры шести дуг окружностей, радиусы которых равны ширине окна (b) для наружных дуг половине ширины, (b/2) для внутренних дуг.

Остается еще полная окружность, касающаяся четырех дуг. Т. к. она заключена между двумя концентрическими окружностями, то ее диаметр равен расстоянию между этими окружностями, т. е. b/2 и, следовательно, радиус равен b/4. А тогда становится ясным и положение ее центра

Мобильная связь

В настоящее время на рынке мобильной связи идет большая конкуренция среди операторов. Чем надежнее связь, чем больше зона покрытия, тем больше потребителей у оператора. При строительстве вышки (антенны) часто приходится решать задачу: Какую наибольшую высоту должна иметь антенна, чтобы передачу можно было принимать в определенном радиусе (например, при радиусе R = 200 км, если известно, что радиус Земли равен 6380 км).

Решение:

Пусть АВ = х, BC = R = 200 км, ОС = r = 6380 км. ОВ = ОА + АВ, следовательно: ОВ = r + х.

Используя теорему Пифагора, получим ответ 2,3 км.

Заключение

В наши дни теорема Пифагора очень важна и актуальна. И несущественно то, что она была известна за много веков до Пифагора. Важно то, что Пифагор выделил её, дополнив собственными исследованиями, повысив значимость в мире математических открытий. Важнейшей заслугой Пифагора считается систематическое введение доказательства в математику. Только с этого момента математика и начинает существовать как наука.

Теорема Пифагора – одна из главных и, можно сказать, самая главная теорема геометрии. Она позволяет значительно расширить круг задач, решаемых в курсе геометрии и с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии.

К сожалению, невозможно привести все или даже самые красивые доказательства теоремы, однако приведенные примеры убедительно свидетельствуют об огромном интересе, проявляемом по отношению к ней.

Рассмотрев различные типы доказательств теоремы Пифагора, мы убедились в её совершенстве, увидев её красоту, простоту и значимость.

Список используемой литературы

Литцман В. Теорема Пифагора. М., Просвещение, 1960 г.

Еленьский Щ. По следам Пифагора. М., Учпедгиз, 1961 г

Глейзера Г. И «История математики в школе»

Скопеца З. А. «Геометрические миниатюты»

О теореме Пифагора и способах ее доказательства. http://mat.1september.ru/view_article.php?ID=200102401

Малоизвестное обобщение теоремы Пифагора. https://geektimes.ru/post/297209/

Интерактивная головоломка Теорема Пифагора. http://www.etudes.ru/ru/etudes/pythagorean-theorem/

Просмотров работы: 1635