VI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Построение треугольника по трем элементам и правильного пятиугольника
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Гипотеза исследования построена на предположении о том, что задачи на построение правильного пятиугольника имеют достаточно широкое распространение в архитектуре, живописи и других, смежных с математикой, науках.
Методы исследования:
Поисковый;
Анализ;
Дедуктивный метод.
Объект исследования - задачи на построение с помощью циркуля и линейки.
Предмет исследования - решение задач повышенной сложности на построение треугольников по трем элементам, построение правильного пятиугольника различными способами.
Проблема - задачи на построение правильного пятиугольника и задачи повышенной сложности на построение треугольника по трем элементам почти не изучаются в школьном курсе математики.
Цель исследования - поиск решения задач на построение правильного пятиугольника, на построение треугольников по трем элементам.
Задачи исследования:
1. Определить в математике понятие задачи на построение с помощью циркуля и линейки, изучить основную литературу по данной теме;
2. Решение задач повышенной сложности на построение треугольников по трем элементам;
3.Исследовать архитектурные сооружения, при проектировании которых использовались правильные пятиугольники;
4.Рассмотреть наиболее интересные способы построения правильных пятиугольников;
5. Создание творческих проектов.
Актуальность исследования - данная тема очень актуальна, так как, выбирая профессию инженера, ученик сталкивается с множеством вопросов, например одним из них: «Где мы можем применить знания математики?» Исследования в данной области приводят к выводу о том, что математика имеет большое практическое применение, как в архитектуре, живописи, дизайне так и в других науках.
История возникновения
Первые задачи на построение возникли в глубокой древности. Уже древними архитекторами и землемерами приходилось решать простейшие задачи на построение, связанные с их профессией.
Самые первые задачи на построение, по-видимому, решались непосредственно на местности и заключались в проведении прямых линий и построения прямого угла.
Древнегреческие математики еще 3000 лет назад проводили свои построения с помощью двух приборов: гладкой дощечки с ровным краем и двух заостренных палок, связанных на одном конце.
К задачам на построение прибегали древние инженеры, когда составляли рабочий чертеж того или иного сооружения. Задачи на построение помогали людям в их хозяйственной жизни, их решения формулировались в виде "практических правил", исходя из наглядных соображений.
Первым греческим ученым, который рассматривал геометрические задачи на построение, был Фалес Милетский. Это он, пользуясь построением треугольника, определил расстояние, недоступное для непосредственного измерения. Это он вычислил и высоту египетской пирамиды по отбрасываемой ею тени.
Задачи на построение интересовали и Пифагора. Пифагор и его ученики потратили много сил, чтобы отдельным геометрическим сведениям, состоящим до того времени из набора интуитивных правил, придать характер настоящей науки. Задачи на построение интересовали Платона. Платон и его ученики считали построение геометрическим, если оно выполнялось при помощи циркуля и линейки. Если же в процессе построения использовались другие чертежные инструменты, то построение не считалось геометрическим. Уже в древности греческие математики встретились с тремя задачами на построение, которые не поддавались решению.
Первая задача. Задача об удвоении куба. Требуется построить ребро куба, который по объему был бы в два раза больше данного куба.
Вторая задача. Задача о трисекции угла. Требуется произвольный угол разделить на три равные части.
Третья задача. Задача о квадратуре круга. Требуется построить квадрат, площадь которого равнялась бы данному кругу. Эти три задачи на построение и носят название "знаменитых геометрических задач древности". Большую роль задачи на построение играют в "Началах" Эвклида , где существование фигур доказывается их построением при помощи циркуля и линейки. В "Началах" Эвклида находятся почти все задачи на построение, которые изучаются в настоящее время в школе.
Теоретическая часть
Что такое задачи на построение?
Задача на построение - это задача, в которой требуется построить геометрический объект, пользуясь только двумя инструментами: циркулем и линейкой (односторонней и без делений). Решение задач на построение состоит не в том, чтобы проделать «руками» соответствующие построения, а в том, чтобы найти алгоритм решения, то есть описать решение задачи в виде последовательности уже известных стандартных построений, а также рассмотреть различные способы построения правильного пятиугольника. В этом и состоит цель моей работы.
К элементарным задачам на построение, которые рассматривают на начальных этапах изучения в школьном курсе геометрии, как правило, относят следующие:
1. Отложение на прямой отрезка, равного данному.
2. Отложение от заданной полупрямой в заданную полуплоскость угла, равного данному.
3. Построение прямой, проходящей через данную точку и параллельную данной прямой.
4. Построение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярную к данной прямой.
5. Деление отрезка на две равные части.
6. Деление отрезка в заданном отношении.
7. Построение биссектрисы угла.
8. Построение угла, равного данному.
9. Построение треугольника по трём сторонам, по двум сторонам и углу между ними, по стороне и прилежащим к ней углам.
10. Построение прямоугольного треугольника по гипотенузе и катету, по гипотенузе и острому углу, по двум катетам.
11. Нахождение центра построенной окружности.
12. Построение касательной к окружности через заданную на ней точку. Заметим, что представленный перечень элементарных задач является условным, его можно дополнить.
Сколько бывает решений для задач на построение?
Решить задачу на построение - найти все её решения. Покажем на простейших примерах возможные случаи.
З адача имеет одно решение.
Рисунок 1
Пусть требуется построить прямоугольный треугольник по катету и гипотенузе. Таких треугольников на плоскости можно построить множество, и они могут располагаться как угодно, но у всех равны соответственно две стороны два данных отрезка: гипотенуза и катет, а значит, эти треугольники равны. В этом случае говорят, что задача имеет одно решение «с точностью до равенства». Поэтому достаточно построить один треугольник.
Задача имеет конечное число решений.
Рисунок 2
Пусть требуется построить прямоугольный треугольник, катетом которого служит данный отрезок AC, а гипотенуза равна другому данному отрезку L. В этом случае условие задачи требует определённого расположения искомого треугольника относительно катета AC. Треугольник может оказаться в верхней полуплоскости и в нижней полуплоскости относительно отрезка AC. Поэтому задача имеет два решения: Δ и Δ (рис. 2), причём Δ = Δ . Важно отметить, что хотя здесь треугольники и равны, мы считаем их разными решениями (поскольку они расположены по-разному относительно отрезка AC).
Задача имеет бесконечно много решений.
Такого рода задачи называют неопределёнными. Конечно, мы не можем построить все решения неопределённой задачи. Когда же считают неопределённую задачу решённой? В том случае, когда указаны:
1) приём построения одной из искомых фигур задачи;
2) приём получения других искомых фигур.
Пример. Построить окружность данного радиуса и касающуюся данной прямой.
Рисунок 3
Р ешение. Через произвольную точку B прямой L проведём прямую L1⊥L. Отложим на прямой L1 от точки B, например, в верхнюю полуплоскость отрезок BO = r. Проведём окружность ω(O;OB=r). Через точку O проведём прямую L2 параллельную L. Заметим, что при всевозможных положениях точки O на прямой L2 возникают все решения данной задачи. Задача решена.
Задача не имеет решений.
Такие задачи называют переопределёнными.
Пример. Построить окружность, проходящую через три данные точки, лежащие на одной прямой. Если точки лежат на одной прямой, то провести через них окружность нельзя. Следовательно, задача не имеет решения.
О расположении данных в задаче ничего не сказано. В таких случаях задачу считают решённой, если рассмотрены всевозможные случаи расположения данных.
Пример. Провести через данную точку касательную к данной окружности.
Решение. Возможны три случая расположения данных (точки и окружности).
Случай 1. Точка находится вне окружности, но не принадлежит кругу. Здесь можно провести две касательные к окружности (рис. 4).
Случай 2. Точка находится на окружности. Здесь можно провести одну касательную (рис. 5).
Рисунок 4
Рисунок 5
Рисунок 6
С лучай 3. Точка находится вне окружности, но принадлежит кругу. Здесь касательную к окружности провести нельзя (рис. 6).
Что такое правильный пятиугольник? Правильный пятиугольник, или пентагон (от греческого πενταγωνον-пятиугольник) - выпуклая фигура, имеющая пять вершин, все стороны которой равны между собой (рис 7).
Также, можно заметить, что данная фигура делится в золотом сечении.
Рисунок 7. Правильный пятиугольник
Рисунок 8. Деление правильного пятиугольника в золотом сечении
Архитектурные сооружения, при проектировании которых использовались правильные пятиугольники
Пятиугольный храм (1475-1554) (рис. 10)
Дворец в крепости (1475-1554) (рис. 11)
Театр Советской армии (1934-1940) (рис. 12)
Цитадель в Кортрейке ( III-IV вв.) (рис. 13)
Укреплённая крепость Пиллау (начало XVIIв.) (рис. 14)
Схема типовой крепости из руководства по военному искусству(рис. 15)
Здание министерства обороны США (окончание строительства - январь 1943) (рис. 16)
Дом Советов в Махачкале (1927) (рис. 17)
План типового этажа( 2-9 этаж) 9-этажного дома башенного типа жилого комплекса Слоттсбергет в Гётеборге
Рисунок 9
Рисунок 10
Рисунок 11 Рисунок 12
Рисунок 13 Рисунок 14
Рисунок 15 Рисунок 16
Практическая часть. Приложение А
Заключение
Своеобразие геометрии,
выделяющее её среди
других разделов математики,
да и всех наук вообще,
заключается в неразрывном
органическом соединении живого
воображения со строгой логикой.
Геометрия в своей сути и есть
пространственное воображение,
пронизанное и организованное
строгой логикой.
В ходе моей работы цель исследования – поиск решений задач на построение треугольника по трем элементам и правильного пятиугольника была достигнута. В своей работе я рассмотрел архитектурные сооружения различных стилей, построенные в разные эпохи, и выявил, что при проектировании данных сооружений использовались правильные пятиугольники. Памятники архитектуры, получившие широкую известность как образцы пропорциональности и гармонии, буквально пронизаны математикой, численными расчетами и геометрией.
Практическая часть моей работы включает в себя различные задачи повышенной сложности на построение с помощью циркуля и линейки треугольника по трем элементам и правильного пятиугольника.
Я выбрал эту тему, так как она имеет большое практическое применение в нашей жизни, например, в архитектуре, геометрии, инженерной графике, проектировании.
Список использованной литературы
1.http://www.psciences.net/main/sciences/mathematics/articles/article-1.html
2.http://poisk-ru.ru/s5188t3.html
3.https://ru.wikipedia.org/wiki/Правильный_пятиугольник
4. В. Н. Литвинов «Правильный пятиугольник» 2012г.
5. Александров И.И. «Сборник геометрических задач на построение», 1950 г