VI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Японские методы умножения
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
ВВЕДЕНИЕ
Всем в жизни приходится производить различные вычисления, в том числе и умножать двузначные числа. В школе нас учат умножать числа «в столбик». В интернете случайно увидел видео, в котором показывают интересный и быстрый метод умножения. Начал изучать этот метод, оказалось, что этот метод называется японский. Единственный ли это способ умножения чисел и всегда и во всех ли странах так умножают? Может быть, есть способы умножения проще, чем изучаемый в школе способ умножения чисел «в столбик»? Таким образом, перед нами поставлена цель исследования - изучить японский метод умножения и изготовить прибор для умножения двухзначных чисел.
Объект исследования - умножение двухзначных чисел.
Предмет исследования – японский метод умножения чисел.
Задачи:
Провести поиск разных способов умножения чисел в литературных источниках.
Овладеть различными способами умножения.
Разобраться в японском методе умножения.
Изготовить прибор для умножения, используя японский метод умножения двухзначных чисел.
Продуктом исследования является прибор для умножения двухзначных чисел.
Глава 1. Теоретическая часть
1.1.Умножение
В начале развития общества, когда человеку не требовались большие числа, люди для счета обходились пальцами одной руки, потом двух, потом пальцами рук и ног. Позже все чаще возникала необходимость пересчитывать такое количество предметов, на которое пальцев не хватало. Постепенно были придуманы новые приема счета. В Африке некоторые племена до сих пор считают на камешках и орехах. Доходя до 5, складывают их отдельно в маленькую кучку. Жители островов Тихого океана ведут счет на кокосовых черешках, откладывая маленький черешок каждый раз, как они доходят до 10, и большой, – когда доходят до 100. Прошли многие тысячи лет. Развились обмен и торговля, которые потребовали от людей новых навыков в счете, в действиях с числами. [1]
Умножение — это особый случай сложения нескольких одинаковых чисел. В далекие времена люди учились умножать уже при счете предметов. Так, считая по порядку числа 17, 18, 19, 20, они должны были представлять 20 не только как 10+10, но и как два десятка, то есть 2 • 10; 30 — как три десятка, то есть три раза повторить слагаемым десяток — 3 · 10 — и так далее. [2]
Умножать люди начали значительно позже, чем складывать. Египтяне выполняли умножение посредством повторного сложения или последовательного удвоения. В Вавилоне при умножении чисел пользовались специальными таблицами умножения — «предками» современных. В Древней Индии применяли способ умножения чисел, тоже довольно близкий к современному. Индийцы производили умножение чисел начиная с высших разрядов. При этом они стирали те цифры, которые при последующих действиях надо было заменять, так как к ним прибавляли число, ныне запоминаемое нами при умножении. Таким образом, математики Индии сразу записывали произведение, выполняя промежуточные вычисления на песке или в уме. Индийский прием умножения перешел к арабам. Но арабы не стирали цифры, а перечеркивали их и надписывали новую цифру над перечеркнутой. В Европе продолжительное время произведение называли сумма умножения. Название «множитель» упоминается в работах VI веке, а «множимое» — в XIII веке. В XVII веке некоторые из математиков стали обозначать умножение косым крестиком — х, а иные употребляли для этого точку ( · ). В XVI - XVII веках для обозначения действий применяли различные символы — единообразия в их употреблении не было. Только в конце XVIII веке большинство математиков стали употреблять в качестве знака умножения точку, но допускали и употребление косого креста. Знаки умножения (•, х) и знак равенства (=) стали общепризнанными благодаря авторитету знаменитого немецкого математика Готфрида Вильгельма Лейбница (1646— 1716). [1]
1.2.Таблица умножения
Таблицу умножения (Приложение А, рис. 1) принято называть таблицей Пифагора, однако, автором ее был вовсе не древнегреческий математик. По крайней мере, этому нет никаких подтверждений. Тогда как факты, подтверждающие обратное – есть.
Археологи не один раз находили деревянные дощечки с фрагментами записей, подтверждающих, что подсчет при помощи таблицы вели уже в древней Японии и Китае. На раскопках на месте японского города Нара нашли табличку, относящуюся к VIII веку. [1]
До этого в окрестностях Киото, там, где когда-то находилась еще одна японская столица, Хэйнан, были обнаружены более поздние таблицы, датированные X-XI веками. Но интереснее всего то, что найденная в Нара табличка исписана иероглифами, по стилю похожими на древнекитайское письмо VII-X века, периода правления династии Тан. [3]
Самый легкий способ справиться с умножением на 9 – это умножение на пальцах. (Приложение А, рис. 2 – 4)
Правила умножения на пальцах на 9:
Положите обе руки на стол перед собой.
Теперь мысленно нужно пронумеровать пальцы от 1 до 10 слева направо. Если мысленно тяжеловато, то напишите числа на бумаге.
Загибаем номер пальца на сколько нужно умножить число 9.
Результат делается следующим образом: пальцы, находящиеся слева от загнутого, обозначают десятки, а справа — единицы.
Пример: 9 · 4 получается 3 десятка и 6 единиц. То есть 36.
1.3.Японский метод умножения
Не секрет, что в разных странах методы преподавания разные. Несколько десятилетий назад самой сильной в мире системой школьного образования считалась советская. Но даже в СССР не использовали некоторые интересные методы обучения детей математике.
Например, в Японии ученики первого класса могут перемножать трёхзначные числа, не зная таблицу умножения. Для этого используется простейший метод с рисованием полосок. Логика метода понятна из рисунка.
Археологами в Японии была найдена деревянная табличка с фрагментом таблицы умножения, которая предположительно была изготовлена в VIII веке. Учёные полагают, что подобные таблицы использовались японскими императорскими чиновниками, которым было необходимо осваивать разные науки, в том числе и арифметику.
Обнаруженная табличка — самая древняя из всех найденных в Японии ранее. Интересно, что иероглифы, которыми записаны цифры, по стилю графического начертания очень похожи на те, которые использовались как официальное письмо во времена китайской династии Тан VII-X века. Исходя из этого, ученые предположили, что таблица была скопирована из китайского учебника арифметики того времени, то есть вся японская таблица умножения была заимствована из Китая. Именно к своим соседям в Китай ездили высокопоставленные японцы каждый год, чтобы перенять у них разные науки, такие как арифметику. Древняя китайская таблица умножения была не из простых, так как включала в себя умножение двузначных чисел друг на друга. Вряд ли все японские чиновники могли выучить такую таблицу наизусть, поэтому и носили с собой на работу что-то типа шпаргалок, фрагмент одной из которых и представляет собой найденная археологами в Японии табличка. [4]
Итак, японская таблица умножения была заимствована у китайцев, которые, согласно некоторым гипотезам, и были одними из создателей первой арифметической системы, о чем свидетельствуют археологические находки, содержащие фрагменты таблицы умножения, возраст которых ученые оценили в 2700-3000 лет.
Пример: вычислите 13 · 24 японским методом. Начертим следующий рисунок (Приложение А, рис. 5):
Первый множитель 13 значит, начертим одну горизонтальную линию (один десяток) и еще 3 горизонтальных линии (три единицы).
Второй множитель 24 значит, начертим две вертикальных линии (два десятка) и еще 4 линии (четыре единицы).
Результат: число единиц – количество точек (пересечение линий) в квадрате (12, т.е. пишем 2, а 1 идет в десятки); число десятков – количество точек в овале (10 + 1 = 1, значит пишем 1, а 1 идет в сотни); число сотен – количество точек к круге (2 + 1 = 3). Ответ: 312.
Глава 2. Практическая часть
2.1. Прибор для умножения
Шотландский математик Джон Непер придумал счетный прибор, состоящий из 10 палочек, предназначенный для умножения чисел. Устройство палочек основано на принципе итальянского умножения чисел. (Приложение А, рис. 6)
Рассмотрим алгоритм умножение многозначного числа на однозначное. Пусть, например, нужно вычислить произведение 258 · 8. [5]
1 шаг. Взять палочки и по первому ряду составить число. В нашем примере возьмём полоски с верхними цифрами 2, 5 и 8 и положим их рядом
2 шаг. Отсчитать сверху столько рядов, на сколько необходимо умножить. В рассматриваемом примере - восьмая строка.
3 шаг. Считаем по диагонали, прибавляя десятки к числу в следующей полосе.
В примере произведение равно 2064, еще один пример произведение 354 и 7 представлен на рисунке 7 (Приложение А).
«Палочками Непера» можно пользоваться и для умножения многозначных чисел. В книге «Математическая шкатулка» [3] объясняется данный способ. Необходимо выполнить указанный алгоритм для каждой цифры второго множителя и полученные результаты сложить.
Пусть нужно вычислить произведение 4375 · 347. Положим рядом 4 полоски с верхними числами 4; 3; 7; и 5. Определим произведение числа 4375 на 7. Получим 30 625. Умножим 4375 на 4 десятка получим 175000. Найдём ещё произведение 4375 на 3 сотни. Получим 13 125 сотен. Остаётся найти сумму получившихся произведений. 30 625 +175000+1312500=1518 125.
2.2. Собственный прибор для умножения
Мной был создан собственный прибор для умножения двухзначных чисел, который моделирует процесс умножения японским методом. Прибор выглядит следующим образом (Приложение Б, рис. 1 - 5) и состоит из деревянной рамки и надетой на нее в двух направлениях (вертикали и горизонтали) резинок. Общее количество резинок 36:
18 вертикальных;
18 горизонтальных.
Работать с ним легко, как и с японским методом умножения. На каждой стороне рамки написаны цифры от 0 до 9 и сделаны небольшие отверстия для подсчета линий пересечений. (Приложение Б, рис. 1). Правая сторона – количество единиц, верхняя сторона – количество десятков, левая сторона – количество сотен, а нижняя сторона – число, которое переходит в следующий разряд. При умножении японским методом начинаем с подсчета количества единиц, затем десятков, а в конце сотен.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Ученые всегда стремились упростить вычисления, в том числе и умножение чисел. В книге Беллюстина В., написанной в 1969 году приводится 27 способов, в настоящее время появляются новые способы умножения. Умножение не стоит на месте, о чем доказывает новый способ умножения, который разработал Василий Иванович Оконешников. В каждое время у разных народов были свои способы умножения чисел. Как оказалось, японский метод умножения чисел не очень сложны в изучении и его можно применять на уроках математики.
Таким образом, поставленная цель исследования, а именно, изучить японский метод умножения и изготовить прибор для умножения двухзначных чисел, была достигнута. Выполнены следующие задачи исследования:
Провели поиск разных способов умножения чисел в литературных источниках.
Овладели различными способами умножения.
Освоили японский метод умножения двухзначных чисел.
Изготовили прибор для умножения, используя японский метод умножения двухзначных чисел.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ
Беллюстин В. Как постепенно люди дошли до настоящей арифметики.-М.: Педагогический листок, 1969.-112с.
Глейзер Г.И. История математики в школе.- М.: Просвещение, 1964.-375 с.
Нагибин Ф.Ф. Математическая шкатулка.-М.:Учпедгиз,1958.-167с.
Перельман Я.И. Занимательная арифметика,- М.: АО «Столетие»,1994.- 176 с.
Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика/ Сост. А.П. Савин,В.В. Станцо, А.Ю. Котова: Под общ. Ред. О.Г. Хинн. – М.: ООО «Фирма «Издательство АСТ», 1999.- 480 с.
Приложение А
Рис. 1.Таблица умножения
Рис 2. Руки
Рис. 3. Нумеруем пальцы
Рис. 4. Загибаем номер пальца на сколько нужно умножить 9
Рис.5. Японский метод умножения 13 · 24
Рис. 6. Счетные палочки Непера
Рис. 7. Умножение с помощью палочек Непера 354·7=2478
Приложение Б
Рис. 1. Собственный прибор для умножения двухзначных чисел
Рис. 2. Первый множитель число 23
Рис. 3. Второй множитель 13
Рис. 4. Произведение 23 · 13