VI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Числовые последовательности в ОГЭ и ЕГЭ
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Задачи, связанные с последовательностями, в курсе алгебры рассматриваются фрагментарно. Немного больше времени уделяется частным видам последовательностей, а именно арифметической и геометрической прогрессиям. Однако для решения предлагаемых на Едином Государственном экзамене задач этих знаний недостаточно. В 2016 году задачу № 11 профильного уровня, согласно статистико-аналитическому отчёту о результатах ЕГЭ выполнили 32,2 % участников.
Цель исследования: изучить понятие числовой последовательности, виды числовых последовательностей и научиться решать задачи, связанные с числовыми последовательностями.
Для достижения цели поставлены следующие задачи:
1. изучение литературы по данной теме в печатном и электронном виде;
2. изучение видов последовательностей;
3. отработка полученных знаний в ходе решения задач;
4. ознакомление обучающихся 9 - 11 классов с решением задач из Единого Государственного экзамена, связанных с числовыми последовательностями.
Объект исследования: числовые последовательности
Предмет исследования: способы решения задач из ОГЭ и ЕГЭ, связанных с числовые последовательностями
Методы исследования:
изучение литературы;
2. выполнение практических заданий;
3. сравнение и обобщение полученных результатов.
Практическая значимость: использование материала при подготовке к Единому Государственному Экзамену.
Новизна проведённой исследовательской работы: изучение числовых последовательностей как темы, не входящей в школьную программу 7 класса. Задачи, связанные с числовыми последовательностями, также встречаются среди заданий под номером 19 Единого государственного экзамена, которые оцениваются максимальным количеством баллов.
Гипотеза:задачи, связанные с числовыми последовательностями, можно решить алгебраически, с помощью уравнений и преобразований выражений.
1. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ
1.1. Теоретическая часть
1.1.1.Определение числовой последовательности
Понятие числовой последовательности возникло задолго до создания учения о функциях. В нашей жизни многие события происходят последовательно: например, смена дня и ночи, смена дней недели, смена возраста живого существа с течением времени. Последовательно увеличивает свою скорость автомобиль, последовательно пронумерованы дома на улицах.
В математике мы впервые сталкиваемся с последовательностями в начальной школе, когда от нас требуется уловить закономерность и продолжить ряд чисел.
Определение. Если каждому натуральному числу 1, 2, 3….n,… поставлено в соответствие действительноечисло то множество действительных чисел , , ,….. , … называется числовой последовательностью.
Числа , , ,….. , … называются элементами (или членами) последовательности, а символ - общим членом последовательности.
Последовательность задают формулой ее общего члена, которая позволяет найти любой член последовательности, зная его номер.
Элементами последовательности не обязательно должны быть различные числа. Так, если an = 1, то последовательность имеет вид 1, 1, ..., 1, ...
Общий член определяет знакочередующуюся последовательность вида 1, –1, 1, –1, ...
Другим способом задания последовательности является задание последовательности с помощью рекуррентного соотношения. В этом случае задается один или несколько первых элементов последовательности, а остальные определяются по некоторому правилу. Например, известен первый член последовательности и известно, что , то есть ) и так далее до нужного члена.
Самым известным примером рекуррентно заданной последовательности является знаменитая последовательность чисел Фибоначчи 1, 1, 2, 3 ,5 8, 13, 21, 34…., в которой каждое последующее число является суммой двух предыдущих чисел. Данную последовательность можно задать следующим рекуррентным соотношением:
= +, где = 1
Числовые последовательности бывают конечными и бесконечными. К бесконечным последовательностям можно отнести ряд натуральных чисел, множество нечётных чисел, к конечным последовательностям можно отнести, например, последовательность чётных двузначных чисел.
1.1.2.Виды числовых последовательностей
1) Возрастающая последовательность – последовательность, каждый член которой больше предыдущего > , где n N
Примером возрастающей последовательности служит ряд натуральных чисел 1,2,3,4,…
2) Убывающая последовательность – последовательность, каждый член которой каждый меньше предыдущего < , где nN
Примером убывающей последовательности служит гармонический ряд - ряд чисел, обратных членам натурального ряда 1, , , ,….
Существуют следующие способы задания последовательности
- Словесный - правило составления последовательности выражается словесным описанием, например: последовательность простых двузначных чисел, меньших 100
11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97;
- Графический
Числа последовательности можно отмечать на координатной плоскости, причем по оси абсцисс откладывается номер члена последовательности, а по оси ординат соответствующий этому номеру член последовательности
Рис.1
На левом рисунке изображена возрастающая последовательность,на правом убывающая последовательность
- Аналитический.
указывается формула n-го члена последовательности ап = 5n+17 ап = или рекуррентное соотношение.
1.1.3. Арифметическая и геометрическая прогрессии
В курсе алгебры 9 класса изучаются такие виды последовательностей, как арифметическая и геометрическая прогрессии.
Определение. Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.
(ап) – арифметическая прогрессия, если для любого п N выполняется условие
ап +1 = ап + d, где d – некоторое число. Число d называется «разностью арифметической прогрессии», так как из определения следует, что ап + 1 – ап = d. Если
d >0 , то прогрессия является возрастающей, в случае же, если d < 0,то прогрессия является убывающей.
Определение. Геометрическая прогрессия - это числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый следующий член равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число. Это число обозначается q и называется знаменателем геометрической прогрессии, поскольку q =bп +1 : bп.
В задании № 11 Основного Государственного экзамена и первой части Единого Государственного экзамена предложены задания, связанные с арифметической и геометрической прогрессиями. В задании № 19 ЕГЭ встречаются как арифметические и геометрические прогрессии, так и числовые последовательности.
Таблица 1. Основные формулы для арифметической и геометрической прогрессии
|
Арифметическая прогрессия |
Геометрическая прогрессия |
|
|
Определение |
||
|
Формула n-го члена |
an=a1+(n-1)d, |
bn=b1*qn-1, |
|
Сумма n первых членов |
||
|
Характеристическое свойство |
1.2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Решение задач, связанных с числовыми последовательностями.
Задача 1.(Открытый банк заданий ОГЭ, 1 часть, задача 11).
В первом ряду кинозала 20 мест, а в каждом следующем на 2 больше,чем в предыдущем. Сколько мест в 11 ряду?
Решение: в соответствии с условием последовательность мест в ряду 20, 22, 24,…- арифметическая прогрессия. Используем формулу для n-го члена арифметической прогрессии, получим 20 +2(11 - 1) =40.
Ответ:40 мест.
Задача 2(Открытый банк заданий ЕГЭ, задача 11)
Олегу надо решить 315 задач. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Олег решил 11 задач. Определите, сколько задач решил Олег в последний день, если со всеми задачами он справился за 9 дней.
Решение: в данной задаче мы имеем дело с арифметической прогрессией, поскольку решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем.
Известно, =11 n = 9 =315. Согласно формуле суммы первых членов арифметической прогрессии = · n решим уравнение 315 = (11 + )·9 : 2,откуда =70 – 11 = 59. Ответ: 59
Задача 3 (ЕГЭ, № 19)
Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 10 раз больше, либо в 10 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 3024.
а) Может ли последовательность состоять из двух членов?
б) Может ли последовательность состоять из трёх членов?
в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?
Решение: а) Предположим, что последовательность состоит из двух членов, a и 10 a (в произвольном порядке).Тогда получим a+10a=3024
Поскольку корень уравнения 11a=3024 не является целым числом, как это требуется в условии, делаем вывод: последовательность не может состоять из двух членов.
б) Составим уравнение: a + 10a + a =3024,откудаa=252
10a + a+ 10a = 3024 , откуда a=144
(Пример). Последовательность может состоять из трёх членов. Например: 252, 2520, 252 или 1440,144,1440
в) Ближайшим к 3024 число, делящееся на 11 нацело, является 3014.
3014=11 174. Таким образом, в последовательности 174 пары вида (10; 1) и число 10.
Допустим, что в последовательности более чем 549 членов.
Разобьём первые 550 членов последовательности на 275 пар соседних членов: первый и второй, третий и четвертый, пятый и шестой и т.д.
Сумма двух членов в каждой паре делится на 11 и поэтому не меньше 11.
Значит, сумма всех членов последовательности не меньше, чем 275*11 = 3025 > 3024 ,следовательно, мы пришли к противоречию, а это значит, что наибольшее количество членов данной последовательности равно 549.
Ответ: а) нет; б) да; в) 549.
Задача 4 (№19, тренировочный вариант ЕГЭ №52)
|
Можно ли из последовательности 1, , , , ….. выделить арифметическую прогрессию, содержащую 5 членов? Пусть это будет последовательность вида ; ; ; . Разность данной арифметической прогрессии равна Нам осталось подобрать число n таким образом, чтоб все числители сократились, а это возможно в том случае, когда это число будет наименьшим общим кратным числителей. В нашем случае это будет число 60. Значит, выделенная из гармонического ряда последовательность будет такой: ; ; ; Ответ: можно. Задача 5 (тренировочный вариант ЕГЭ 192, 2017г.). Дана последовательность ( ): = (n-1)n(n+1)+133 Найти два соседних члена этой последовательности, разность которых равна 29700 =(n -1)n(n+1)+133 = n(n+1)(n+2)+133 Согласно условию вычтем и после приведения подобных слагаемых получим 3n(n+1)=29700 Тогда получим квадратное уравнение относительно n n(n+1)=9900=99▪100, откуда n=99.(второй корень уравнения не удовлетворяет условиям задачи, поскольку номер члена последовательности является натуральным числом) Ответ : это 99 и 100 члены последовательности. |
В приложении приведены задачи из открытого банка ОГЭ и ЕГЭ, связанные с числовыми последовательностями, первая из которых (№ 19 профильного ЕГЭ) - с решением.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
1.изучив литературу по теме, я ознакомилась с понятием числовой последовательности, с их видами, а также с их применением на практике.
2. рассмотрены основы ранее неизвестного мне раздела математики имеющего большую практическую пользу для решения задач из ЕГЭ и ОГЭ.
3. в ходе оформления работы я научилась работать с математическими формулами в редакторе Word.
Задания из ОГЭ и ЕГЭ 1 части, связанные с арифметической и геометрической прогрессиями, решаются достаточно быстро в соответствии с приведёнными формулами n-го члена последовательности, суммы первых n членов последовательности. Задания же № 19 требуют более деликатного подхода, однако алгебраический метод помогает справиться и с ними. Таким образом, выдвинутая гипотеза подтвердилась.
Можно сделать вывод, что изучение последовательностей полезно для каждого школьника, интересующегося математикой. Поскольку в будущем я собираюсь поступать в высшее учебное заведение и сдать Единый Государственный Экзамен на высокий балл, изучение данного материала было для меня очень полезным.
В будущем я планирую продолжить изучение последовательностей и их свойств.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1 М. М. Медынский. Полный курс элементарной математики в задачах и упражнениях. Книга 2: Числовые последовательности и прогрессии. М.: Эдитус, 2015.
2. Алгебра , 9 класс : учебник для общеобразовательных организаций (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова) ; под редакцией С. А. Теляковского. М., «Просвещение»,2015.
3.Яковлев И.В. «Задача С6 на ЕГЭ по математике» (электронная версия книги на сайте http://mathus.ru/)
4. Ященко И.В. «ЕГЭ-2018. Типовые экзаменационные варианты». (М., «Экзамен», 2017)
5.Ященко И.В. « 3000 задач с ответами по математике. Все задания части 1 .- «Экзамен», МЦНМО,2014.
5. Сайт для подготовки к ЕГЭ по математике http://alexlarin.net/
6.Открытый банк заданий ОГЭ и ЕГЭ по математике
ПРИЛОЖЕНИЕ.
Задачи из открытого банка ОГЭ и ЕГЭ, связанные с числовыми последовательностями
Задача 6 (Единый Государственный Экзамен, № 19, 4 балла)
Дана последовательность натуральных чисел, причем каждый следующий ее член отличается от предыдущего либо на 10, либо в 6 раз. Сумма всех членов последовательности равна 257.
а) Какое наименьшее (минимальное) число членов может быть в данной последовательности?
б) Какое наибольшее (максимальное) количество членов может быть в этой последовательности?
Решение: а) Предположим, что последовательность состоит из двух чисел, одно из которых больше другого на 10. Если первое число нечетно, то второе число тоже нечетно. А сумма двух нечетных чисел есть число четное. Если же первое число четно, то второе число, которое больше первого на 10, тоже четно. А сумма двух четных чисел есть четное число. Получается, что нечетного числа 257 в сумме у нас не получится.
Предположим теперь, что второе число в 6 раз больше первого. То есть первое число есть x тогда второе число есть 6x. Их сумма равна 7x и равна 257. Однако 257 на 7 без остатка не делится. Значит, этот вариант также не удовлетворяет нашему условию. Исходя из вышеизложенного, делаем следующий вывод: двух чисел в этой последовательности быть не может.
Рассмотрим следующий вариант. Предположим, что последовательность состоит из 3 чисел. Пусть каждое из них на 10 больше предыдущего. Тогда первое равно х, второе равно х+10, а третье х+20. Тогда их сумма равна 3х+30 и равна 257. То есть
3х+30=257 ,откуда следует 3х=227. Но корень данного уравнения не является натуральным числом.
Рассмотрим такой вариант: пусть второе число в 6 раз больше первого, а третье на 10 больше второго. Тогда получим уравнение
х+6х+6х+10=257 , откуда 13х+10=257 , 13х=247, то есть х =19.
Значит, минимальное количество чисел в нашей последовательности равно трем. Меньше уже не получается. К примеру, это может быть вот такая последовательность: 19,114,124.
Б) Теперь нам нужно, чтобы в последовательности было как можно больше членов. Поэтому пара вида (1; 6) должна встречалась в ней как можно чаще.
Сумма чисел этой пары равна 7. Если разделить 257 на 7, то получится 36 и 5 в остатке. Но эту 5 не получится представить, используя члены нашей последовательности. Поэтому возьмём пар вида (1; 6) в последовательности 35 штук, а оставшееся число 12 будетпредставлено в ней парой (1;11). Теперь мы получили последовательность 1;11;1;6;1;6;1;.. (пар типа (1;6) всего 35 штук) с максимально возможным числом членов. В этой последовательности числа. То есть максимально возможное число членов последовательности равно 72.
Ответ: а)3 б) 72
ОГЭ по математике , № 11
1.Дана арифметическая прогрессия (an), разность которой равна −8,1, a1 = 1,4. Найдите a6.
2. В арифметической прогрессии известно, что . Найдите третий член этой прогрессии.
3. Фигура составляется из квадратов так, как показано на рисунке: в каждой следующей строке на 8 квадратов больше, чем в предыдущей. Сколько квадратов в 16-й строке?
4.В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 48, а сумма второго и третьего членов равна 144. Найдите первые три члена этой прогрессии.
5. Дана арифметическая прогрессия (an), для которой a5 = 71, a11 = 149. Найдите разность прогрессии.
6. Какое наименьшее число последовательных натуральных чисел, начиная с 1, нужно сложить, чтобы получившаяся сумма была больше 465?
7. Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: 5; −10; 20; ... Найдите сумму первых пяти её членов.
8. В первом ряду кинозала 35 мест, а в каждом следующем на один больше, чем в предыдущем. Сколько мест в восьмом ряду?
ЕГЭ по математике, профильный уровень , № 11
1.Вере надо подписать 640 открыток. Ежедневно она подписывает на одно и то же количество открыток больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Вера подписала 10 открыток. Определите, сколько открыток было подписано за четвертый день, если вся работа была выполнена за 16 дней.
2.Грузовик перевозит партию щебня массой 210 тонн, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что за первый день было перевезено 2 тонны щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено за девятый день, если вся работа была выполнена за 14 дней.
3.Бизнесмен Бубликов получил в 2000 году прибыль в размере 5000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 300% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Бубликов за 2003 год?
4.Бригада маляров красит забор длиной 240 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 60 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.
ЕГЭ по математике ,профильный уровень , № 19
1. Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию
а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 14?
б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 900?
в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 123.
2.Возрастающие арифметические прогрессии и состоят из натуральных чисел.
а) Существуют ли такие прогрессии, для которых и — различные натуральные числа?
б) Существуют ли такие прогрессии, для которых и — различные натуральные числа?
в) Какое наименьшее значение может принимать дробь , если известно, что и — различные натуральные числа.
3.Возрастающие арифметические прогрессии и состоят из натуральных числе.
а) Приведите пример таких прогрессий, для которых
б) Существуют ли такие прогрессии, для которых ?
в) Какое наибольшее значение может принимать произведение если
4.Последовательность состоит из неотрицательных однозначных чисел. Пусть — среднее арифметическое всех членов этой последовательности, кроме k-го. Известно, что
а) Приведите пример такой последовательности, для которой
б) Существует ли такая последовательность, для которой
в) Найдите наименьшее возможное значение
5. Все члены конечной последовательности являются натуральными числами.
Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 5 раз больше, либо в 5 раз меньше предыдущего.
Сумма всех членов последовательности равна 2013.
а). может ли эта последовательность состоять из трёх членов?
б). может ли эта последовательность состоять из четырёх членов?
в). может ли эта последовательность состоять из пяти членов?
г). какое наибольшее число членов может быть в этой последовательности?