VI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Применение метода комплексных чисел при решении геометрических задач
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
ВВЕДЕНИЕ
Введение в предмет
В настоящее время комплексные числа широко используются как в математических дисциплинах, физике, так и во многих технических дисциплинах. В некоторых случаях использование комплексных чисел позволяет сформулировать задачу, провести ее решение и записать полученные формулы в компактном и изящном виде.
Заметим, что комплексные числа используются в математике гораздо шире, чем действительные, поскольку действительные числа – это только часть множества комплексных чисел. Открытие комплексных чисел вооружило ученых новыми, более общими методами исследования. Многие теоремы алгебры, которые раньше приходилось разбивать на ряд частных случаев, после введения комплексных чисел приобрели общность.
Навыки работы с аппаратом комплексных чисел дают возможность обнаружить новые факты и делать обобщения. Широкое использование комплексных чисел в математике и физике, с одной стороны убеждает школьников в реальности и полезности этих чисел. С другой стороны, навык работы с комплексными числами сам по себе очень интересен и важен, особенно для будущих студентов технических вузов. Поэтому изучение комплексных чисел на факультативных занятиях в старших классах с математическим профилем вместе с их приложениями к вопросам геометрии, тригонометрии, физики позволит повысить уровень математической подготовки учащихся.
Краткая историческая справка
Комплексные числа возникли в европейской школе математики в начале XVI века в связи с решением алгебраических уравнений 3-й степени, а позднее, и уравнений 2-ой степени.
Первым, кто оценил комплексные числа, был итальянский математик Рафаэль Бомбелли. Именно он первым описал простейшие правила действий с комплексными числами. Муавр и Котса разработали формулы для нахождения корней любой натуральной степени из комплексного числа, которая стала называться формулой Муавра. Символ i(так называемая мнимая единица) была введена Эйлером, а геометрическую интерпретацию комплексных чисел впервые опубликовал Вассел.
С именами Николо Тарталья, Джероламо Кардано, Рафаэль Бомбелли связано введение символа «мнимой единицы» ( как формальное решение уравнения а также выражение более общего вида для записи решения уравнения
Впоследствии Леонард Эйлер (в XVIII в.) ввел специальное обозначение
и выражения вида стали называть «комплексными» числами и записывать их в виде Этих чисел, чисел новой природы оказалось достаточно для решения любого квадратного уравнения (включая случай ), а также уравнения 3-й и 4-й степени.
Использование аппарата комплексных чисел (несмотря на подозрительное к ним отношение), позволило существенным образом продвинуться в решении многих задач. Вследствие этого комплексные числа стали занимать все более важное положение в математике и ее приложениях. В первую очередь они нашли широкое применение в теории алгебраических уравнений, существенно упростив их изучение. Например, один из труднейших вопросов для математиков XVII-XVIII веков состоял в определении числа корней алгебраического уравнения n-ой степени, т.е. уравнения вида
Ответ на этот вопрос, как оказалось, зависит от того, среди каких чисел – действительных или комплексных – следует искать корни этого уравнения. Если ограничиться действительными корнями, то можно лишь утверждать, что их не больше, чем n. А если считать допустимым наличие и комплексных решений, то ответ на поставленный вопрос получается исчерпывающим.
Необходимость введения комплексных чисел
Одна из причин введения рациональных чисел обусловлена требованием, чтобы всякое линейное уравнение (где ) было разрешимо. В области целых чисел линейное уравнение разрешимо лишь в том случае, когда делится нацело на
Одна из причин расширения множества рациональных чисел до множества действительных чисел была связана с разрешимостью квадратных уравнений, например, уравнения вида .
Как известно, – число иррациональное. На множестве же действительных чисел уравнение разрешимо, оно имеет два решения и .
Тем не менее, нельзя считать, что на множестве действительных чисел разрешимы все квадратные уравнения. Например, квадратное уравнение на множестве действительных чисел решений не имеет.
Таким образом, действительных чисел явно недостаточно, чтобы построить такую теорию квадратных уравнений, в рамках которой каждое квадратное уравнение было бы разрешимо. Это соображение приводит к необходимости ввести новые числа и расширить множество действительных чисел до множества таких чисел, в котором было бы разрешимо любое квадратное уравнение.
Итак, расширяя множество действительных чисел до множества новых чисел, названных комплексными, необходимо, чтобы:
а) комплексные числа подчинялись основным свойствам действительных чисел, в частности, коммутативному, ассоциативному и дистрибутивному законам;
б) в новом числовом множестве были разрешимы любые квадратные уравнения.
Расширяя множество действительных чисел до множества комплексных чисел, мы потребуем, чтобы в нем можно было бы построить полную и законченную теорию квадратных уравнений. Другими словами, мы расширим множество действительных чисел до такого множества, в котором можно будет решить любое квадратное уравнение. Так, уравнение не имеет решений во множестве действительных чисел потому, что квадрат действительного числа не может быть отрицательным. В новом числовом множестве оно должно иметь решение. Для этого вводится такой специальный символ , называемый мнимой единицей, квадрат которого равен – 1.
Теоретическая часть
Глава 1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ И ИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ
Основные понятия и арифметические действия над комплексными числами
Действительные числа x и y называются действительной и мнимой частями комплексного числа и обозначаются символами соответственно (real – действительный, imanginerum – мнимый).
Понятие равенства и операции сложения, вычитания и умножения.
1)Равенство
Два комплексных числа называются равными только в том случае, когда
Т.е. когда равны их действительные части и мнимые части.
2)Сложение (вычитание)
Сумма двух комплексных чисел равна:
3)Произведение
Произведение двух комплексных чисел равно:
Очень важным является понятие модуля комплексного числа
Следует помнить, что всегда есть действительное неотрицательное число. Причем тогда и только тогда, когда .
Из этих определений следует, что всякое комплексное число может быть представлено в следующем виде:
Числа вида отождествляются с действительными числами , т.е. , число называемое мнимой единицей, обозначается символом , т.е.
Тогда равенства (1.5) и (1.6) позволяют записывать комплексные числа в алгебраическом виде:
Итак, множество действительных чисел содержится в множестве комплексных чисел. Множество комплексных чисел обозначается . При этом , а именно .
Другими словами, множество комплексных чисел ( является расширением множества действительных чисел. Комплексные числа можно складывать, вычитать, умножать и делить по правилам, которым подчиняются действительные числа, заменяя в итоге (или в процессе вычислений) , но при этом стоит учесть, что комплексные числа нельзя сравнивать.
Свойства операций над комплексными числами
Коммутативность сложения: для любых
Докажем это свойство:
Пусть:
По определению сложения комплексных чисел можно записать:
Из свойств действительных чисел следует, что:
Таким образом, получается, что у чисел равны действительные части и равны мнимые части. Получается, что из определения равенства комплексных чисел следует, что:
Что и требовалось доказать.
Ассоциативность сложения: для любых
Будем считать, что:
Можем записать:
Что и требовалось доказать.
Существует такое число , которое обладает свойством для любых z
Для любых двух чисел существует такое число что.
Такое число называется разностью двух комплексных чисел и обозначается
Рассмотрим доказательство данного свойства.
Предположим, что: где и – неизвестные действительные числа.
Согласно определению сложения:
Равенство ,в силу определения равенства комплексных чисел,
выполняется тогда и только тогда, когда:
По правилам действий над действительными числами находим:
Таким образом, доказано, что равенство выполняется тогда и только тогда, когда .
Как и для действительных чисел, разность 0 – z (для любого комплексного числа z) обозначается через – z, т. е. . Следовательно, разность можно записать в таком виде:
Коммутативность умножения: для любых
Ассоциативность умножения: для любых
Дистрибутивность сложения относительно умножения:
для любых
Для любого комплексного числа z:
Для любых двух чисел двух чисел и существует такое число что
Такое число называется частным двух комплексных чисел и обозначается
Деление на 0 невозможно.
Рассмотрим доказательство свойства:
Предположим, что:
где и – неизвестные действительные числа.
По определению умножения:
По определению равенства комплексных чисел, равенство , выполняется тогда и только тогда, когда:
Таким образом, получаем линейную систему относительно и определитель которой , так как .
Из вышесказанного можно сделать вывод, что рассматриваемая система имеет единственное решение:
Комплексное сопряжение.
Для любого комплексного числа вводится понятие комплексно сопряженного числа (обозначается с «чертой» над символом):
Квадрат модуля комплексного числа равен произведению числа на его сопряженное:
Заметим, что последнее соотношение сводит операцию деления комплексных чисел к умножению и последующему делению на действительное число .
Сумма и произведение двух сопряженных комплексных чисел являются действительными числами:
Число, сопряженное с суммой, произведением или же частным комплексных чисел, есть соответственно сумма, произведение или частное
чисел, сопряженных с данными комплексными числами:
Тригонометрическая форма комплексных чисел
Известно, что геометрической интерпретацией действительных чисел является действительная прямая. Кроме того, каждому действительному числу ставится в соответствие одна и только одна точка на действительной оси, и наоборот, каждой точке на действительной оси отвечает одно и только одно действительное число.
Следовательно, комплексные числа на этой прямой расположить уже нельзя. Необходимо рассматривать плоскость. Зададим на плоскости прямоугольную декартову систему координат . При этом, ось рассматривается как «действительная» ось, а ось – «мнимая».
Тогда любому комплексному числу можно поставить в соответствие точку плоскости . На оси абсцисс будем откладывать действительную часть комплексного числа, а на оси ординат – мнимую часть. Тогда каждому комплексному числу , представленному в алгебраической форме (действительные числа; ), можно однозначно поставить в соответствие точку M плоскости с координатами в соответствии с рисунком 1:
Комплексное число z называют комплексной координатойсоответствующей точки M и пишут . Таким образом, строится взаимно однозначное соответствие между всеми комплексными числами и всеми точками плоскости.
Paccтoяниe от начала О плоскости до точки есть модуль комплексного числа (часто модульобозначается как).
Рисунок 1 - Комплексная плоскость
Если — ориентированный угол, образованный вектором с осью , то по определению функции синуса и косинуса
и поэтому
Эта формула называется формулой Эйлера.
Такое представление комплексного числа z называется его тригонометрической формой. При тригонометрическом представлении угол называют аргументом комплексного числа и обозначают еще через
Аргументом комплексного числа называется угол между действительной осью и вектором z отсчитываемый от положительного направления действительной оси.
Аргумент комплексного числа определен неоднозначно. Например, если , то значения равные и т.д. тоже будут соответствовать числу . Значение аргумента, удовлетворяющее условиям , называют главным; для обозначения всех значений аргумента комплексного числа применяется символ
Переход от тригонометрической формы к алгебраической приведен выше (1.9). Формулы для перехода от алгебраической формы к тригонометрической таковы:
Арифметические действия над комплексными числами, записанными в тригонометрической форме, производятся следующим образом. Пусть
Тогда имеем:
Видно, что в тригонометрической форме операции умножения и деления производятся особенно просто: для того, чтобы перемножить (разделить) два комплексных числа, нужно перемножить (разделить) их модули и сложить (вычесть) их аргументы.
В частности, если все эти числа равны между собой, то получим формулу, позволяющую возводить комплексное число в любую натуральную степень.
Первая формула Муавра:
Извлечение корня:
По определению, любое число w, такое, что называется корнем n-ой степени из числа z. Пусть
Тогда
Числа равны, если равны их модули и аргументы, поэтому
при этом различных значений корня n-ой степени из числа z получаются при . Следовательно, существует ровно n корней уравнения, и все они задаются одной формулой.
Вторая формула Муавра:
Пример. Вычислим . Представим число –1 в тригонометрической форме
По второй формуле Муавра получаем:
Следовательно,
Рисунок 2 - Графическое изображение
Геометрическая (векторная) интерпретация комплексных чисел и действий над ними
Операция перехода к сопряженному числу:
Операция комплексного сопряжения имеет простую и наглядную интерпретацию: точки и симметричны относительно оси Ох в соответствии с рисунком 3.
Рисунок 3 - Операция комплексного сопряжения
Векторная интерпретация сложения и вычитания:
Каждой точке плоскости комплексных чисел взаимно однозначно соответствует вектор с началом в нулевой точке O. Сложению и вычитанию комплексных чисел, записанных в алгебраической форме, однозначно отвечает сложение и вычитание соответствующих им векторов. Именно, если и — комплексные координаты точек A и B, то число является координатой точки C в соответствии с рисунком 4. Комплексному числу соответствует точка .
Рисунок 4 - Сложение и вычитание комплексных чисел
Векторный смысл умножения комплексных чисел:
Умножение двух комплексных чисел и
выполняется по формуле:
, т. е.
Геометрически это означает, что точка является образом точки при композиции поворота с центром O на угол и гомотетии с центром О и коэффициентом в соответствии с рисунком 5.
Рисунок 5 - Умножение комплексных чисел
Поскольку , точка будет также образом точки при композиции поворота с центром О на угол и гомотетии с центром O и коэффициентом
Если комплексное число постоянное, а комплексное число z переменное, то формулой записывается коммутативная композиция поворота на угол и гомотетии с коэффициентом с общим центром O. Такое преобразование называется гомотетическим поворотом.
Поворот и представляются формулами:
Глава 2. ПРИМЕНЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ В ПЛАНИМЕТРИИ
Деление отрезка в данном отношении
Если точка C лежит на прямой АВ и , то говорят, что точка С делит отрезок АВ в отношении .
Найдем комплексную координату точки C, если точки A и B имеют комплексные координаты и . Из равенства следует эквивалентное равенство . В комплексных числах это преобразование имеет вид:
Откудаполучим:
Обозначим и . Тогда равенство (2.1) примет вид
Отсюда следует, что условие (2.3) достаточно для того, чтобы точки лежали на одной прямой.
Длина отрезка
Расстояние между двумя точками равно в соответствии с рисунком 4:
Скалярное произведение двух векторов
Рассмотрим, сначала, скалярное произведение 2-х векторов с общим началом:
Выразим скалярное произведение векторов через комплексные координаты точек A и B. Пусть . Тогда
Итого
Вычислим скалярное произведение двух произвольных векторов. В этом случае четыре точки со своими комплексными координатами позволят представить скалярное произведение в следующем виде:
Воспользовавшись предыдущей формулой (2.5), получим:
В результате получим:
Коллинеарность векторов
Пусть на плоскости комплексных чисел даны точки и , отличные от начала координат Векторы сонаправлены тогда и только тогда, когда т.е. при (при вычитании комплексных чисел, из аргумента делимого вычитается аргумент делителя). Эти векторы направлены противоположно в том и только в том случае, если
Напомним, что комплексные числа с аргументами 0, , являются действительными. Отсюда следует теорема.
Теорема: (Критерий коллинеарности точек ): Для того чтобы точкии были коллинеарны с начальной точкой , необходимо и достаточно, чтобы частное было действительным числом, т. е.
Это утверждение верно также для случаев: a=0 или b=0. Так как в этом случае число действительное ( то критерий (2.7) можно записать в равносильном виде:
Рассмотрим теперь точки Тогда справедливо утверждение: векторы коллинеарны тогда и только тогда, когда точки, определяемые комплексными числами и , коллинеарны с началом О.
Действительно:
1. На основании (2.7) имеем:
2. Если точки А, В, С, D принадлежат единичной окружности ,то
и поэтому условие (2.8) принимает вид:
3. Формулу (2.8) можно представить в виде:
Следовательно, на плоскости отрезки AB и CD параллельны тогда и только тогда, когда число является действительным.
Коллинеарность трех точек
Коллинеарность точек характеризуется коллинеарностью векторов . Используя (2.8), получим:
Это - критерий принадлежности точек A, B, С одной прямой. Его можно представить в симметричном виде:
Если точки A и B принадлежат единичной окружности , то
Следовательно, равенства (2.10) и (2.10а) можно представить в одном и том же виде:
Будем рассматривать точку изменяющейся (с координатой ), точки А и В – фиксированными. Тогда каждое из полученных соотношений (2.10), (2.10а), (2.11) будет уравнением прямой
В частности, прямая ОА имеет уравнение .
Уравнение
определяет прямую, содержащую хорду АВ единичной окружности.
Перпендикулярность отрезков (векторов)
Напомним, что условием перпендикулярности векторов является разность углов, равная . Или, с использованием комплексных чисел:
Комплексные числа с аргументами и являются чисто мнимыми. Поэтому имеет место такой критерий:
Или
Отрезки AB и CD перпендикулярны тогда и только тогда, когда векторы точек с комплексными координатами и перпендикулярны. В силу (2.14) имеем:
Если точки А, В, С, Dпринадлежат единичной окружности то выражение (2.15) упрощается:
Равенство (2.15) можно представить в виде:
Это означает, что отрезки AB иCD перпендикулярны тогда и только тогда, когда число является чисто мнимым.
Прямую, не содержащую начальную точку O, можно задать одной точкой P(p), являющейся ортогональной проекцией на прямую точки O. Произвольная точка M(z) этой прямой характеризуется условием , которое дает уравнение данной прямой:
Или
Последнее выражение возможно рассматривать как уравнение касательной к окружности в точке В частности, если то оно принимает вид:
Глава 3. ФОРМУЛЫ ДЛЯ КООРДИНАТ ЧАСТО ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ТОЧЕК. КЛАССИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ГЕОМЕТРИИ. ПРЯМЫЕ И ОКРУЖНОСТИ
Формулы для координат часто используемых точек
Точка пересечения секущих к окружности
Найдем комплексную координату точки пересечения секущих и к окружности при условии, что точки лежат на этой окружности. Из уравнения (2.13) получим систему уравнений:
Решив это уравнение, получим:
В частности, если то в силу (2.16) и результат (3.1) приводится к виду
При точка пересечения определяется только тремя точками A, B, C. Поэтому более последовательно представить (3.2) в виде:
Точка пересечения касательных к окружности
Пусть дана окружность единичного радиуса и две касательных (с точками касания и . Найдем комплексную координату точки пересечения касательных к окружности. На основании (2.17a) для искомой координаты zвыполняется система, из которой находим
Так как то окончательно получим:
Ортогональная проекция точки на прямую
Найдем координату ортогональной проекции точки на прямую, заданную точками и . Если z - искомая координата, то на основании (2.10a) и (2.15) имеем: .
Откуда
В случае, когда точки АиВпринадлежат окружности , формула (3.4) приводится к более простому виду:
Если m= 0, то проекция точки M на прямую AB находится по формуле:
Вычислим координату основания перпендикуляра, опущенного из точки М(т)на прямую . Если N(z)—искомое основание, то OP||MN, и поэтому откуда
Центроид и ортоцентр треугольника
Известно, что для центроида G(точки пересечения медиан) треугольника ABC и любой точки O верно равенство
Поэтому комплексная координата gцентроида G вычисляется по формуле:
Выразим комплексную координату h ортоцентра H (точки пересечения высот) треугольника ABC через координаты a, b, cего вершин. Пусть прямые AH, BH, CH пересекают описанную около треугольника окружность соответственно в точках . Пусть эта окружность имеет уравнение , тогда согласно (2.16) имеем:
по формуле (2.17)
Откуда
Подчеркнем, что равенство (3.8) имеет место лишь тогда, когда начальной точкой плоскости служит центр описанной окружности.
Угол между векторами
Пусть символ обозначает ориентированный угол, на который надо повернуть вектор , чтобы он стал сонаправлен с вектором . Если и , то точки P и Q имеют комплексные координаты b— a и d—c в соответствии с рисунком 13. Следовательно,
Рисунок 13 – Угол между векторами
Эта формула в применении к положительно ориентированному треугольнику ABC дает:
Площадь треугольника и четырехугольника
Выведем формулу для площади S положительно ориентированного треугольника ABC:
Итого,
С использованием детерминанта, эту формулу перепишем в виде:
Выражение (3.12) упрощается для случая треугольника ABC, вписанного в окружность . Действительно, в этом случае имеем:
Для площади S положительно ориентированного четырехугольника ABCD получим:
Для случая четырехугольника ABCD, вписанного в окружность , выражение (3.15) равно:
Подобные и равные треугольники
Подобные треугольники
Треугольники и подобны и одинаково ориентированы, тогда и только тогда, когда:
С помощью комплексных чисел эти равенства можно записать так:
Эти два равенства можно записать в эквивалентном виде:
где — комплексное число, — коэффициент подобия.
Если, в частности, — число действительное, то
и на основании признака (2.7) будет . По такой же причине и . Следовательно, треугольники и гомотетичны (подобны и одинаково ориентированы).
Соотношение (3.15) — необходимое и достаточное условие для того, чтобы треугольники являлись подобными и одинаково ориентированными. Ему можно придать симметричный вид
Треугольники и подобны и противоположно ориентированы (подобие второго рода), тогда и только тогда, когда:
Последнее равенство равносильно такому:
Окончательно имеем:
где — комплексное число, — коэффициент подобия.
Соотношение (3.17) — необходимое и достаточное условие для того, чтобы треугольники являлись подобными и противоположно ориентированными. Ему можно придать симметричный вид:
Равные треугольники
Если , то треугольники и равны. Тогда соотношение (3.15) становится признаком равенства одинаково ориентированных треугольников, а соотношение (3.17) — признаком равенства противоположно ориентированных треугольников.
Правильный треугольник
Если потребовать, чтобы ориентированный треугольник был подобен ориентированному треугольнику , то треугольник ABC будет правильным.Поэтому из (3.16) получаем необходимое и достаточное условие.
После раскрытия определителя получаем:
Если правильный треугольник ABCвписан в окружность , то равенства (3.20) и (3.20а) принимают простой вид:
Прямая и окружность на плоскости комплексных чисел
Пусть произвольной точке М плоскости комплексных чисел соответствует комплексное число . Из равенств и однозначно выражаются декартовы координаты х и у точки М через комплексные числа и :
Вследствие этого, комплексные числа и называются сопряженными комплексными координатами этой точки.
Соотношения (3.22) позволяют осуществить переход от уравнения геометрической фигуры в декартовых координатах к ее уравнению в сопряженных комплексных координатах.
Геометрический смысл уравнения
Найдем множество точек плоскости, сопряженные комплексные координаты которых удовлетворяют уравнению,
в котором хотя бы один их коэффициентов а и bотличен от нуля.
Сначала выделим особый случай, когда Тогда имеем систему относительно и : второе уравнение которой получается из первого путем перехода к сопряженным числам. Получаем: . Если , т.е. , то решением полученного уравнения, а значит, и решением исходного уравнения будет единственное число
Для случая уравнениеперепишем в виде
откуда следует:
Полученному условию удовлетворяет каждая точка прямой m, проходящей через начало под углом к действительной оси в соответствии с рисунком 14.
Рисунок 14 – Прямая, проведенная к оси под углом
Итак, уравнением
задается прямая m, содержащая нулевую точку плоскости.
Пусть теперь . Свободный член уравнения (3.23) можно всегда сделать действительным числом путем умножения обеих частей уравнения на . Поэтому сразу будем полагать . Тогда получим систему:
из которой получаем:
Рассмотрим возможные случаи.
Если , то и подстановкой в исходное уравнение получаем:
Приего решение единственно:
При решений нет.
Если , то , т. е. . В этом случае уравнением (3.23) при задается прямая. В самом деле, возьмем точку и вектор точки В(b) и рассмотрим множество точек , для каждой из которых :
Очевидно, это множество есть прямая. При и уравнение (3.25) эквивалентно уравнению (3.23).
Таким образом, при и уравнение (3.23) есть уравнение прямой, которая проходит через точку перпендикулярно вектору .
Рассмотрим последний случай, когда , но . Тогда система
приводит к противоречию:
В результате получено следующее.
Уравнением , в котором хотя бы один из коэффициентов и отличен от нуля, задается:
прямая при , а также при ;
единственная точка при ;
пустое множество в иных случаях, т. е. при , а также при , .
Рассмотрим снова систему: не налагая ограничений на коэффициенты а, b, с, кроме того, что a и bне равны нулю одновременно. Приравнивая коэффициенты при , получим уравнение:
Это уравнение может иметь:
а) имеет единственное решение при ;
б) имеет бесконечное множество решений при ;
в) не имеет решений при .
Отсюда и на основании результата предыдущих рассуждений получаем, что уравнение определяет:
а) единственную точку при ;
б) прямую при ;
в) пустое множество при .
Уравнение
является уравнением прямой в сопряженных комплексных координатах. Оно называется приведенным уравнением прямой.
Две прямые
Пусть прямая т задана приведенным уравнением Эта прямая перпендикулярна вектору . Следовательно, вектор будет ей параллелен в соответствии с рисунком 15.
Рисунок 15 – Две прямые
Поэтому ориентированный угол от оси х до прямой равен аргументу числа :
Положительно ориентированный угол от прямой до прямой равен углу между их направляющими векторами и :
Формулы (3.27) и (3.28) позволяют находить соответствующие углы с точностью до слагаемого .
Перпендикулярность и параллельность прямых
Из формулы (3.28) возможно получить критерий перпендикулярности и критерий параллельности прямых . Действительно, Следовательно, это значит, что или
При или получаем:
Если прямая проходит через точку , то и ее уравнение можно написать в виде:
В силу условия (3.29) перпендикулярности для прямой, перпендикулярной данной, коэффициентами при будут соответственно числа . Поэтому на основании уравнения (3.31) получаем уравнение
прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой .
Расстояние от точки до прямой
Решение системы дает координату
основания перпендикуляра, опущенного из точки на прямую .
Так как расстояние d от точки этой прямой равно , то
В данном подпункте целесообразно отметить, что критерий принадлежности трех параллельных прямых
одному пучку заключается в выполнении следующего равенства:
Критерий принадлежности четырех точек окружности или прямой
Для того, чтобы четыре точки лежали на одной прямой или на одной окружности, необходимо и достаточно, чтобы их двойное отношение было действительным числом.
Доказательство:
Допустим, что точки A, B, C, D лежат на окружности. Рассмотрим два возможных случая:
точки C и D находятся в одной полуплоскости относительно прямой AB
Тогда, ориентированные углы = или
точки C и D лежат в различных полуплоскостях относительно прямой AB
Тогда, + = ,
или
Согласно (3.9):
Следовательно – действительное число.
Для того, чтобы точки A, B, C, D лежали на окружности, необходимо и достаточно, чтобы их двойное отношение было действительным числом, То есть:
Если . То вписанные углы ориентированы одинаково, а при эти углы ориентированы противоположно.
При условии, что точки A,B,C фиксированы, а М(z) переменная, рассмотренный критерий обращается в уравнение окружности по трём её точкам A, B, C:
Геометрический смысл, уравнения
Из формулы расстояния между двумя точками получается уравнение окружности по ее центру S (s) и радиусу R:
где z - координата переменной точки окружности.
Пусть дано уравнение
в котором на комплексные коэффициенты а, b, с не накладывается заранее никаких условий. Требуется найти множество точек, координаты которых ему удовлетворяют. С этой целью проведем тождественное преобразование:
Рассмотрим все возможные случаи для коэффициентов а, b, с.
1. Сравнивая уравнение (3.37) с уравнением (3.35) окружности, получим, что уравнение (3.37), и, следовательно, уравнение (3.36) задают окружность тогда и только тогда, когда и – действительные числа. Так как в этом случае , то с должно быть действительным числом.
Следовательно, уравнение
есть уравнение окружности с центром и радиусом .
2. При и уравнению (3.37) удовлетворяет единственная точка В частности, этот случай имеет место при . Соблюдая аналогию, говорят, что уравнением задается окружность с центром нулевого радиуса.
3. Если , , но , то - чисто мнимое число.
Полагаем , тогда (3.37) можно записать так:
Уравнению (3.39) не удовлетворяет ни одна точка плоскости, поскольку левая часть неотрицательна, а правая отрицательна при любом значении Говорят, что это уравнение есть уравнение окружности мнимого радиуса с действительным центром имеющим комплексную координату
4. Когда , но , уравнение (3.37) противоречиво: левая часть его действительна, а правая нет. В этом случае оно не задает никакого геометрического образа (даже мнимого!).
5. Осталось рассмотреть случай, когда . Тогда из уравнения (3.36) вычтем уравнение , получающееся из (3.36) переходом к сопряженным комплексным числам. Получим:
Откуда
Подставив это выражение в уравнение (3.36), приводим его к виду
При уравнения (3.36) и (3.40) равносильны. В зависимости от того, отличен от нуля или равен нулю дискриминант
квадратного уравнения (3.40), оно будет определять две различные (действительные!) или две совпавшие точки. При совпавшие точки имеют комплексную координату .
В частности, при как уравнение (3.37), так и уравнение (3.40) дает пару точек
Итак, уравнением (3.36) задается либо окружность (действительная, мнимая, нулевого радиуса), либо две точки (различные или же совпавшие), либо пустое множество точек.
Практическая часть
Глава 4. ПРИМЕНЕНИЕ АППАРАТА КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ В ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ
Задача 1
Точка D симметрична центру описанной около треугольника ABC окружности относительно прямой AB в соответствии с рисунком 19. Доказать, что расстояние CD выражается формулой CD2 =R2 +AC2 +BC2 —AB2, где R— радиус описанной окружности.
Рисунок 19 – График к задаче 1
Доказательство:
Возьмем центр описанной около треугольника ABC окружности за нулевую точку плоскости. Тогда эта окружность будет описываться уравнением
Четырёхугольник OADB— ромб, следовательно, а значит,
Отсюда найдем:
Правая часть доказываемого равенства равна этому же выражению:
Задача 2
На гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС построен квадрат ABDE в той плоскости от прямой АВ, которой не принадлежит треугольник АВС. Найти расстояние от вершины С прямого угла до центра квадрата, если катеты ВС и АС имеют соответственно длины и
Рисунок 21 – График к задаче 3
Решение:
Пусть Q – центр построенного квадрата в соответствии с рисунком 21 Примем точку C за начальную, а прямые CA и CB за действительную и мнимую оси. Тогда точки A и B будут иметь соответственно комплексные координаты и , причем и . При повороте на 90° вектор переходит в вектор . Поэтому имеем равенство гдеq – координата точкиQ. Отсюда:
Теперь получим:
Задача 4
Точки являются ортогональными проекциями вершин A, B, C треугольника на некоторую прямую . Доказать, что прямые, проходящие через точки перпендикулярно BC, CA, AB соответственно, пересекаются в одной точке, называемой ортополюсомпрямой в соответствии с рисунком 23.
Рисунок 23 – График к задаче 5
Решение:
Пусть описанной около треугольника ABC окружности соответствует уравнение,а данной прямой - уравнение . Тогда, согласно (3.6),
Для того, чтобы точка с координатой zпринадлежала перпендикуляру прямой BC, содержащему A1, необходимо и достаточно, чтобы число
было чисто мнимым. Проверка показывает, что оно является таковым, в частности, при
Действительно,
Следовательно, точка принадлежит указанному перпендикуляру.
Вследствие того, что в выражение (4.1) координаты a, b, cтреугольника ABC входят симметрично, точка также принадлежит и двум другим аналогичным перпендикулярам.
Эти рассуждения теряют силу, когда прямая проходит через начало O. В этом случае зададим ее точкой M(m) описанной около треугольника ABC окружности. Тогда вторая общая точка прямой и окружности имеет координату - т и в силу (3.2а)
Вместо (4.1) подвергаем той же проверке число
и приходим к тому же выводу.
Задача 6
Прямая, соединяющая середины двух противоположных сторон четырёхугольника, не являющегося трапецией, образует равные углы с двумя другими сторонами. Доказать, что последние две стороны равны.
Решение:
Пусть M и N — середины сторон BC и DAположительно ориентированного четырёхугольника ABCDи Согласно формуле (3.9),
Следовательно, значит, число является действительным. С другой стороны: значит,
Введем обозначения: Тогда является действительным числом и поэтому
А это равенство эквивалентно такому:
Так как четырехугольник ABCDне является трапецией, то а, значит,
Задача 7
Хорды AB и PQ окружности пересекаются в точке C. Найти множество точек M пересечения всевозможных прямых AP и BQ, если точки A, B, C постоянны, а точки P и Q пробегают данную окружность в соответствии с рисунком 24.
Рисунок 24 – График к задаче 7.
Решение:
Пусть координата произвольной точки M искомого множества и данная окружность принята за единичную .
Согласно (2.11),
откуда
Подставляя эти выражения во второе равенство, получим:
Используя равенство , полученному уравнению можно придать вид:
Отсюда следует, что искомое множество точек представляет собой пару прямых, одной из которых является прямая AB, а другая задается уравнением .
Из полученного решения видно, что эта прямая не зависит от хорды AB, а определяется лишь окружностью и точкой C.
Задача 8
Доказать, что треугольник , стороны которого принадлежат касательным в вершинах треугольника ABC к его описанной окружности, гомотетичен треугольнику с вершинами в основаниях высот треугольника ABC в соответствии с рисунком 25.
Решение:
Как это делалось ранее примем описанную окружность за единичную. На основании формул (3.2) и (3.2a) имеем
Рисунок 25– График к задаче 8
Проверим, что выполняется условие (3.15):
причем, Т.е. - действительное число. Значит, треугольники и гомотетичны.
Задача 10
В окружности проведены три параллельные хорды Доказать, что для произвольной точки Mокружности прямые образуют равные углы с прямыми BC, CA, ABсоответственно.
Рисунок 26 – График к задаче 10
Решение:
Пусть данная окружность имеет уравнение . По условию (2.9) параллельности хорд имеем: Следует доказать в соответствии с рисунком 26:
Первое равенство эквивалентно такому
другими словами:
Следовательно, эта дробь является действительным числом. Действительно, число, сопряженное этой дроби, равно этой же дроби. Аналогично доказывается второе равенство углов.
Задача 11
Около окружности описан квадрат ABCD. Точки —ортогональные проекции его вершин A, B, C, D соответственно на произвольную касательную к окружности. Доказать, что
Решение:
Будем все измерять в радиусе окружности (радиус окружности примем за единицу длины). Систему координат выберем так, чтобы точки касания сторон с окружностью имели координаты соответственно. Тогда вершины A, B, C, D будут иметь координаты
Касательная к окружности в ее произвольной точке имеет уравнение
Тогда, на основании формулы (3.34), получим:
Аналогично получим:
Что и требовалось доказать.
Задача 13
Через центроид треугольника ABC проведена произвольная прямая, не пересекающая сторону AB. Доказать, что расстояние от вершины C до этой прямой равно сумме расстояний от нее до вершин A и B.
Решение:
Примем центроид треугольника за нулевую точку плоскости, тогда
Если — ортогональные проекции вершин на прямую
то достаточно следует доказать, что
Использование формулы (3.35) приводит это равенство к такому:
Так как то следует убедиться в том, что
Так как точки и находятся в одной полуплоскости от выбранной прямой , действительные числа имеют одинаковые знаки. Действительно, если декартову уравнению прямой соответствует уравнение в комплексных числах, то неравенствам определяющим полуплоскости с общей границей , соответствуют неравенства
Задача 14
Найти множество точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояний до двух данных точек A и B постоянно в соответствии с рисунком 28.
Рисунок 28 – График к задаче 14
Решение
Пусть — произвольная точка искомого множества, а точкам и соответствуют комплексные числа 1 и −1. По условию или .
Переходя к комплексным координатам, получаем уравнение
которое, после преобразования, имеет вид:
При оно становится таким:
Это — уравнение мнимой оси, являющейся серединным перпендикуляром к отрезку AB. Если , то уравнение (5.2) перепишем в виде:
Сравнение этого уравнения с (4.2), позволяет сделать вывод, что уравнение (4.3) определяет окружность с центром и радиусом
Так как — действительное число, то же самое можно сказать и про s. Следовательно, центр окружности (4.3) лежит на прямой AB. Эта окружность проходит через точки делящие отрезок AB в отношениях и соответственно. Отрезок — диаметр этой окружности (рис. 28).
Задача 15
На окружности σ взяты четыре произвольные точки Окружности с центрами соответственно, проходящие через точку , попарно пересекаются в точках (рис. 29). Доказать, что точки коллинеарны.
Рисунок 29 – График к задаче 15
Решение:
Пусть окружность σ является единичной, а точка имеет координату . Из уравнения (3.35) и того факта, что окружность имеет центр и содержит точку , получаем уравнение этой окружности:
Или
Аналогично, окружности будут иметь уравнения
Решив систему уравнений окружностей и , найдем координату второй общей точки этих окружностей:
Таким же образом найдем координаты двух других точек:
Отсюда получим:
Это число является действительным, поскольку сопряжено само себе, и потому точки коллинеарны.
Задача 16
Три равные окружности имеют общую точку O и вторично пересекаются в точках A, B, C. Доказать, что окружность, описанная около треугольника ABC, равна данным в соответствии с рисунком 30.
Рисунок 30 – График к задаче 16
Решение.
Примем общую точку O окружностей за начало. Центры окружностей обозначим через соответственно. Так как четырёхугольник — ромб, и аналогично
Поскольку данные окружности равны, то
Положим
Очевидно, точки лежат на окружности с центром s и радиусом 1. Отметим, что точки лежат на единичной окружности равной окружности . В силу (4.2) точка S является ортоцентром треугольника Кроме того, ортоцентр треугольника
совпадает с точкой O. В самом деле, если H —ортоцентр треугольника , то, как известно,
Следовательно,
Задача 17
Записать в тригонометрической форме следующие числа:
12ί
8
Решение:
Воспользуемся следующими формулами, приведенными во второй главе:
(2.11)
Известно, что . Соответственно: . . Откуда
Таким образом:
; ; ;
Таким образом, ;
r = 8; ; ; ;
Таким образом: ;
Задача 18
Докажите, что для любых двух комплексных чисел a и b имеют место неравенства: При каких условиях выполняются равенства?
Решение:
Пусть a=x1 + i y1, b= x2 + i y2. Тогда . . .
Первое неравенство равносильно следующему:
.
Второе неравенство равносильно следующему:
.
Квадратный корень из действительного числа всегда есть число неотрицательное. Сумма двух неотрицательных чисел ни при каких условиях не может быть меньше одного неотрицательного числа, следовательно, оба неравенства верны. Решим уравнение:. Оно равносильно следующему: . Возведя обе части уравнения в квадрат, получим: . Поделив обе части уравнения на , получим:
То есть, равенство | выполняется тогда, когда a = b*k, где . Область допустимых значений определяется условием . Для найденных значений это условие всегда соблюдается, поскольку оно равносильно , что верно для любых . Геометрический смысл соблюдения этого равенства таков, что векторы , расположенные в комплексной плоскости так, что положение точки А задается комплексным числом а, а положение точки В задается комплексным числом b, должны быть коллинеарными.
Решим уравнение:
. Оно равносильно следующему:
. Возведя обе части уравнения в квадрат, получим:
. Поделив обе части уравнения на , получим:
То есть, равенство выполняется тогда, когда где . Область допустимых значений определяется условием . Для найденных значений это условие всегда соблюдается только при a = 0 и b = 0, поскольку оно равносильно Сумма квадратов двух действительных чисел не может быть отрицательной, следовательно, это неравенство выполняется только при . Тогда
Задача 19
Докажите, что четырёхугольник ABCD является параллелограммом тогда и только тогда, когда комплексные координаты его вершин удовлетворяют условию в соответствии с рисунком 31.
Решение:
Рисунок 31 – График к задаче 19
Через точку С проведем линию, параллельную ОВ, а через точку О – линию, параллельную ВС. Эти линии пересекутся в точку Е. Четырехугольник ОВСЕ является параллелограммом по определению. По правилу параллелограмма имеем:
Предположим, что данный четырехугольник ABCD – тоже является параллелограммом, тогда ОЕ || AD и OE = AD, и по признаку параллелограмма OADE также является параллелограммом. Тогда по правилу параллелограмма имеем:
Выразим из первого равенства и подставим его во второе равенство:
Перейдя от векторов к комплексным числам, получим: a + с – b = d, что равносильно a + с = b + d. Поскольку в начале мы сделали предположение, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, то полученное равенство верно тогда и только тогда, когда это предположение верно, ч.т.д.
Задача 20
Из всех чисел z, удовлетворяющих условию , найдите такие, что принимает наименьшее значение.
Решение:
Пусть z = x + yi, тогда = x - yi;. Значит, Это уравнение задает окружность с центром в начале координат и радиусом 5 в соответствии с рисунком 32.
Рисунок 32 – График к задаче 20
С геометрической точки зрения величина (3.4) представляет собой сумму расстояний от точки, соответствующей комплексному числу z до точек А(7;0) и В(0;7), соответствующих числам 7 и 7i.
Видим, что окружность с центром в точке О(0;0) и радиусом 5 пересекает отрезок АВ в двух точках P и Q. Эти точки и будут соответствовать тем комплексным числам, для которых величина (4.4) принимает наименьшее значение. Действительно, для точек P и Q значение (4.4) равно длине отрезка АВ. Чтобы найти координаты точек P и Q, необходимо решить систему:
(4.5)
где – уравнение прямой, проходящей через точки А и В. Координаты этих точек должны удовлетворять уравнению прямой найти k и b можно, решив систему:
(4.6)
Тогда уравнение прямой примет вид: y = – x + 7.
Решим систему (4.5):
Решим уравнение (4.6). Оно равносильно .
D = 49-4*12 = 1. , .
Тогда получим:
Тогда комплексные числа zдовлетворяют условию задачи.
Задача 22
Докажите, что все окружности и прямые задаются уравнениями вида:
(4.7)
где A и D – вещественные числа, а с – комплексное число. Также докажите обратное, что любое уравнение такого вида задает либо окружность, либо прямую, либо точку, либо пустое множество.
Решение:
Окружности и прямые задаются уравнениями вида:
(4.8)
где A, B, C, D – вещественные числа. Причем при А = 0 такое уравнение задает прямую, а при - окружность, точку или пустое множество. Верно и обратное: любое такое уравнение задает либо окружность, либо прямую, либо точку, либо пустое множество.
Поскольку , то . Обозначим , тогда и Тогда уравнение (4.7) принимает вид (4.8), и, соответственно, доказаны оба требующиеся утверждения.
Задача 26
Найдите угол наклона прямой к действительной оси.
Решение:
Пусть , тогда и уравнение прямой примет вид:
Коэффициент при х в последнем уравнении является тангенсом угла наклона прямой к оси ОХ. Следовательно, сам угол наклона равен:
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Существует много различных способов решения задач по элементарной геометрии. Подчеркнем еще раз, что очень большое количество задач планиметрии можно изящно и просто решать при помощи комплексных чисел. Не менее важно и то, что в результате применения комплексных чисел при решении задач нередко обнаруживаются новые детали, удается сделать интересные обобщения и внести уточнения, которые подсказываются анализом полученных формул и соотношений. Широкое использование комплексных чисел в математике, физике, технике демонстрирует важность, реальность и несомненную полезность этих чисел. В частности, это дает возможность преподнести методику решения задач по геометрии только аналитическим способом, вообще не прибегая к чертежу.
Таким образом, проанализировав свою работу, я с уверенностью могу сказать, что метод комплексных чисел при решении геометрических задач во множестве случаев является наиболее рациональным и простым в исполнении.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
Стройк Д. Я. Краткий очерк истории математики : учеб.-метод. пособие / Д. Я. Стройк - М. : Изд-во Наука, 1969 – 288 с.
Клайн М. Математика. Утрата определенности / М. Клайн – Изд-во Римис, 2007 – 640 с.
Глейзер Г. И. История математики в школе, IX - X классы: учеб.-метод. пособие / Г. И. Глейзер – М. : Просвещение, 1983 – 351 с.
Скопец З. А. Геометрические миниатюры / З. А. Скопец - М. : Просвещение, 1990 – 224 с.
Виленкин Н. Я Алгебра : учеб. пособие для 9 – 10 классов средних школ с математической специализацией / Н. Я. Виленкин, Р. С. Гутери. - М. : Просвещение, 1968 – 336 с.
Волковский Л. И. Сборник задач по теории функций комплексных переменных / Л. И. Волковский - М. : Просвещение, 1985 – 128 с.
Корн Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн - М. : Наука, 1973 – 832 с.
Привалов И. И. Введение в теорию функции комплексного переменного / И. И. Привалов - М. : Просвещение, 1988 – 159 с.
Яглом И. И. Комплексные числа и их применение в геометрии / И. И. Яглом - М. : Физматгиз, 1963 – 192 с.
Понарин Я. П. Алгебра комплексных чисел в геометрических задачах : книга для учащихся математических классов школ, учителей и студентов педагогических вузов / Я. П. Понарин – М. : МЦНМО, 2004 – 160 с.
Фомина Т. К. Методическое пособие по изучению раздела математики «Комплексные числа» : для студентов факультета иностранных языков и общеобразовательных дисциплин / Т. К. Фомина, М. Я. Сафин - М. : Изд-во Российского университета дружбы народов, 2003 – 53 с.
Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей школы, т. 1 / Ф. Клейн – М. : Наука, 1987 – 416 с.
Андронов И. К. Математика действительных и комплексных чисел / И. К. Андронов - М. : Просвещение, 1975 – 385 с.
Абрамов А. М. Избранные вопросы математики. 10 класс. Факультативный курс : учеб. пособие / А. М. Абрамов - М. : Просвещение, 1980 – 315 с.
Богомолов Н. В. Практические занятия по высшей математике : учеб. пособие для техникумов / Н. В. Богомолов - М. : Высшая школа, 1973.
Гнеденко Б. В. Математика и математическое образование в современном мире / Б. В. Гнеденко - М. : Просвещение, 1985 – 184 с.
Понтрягин Л. С. Обобщение чисел / Л. С. Понтрягин – М. : Просвещение, 1985 – 270 с.
Понтрягин Л. С. Комплексные числа / Л. С. Понтрягин // Квант - № 3, 1982 – 145 с.
Маркушевич А. И. Комплексные числа и конформные отображения / А. И. Маркушевич - М. : Гостехиздат, 1954 – 350 с.
|
|
Болтянский В. Г. Лекции и задачи по элементарной математике / В. Г. Болтянский, Ю. В. Сидоров, М. И. Шабунин. - М. : Наука, 1971 – 465 с.
Алимов Ш. А. Алгебра : учеб. для 8 кл. общеобразовательных учреждений. - 7-е изд. / Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю.В. Сидоров. - М. : Просвещение, 2000 – 180 с.
Галицкий М. А. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа / М. А. Галицкий, М. М. Мошкович, С. И. Шварцбурд. - М. : Просвещение, 1989 – 330 с.
Глухов М. М. Задачник – практикум по высшей алгебре для студентов-заочников физико-математических факультетов педагогических институтов / М. М. Глухов, А. С. Солодовников. – М. : Просвещение, 1969 – 219 с.
Карп А. П. Сборник задач по алгебре и началам анализа: учеб. пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики / А. П. Карп. - М. : Просвещение, 1995 – 186 с.
Фадеев Д. К. Элементы высшей математики для школьников. - М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1987 – 380 с.
Дадаян А.А., Новик И.А. «Алгебра и начала анализа». - М.: Просвещение, 1987 – 520 с.
Цыпкин А.Г., Пинский А.И. «Справочник по методам решения задач по математике для средней школы». - М.: Наука, 1989.
Кокстер Г.С.М., Грейтцер С.Л. «Новые встречи с геометрией». - М.: Наука, 1978 - 470 с.
Лаудыня Э.А. «Применение комплексных чисел в задачах о правильных многоугольниках».- Математика в школе». - 1968. № 5 – 14 с.
Каченовский М.И., Луканкин Г.Л., Колягин Ю.М., Оганесян В.А., Кутасов А.Д., Яковлев Г.Н. «Алгебра и начала анализа. Часть II. Математика для техникумов». – М.: Наука, 1978 – 365 с.
Калинин Р.А. «Алгебра и элементарные функции». – М.: Наука, 1964.
Ларичев П.А. «Сборник задач по алгебре. Часть II. Для 9−10 классов средней школы». – М.: Просвещение, 1965 – 189 с.
Кочетков B.C., Кочеткова Е.С. «Алгебра и элементарные функции. Часть II». – М.: Просвещение, 1968 – 234 с.
Туманов С.И. « Элементарная математика. Пособие для самообразования». – М.: Просвещение, 1970 – 118 с.
Петраков И.С. «Преподавание алгебры в педучилищах. Из опыта работы». – М.: Просвещение, 1970 – 231 с.
Кутасов А.Д., Пшенкина Т.С., Чехлов В.И., Яковлева Т.Х. «Пособие по математике для поступающих в вузы». – М.: Наука, 1985 - 92 с.