VI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Способы умножения натуральных чисел
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
1. Введение
Можно ли представить себе мир без чисел? Без чисел ни покупки не сделаешь, ни времени не узнаешь, ни номера телефона не наберѐшь. Две стихии господствуют в математике – числа и фигуры с их бесконечным многообразием свойств и взаимосвязей. В моей работе предпочтение отдано стихии чисел и действий с ними.
Сейчас, на этапе стремительного развития информатики и вычислительной техники, современные школьники не хотят утруждать себя счетом в уме. Поэтому важно показать не только то, что сам процесс выполнения действия может быть интересным, но и что, хорошо усвоив приѐмы быстрого счета, можно поспорить и с ЭВМ. За простым действием умножения скрываются тайны истории математики. Случайно услышанные слова «умножение решеткой», «шахматным способом» заинтриговали меня. Захотелось узнать эти и другие способы умножения, сравнить их с нашим сегодняшним действием умножения.
Актуальность данной темы заключается в том, что использование нестандартных приемов умножения усиливает интерес к математике и способствует развитию математических способностей учащихся.
Цель исследования: познакомиться с приемами умножения, создающими возможность проявить творчество и смекалку, позволяющими овладеть приемами быстрого счета.
Объектом исследования: алгоритмы счета.
Предметом исследования: процесс вычисления.
Гипотеза: Существуют способы умножения чисел, для которых достаточно наличие карандаша и бумаги.
В старину говорили: « Умножение – мое мученье». Значит, раньше было сложно и трудно умножать. Прост ли наш современный способ умножения? Для того чтобы выяснить, знают ли современные школьники другие способы выполнения арифметических действий, кроме умножения столбиком и деления «уголком» и хотели бы узнать новые способы, был проведен опрос учащихся 5 и 6 классов.
Вопросы анкеты:
- Нужно ли уметь выполнять арифметические действия с натуральными числами?
-Умеете ли вы выполнять действия с натуральными числами?
- Знаете ли вы другие способы выполнения арифметических действий?
- Хотели бы узнать?
Опрос показал, что современные школьники не знают других способов выполнения действий, так как редко обращаются к материалу, находящемуся за пределами школьной программы. В школе изучают таблицу умножения, а затем учат умножать числа в столбик. Но это не единственный способ умножения. На самом деле существует несколько десятков способов умножения многозначных чисел.
2. Основная часть. Необычные способы умножения.
2.1. Немного истории.
Те способы вычислений, которыми мы пользуемся сейчас, не всегда были так просты и удобны. В старину пользовались более громоздкими и медленными приемами.
Известно много способов умножения натуральных чисел, многие из которых появились еще в древние времена. Так, Лука Пачиоли еще в XV веке в трактате об арифметике приводит 8 различных способов умножения.
Особенно трудны в старину были действия умножения и деления. Тогда не существовало одного выработанного практикой приема для каждого действия. Напротив, в ходу была одновременно чуть не дюжина различных способов умножения и деления – приемы один другого запутаннее, запомнить которые не в силах был человек средних способностей. Каждый «магистр деления» (были такие специалисты) восхвалял собственный способ выполнения этого действия.
В книге В.Беллюстина «Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики» изложено 27 способов умножения, причем автор замечает: «весьма возможно, что есть и еще способы, скрытые в тайниках книгохранилищ, разбросанные в многочисленных, главным образом, рукописных сборниках».
И все эти приемы умножения – «шахматный или органчиком», «загибанием», «крестиком», «решеткой», «задом наперед», «алмазом» и прочие соперничали друг с другом и усваивались с большим трудом.
Давайте рассмотрим наиболее интересные и простые способы умножения.
2.2. Прием перекрестного умножения при действии с двузначными числами
Древние греки и индусы в старину называли прием перекрестного умножения «способом молнии» или «умножение крестиком».
Пример: 52 * 23 = 1173 5 1
Х
2 3
Последовательно производим следующие действия:
1 х 3=3 это последняя цифра результата
5 х 3=15; 1 х 2=2; 15+2=17.
7 – предпоследняя цифра в ответе, единицу запоминаем.
5 х 2=10, 10+1=11 – это первые цифры в ответе.
Ответ – 1173.
Квадрат Пифагора
1 2 3
4 5 6
7 8 9
Это всем известный Квадрат Пифагора, отражающий мировую систему счисления, состоящую из девяти цифр: от 1 до 9. Выражаясь современным языком – это девяти разрядная числовая матрица, в которой цифры, являющиеся основой для дальнейших вычислений любой сложности расположены в порядке возрастания. Квадрат Пифагора называют и Эннеадой, а тройку цифр - триада. Можно рассматривать тройки цифр расположенные по горизонтали (123, 456, 789) и по вертикали(147, 258, 369). Причем, записанные таким образом, тройки цифр начинают обозначать уже особые числа, подчиняющиеся законам математической пропорции и гармонии.
Вспомним главное правило древнеегипетской математики, в котором сказано, что умножение производится при помощи удвоения и сложения полученных результатов; то есть каждое удвоение есть сложение числа с самим собой. Поэтому интересно посмотреть на результат подобного удвоения цифр и чисел, но полученному современным методом складывания « в столбик», известному даже в начальных классах школы. Это будет напоминать египетскую систему счисления, по сути, с разницей в том, что все цифры либо числа записываются в один столбик (без указания того или иного действия в соседнем столбике - как у египтян).
Начнем с цифр, составляющих Квадрат Пифагора: от 1 – до 9.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 4 6 8 10 12 14 16 18
3 6 9 12 15 18 21 24 27
4 8 12 16 20 24 28 32 36
5 10 15 20 25 30 35 40 45
6 12 18 24 30 36 42 48 54
7 14 21 28 35 42 49 56 63
8 16 24 32 40 48 56 64 72
9 18 27 36 45 54 63 72 81
10 20 30 40 50 60 70 80 90
Цифра 1: обычный последовательный ряд цифр.
Цифра 9: левый столбик - четкий восходящий ряд («поток»).
правый столбик - четкий нисходящий ряд последовательных цифр. Условимся называть восходящим ряд, значения чисел в котором увеличиваются сверху вниз ; в нисходящем же – наоборот: уменьшаются значения чисел сверху вниз.
Цифра 2: в правом столбике повторяются четные цифры 2,4,6,8 («в периоде»).
Цифра 8: такой же повтор - только в обратном порядке- 8,6,4,2.
Цифры 4 и 6: четные цифры «в периоде» 4,8,2,6 и 6,2,8,4.
Цифра 5: подчиняется правилу сложения цифры 5- чередование 5 и 0.
Цифра 3: правый столбик - нисходящий ряд уже не цифр, а чисел, образующих тройки вертикальных рядов в квадрате Пифагора- 369, 258, 147. Причем, отсчет идет «из правого угла квадрата» или справа налево. Здесь также действует принятое выше правило восходящего - нисходящего ряда. Но восходящий ряд – это движение от тройки чисел 147 до тройки 369; нисходящий - от 369 до 147.
Цифра 7: восходящий ряд чисел 147,258,369 из «левого угла» или слева направо. Впрочем, все зависит от того, как изображена сама девятиразрядная числовая матрица - где поставить цифру 1.
2.4. Умножение на пальцах.
Древнерусский способ умножения на пальцах является одним из наиболее употребительных методов, которым успешно пользовались на протяжении многих столетий российские купцы. Они научились умножать на пальцах однозначные числа от 6 до 9. При этом достаточно было владеть начальными навыками пальцевого счета “единицами”, “парами”, “тройками”, “четверками”, “пятерками” и “десятками”. Пальцы рук здесь служили вспомогательным вычислительным устройством.
Для этого на одной руке вытягивали столько пальцев, на сколько первый множитель превосходит число 5, а на второй делали то же самое для второго множителя. Остальные пальцы загибали. Потом бралось число (суммарное) вытянутых пальцев и умножалось на 10, далее перемножались числа, показывавшие, сколько загнуто пальцев на руках, а результаты складывались.
Умножим 7 на 8. Развернем руки ладонями к себе и коснемся безымянным пальцем (7) левой руки среднего пальца (8) правой.
Обратим внимание на пальцы рук, оказавшиеся выше соприкоснувшихся пальцев 7 и 8. На левой руке выше 7 оказались три пальца (средний, указательный и большой), на правой выше 8 - два пальца (указательный и большой).
Будем называть эти пальцы (три на левой руке и два на правой) верхними. Остальные пальцы (мизинец и безымянный на левой руке и мизинец, безымянный и средний на правой) назовем нижними. В этом случае (7 х 8) получается 5 верхних пальцев и 5 нижних.
Теперь найдем произведение 7 х 8. Для этого:
1) умножим количество нижних пальцев на 10, получим 5 х 10 = 50;
2) перемножим количества верхних пальцев на левой и правой руках, получим3 х 2 = 6;
3) сложим эти два числа. Получим окончательный ответ: 50 + 6 = 56.
Мы получили, что 7 х 8 = 56.
Например, умножим 6 на 8. В рассмотренном примере будет загнуто 4 и 2 пальца. Если сложить количества загнутых пальцев (1+3=4) и перемножить количества не загнутых (4•2=8), то получатся соответственно числа десятков и единиц искомого произведения 4 и 8. То есть 48 .
Способ интересен и помогает запомнить таблицу умножения, но ограничен, так как позволяет умножать только однозначные числа, и не исключает знание таблицы умножения до 5.
2.5. Индийский способ умножения.
Самый ценный вклад в сокровищницу математических знаний был совершен в Индии. Индусы предложили употребляемый нами способ записи чисел при помощи десяти знаков: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.
Основа этого способа заключается в идее, что одна и та же цифра обозначает единицы, десятки, сотни или тысячи, в зависимости от того, какое место эта цифра занимает. Занимаемое место, в случае отсутствия каких – нибудь разрядов, определяется нулями, приписываемыми к цифрам.
Индусы отлично считали. Они придумали очень простой способ умножения. Они умножение выполняли, начиная со старшего разряда, и записывали неполные произведения как раз над множимым, поразрядно. При этом сразу был виден старший разряд полного произведения и, кроме того, исключался пропуск какой-либо цифры. Знак умножения еще не был известен, поэтому между множителями они оставляли небольшое расстояние. Например, умножим их способом 623 на 7:
|
623 7 |
42 |
|
(6*7=42) |
|
|
623 7 |
434 |
|
(420 + 2*7=434) |
|
|
623 7 |
4361 |
|
(4340+3*7=4361) |
2.6. Русский крестьянский способ
В России среди крестьян был распространен способ, который не требовал знания всей таблицы умножения. Здесь необходимо лишь умение умножать и делить числа на 2.
Напишем одно число слева, а другое справа на одной строке (рис. 3). Левое число будем делить на 2, а правое – умножать на 2 и результаты записывать в столбик.
Если при делении возник остаток, то его отбрасывают. Умножение и деление на 2 продолжают до тех пор, пока слева не останется 1.
Пример: 32 * 13
|
Множимое = 32 |
Множитель = 13 |
|
32 |
13 |
|
16 |
26 |
|
8 |
52 |
|
4 |
104 |
|
2 |
208 |
|
1 |
416 |
2.7. Египетский способ умножения.
Древнеегипетское умножение является последовательным методом умножения двух чисел. Чтобы умножать числа, им не нужно было знать таблицы умножения, а достаточно было только уметь раскладывать числа на кратные основания, умножать эти кратные числа и складывать. Египетский метод предполагает раскладывание наименьшего из двух множителей на кратные числа и последующее их последовательное перемножение на второй множитель (см. пример). Этот метод можно и сегодня встретить в очень отдаленных регионах.
Разложение. Египтяне использовали систему разложения наименьшего множителя на кратные числа, сумма которых составляла бы исходное число.
Чтобы правильно подобрать кратное число, нужно было знать следующую таблицу значений:
1 x 2 = 2
2 x 2 = 4
4 x 2 = 8
8 x 2 = 16
16 x 2 = 32
Пример разложения числа 25: Кратный множитель для числа «25» — это 16; 25 — 16 = 9. Кратный множитель для числа «9» — это 8; 9 — 8 = 1. Кратный множитель для числа «1» — это 1; 1 — 1 = 0. Таким образом «25» — это сумма трех слагаемых: 16, 8 и 1.
Пример: умножим «13» на «238» . Известно, что 13 = 8 + 4 + 1. Каждое из этих слагаемых нужно умножить на 238. Получаем: 1 х 238 = 238
4 х 238 = 952
8 х 238 = 1904
13 × 238 = (8 + 4 + 1) × 238 = 8 x 238 + 4 × 238 + 1 × 238 = 1904 + 952 + 238 = 3094.
2.8. Итальянский способ умножения (“Сеткой”).
Использование приема:
Например, умножим 4857 на 297.
1. Вычерчиваем квадратную сетку и пишем одно из чисел над колонками, а второе по высоте.
2. Умножаем число каждого ряда последовательно на числа каждой колонки.
Если при умножении получается однозначное число, записываем вверху 0, а внизу это число.
3. Заполняем всю сетку и складываем числа, следуя диагональным полосам. Начинаем складывать справа налево. Если сумма одной диагонали содержит десятки, то прибавляем их к единицам следующей диагонали.
Ответ: 1442529
Неудобства этого способа заключаются в трудоёмкости построения прямоугольной таблицы, а сам процесс умножения интересен и заполнение таблицы напоминает игру. Способ не исключает знание таблицы умножения
2.9.Китайский способ умножения.
Несколько лет назад китайцы запретили калькуляторы в школе. Это, как надо полагать, творческое последствие запрета.
Предложенный метод позволяет перемножать любые многозначные числа. Этот метод прост для понимания, не требует знаний таблицы умножения, нужна только внимательность. Именно поэтому хотелось бы более подробно и с большим количеством примеров остановиться именно на этом способе умножения.
Суть метода: многозначное число изображается с помощью линий, причем различные разряды этого числа имеют разный цвет. Например: число 21 графически изображено так:
Число, на которое умножается данное число, изображается аналогично, по горизонтальной линии (цвет сохраняется в зависимости от разряда). Например: 13
П ри умножении чисел 21 на 13 имеем следующую графическую запись:
2
7
3
Теперь считаем точки пересечения:
1) красные линии дают 2 точки – это разряд сотен (первая цифра произведение);
2) пересечение красных и синих линий – это разряд десятков (вторая цифра произведение). Их 7;
3) пересечения синих линий – это разряд единиц (третья цифра произведения). Их 3.
Таким образом, в ответе получилось число 273.
Если при подсчёте точек их количество больше 10, то единицу отдают предыдущему разряду.
Примеры
Приведём ещё примеры.
Пример № 1:
321*42=…
1 2
1 4
8
2
Получилось число 13482.
Пример № 2:
123*321=…
3
8
1 4
8 3 Получилось
число 39483.
3. Заключение.
При выполнении исследовательской работы мне понадобились не только те знания, которые имеются у меня, но и необходимая работа с дополнительной литературой.
В ходе работы были найдены и освоены различные способы умножения многозначных чисел.
Научившись считать всеми представленными способами, я пришел к выводу: что большинство способов умножения многозначных чисел основаны на знании таблицы умножения; и самые простые способы это те, которые мы изучаем в школе, может быть они для нас более привычны.
Из всех найденных мною необычных способов счета более интересным показался китайский способ. Узнав этот способ, ребёнок уже в 1-ом классе сможет перемножать любые числа на листе бумаги, при этом процесс будет намного интересней, чем старый способ умножения «столбиком».Я показал его своим одноклассникам, и он им тоже очень понравился.
Самым простым мне показался метод «удвоения и раздвоения», который использовали русские крестьяне. Я его использую при умножении не слишком больших чисел (очень удобно его использовать при умножении двузначных чисел).
Данная работа может быть использована для занятий на математических кружках, дополнительных занятиях с детьми во внеурочное время, как дополнительный материал на уроке по теме «Умножение натуральных чисел». Материал изложен доступно и интересно, что привлечёт внимание и интерес учащихся к предмету математика.
4. Литература.
1. Балаян.Э.Н.1001олимпиадная и занимательная задачи по математике. –3-е изд. – Ростов н/д:Феникс,2005
2.Депман И. «Рассказы о математике». – Ленинград.: Просвещение, 1954. – 140 с.
3. Журнал «Математика» №15 2011г.
4. Перельман Я.И. Быстрый счет. Тридцать простых приемов устного счета. Л., 1941 — 12 с.
5. Перельман Я.И. Живая математика. -М.: Астрель: АСТ, 2005
6. Олехник С. Н., Нестеренко Ю. В., Потапов М. К. «Старинные занимательные задачи». – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. – 160 с.
7. Фарков А.В. Математика. Олимпиады в школе.5-11 класс. – 4-е изд. –М.:Айрис-пресс,2005
8. Чупиков П.В. Математика: Школьные олимпиады: Методическое пособие.5-6 классы.- М.: ЭНАС,2004