VI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Остров рыцарей и лжецов
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Предмет математики настолько серьезен,
что нужно не упускать случая делать его
немного занимательным.
Паскаль
Занимательная математика – это направление в математике, проявляющееся в большей степени в рамках досуга, развлечения и самообразования. Элемент игры, который делает занимательную математику занимательной, может иметь форму головоломки, состязания, фокуса, ошибочного рассуждения или обычной математической задачи с «секретом» – каким-либо неожиданным или забавным поворотом мысли.
Задачи о рыцарях и лжецах – разновидность увлекательных математических задач, в которых фигурируют персонажи:
Лжец (плут, вампир, сумасшедший, оборотень) – человек, всегда говорящий ложь.
Рыцарь (человек, поступающий правдиво и правильно, правдец) – человек, всегда говорящий правду.
Решение подобных задач обычно сводится к перебору вариантов с исключением тех, которые приводят к противоречию.
Существуют задачи с тремя типами персонажей – рыцари, лжецы и нормальные люди (вариант – шпионы). Последние могут как лгать, так и говорить правду.
С задачами про рыцарей и лжецов я познакомился при подготовке к олимпиаде по математике. Это не простые, но веселые, увлекательные задачи. Они учат логически рассуждать и нестандартно мыслить. На уроках математики подобные задачи мы не решали и мне стало интересно, а знают ли о таких задачах мои одноклассники? Справятся ли с их решением? Узнать об этом я решил с помощью исследования, и назвал я его «Остров рыцарей и лжецов».
Актуальность изучения темы моей работы вижу в том, что решение логических задач способствует развитию у учеников интереса к математике, разностороннему раскрытию способностей школьников, умению самостоятельно организовать своё свободное время.
Цель моего исследования – повышение интереса к предмету математика у моих одноклассников, показать им, что решение логических задач в математике – это увлекательно.
Задачи моей исследовательской работы:
- рассмотреть задачи про рыцарей и лжецов и способы их решения;
- изучить интерес моих одноклассников к решению логических задач.
Объект исследования – занимательная математика, логические задачи.
Предмет работы – решение задач про рыцарей и лжецов для повышения наблюдательности и умения логически мыслить.
Практическая значимость моей исследовательской работы заключается в том, что результаты исследования могут быть использованы при подготовке к уроку, олимпиадам, экзаменам.
Структура работы: титульный лист, оглавление, введение, теоретическая и практическая части, заключение, список использованной литературы.
1. Логические задачи в математике
1.1. Задачи о рыцарях и лжецах
Логические задачи – пожалуй, самый эффективный инструмент для развития логики и мышления как у детей, так и у взрослых.
Решение задачи на логику предполагает сложный мыслительный процесс. Это последовательное совершение определённых логических действий, работа с понятиями, использование различных логических конструкций, построение цепочки точных рассуждений с правильными промежуточными и итоговыми умозаключениями.
Логические задачи от обычных отличаются тем, что не требуют вычислений, а решаются с помощью рассуждений. Можно сказать, что логическая задача – это особая информация, которую не только нужно обработать в соответствии с заданным условием, но и хочется это сделать. Особое место логики, уделено в математике. Задачи, решение которых развивает логическое мышление, способствуют успешному изучению предмета. Эти задачи носят занимательный характер и не требуют большого запаса математических знаний, поэтому они привлекают даже тех учащихся, которые не очень любят математику.
Исходными данными в логических задачах являются высказывания. Высказывания и взаимосвязи между ними бывают так сложны, что разобраться в них без использования специальных методов сложно. Основная идея метода рассуждений состоит в том, чтобы последовательно анализировать всю информацию, имеющуюся в задаче, и делать на этой основе выводы.
Наверняка большинство из нас хотя бы раз проходили тесты на уровень логики. Большинство из них составлено из одних вопросов с подвохом.
Существует множество хитроумных задач об острове, населенном рыцарями, всегда говорящими только правду и лжецами, говорящими только ложь. Предполагается, что каждый обитатель острова либо рыцарь, либо лжец.
Так же бывают задачи с третьим типам персонажей – нормальные люди (вариант – шпионы). Они могут как лгать, так и говорить правду.
Систематическое выполнение логических заданий, решение нестандартных задач развивает, совершенствует познавательные способности и познавательную деятельность учащихся. Кроме того, выполнение задач такого вида требует постоянных умственных усилий, более глубокого анализа взаимосвязей, догадки, активизации знаний, проявления творческой инициативы.
1.2. Решение задач о рыцарях и лжецах
Жили-были на одном небольшом островке в океане два племени – рыцари и лжецы. Рыцари были настолько горды и благородны, что не могли говорить ничего, кроме правды, правды и только правды. А лжецы за годы так привыкли оправдываться, выкручиваться и хитрить, что уже не могли говорить ничего, кроме лжи. Так же на острове жили «нормальные люди», они могли говорить как правду, так и ложь. Попробуем определить, кто из них кто.
Как, задав один вопрос, определить, кто перед нами – рыцарь или лжец? Можно, например, спросить: «Ты - человек?» или «Дважды два - четыре?» Рыцарь скажет «да», а лжец «нет».
Если спросить у жителя острова «Кто ты: рыцарь или лжец?», то, кем бы он ни был, он ответит «Я – рыцарь». Рыцарь скажет про себя правду, а лжец солжет про себя. А вот ответ «Я – лжец» не даст никто, так как для рыцаря это будет ложью, а для рыцаря правдой.
Решим задачи посложнее.
Задача 1.
На острове рыцарей и лжецов собралась компания из людей разного роста. Каждый заявил «Среди тех, кто выше меня, есть лжецы». Сколько лжецов могло быть среди них?
Решение: Самый высокий – точно лжец (ведь выше него вообще никого нет, а значит, и лжецов среди них нет). Любой, кто ниже него, автоматически говорит правду – значит он рыцарь. Лжец - один (самый высокий), все остальные - рыцари (сколько угодно).
Задача №2.
На острове живут 100 рыцарей и 100 лжецов, у каждого из них есть хотя бы один друг. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Однажды утром каждый житель произнес фразу «Все мои друзья – рыцари», либо «Все мои друзья – лжецы», причем каждую из фраз произнесло ровно 100 человек. Найдите наименьшее возможное число пар друзей, один из которых рыцарь, а другой – лжец.
Решение: Заметим, что в паре рыцарь-лжец каждый должен сказать, что другой лжец: рыцарь скажет правду, а лжец соврёт, в паре рыцарь-рыцарь оба скажут правду, а в паре лжец-лжец оба скажут неправду. Значит фраза «Все мои друзья – лжецы» употребляется только в парах рыцарь-лжец. Минимальное кол-во пар рыцарь-лжец, когда фразу сказали 100 человек, это 50. Если пар будет меньше, то и фраз тоже будет меньше.
Задача №3.
На острове рыцарей и лжецов собралась компания из 12 человек, каждый заявил всем остальным: «Вы все лжецы!». Сколько лжецов может быть в этой компании?
Решение: Предположим, что все аборигены лжецы. Но тогда каждый из них говорит правду, чего он как лжец делать никак не может. Противоречие!
Значит, есть хотя бы один рыцарь. Рассмотрим этого рыцаря. Он должен был сказать правду. То есть все остальные 11 человек – лжецы. Каждый из них при этом говорит неправду, то есть этот пример подходит. Больше, чем один рыцарей быть не может, т.к. иначе каждый из них, сказав, что все остальные лжецы солгал бы.
Задача №4.
По кругу сидят рыцари и лжецы – всего 12 человек. Каждый из них сделал заявление: «Все кроме, быть может, меня и моих соседей – лжецы". Сколько рыцарей сидит за столом, если известно, что лжецы всегда врут, а рыцари всегда говорят правду?
Решение: Все не могут быть лжецами – тогда все заявления были бы истинными. Значит, есть рыцарь. Все, кроме, быть может, его двух соседей – лжецы. Оба соседа не могут быть лжецами – тогда они сказали бы правду; оба не могут быть рыцарями – тогда бы они солгали. Единственная оставшаяся возможность – один сосед – лжец, другой – рыцарь (то есть два рыцаря рядом, остальные – лжецы) удовлетворяет условиям задачи. Ответ: 2 рыцаря.
Задача №5.
Перед нами трое жителей острова A, B и C. Один из них рыцарь, другой лжец и третий – нормальный человек Эти люди высказывают следующие утверждения: A: Я нормальный человек; B: Это правда; C: Я не нормальный человек. Кто такие A, B и C?
Решение: Прежде всего заметим, что A не может быть рыцарем, потому что рыцарь не назвал бы себя нормальным человеком. Следовательно, получается, что A – либо лжец, либо нормальный человек. Тогда истинно высказывание человека B. Значит, B – либо рыцарь, либо нормальный человек. Но B не может быть нормальным человеком (так как A – нормальный человек), поэтому B – это доблестный рыцарь, а C – маленький лжец. Но лжец не может сказать о себе, что он не нормальный человек (так как любой лжец – не нормальный человек), и мы приходим к противоречию. Итак, A не может быть нормальным человеком. Следовательно, A – хитрый лжец. Это означает, что высказывание человека B ложно, в силу чего B должен быть нормальным человеком (лжецом он быть не может, так как лжец – человек A). Итак, A – хитрый лжец, а B – нормальный человек. Отсюда мы заключаем, что C – доблестный рыцарь.
Как видим, решение логических задач не требует глубокого знания математики. Эти непростые, но интересные задачи научат логически рассуждать и нестандартно мыслить, позволят приобщиться к радости самостоятельного открытия, глубже узнать окружающий мир. Их решение развивает находчивость, сообразительность, наблюдательность, умение анализировать, догадываться, доказывать, решать учебную задачу творчески.
2. Исследование уровня логического мышления учеников 5 класса
2. 1. Математика и логика на практике
Для изучения уровня логического мышления моих одноклассников, проведено небольшое исследование, в котором приняло участие двадцать человек. Всем им были предложены для решения два вида задач – математическая и логическая:
Задача №1.
В двух корзинах лежало 86 яблок. Когда из первой во вторую переложили 3 яблока, то яблок в корзинах стало поровну. Сколько яблок было в каждой корзине первоначально?
Решение:
Разделим пополам общее количество яблок:
1) 86 : 2 = 43 (яблока) − стало в каждой корзине;
Прибавим к половине яблок 3:
2) 43 + 3 = 46 (яблок) − было в первой корзине;
Отнимем от половины яблок 3:
3) 43 − 3 = 40 (яблок) − было во второй корзине.
Ответ: в первой корзине было 46 яблок, а во второй было 40 яблок.
Задача №2.
Вы попали на остров, на котором живут только рыцари и лжецы. Покинуть остров можно по одному из двух мостов (А или B). Один из мостов приведет вас на большую землю и вы спасены. Другой мост ведет на непроходимые болота. Для того, чтобы выбраться, у вас есть возможность обратиться с единственным вопросом к одному из двух жителей. Имеется достоверная информация: один из двух ваших собеседников рыцарь, а другой лжец. Какой вопрос следует выбрать?
а) Ты рыцарь? б) Твой друг рыцарь? в) Мне лучше выбрать мост А? г) Твой друг отправит на мост В?
Решение:
Правильный вопрос, который нужно задать одному из жителей –г) Твой друг отправит на мост В?
Если выход по мосту А, то рыцарь ответит: «Да», а лжец ответит: «Нет». Если выход по мосту B, то рыцарь ответит: «Нет», а лжец ответит «Да».
С математической задачей под №1 справились 18 человек из 20. Это задача из учебника по математики для пятого класса, подобные задачи мы решаем на уроках.
С задачей на логику под №2 справились только 5 человек из 20. Подобные задачи на уроках мы не решали, поэтому решить ее смогли только те ученики, которые занимаются математикой углубленно, решают олимпиадные задачи. Остальным ученикам задача показались сложной и непонятной.
Как видим, решение логических задач вызвало трудности и учеников. Многие, не смогли решить задачу про рыцарей и лжецов, так как никогда не решали подобные задачи.
Чтобы решить логическую задачу нужно оригинально мыслить, использовать смекалку, проявить находчивость, применить нестандартные подходы.
Развивать логическое мышление необходимо постоянно. Регулярные тренировки в решении головоломок, нестандартных задач, ребусов и задач на смекалку полезны и необходимы для ума школьников.
Считаю нужным заниматься решением логических задач не только при подготовке к олимпиадам, экзаменам, а так же на уроках математики, при выполнении домашних заданий и в свободное время для саморазвития. Так же решением логических задач можно заниматься на «классных часах», в форме командной игры. В процессе игры у ребят появится дух соперничества.
2.2. Математика – это интересно
Чтобы вызвать интерес у моих одноклассников к логическим задачам, я предложил решить две логические задачи на время.
Предварительно, я объяснил одноклассникам, кто такие рыцари и лжецы.
Задача №1.
Саша всегда говорит правду, а Паша всегда лжёт. Какой вопрос надо им задать, чтобы они дали на него одинаковые ответы (оба ответили «да» или оба ответили «нет»)?
Ответ: «Тебя зовут Саша?»
Правильный ответ дали 10 человек из 20.
Малыш спрятал от Карлсона банку с вареньем в одну из трех разноцветных коробок. На коробках Малыш сделал надписи: на красной – «Здесь варенья нет»; на синей – «Варенье - здесь»; на зеленой – «Варенье в синей коробке». Только одна из надписей правдива. В какой коробке Малыш спрятал варенье
Ответ: Варенье в зеленой коробке.
Правильный ответ дали 12 человек из 20.
Задача №2.
Путешественник вышел на дорогу, соединяющую город лжецов и город рыцарей. Он хочет узнать, в какой стороне находится каждый из городов. Путешественник вышел на дорогу, соединяющую город лжецов и город рыцарей. Он хочет узнать, в какой стороне находится каждый из городов. Какой вопрос он должен задать прохожему (не зная, рыцарь он или лжец), чтобы определить это?
Ответ: Ты живешь в этом городе?
Правильный ответ дали 15 человек из 20.
Решение задач на время развило у ребят дух соперничества, стремление дать правильный ответ первым. Все 20 человек сказали, что им было интересно решать такие задачи.
Логические задачи обладают высоким потенциалом. Они приучают к анализу воспринимаемой информации, её разносторонней оценке, повышают интерес к занятиям математикой.
Заключение
Математика – интересная, многогранная, занимательная и полезная наука. Занимательная математика – это направление в математике, которое может иметь форму головоломки, игры, состязания, фокуса, задачи с «секретом».
Одна из разновидностей увлекательных математических задач – задачи о рыцарях, лжецах и нормальных людях. Лжецы всегда лгут, рыцари – говорят правду, нормальные люди – могут как лгать, так и говорить правду. Решение подобных задач обычно сводится к перебору вариантов с исключением тех, которые приводят к противоречию.
Решение логических задач способствует развитию любознательности, сообразительности, развитию внимательности, настойчивости, целеустремлённости, умения преодолевать трудности – качеств весьма важных в практической деятельности любого человека
Таким образом, логика необходима и значима для любого человека. С помощью обоснования своих идей и взглядов логически, можно убеждать в своей правоте других людей. Логика формирует привычку анализировать свои и чужие суждения, позволяющие устранять ошибки в умозаключениях, отличать ложь от истины.
Логика улучшает память, ведь постигнув законы правильного мышления, можно более корректно обходиться с информацией. Логика упорядочивает нашу жизнь, она помогает отделить важное от неважного, отбрасывает все ненужные второстепенные вещи. Она помогает экономить наше время, что так важно человеку на сегодняшний день. Помимо этого, логика помогает шире смотреть на окружающий мир и глубже чувствовать и понимать его. Эти качества мышления имеют большое значение в любой области научной и практической деятельности.
Логические задачи будут одинаково интересны и увлечённым математикой детям, и «гуманитариям».
Список использованной литературы
Братусь Т.А. Все задачи «Кенгуру». / Братусь Т.А., Жарковская Н.А., Максимов Д.В. – СПб.: Левша, 2017. – 352 с.
Литвинов В.Л. 88 занимательных и олимпиадных задач по математике. Сборник занимательных задач, интересных загадок, головоломок, фокусов и игр. / В.Л. Литвинов. – Самара, 2017. – 43 с.
Никольский С.М. Математика 5 класс: учебник / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2018. – 269 с.
Смаллиан Р.М. Как же называется эта книга? / Р.М. Смаллиан. – М.: Мир, 2012. – 272 с.
Шарыгин И.Ф. Задачи на смекалку: учебное пособие для 5-6 классов общеобразовательных учреждений / И.Ф. Шарыгин, А.В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2017. – 95 с.