VI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Симметрия вокруг нас

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Кульпина Г.А. 1

---

1МБОУ "СОШ№7"

Богданова Т.И. 1

---

1МБОУ"СОШ№7"

Работа в формате PDF

3 MB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение

С давних времен математика считается одной из главных наук. Математика  одна из древнейших и необходимых для прогресса разных дисциплин наука.

Числа, формулы, геометрические фигуры в математике, внешне холодные и сухие, но полные внутренней красоты.

–"Можно ли с помощью симметрии создать порядок, красоту и совершенство?", "Во всём ли в жизни должна быть симметрия?"– эти вопросы я поставила перед собой уже давно, и попробую ответить на них в этой работе.

Предметом данного исследования является симметрия как одна из математических основ законов красоты, взаимосвязи науки математики с окружающими нас живыми и неживыми объектами.

Актуальность проблемы заключена в том, чтобы показать, что красота является внешним признаком симметрии и, прежде всего, имеет математическую основу.

Цель работы - на примерах найти и показать симметрию как основу красоты в природе, технике, архитектуре и искусстве.

На основе данной цели были сформулированы следующие задачи исследования:
- определить сущность симметрии;
- рассмотреть, как проявляется симметрия в окружающем нас мире.
Методы исследования:
- обработка, анализ научных источников;
- анализ научной литературы, учебников и пособий по исследуемой проблеме.

Многие люди даже не задумываются, проходя мимо обычных, на первый взгляд, вещей о том, какой удивительной формой эти объекты обладают и с какой точностью они созданы природой или человеком. Симметрия окружает нас, находя своё проявление, как в живой, так и в неживой природе.

В данной работе была сделана попытка систематизации литературных источников по данной проблематике в общее понятие симметрии и в теоретической главе рассмотрены гипотезы появления симметрии в природе, красота симметрии в архитектуре, необходимость симметрии в технике. В практической части данной работы были проведены небольшие опыты, доказывающие необходимость симметрии в технике и показывающие красоту симметрии в искусстве и народном творчестве народов Кузбасса.

На протяжении веков симметрия остается предметом, который очаровывает философов, астрономов, математиков, художников, архитекторов и физиков. Древние греки были совершенно одержимы ею – и даже сегодня мы, как правило, сталкиваемся с симметрией во всем от расположения мебели до стрижки волос.

Просто имейте в виду: как только вы осознаете это, вы, вероятно, испытаете непреодолимое желание искать симметрию во всем, что видите.

Глава 1. Теоретические аспекты симметрии

Возникновение симметрии

Симметрия является фундаментальным свойством природы, представление о котором, как отмечал академик В.И. Вернадский, «слагалось в течение десятков, сотен, тысяч поколений». «Изучение археологических памятников показывает, что человечество на заре своей культуры уже имело представление о симметрии и осуществляло ее в рисунке и в предметах быта. Надо полагать, что применение симметрии в первобытном производстве определялось не только эстетическими мотивами, но в известной мере и уверенностью человека в большей пригодности для практики правильных форм». Это слова другого нашего замечательного соотечественника, посвятившего изучению симметрии всю свою долгую жизнь, академика А.В. Шубникова.

Термин «симметрия» придумал скульптор Пифагор Регийский. Древние греки полагали, что Вселенная симметрична просто потому, что она прекрасна. Первую научную школу в истории человечества создал Пифагор Самосский. «Симметрия – это некая «средняя мера», - считал Аристотель, а Римский врач Гален (2 в. н. э.) под симметрией понимал покой души и уравновешенность.

Толковый словарь русского языка С.И. Ожегова и Н.Ю. Шведовой под симметрией понимают - соразмерность, одинаковость в расположении частей чего-нибудь по противоположным сторонам от точки, прямой или плоскости. В Толковом словаре иностранных слов Л.П. Крысина «Симметрия (нем. Symmetrie, франц. symetrie, греч. symmetria) – соразмерность, пропорциональность в расположении частей чего-нибудь по обе стороны от середины, центра». Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия трактует симметрию - соразмерность, в широком смысле – инвариантность (неизменность) структуры, свойств, формы материального объекта относительно его преобразований (т.е. изменений ряда физических свойств).

С симметрией мы встречаемся везде – в природе, технике, искусстве, науке. Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю человеческого творчества. Оно встречается уже у истоков человеческого знания; его широко используют все без исключения направления современной науки. Принципы симметрии играют важную роль в физике и математике, химии и биологии, технике и архитектуре, живописи и скульптуре, поэзии и музыке. Законы природы, управляющие неисчерпаемой в своём многообразии картиной явлений, в свою очередь, подчиняются принципам симметрии.

В научном мире существует несколько гипотез, с помощью которых пытаются объяснить, как возникла симметрия в пространстве нашего мира. Согласно одной из них, все, что растет вверх или вниз, подчинено закону радиально-лучевой симметрии. А то, что формируется параллельно земной поверхности или под наклоном к ней, принимает зеркально-симметричную форму. Эти свойства пытаются объяснить земным притяжением от центра планеты и различной степенью освещенности объектов солнечным светом в зависимости от их расположения.

Симметрия пронизывает наш мир гораздо глубже, нежели это можно увидеть глазами. Осмысливание этого факта происходило в течение многих веков. В результате само понятие симметрии претерпело существенную эволюцию. От тех времен до наших дней понятие «симметрия» прошло длинный путь развития. Из чисто геометрического понятия оно превратилось в фундаментальное понятие, лежащее в основе законов природы. Мы знаем теперь, что симметрия – это не только то, что можно видеть глазами. Симметрия не просто вокруг нас, она сама в основе всего.

Чтобы иметь более точное представление о том, что же такое симметрия, нужно рассмотреть её виды.

Виды симметрии

С точки зрения геометрии выделяют три основных вида симметрии: центральная, осевая и зеркальная. 

Центральная симметрия (или симметрия относительно точки) – это преобразование плоскости (или пространства), при котором единственная точка (точка О – центр симметрии) остаётся на месте, остальные же точки меняют своё положение: вместо точки А получаем точку А1 такую, что точка О середина отрезка АА1. Чтобы построить фигуру Ф1, симметричную фигуре Ф относительно точки О, нужно через каждую точку фигуры Ф провести луч, проходящий через точку О (центр симметрии), и на этом луче отложить точку, симметричную выбранной относительно точки О. Множество построенных, таким образом, точек даст фигуру Ф1. 

Большой интерес вызывают фигуры, имеющие центр симметрии: при симметрии относительно точки О любая точка фигуры Ф преобразуется опять же в некоторую точку фигуры Ф. Таких фигур в геометрии встречается много. Например: отрезок (середина отрезка – центр симметрии), прямая (любая её точка – центр её симметрии), окружность (центр окружности – центр симметрии), прямоугольник (точка пересечения его диагоналей – центр симметрии). Много центрально симметричных объектов в живой и неживой природе. Часто люди сами создают объекты, имеющие центр симметрии.

Осевая симметрия (или симметрия относительно прямой) – это преобразование плоскости (или пространства), при котором только точки прямой р остаются на месте (эта прямая является осью симметрии), остальные же точки меняют своё положение: вместо точки В получаем такую точку В1, что прямая р является серединным перпендикуляром к отрезку ВВ1. Чтобы построить фигуру Ф1, симметричную фигуре Ф, относительно прямой р, нужно для каждой точки фигуры Ф построить точку, симметричную ей относительно прямой р. Множество всех этих построенных точек и дают искомую фигуру Ф1. Много существует геометрических фигур, имеющих ось симметрии.

У прямоугольника их две, у квадрата – четыре, у круга – любая прямая, проходящая через его центр. Если присмотреться к буквам алфавита, то и среди них можно найти, имеющие горизонтальную или вертикальную, а иногда и обе оси симметрии. Объекты, имеющие оси симметрии достаточно часто встречаются в живой и неживой природе. В своей деятельности человек создаёт много объектов, имеющих несколько осей симметрии.

Плоскостная (зеркальная) симметрия (или симметрия относительно плоскости) – это преобразование пространства, при котором только точки одной плоскости сохраняют своё местоположение (α-плоскость симметрии), остальные точки пространства меняют своё положение: вместо точки С получается такая точка С1, что плоскость α проходит через середину отрезка СС1, перпендикулярно к нему. 

Чтобы построить фигуру Ф1, симметричную фигуре Ф относительно плоскости α, нужно для каждой точки фигуры Ф выстроить симметричные относительно α точки, они в своём множестве и образуют фигуру Ф1.

Чаще всего в окружающем нас мире вещей и объектов нам встречаются объёмные тела. И некоторые из этих тел имеют плоскости симметрии, иногда даже несколько. И сам человек в своей деятельности создаёт объекты, имеющие плоскости симметрии.

Глава 2. Симметрия вокруг нас

2.1. Симметрия в природе

Симметрией обладают объекты и явления живой природы. Она позволяет живым организмам лучше приспособиться к среде обитания, защитить себя от недоброжелателей и просто выжить.

Для начала давайте рассмотрим, какие виды симметрии встречаются в растительном мире. Например, для листьев характерна зеркальная симметрия. Многие листья деревьев и лепестки цветов симметричны относительно среднего стебля.

 Центральную симметрию можно наблюдать у следующих цветов: лук, цветок одуванчика, цветок кувшинки, цветок мать и мачехи. Цветок ромашки обладает центральной симметрией, только в случае четного количества лепестков. Её сердцевина представляет собой окружность, и поэтому центрально симметрична, так как мы знаем, что окружность имеет центр симметрии. Нередки случаи и переносной симметрии в растительном мире, например: веточки акации, рябины и многие другие.

Двусторонняя симметрия ярче всего представлена в биологии. Одним из примеров подобной симметрии являются красивые и конструктивно непростые узоры у бабочек на крыльях. Двусторонняя симметрия возникла в связи с потребностью организмов передвигаться в пространстве в соответствии с определёнными целями. В первую очередь, она затронула органы движения: ноги у пауков, ракообразных, амфибий, насекомых, млекопитающих и рептилий, крылья у летучих мышей и птиц, плавники у миног, кальмаров, тюленей, рыб, дельфинов и китов. Органы, которые управляют движением, нервная система человека и животных тоже имеют подобную симметрию. Очевидно, что так проще координировать работу ног, крыльев или плавников для того, чтобы активнее передвигаться в пространстве, не сталкиваясь с различными предметами, поддерживая равновесие тела, осуществлять точное приземление и совершать другие движения. Таким образом, мы рассмотрели некоторые виды симметрии.

Симметрия – базовое свойство большинства живых существ. Быть симметричным очень удобно. Подумайте сами: если у вас со всех сторон есть глаза, уши, носы, рты и конечности, то вы успеете вовремя почувствовать что-то подозрительное, с какой бы стороны оно ни подкрадывалось, и, в зависимости от того, какое оно, это подозрительное, — съесть его или, наоборот, от него удрать. Симметрия в животном мире определяется в соответствие размеров, форм и очертаний, а также относительное расположение частей тела, находящихся на противоположных сторонах разделяющей линии. Ярким примерами симметрии у животных можно считать бабочку, жука плавунца, морскую звезду, лягушку (см. Приложение 1).

2.2. Симметрия в архитектуре

Особенно интересно проявление симметрии в древнерусских постройках, в частности в деревянных церквах, которыми издавна славилась Россия. В XVII-XVIII вв. на Руси были распространены так называемые ярусные храмы, завершавшиеся поставленными друг на друга, уменьшающимися по величине срубами. Старая русская архитектура дает много и других примеров использования симметрии. Достаточно назвать колокольни, звонницы, сторожевые башни, внутренние опорные столбы. Более поздние каменные русские храмы, дворцы, садово-парковые ансамбли тоже несут на себе явный отпечаток симметрии.

От нее в первую очередь зависит впечатление, которое производит архитектурное сооружение.

Как и в любом деле, абсолютизация одной идеи не могла привести ни к чему хорошему. Симметрия в искусстве не составила исключения. «Красота неправильная», асимметрия, стала пробивать себе дорогу в искусстве, ибо сведение красоты только к симметрии ограничивало богатство ее внутреннего содержания, лишало красоту жизни. Истинную красоту можно постичь только в единстве противоположностей. Вот почему именно единство симметрии и асимметрии определяет сегодня внутреннее содержание прекрасного в искусстве. Симметрия воспринимается нами, как покой, скованность, закономерность, тогда как асимметрия означает движение, свободу, случайность.

Примером удивительного сочетания симметрии и асимметрии является храм Василия Блаженного на Красной площади в Москве. Эта причудливая композиция из десяти храмов, каждый из которых обладает центральной симметрией, в целом не имеет ни зеркальной, ни поворотной симметрии. Симметричные архитектурные детали собора кружатся в своем асимметричном, беспорядочном танце вокруг его центрального шатра: они то поднимаются, то опускаются, то, как бы набегают друг на друга, то отстают, создавая впечатление радости и праздника. Без своей удивительной асимметрии храм Василия Блаженного просто немыслим!

Архитектурные сооружения, созданные человеком, в большей своей части симметричны. Они приятны для глаза, их люди считают красивыми.

Здания симметричной формы характеризуют собой строгость, вызывает чувство организованности и скованности. Яркими примерами в архитектуре являются: Казанский собор в Санкт-Петербурге (выполнен в стиле классицизма); Кафедральный собор Дуомо в Милане (выполнен в стиле готики), обладает зеркальной - осевой симметрией; Собор Святого Петра в Риме; дворец Лувр; ну и, конечно же, Нотр-Дам-Де-Пари и Эйфелева Башня (см. Приложение 2).

2.3. Симметрия в технике

Симметрия в технике. Симметричная форма дирижабля, самолета, подводной лодки, автомобиля и т.д. обеспечивает хорошую обтекаемость воздухом или водой, а значит, и минимальное сопротивление движению. В технике красота, соразмерность механизмов часто бывает связана с их надежностью, устойчивостью в работе.

Что будет, если произойдет нарушение симметрии в технических устройствах, мы проверили опытным путем, результаты которых представлены в главе 4 (см. Приложение 3).

2.4. Симметрия кристаллов

Симметрия проявляется в многообразных структурах и явлениях неорганического мира и живой природы. В мир неживой природы очарование симметрии вносят кристаллы. Каждая снежинка - это маленький кристалл замерзшей воды. Форма снежинок может быть очень разнообразной, но все они обладают симметрией - поворотной симметрией 6-го порядка и, кроме того, зеркальной симметрией (см. Приложение 4).

2.5. Симметрия в живописи

Для анализа симметрии изображения лучше взять картину гениального итальянского художника Леонардо да Винчи «Мадонна Литта». Фигуры мадонны и ребенка вписываются в правильный треугольник, который вследствие своей симметричности особенно ясно воспринимается глазом зрителя. Благодаря этому мать и ребенок сразу же оказываются в центре внимания, как бы выдвигаются на передний план. Внутренняя симметрия картины хорошо ощущается (см. Приложение 4).

2.6. Литература и симметрия

Вспомним хотя бы закон возмездия в греческой трагедии, где виновный становится жертвой такого же преступления.

В «Евгении Онегине» А.С. Пушкина мы наблюдаем симметрию положений: «Онегин, отвергнувший когда-то любовь Татьяны, сам через несколько лет вынужден испытывать горечь отвергнутой любви». В трагедии А.С. Пушкина «Борис Годунов» прекрасно выписана симметрия образов. Убийцу царственного наследника, занявшего престол, сменяет на троне такой же умный, такой же наглый и беспощадный убийца юноши-царевича.

Рассмотрим буквы русского языка с точки зрения симметрии:

А; Д; Л; М; П; Е; Ф; Ш. (вертикальная ось симметрии)
В; Е; З; К; С; Э; Ю. (горизонтальная ось симметрии)
Ж; Н; О; Х. (и вертикальные и горизонтальные оси симметрии)
Б; Г; И; Й; Р; У; Ц; Ч; Щ; Я. (ни вертикальные, ни горизонтальные оси)

В русском языке есть «симметричные» слова – палиндромы, которые можно читать одинаково в двух направлениях:

Шалаш, казак, радар, Алла, Анна, кок, поп, топот

Могут быть палиндромическими и предложения. Написаны тысячи таких предложений.

А роза упала на лапу Азора. (А. Фет)
Я иду с мечем судия. (Т. Державин)

Симметрией обладают так называемые фигурные стихи, текст которых имеет очертание какого-либо предмета-звезды, креста, треугольника, пирамиды…

"О, где же те мечты? Где радости, печали,
Светившие нам столько долгих лет?
От их огней в туманной дали
Чуть виден слабый свет
И те пропали,
Их нет". 
(А. Апухтин).

Сведение красоты только к симметрии ограничивало богатство ее внутреннего содержания, лишало красоту жизни. Истинную красоту можно постичь только в единстве противоположностей. Вот почему единство симметрии и асимметрии определяет сегодня внутреннее содержание прекрасного в искусстве. Симметрия воспринимается нами как покой, скованность, закономерность, тогда как асимметрия означает движение, свободу, случайность.

В «Фаусте» Гете противопоставляет в образах Прекрасной Елены и одноглазой, однозубой старухи Форкиды красоту симметрии и уродство асимметрии. В «Сказке о царе Салтане» Пушкин рисует величавую Царевну-Лебедь со звездой во лбу (красота – симметрия) и окривевших злодеек – ткачиху с поварихой (уродство – асимметрия).

Глава 3. Симметрия родного края

3.1. Симметрия в архитектуре Кемеровской области

В 1928-30 годах строились корпуса окружной больницы (сейчас третья городская больница), здание Госбанка и центрального универмага на улице Кирова, городская гостиница и химический техникум на Притомском участке. Все эти здания были построены в конструктивистском стиле со свойственной ему лаконичностью, функциональностью и отсутствием украшений. Уникальным в своем роде образцом «каменного» конструктивизма является здание Дворца труда 1927 года проекты кемеровских архитекторов конца 30-х годов еще стилистически очень близки к конструктивизму, это, скорее, постконструктивизм, чем неоклассицизм. В предвоенные годы ещё жива традиция проведения открытых архитектурных конкурсов на проекты наиболее значительных зданий. В результате одного из таких конкурсов в 1937 году по проекту архитекторов Д. Зезина и С. Скобликова строится кинотеатр «Москва», наиболее яркий образец архитектуры переходного периода, в котором уже ясно видно возвращение таких классических принципов, как симметрия, закрытость композиции, сдержанное применение декоративных элементов (см. Приложения 5,6). 

3.2. Симметрия национального узора

По материалам музейных коллекций и по имеющимся в научной литературе сведениям у народов Притомья можно выделить следующие типы народного декоративного искусства: вышивку, аппликацию, тканый орнамент, художественную обработку кости, рога и дерева, изготовление женских украшений. Преобладают характерные для северосибирского типа мотивы орнамента, выполненные тамбурным швом: зигзаг, зигзаг с петлей в изломе, прямые параллельные линии, узкие полосы, концентрические круги. В основном все рисунки симметричные. В вышивке кисета ярко проиллюстрировано характерное для шорского орнамента несоблюдение симметрии: на лицевой стороне беспорядочно расположены мифические фигурки наряду с пятилучевыми розетками. В орнаментации пряслиц и колец для нарт четко прослеживается одна из характерных черт шорского декора – нарушение симметрии. Она присутствует и в орнаменте подставки для ружья из рога марала, и в декоре рукояток ножей, плеток (см. Приложение 7).

Глава 4. Опыты применения симметрии

В основу моего исследования было взято одно из направлений японского искусства оригами - аэрогами (от яп. «гами» - бумага и лат. «аэро» - воздух). Для опыта мы так же использовали самолетики их бумаги, одинакового размера, массы, рода материала, но разные по симметрии; парашюты из бумаги соответственно одинакового размера, массы, из одного материала, но разные по симметрии; нитки, пластилин, ленту для измерения длины, секундомер.

Результаты эксперимента:

Симметричный самолет и парашют демонстрируют лучшие показатели полета.

Еще одним экспериментом, демонстрирующим центральную симметрию является вырезание снежинок. Мы предлагаем в качестве эксперимента вырезать собственное имя на снежинке и посмотреть, как оно будет выглядеть в центральной симметрии (см. Приложение 9).

Так же мною были проведены эксперименты с зеркальной симметрией (см. Приложение 8).

Заключение

Сфера влияния симметрии поистине безгранична. Природа – наука - искусство. Всюду мы видим противоборство, а часто и единство двух великих начал - симметрии и асимметрии, которые во многом и определяют гармонию природы, мудрость науки и красоту искусства.

Симметрия, проявляясь в самых различных объектах материального мира, несомненно, отражает наиболее общие, наиболее фундаментальные его свойства. Поэтому исследование симметрии разнообразных природных объектов и сопоставление его результатов является удобным и надежным инструментом познания основных закономерностей существования материи.

Список использованной литературы

Жёлудев И.С. Симметрия и её приложения. – М.: Энергоатомиздат, 1983.

Карпенков С.Х. Концепция современного естествознания: Учебник для вузов. – М.: ЮНИТИ, 2000.

«Концепции современного естествознания». Лекции для студентов заочного отделения УГАТУ. Уфа, 2005.

Сонин А.С. Постижение совершенства: симметрия, асимметрия, диссимметрия, антисимметрия. – М.: ЗНАНИЕ, 1997.

Трофимов В. Введение в геометрическом многообразии с симметриями М.: МГУ, 1999.

Урманцев Ю.А. Симметрия природы и природа симметрии. – М.: МЫСЛЬ, 1974.

Харитонов А.С. Феномен симметрии. - ЮНИТИ, 1999.

Хорошавина С.Г. Курс лекций «Концепция современного естествознания». Ростов н/Д: Феникс, 2000.

Шубников А.В. Избранные труды по кристаллографии. – М.: НАУКА, 1995.

www.numanities.edu.ru

www.nrc.edu.ru

www.toe-krsh.narod.ru

Приложение 1

Рисунок 1 - Примеры симметрии в природе

Приложение 2

Рисунок 2 – Примеры симметрии и асимметрии в архитектуре

Приложение 3

Рисунок 3 – Примеры симметрии в технике

Приложение 4

Рисунок 4 – Пример симметрии кристалла (снежинки)

Рисунок 5 – Пример симметрии в живописи

Приложение 5

Рисунок 6 – Пример симметрии в архитектуре г. Кемерово

Приложение 6

Рисунок 7 - Музей-заповедник «Кузнецкая крепость»

Рисунок 8 – Скульптурная композиция в г. Новокузнецке

Приложение 7

Рисунок 9 - Национальный орнамент коренных жителей Кузбасса

Приложение 8

Рисунок 10 - Зеркальная симметрия (проверено на себе)

Приложение 9

Рисунок 11 – Центральная симметрия сделанная своими руками (на примере снежинки с именем)