VI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Линейные уравнения с параметром
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
I. Введение
Проблема
Уравнения и неравенства с параметрами являются традиционно наиболее трудными задачами курса математики. Чаще всего они встречаются в заданиях повышенной сложности, а также ученики довольно часто сталкиваются с такими заданиями на ОГЭ и ЕГЭ. В прошлом году только 13,4 % девятиклассников смогли выполнить задание 23 части С. В этом году нам предстоит сдавать ОГЭ, а данная тема вызывает наибольшее затруднение. Именно поэтому мы выбрали эту тему.
Цель
Изучение решения линейных уравнений с параметрами.
Задачи
1.Познакомиться с понятием параметра.
2.Изучить общий принцип и метод решения линейных уравнений с параметрами.
3.Рассмотреть различные виды уравнений с параметрами.
4.Научиться решать уравнения с параметрами.
II. Линейные уравнения с параметрами и уравнения приводимые к линейным
Параметр (от греческого “parametron” – отмеривающий) – величина, значения которой служат для различения элементов некоторого множества между собой. С использованием параметров проводятся исследования многих систем и процессов реальной жизни. В частности, в физике в качестве параметров могут выступать температура, время и др. В математике параметры вводятся для обозначения некоторой совокупности объектов. Так, уравнение + = с параметрами а, b и с определяет совокупность всех окружностей; уравнение + = 1 – всех единичных окружностей; уравнение + = – совокупность концентрических окружностей с центром в начале координат. Рассмотрим с точки зрения алгебры, как определяется уравнение с параметром.
Определение. Уравнение вида Аx=В , где А и В зависят от параметра, то есть А=А(а), В=В(а) называется линейным уравнением с параметром а.
Замечание. Уравнение, которое с помощью тождественных преобразований сводится к уравнению Аx=В, также называется линейным.
Более примитивно линейное уравнение с параметром определяется как уравнение, в запись которого, кроме неизвестных, входят числа, обозначенные буквами.
В отношении уравнений с параметром чаще всего встречаются две постановки задачи:
1) Для каждого значения параметра найти все решения заданного уравнения;
2) Найти все значения параметра, при каждом из которых решения урав- нения удовлетворяют заданным требованиям.
В качестве примера рассмотрим уравнение
Пусть, тогда уравнение примет вид
Решим его:
Пусть , тогда уравнение примет вид , решением которого является любое действительное значение .
Пусть , тогда уравнение примет вид . Решив его, получим, что . В этом случае уравнение не имеет решения.
Следовательно, сам факт существования решения зависит от значения параметра .
Определение. Исследовать и решить уравнение с параметром это значит :
- найти все системы значений параметров, при которых данное уравнение имеет решение;
- найти все решения для каждой найденной системы значений параметров, т.е. для неизвестного и параметра должны быть указаны свои области допустимых значений.
Алгоритм решения линейного уравнения с параметром:
При решении линейных уравнений с параметром
сначала его нужно привести к виду, удобному для исследования
(стандартный канонический вид линейного уравнения с параметром),
выполнив ряд преобразований, потом следует определить контрольные
значения параметра, т.е. те значения, при которых коэффициент
обращается в ноль. Эти значения разбивают множество значений параметра
на несколько множеств, которые необходимо исследовать.
III. Примеры простейших линейных уравнений с параметром
Ответ: при корней нет, при
Ответ: при корней нет, при
Ответ: при корней нет,
при .
Ответ: при корней нет,
при .
Ответ: при корней нет,
при .
Ответ: при
при
Ответ: при
при
Ответ: при
при
Ответ: при
при
Ответ: если , то корней нет
если ,
если
т. е. и контрольные значения параметра.
1) При
2)
3) При
Ответ: если , то корней нет
если ,
если
IV. Линейные уравнения с параметром, имеющие стандартный канонический вид
– стандартный канонический вид линейного уравнения с параметром
Примеры:
Ответ: если
если
При
При
Ответ: при
при
при
Ответ: при
при
при
V. Уравнения, приводимые к линейным уравнениям с параметром
Схема решения уравнений, приводимых к линейным :
Указать и исключить все значения параметра и переменной, при которых уравнение теряет смысл.
Умножить обе части уравнения на общий знаменатель, не равный нулю.
Привести уравнение-следствие к виду и решить его.
Исключить значения параметра, когда найденный корень принимает значения, при которых уравнение теряет смысл.
Записать ответ.
контрольное значение параметра.
1) При => => x – любое число
2) При
Ответ: при
при
Ответ: при , корней нет
если ,
при
Примеры решений уравнений, содержащих параметр в знаменателе:
ОДЗ:
при
Ответ: при решений нет;
при
Умножим уравнение на :
Ответ: при
при
при
3)
ОДЗ:
При
Ответ: При нет решений
При x
Умножим уравнение на :
Ответ: при
при
при
Примеры решений уравнений, содержащих и параметр и переменную в знаменателе
Умножим уравнение на :
Исключим те a, при которых :
Ответ: при
при
при
2)
=> при
г)Найдём m при :
Ответ: Если
Если x-любое
Если
3)
При m=1 не имеет смысла
При
Найдём m при которых
Ответ: при уравнение не имеет смысла
При
Заключение
Познакомившись с подобными уравнениями, мы заинтересовались этой темой. Разбираться и решать эти уравнения было очень интересно и познавательно.
Мы изучили общий принцип и метод решений линейных уравнений с параметром, рассмотрели различные виды уравнений и научились их решать. По мере получения новых знаний, мы собираемся развивать эту тему в дальнейшем.
Надеемся, что наша научная работа поможет нам и нашим сверстникам в решении трудных задач.