VI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Методы решения задач на построение
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Выбор темы «Алгебраический метод геометрических построений», как темы нашей исследовательской работы, обусловлен тем, что в программе школьного курса геометрии рассматриваются наиболее простые задачи на построение, тогда как на олимпиадах часто встречаются задачи высокого уровня сложности.
Актуальность. Геометрические задачи на построение являются настолько существенным фактором математического образования, что на преподавание этого раздела в средней школе должно быть обращено серьезное внимание.
Задачи на построение развивают изобретательность, инициативу, конструктивные способности.
Изучение методов геометрических построений должно усилить творческие возможности учащихся, увеличить выбор приемов решения, правильно организовать процесс решения задачи.
Цели работы:
Выяснить какие существуют методы решения задач на построение;
Проанализировать алгебраический метод решения задач на построение;
Выяснить, можно ли выразить формулой длину искомого отрезка через длины данных отрезков;
Сформировать умение строить отрезки по данным формулам;
Рассмотреть решение задач с использованием разных методов;
Создание творческих проектов по теме исследования.
Объект исследования - геометрические задачи на построение.
Предмет исследования - способы решения геометрических задач на построение.
Проблема - в школьном курсе геометрии недостаточно уделено внимания задачам на построение с помощью циркуля и линейки, алгебраический метод решения задач на построениене рассматриваются в школьном курсе геометрии.
Гипотеза - решая задачи, учащиеся приобретают новые знания и навыки, развивают в себе настойчивость, приобщается к математическому творчеству.
В соответствии с целью исследования необходимо решить следующие задачи по данной теме:
Проанализировать источники литературы;
Научиться решать задачи на построение алгебраическим методом;
Описать другие методы и способы решения задач на построение;
Показать преимущество знаний различных способов решения задач на построение.
Методы исследования:
Поисковый;
Анализ;
Дедуктивный метод.
Данный материал может использоваться в качестве основы для элективного курса в классах физико-математического профиля, а также при подготовке к олимпиадам.
Алгебраический метод
Алгебраический метод решения задач на построение - один из важнейших методов теории конструктивных задач. Именно с помощью этого метода решаются вопросы, связанные с разрешимостью задач тем или иным набором инструментов.
Кроме того, это один из самых мощных методов, позволяющий решать многие задачи, решение которых обычными способами затруднительно. Метод прекрасно демонстрирует тесную взаимосвязь алгебры и геометрии.
Суть метода состоит в следующем:
а) задача сводится к построению некоторого отрезка;
б) используя известные геометрические соотношения между искомыми и данными, составляют уравнение (систему уравнений), связывающее искомые и данные;
в) решая уравнение или систему уравнений, выражают формулой длину искомого отрезка через длины данных;
г) по формуле строится искомый отрезок (если это возможно);
д) с помощью найденного отрезка строится искомая фигура.
Формулы, использующиеся для построений.
Подготовительную работу составляет изучение основных формул и способов построения, где также отрабатываются некоторые элементы схемы решения задач алгебраическим методом, и усваивается сама идея такого подхода к решению задач на построение.
В школьном курсе геометрии обычно рассматривают построения циркулем и линейкой отрезков, заданных следующими некоторыми простейшими формулами:
Формула №1 (рис. 1).
Формула №2 (рис. 2).
аа
b
x
а
b
x
Рисунок 1 Рисунок 2
Формула №3 где n — натуральное число. Сводится к построению формулой №1. На рисунке 3 построен отрезок х, такой, что
B
а
а
а
а
а
а
B1
b
О
x
А
а
Рисунок 3 Рисунок 4
Формула №4
Строим луч, выходящий из какого-либо конца О данного отрезка а под произвольным углом к нему. Откладываем на этом луче n раз произвольный отрезок b, так что OB = nb (см. рис. 4). Соединяем точку В со вторым концом А отрезка а. Через точку В1, определяемую условием 0В1 = b, проводим прямую, параллельную АВ, и отмечаем точку A1, в которой она пересечет отрезок а.
Формула №5 (построение четвертого отрезка, пропорционального трем данным отрезкам).
Запишем условие в виде пропорции . Пусть (рис. 5) ОА = а, ОС = с, так что члены одного из отношений отложены на одном луче, исходящем из точки О. На другом луче, исходящем из той же точки под произвольным углом, откладываем известный член другого отношения ОB = b. Через точку А проводим прямую, параллельную ВС, и отмечаем точку X ее пересечения с прямой ОВ. Отрезок ОХ искомый, то есть ОХ = х
В
x
b
Х
А
С
а
о
с
Рисунок 5
Формула №6 (построение среднего пропорционального двух данных отрезков).
Строим отрезки АС = а, ВС = b, так что АВ = а + b. На АВ как на диаметре строим полуокружность (см. рис. 6). В точке С восстановим перпендикуляр к АВ и отметим точку D его пересечения с окружностью. Тогда х = CD.
D
x
C
В
А
b
a
H
Ррр
Рисунок 6
Формула №7
Отрезок строится как гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами а и b (см. рис. 7).
x
b
a
Рисунок 7
Формула №8 (a > b).
Отрезок строится как катет прямоугольного треугольника с гипотенузой и катетом .
К рассмотренным построениям можно свести построение отрезков, заданных более сложными формулами.
Примеры построения отрезков.
Пример 1
Построить отрезок , заданный формулой:
где отрезок
Построение:
Строим
Х1
а
b
b
Рисунок 8
2) Строим
x1
b
a
x2
Рисунок 9
3) Строим
х3
x1 x1 x1
Рисунок 10
4) Строим
І)
X2
Рисунок 11
а
Рисунок 12
5) Строим
а
а
а
а
а
Рисунок 13
6) Строим
Рисунок 14
7) Строим
Х6
Х4
Х7
а
Рисунок 15
В итоге всех этих построений мы построили искомый отрезок
В данном построении использованы формулы №1, №2,№3,№5
Пример 2
Построить отрезок х, заданный формулой:
, где отрезок
Построение:
Для того чтобы облегчить построение, упростим заданную формулу:
1) Построим
a
b
b
X1
Рисунок 16
2) Построим
a
b
Рисунок 17
3) Построим
b
a
Рисунок 18
4) Построим
A
a
B
O
Рисунок 19
5) Построим , где
a
Рисунок 20
6) Построим где
x6
X5
a
Рисунок 21
В итоге всех этих построений мы нашли отрезок (искомому отрезку)
В данном построении использованы формулы №5, №7, №6.
1.3. Примеры решения задач.
Пример 3
Задача:
Из вершин данного треугольника, как из центров, описать три круга, которые попарно прикасаются внешне.
Рисунок 22
Решение. Пусть А, В, С— вершины данного треугольника, а, b, c— его стороны. Тогда
Поэтому
Следовательно,
Построим один из отрезков, например , и проведем окружность с центром в точке А радиуса, длина котрого равняется . Две других окружности проводим из центров В и С соответственно радиусами и .
1.4. Критерий разрешимости.
Анализ решенных нами задач, позволяет сделать вывод о критерии разрешимости задач на построение алгебраическим методом.
Для того, чтобы циркулем и линейкой можно было построить отрезок, необходимо и достаточно, чтобы длину искомого отрезка можно было выразить через длины данных отрезков при помощи конечного числа основных действий.
Основные действия.
Под основными действиями понимают операции сложения, умножения, вычитания, деления, извлечения квадратного корня.
2. Метод геометрических мест точек
2.1 Понятие о геометрическом месте точек
Геометрическая фигура может быть задана различными способами: как пересечение или соединение данных фигур, путём указания определяющего её свойства, путем указания свойства, которым обладает каждая её точка, и т. п. Так, например, один и тот же отрезок СВ можно задать:
как пересечение лучей СM и ВN;
как диаметр одной окружности , перпендикулярный к данной прямой ;
как совокупность середин всех хорд окружности , параллельных прямой и другими способами.
Если фигура задана путем указания свойства, которым обладают все точки этой фигуры и только они, то такую фигуру называют геометрическим местом точек, обладающих указанным свойством.
Таким образом, геометрическим местом точек (ГМТ) плоскости, обладающих указанным свойством, называется фигура, состоящая из всех тех точек плоскости, которые обладают этим свойством.
2.2 Обзор простейших геометрических мест
Простейшие ГМТ на плоскости рассматриваются в школьном курсе геометрии. Перечислим важнейшие из них.
ГМТ 1. Окружность – геометрическое место точек, равноудаленных от точки, называемой центром окружности
ГМТ 1 (обратно). Все точки, равноудаленные от центра окружности лежат на окружности
ГМТ 2. Все точки, равноудаленные от сторон угла, лежат на его биссектрисе.
ГМТ 2 (обратно). Все точки, лежащие на биссектрисе равноудалены от сторон угла.
ГМТ 3. Все точки, равноудаленные от концов отрезка, лежат на серединном перпендикуляре к отрезку.
ГМТ 3 (обратно). Все точки, лежащие на серединном перпендикуляре, равноудалены от концов отрезка.
ГМТ (плоскости), равноудаленных от двух данных параллельных прямых (этой плоскости), есть прямая, параллельная данным прямым.
Для построения этого ГМТ проводят какую – либо прямую c, пересекающую данные прямые a и b, делят отрезок этой секущей, заключенный между данными прямыми, пополам и проводя искомую прямую через середину этого отрезка параллельно данным прямым.
Полученную прямую называют иногда средней линией данных параллельных прямых.
ГМТ (плоскости), равноудалённых от двух данных пересекающихся прямых (этой плоскости), представляет собой две взаимно перпендикулярные прямые, являющиеся биссектрисами углов, образованных данными прямыми.
Построение этого ГМТ сводится к элементарной задаче о делении данного угла пополам.
2.3 Гомотетия
1.Гомотетия является преобразованием подобия.
2. Гомотетия переводит прямую в прямую, окружность в окружность отрезок - в отрезок.
3. Гомотетия (k>0) переводит луч в сонаправленный луч.
4. Гомотетия сохраняет углы.
5. При k = 1 гомотетия переводит прямую, не проходящую через центр гомотетии О, в параллельную прямую, отрезок - в параллельный отрезок. Прямые, проходящие через центр гомотетии, отображаются на себя.
7. Преобразование, обратное гомотетии с коэффициентом k = 0, есть гомотетия с тем же центром гомотетии О и коэффициентом гомотетии .
8. Композиции двух гомотетий с общим коэффициентом О и коэффициентами и есть гомотетия с тем же центром О и коэффициентом k = .
Правило
Преобразование подобия с коэффициентом k есть композиция гомотетии с коэффициентом k и движения.
3.Метод подобия
При решении многих задач на построение применяется метод подобия, суть которого заключается в следующем: сначала строится фигура подобная данной, затем эта фигура увеличивается (уменьшается) в нужном отношении (т.е. строится подобная фигура), удовлетворяющая условию задачи.
Заключение
В исследовательской работе мы познакомились с алгебраическим и другими методами геометрических построений. Мы рассмотрели основные формулы для построения отрезков, установили критерий разрешимости задач. Алгебраический метод показывает тесную связь между алгеброй и геометрией.
В представленной исследовательской работе получены следующие результаты:
1) проведен анализ методов решения задач на построение; более подробно приведен анализ алгебраического метода.
2) рассмотрены решения задач с использованием данных методов;
3) установлен критерий разрешимости задач, решаемых алгебраическим методом;
4) приведены подробные примеры решения задач
5) созданы творческие проекты.
Данный материал может использоваться в качестве основы для элективного курса в классах физико-математического профиля, инженерно-технологического профиля, а также при подготовке к олимпиадам.
Геометрические построения могут сыграть серьезную роль в математической подготовке школьника. Ни один вид задач не дает, пожалуй, столько материала для развития математической инициативы и логических навыков учащегося, как геометрические задачи на построение. Эти задачи обычно не допускают стандартного подхода к ним и формального восприятия их учащимися. Задачи на построение удобны для закрепления теоретических знаний учащихся по любому разделу школьного курса геометрии. Решая геометрические задачи на построение, учащийся приобретает много полезных чертежных навыков.
Список используемой литературы
Факультативный курс по математике «Решение задач», авторы Шарыгин И.Ф., Голубев В.И., 1991 г.
Аргунов Б. И., Балк М.Б. Геометрические построения на плоскости.- М.: УЧПЕДГИЗ, 1955. –269с.
Четверухин Н.Ф. Методы геометрических построений.- М.: УЧПЕДИЗ, 1952.-147с.
Василевский А. Б. Обучение решению задач.- Минск : «Выcшая школа», 1979 .-191 с.
Сканави М.И.Сборник задач по математики для поступающих в вузы.- К.: «Канон»,1997.-582 с.
Погорелов А. В. Геометрия.- М.:«Наука»,-288 с.
Александров И., Сборник геометрических задач на построение, изд.18, М.,1950.- 254с.
Глаголев А.Н., Сборник геометрических задач на построение, М., 1986.-243
Зетель С.И., Геометрия линейки и циркуля, М., 1950.- 308
Кушнир И.А. Решение задач с помощью некоторых формул// математика в школе .- 1985.-354с
Геометрия. Атанасян Л.С. 10-11 класс
www.alleng.ru ;
www.math.ru;
http://sgpu-fmf.narod.ru;
www.geometria.ru/
www.a-geometry.narod.ru/