VI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Применение теоремы Чевы и Менелая при решении геометрических задач
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
«Прежде, чем думать о решении будущих задач, научитесь справляться с сегодняшними за наименьшее время и с большей эффективностью.»
Друкер П.
При решении мы сталкиваемся не только с проблемами поиска решений, но и выборе наиболее рационального способа решения задач.
В школьном учебнике геометрии Л.С. Атанасяна для 7-9 классов теорем Чевы и Менелая не изучаются. Однако применение теорем Чевы и Менелая помогает нам решать задачи повышенного уровня сложности более рационально, чем метод подобия и применения дополнительных построений.
Эти теоремы просты, интересны и лаконичны. Их можно применять как при решении задач профильного уровня, так и простых задач.
При подготовке к основному государственному экзамену и олимпиадам школьников по математике я встретился с задачами по геометрии, связанными с нахождением отношений длин отрезков и площадей в треугольнике, которые я не смог решить.
Проблема: Можно ли решить задачи, связанные с отношениями длин отрезков и площадей в треугольнике, без дополнительного построения?
Актуальность темы: данная тема является дополнением и углублением изученных в курсе геометрии свойств треугольника. Изучение данной темы является основательной и более глубокой подготовкой к Государственной Итоговой Аттестации и к олимпиадам. При решении задач с применением теорем Чевы и Менелая развивается уровень пространственного воображения и уровень логической культуры.
Объект исследования: решение геометрических задач, связанных с нахождением отношений длин отрезков и площадей в треугольнике.
Предмет исследования: теоремы Чевы и Менелая.
Цель исследования: ознакомление с теоремами Чевы и Менелая, применение теорем при решении геометрических задач, подготовка к Основному Государственному Экзамену и олимпиадам, проверить целесообразность применения теорем при решении задач
Задачи:
Выявить теоретические положения для доказательства теорем;
«Открыть» и систематизировать теоретический материал для доказательства теорем Чевы и Менелая;
Изучить состояние проблемы в школьной программе геометрии;
Проверить эффективность применения теорем при решении задач по сравнению с другими теоремами;
Сравнить способы решения задач традиционным способом и с использованием теорем Чевы и Менелая;
Собрать банк ключевых задач.
Научная новизна исследования состоит в том, чтобы доказать теоремы Чевы и Менелая разными способами.
Гипотеза: Знание теорем Чевы и Менелая один из способов простого и изящного решения сложных планиметрических задач.
Методы исследования:
Теоретический;
Общенаучный.
Историческая справка
Джованни Чева (рис.1)родился 7 декабря в 1647 году в Италии. Он окончил иезуитский колледж в Милане, после чего стал студентом Университета в Пизе , где позже и стал работать профессором математики. С 1686 года Чева работал в университете в Мантуе, оставаясь на этом посту до самого конца своей жизни. Большую часть жизни Чева изучал геометрию, стараясь возродить греческую геометрию; кроме того, сегодня его помнят и по изысканиям в области механики.
В 1678-м Чева опубликовал свою, ставшую знаменитой, теорему «О взаимно пересекающихся прямых» о синтетической геометрии треугольника; теорема эта впоследствии получила его имя - теорема Чевы. Теорема эта сегодня является классической теоремой геометрии треугольника. Кстати, отрезок, соединяющий вершину треугольника с некоторой точкой на противоположной стороне, называется чевианой - также по имени Джованни Чевы. Можно сказать, что эта теорема служит фундаментом всей геометрии треугольника. Джованни Чева умер 15 июня 1734 года, в возрасте 85 лет; смерть его последовала во время осады Мантуи франко-сардинской армией.
Менела́й Александри́йский (рис.2) (ок. 100 н. э.) — древнегреческий математик и астроном. Время его жизни и деятельности определяется приведёнными в «Алмагесте» Птолемея двумя астрономическими наблюдениями, которые Менелай произвёл в Риме в первом году царствования Траяна, то есть в 98 году н. э..
Менелаем были написаны не дошедшие до нас сочинения «О вычислении хорд» в 6 книгах, «Начала геометрии» в 3 книгах, «Книга о треугольнике», «Книга о заходах знаков зодиака».
Менелай изучал кривые высших порядков. Особенным его вниманием, по словам Паппа, пользовалась одна кривая, которая была названа им «необыкновенной линией». Какая это была кривая, из слов Паппа, однако же, определить нельзя. По мнению Поля Таннери, она представляла собой кривую, образующуюся при пересечении сферы и кругового цилиндра, радиус которого вдвое меньше радиуса сферы, а образующая проходит через центр. Эта кривая возникает в решении задачи об удвоении куба, принадлежащем Архиту Тарентскому, а из трактата братьев Бану Муса известно, что Менелай занимался этим решением.
Доказательства теоремы Чевы
Т еорема Чевы. Пусть точки А1 , В1, С1 лежат на сторонах ВС, АС и АВ треугольника АВС соответственно. Пусть отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке. Тогда
Доказательство. Пусть отрезки АА1, ВВ1 и
СС1 пересекаются в однойточке O. Проведем
через вершину B треугольника прямую a║AC
Пусть прямые АА1 и ВВ1 пересекают прямую a в точках M и N соответственно. Тогда из подобия треугольников АА1С и МА1В1 по двум углам ( как накрест лежащие и как вертикальные ) имеем:
А налогично из подобия треугольников АС1С и ВС1N по двум углам
( и – как пары накрест лежащих):
Наконец, из подобия треугольников OAC и OMN по двум углам
( и ) получаем
Перемножив соответственно правые и левые части выписанных равенств, получим необходимое равенство.
Достаточность. Пусть выполнено равенство. Покажем, что отрезки AA1, BB1 и CC1 проходят через одну точку.
Пусть O – точка пересечения отрезков AA1 и CC1 а C' – точка пересечения отрезка AB с лучом CO. Тогда из только что доказанного следует, что
С равнивая с условием теоремы, получим Следовательно, точки C' и C1 совпадают.
П редложим еще один способ доказательства теоремы Чевы, использующий понятие площади.
Доказательство. Пусть O – точка пересечения
AA1, BB1 и CC1. Опустим из вершин A и C
перпендикуляры на прямую BB1.
L и K – основания перпендикуляров.(рис.4)
Теорема доказана.
Вот еще один способ доказательства теоремы Чевы:
Доказательство.
Пусть точки A1, B1, C1 принадлежат одной прямой a.
Опустим из вершин треугольника ABC
перпендикуляры AA’, BB’, CC’ на эту прямую
( рис. 5). Треугольники AC1A’ и BC1B’ подобны и,
следовательно,
Аналогичным образом показывается, что и
Перемножая эти три равенства, будем иметь требуемое равенство.
Доказательства теоремы Менелая
Теорема Менелая. Пусть прямая пересекает треугольник ABC, причём C1 – точка пересечения со стороной AB, A1 – со стороной BC, B1 – с продолжением стороны AC.
Тогда выполняется равенство:
Д оказательство. Проведём через точку
C прямую CK параллельно AB
(K – точка пересечения с C1B1)
Теорема доказана.
Решение задач с помощью теоремы Чевы
Задача 1. Точки C1 и A1 делят стороны AB и BC треугольника ABC в отношении 1:2. Прямые CC1 и AA1 пересекаются в точке O. Найдите
З адача 2. Докажите, что прямые, проходящие через вершины треугольника и точки касания вписанной окружности пересекаются в одной точке, называемой точкой Жергона.
З адача 3. Докажите, что прямые, проходящие через вершины треугольника и точки касания вневписанных окружностей пересекаются в одной точке, называемой точкой Нагеля.
Решение задач с помощью теоремы Менелая
Задача 1. Точки В´ и С´ лежат на сторонах соответственно АС и АВ ∆АВС, причем АВ´:В´С=АС´:С´В. Прямые ВВ´ и СС´ пересекаются в точке О.
а) Доказать, что прямая АО делит пополам сторону ВС.
б) Найти отношение площади четырехугольника АВ´ОС´ к площади ∆АВС, если АВ´:В´С=АС´:С´=1:2.
Задача 2. На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты соответственно точки M и N так, что AM:MB=2:3, BN:NC=2:1. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O. Найти отношение CO:OM.
Сравнение решения задач с помощью теорем и другими способами
Задача 1. Доказать, что точка пересечения двух любых медиан треугольника делит каждую из этих медиан в отношении 2:1, считая от вершины.
З адача 2. Через середину К медианы ВМ треугольника АВС и вершину А проведена прямая, пересекающая сторону ВС в точке Р. Наудите отношение площади треугольника АВК к площади четырехугольника КРСМ.
Банк задач
Точка С1 и А1 делят стороны АВ и ВС треугольника АВС в отношении 1:2. Прямые СС1 и АА1 пересекаются в точке О. Найдите отношение, в котором прямая ВО делит сторону АС.
Точка А1 и В1 делят стороны ВС и АС треугольника АВС в отношениях 2:1 и 1:2. Прямые АА1 и ВВ1пересекаются в точке О. Площадь треугольника АВС равна 1. Найдите площадь треугольника. ОВС.
В треугольнике АВС точки D и К лежат соответственно на сторонах АВ и АС, отрезки ВК и CD пересекаются в точке О, при этом ВО : ОК = 3:2 и CO:OD =2:1. Найти в каком отношении точка К делит сторону АС, т.е. АК : КС.
Точка D и F лежат на сторонах ВС и АС треугольника АВС, отрезки AD и BF пересекаются в точке О. Известно, что AF:FC =3:2 и ВО = OF. Чему равно отношение BD:DC?
Площадь треугольника ABC равна 80. Биссектриса AD пересекает медиану BK в точке E, при этом BD:CD=1:3. Найдите площадь четырехугольника EDCK.
В треугольнике ABC на его медиане BM отмечена точка K так, что BK : KM = 4 : 1. Прямая AK пересекает сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника ABK к площади четырёхугольника KPCM.
Медиана BM и биссектриса AP треугольника ABC пересекаются в точке K, длина стороны AC относится к длине стороны AB как 9:7. Найдите отношение площади треугольника ABK к площади четырёхугольника KPCM.
В треугольнике АВС точка D на стороне ВС и точка F на стороне АС расположены так, что ВD:DC=3:2, AF:FC=3:4. Отрезки AD и BF пересекаются в точке Р. Найдите отношение АР:PD.
Заключение
Теоремы Чевы и Менелая казались сложными и непонятными на первый взгляд, но они оказались простыми и интересными.
Теоремы Чевы и Менелая находят применение в задачах, в которых присутствуют секущие прямые. Они не изучаются в курсе 7-9 классов. Но решение с помощью теорем Чевы и Менелая более рационально, чем решение другими способами.
Я считаю, что теоремы Чевы и Менелая должны быть включены в курс 7-9 классов, потому что они расширяют кругозор ученика, дают возможность решать задачи просто и легко.
Я думаю, что исследование, проведенное мной, поможет мне хорошо сдать экзамены.
Литература и ссылки
Смирнова, И.М. Материалы курса «Геометрия на профильном уровне обучения» : лекции 1-4/И.М. Смирнова, В.А. Смирнов.-Москва: Педагогический университет «Первое сентября», 2006.-76 с.
http://biozvezd.ru/dzhovanni-cheva
https://ru.wikipedia.org/wiki/Менелай_Александрийский
https://mathematics.ru/courses/planimetry/content/chapter14/section/paragraph1/theory.html
https://studopedia.ru/7_132766_okruzhnost-apolloniya.html
https://studopedia.ru/7_132764_teorema-menelaya-pryamaya-i-obratnaya.html
https://infourok.ru/primenenie-teorem-chevi-i-menelaya-pri-reshenii-zadach-ege-621402.html
http://www.geometry2006.narod.ru/Lessons/Lessons7-9.htm
Приложение
Рис. 1 Джованни Чева
Рис. 2 Менелай Александрийский
Анкетирование учащихся 9-ых классов.
Заключение анкетирования: На основе опроса учащихся 9-ых классов можно сделать вывод, что 63% учеников не знают теорему Менелая, 83% теорему Чевы. 29% Учащихся использовали теоремы Менелая и Чевы. Приблизительно половина учеников считают, что данные теоремы должны быть включены в школьный курс. Также после опроса было выявлено, что 71% учащихся решают задачи # 26 ОГЭ, связанные с отношением длин отрезков и площадей. Можно сказать, что ученики в основном не используют данные теоремы, так как не знают об их существовании.