VI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Задачи с параметром
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
В наше время каждый человек хочет получить престижную профессию, которая поможет обеспечить ему жизнь. Для этого уже в школьном возрасте нужно осваивать не только учебный материал, чтобы получить высокие баллы на ЕГЭ. Для каждого выпускника очень важно набрать большое количество баллов на ЕГЭ по математике, так как это влияет на шансы поступить в желаемый ВУЗ. Учебного времени не хватает для углубленной подготовки к заданиям высокого уровня сложности, одним из которых является задание с параметром, приемы и способы, решения которых в школьной программе практически не рассматриваются.
На многих факультетах ВУЗов нашей страны математика является профильным предметом, поэтому без баллов, полученных за решение задач с параметром, не обойтись. Большинство учеников задания с параметром даже не пробуют решать, считая, что задание слишком сложное. Поэтому я поставила перед собой задачу изучить данную тему, попробовать научиться решать задачи с параметром.
Объект исследования: задания контрольно-измерительных материалов единого государственного экзамена по математике прошлых лет, содержащие параметр, специальную литературу, направленную на подготовку учеников к решению задач с параметром
Предмет исследования: приемы и способы решения заданий с параметром
Цель данной работы: Научиться решать задачи с параметром
Задачи:
1. Изучить методы решения задач с параметрами
2. Приобрести опыт решения задач с параметрами
3. Освоить способы решения заданий с параметром
Поскольку в школьных учебниках нет определения параметра, я предлагаю взять за основу следующий его простейший вариант.
Определение. Параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству.
Что означает «решить задачу с параметром»?
Естественно, это зависит от вопроса в задаче. Если, например, требуется решить уравнение, неравенство, их систему или совокупность, то это означает предъявить обоснованный ответ либо для любого значения параметра, либо для значения параметра, принадлежащего заранее оговоренному множеству.
Если же требуется найти значения параметра, при которых множество решений уравнения, неравенства и т. д. удовлетворяет объявленному условию, то, очевидно, решение задачи и состоит в поиске указанных значений параметра.
Какие основные типы задач с параметрами?
Тип 1. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, которые необходимо решить либо для любого значения параметра (параметров), либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству.
Этот тип задач является базовым при овладении темой «Задачи с параметрами», поскольку вложенный труд предопределяет успех и при решении задач всех других основных типов.
Тип 2. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра (параметров).
Обращаю внимание на то, что при решении задач данного типа нет необходимости ни решать заданные уравнения, неравенства, их системы и совокупности и т. д., ни приводить эти решения; такая лишняя в большинстве случаев работа является тактической ошибкой, приводящей к неоправданным затратам времени. Однако не стоит абсолютизировать сказанное, так как иногда прямое решение в соответствии с типом 1 является единственным разумным путем получения ответа при решении задачи типа 2.
Тип 3. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения, неравенства, их системы и совокупности имеют заданное число решений (в частности, не имеют или имеют бесконечное множество решений).
Легко увидеть, что задачи типа 3 в каком-то смысле обратны задачам типа 2.
Тип 4. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.
Например, найти значения параметра, при которых:
1) уравнение выполняется для любого значения переменной из заданного промежутка;
2) множество решений первого уравнения является подмножеством множества решений второго уравнения и т. д.
Многообразие задач с параметром охватывает весь курс школьной математики (и алгебры, и геометрии), но подавляющая часть из них на выпускных и вступительных экзаменах относится к одному из четырех перечисленных типов, которые по этой причине названы основными.
Наиболее массовый класс задач с параметром — задачи с одной неизвестной и одним параметром. Каковы основные способы (методы) решения задач с параметром?
Способ I (аналитический). Это способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра. Иногда говорят, что это способ силового, в хорошем смысле «наглого» решения.
Комментарий. Аналитический способ решения задач с параметром есть самый трудный способ, требующий высокой грамотности и наибольших усилий по овладению им.
Способ II (графический). В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a) рассматриваются графики или в координатной плоскости (x; y), или в координатной плоскости (x; a).
Комментарий. Исключительная наглядность и красота графического способа решения задач с параметром настолько увлекает изучающих тему «Задачи с параметром», что они начинают игнорировать другие способы решения, забывая общеизвестный факт: для любого класса задач их авторы могут сформулировать такую, которая блестяще решается данным способом и с колоссальными трудностями остальными способами. Поэтому на начальной стадии изучения опасно начинать с графических приемов решения задач с параметром.
Способ III (решение относительно параметра). При решении этим способом переменные x и a принимаются равноправными и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признается более простым. После естественных упрощений возвращаемся к исходному смыслу переменных x и a и заканчиваем решение.
Существует ровно три генеральных метода решения задач 18:
Метод перебора — классический перебор вариантов. Например, когда выражение под модулем больше нуля и когда меньше;
Графический метод — привлечение чертежа. Во многих задачах 18 достаточно начертить графики функций — и решение становится очевидным;
Метод следствий — нестандартный и, как правило, самый изощренный. Если в исходном условии удастся подметить что-нибудь полезное, в дальнейшем можно значительно упростить решение всей задачи.
Решения задач с параметром
Алгебраические выражения
Задание №1
При каком значении параметра a значение выражения
равно 1,5?
Решение. Упростим данное выражение:
Приравниваем полученное выражение к числу 1,5.
Получим:
Ответ: 5.
Задание №2
Найдите все значения параметра p, при которых выражение
logp4+logp8 принимает значение 2,5.
Решение.
logp 4+logp 8=2,5
logp (4*8)=2,5
logp25=2,5
5logp2=2,5
logp2=0,5
p0,5=2
√p=2
p=4
Ответ:4
Уравнения
Задание №3
При каком значении параметра a решением уравнения
log3(5x-2)+log38=log3a является число x=1,4?
log3(5*1,4-2)+log38=log3a
log3(7-2)+log38=log3a
log35+log38=log3a
log3 (5*8)=log3a
a=40
Ответ: a=40.
Неравенства
Задание №4
При каких значениях параметра a решением неравенства
является множество (-11;-2)⋃ (8; + ∞)?
Решение.
Число x=8 должно обращать в 0 числитель или знаменатель, поэтому a-2*8=0 и a=16.
Проверяем: решением неравенства
является множество (-11;-2)⋃ (8; + ∞).
Ответ: 16.
Уравнения с модулем
Задание №5
Укажите все значения параметра a, при которых уравнение имеет единственное решение. Если таких значений a более одного, то в ответе запишите их сумму.
Решение.
Заметим, что график функции симметричен относительно прямой x=3. Поэтому если исходное уравнение имеет некоторое решение x1≠3, то решением также будет число x2=6-x1, отличное от числаx1, что противоречит единственности решения. Поэтому единственным решением может быть только решение x=3 при значении параметра a=0,5
Ответ: 0,5.
Функции
Задание №6
При каких значениях параметра a функция y=x3+5ax является нечётной?
Решение.
Нечётность означает, что y(x)= -y(-x) при всех x из области определения, то есть x3+5ax=-(-x)3-5a(-x);
x3+5ax=x3+5ax.
Равенство выполняется при любом значении параметра a.
Ответ: (-∞;+∞)
Задачи экзаменационного уровня
Задание №7
При каких значениях параметра уравнение имеет единственный корень?
Решение.
Используем следующую замену: . Тогда первоначальное уравнение принимает вид: Исходное уравнение будет иметь единственный корень в том случае, если у данного уравнения будет один положительный корень либо два корня, один из которых положительный, другой — отрицательный или равный нулю.
1) Дискриминант уравнения равен: . Один корень это уравнение будет иметь в том случае, если полученный дискриминант окажется равным нулю, то есть при . При этом корень — положителен. Данное значение нам подходит. Запомнили.
2) Рассматриваем случай, когда существует два корня, один из которых положителен, другой — неположителен. Условия, при которых эта ситуация реализуется, могут быть записаны следующим образом:
Ответ: .
Задание №8
Найдите все значения параметра , при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два решения.
Решение. Вместо во втором уравнении подставляем из первого, тогда второе уравнение системы принимает вид:
Обращаем внимание на то, что каждому найденному значению y будет соответствовать единственное значение x, такая пара (x;y) будет одним решением системы. Подставляя полученные выражения во второе уравнение системы, получаем два квадратичных уравнения: и . Дискриминант и того, и другого равен .
Нам нужно, чтобы у каждого из этих уравнений было по одному решению, тогда у исходной системы их будет два. Это условие выполняется в том случае, когда полученный дискриминант равен нулю.
Ответ: .
Задание №9
Найдите все значения , при каждом из которых уравнение имеет два корня.
Решение. Перепишем уравнение в виде:
Рассмотрим функцию:
При первый модуль раскрывается со знаком плюс, и функция принимает вид: . Очевидно, что при любом раскрытии модулей в итоге будет получаться линейная функция с коэффициентом , то есть эта функция на данном промежутке возрастает.
Рассмотрим теперь промежуток, на котором . В этом случае первый модуль раскрывается с минусом и функция принимает следующий вид: . Также легко видеть, что при любом раскрытии модулей в итоге будет получаться линейная функция с коэффициентом , то есть на этом промежутке функция убывает.
Итак, мы получили, что — точка минимума данной функции. А это означает, что для того, чтобы график данной функции пересекал ось OY в двух точках (то есть у исходного уравнения уравнения было два решения), значение функции в точке минимума должно быть меньше нуля. То есть имеет место неравенство: .
После несложных преобразований получаем:
Ответ(-∞;-24) ⋃ (18;+ ∞)
Задача № 10
Найдите все значения параметра a, при которых уравнение:
(2a – 1)x2 + ax + (2a – 3) =0 имеет не более одного корня.
Решение:
При 2a – 1 = 0 данное уравнение квадратным не является, поэтому случай a =1/2 разбираем отдельно.
Если a = 1/2, то уравнение принимает вид 1/2x – 2 = 0, оно имеет один корень.
Если a ≠ 1/2, то уравнение является квадратным; чтобы оно имело не более одного корня необходимо и достаточно, чтобы дискриминант был неположителен:
D = a2 – 4(2a – 1)(2a – 3) = -15a2 + 32a – 12;
Чтобы записать окончательный ответ, необходимо понять,
Задание № 11
Найти все значения параметра а , при каждом из которых уравнение = -ax +3a +2 имеет единственное решение.
Решение:
Будем решать это уравнение заменой переменных. Пусть = t , t ≥ 0 , тогда x = t2 + 8 и уравнение примет вид at2 + t + 5a – 2 = 0 . Теперь задача состоит в том, чтобы найти все а, при которых уравнение at2+ t + 5a – 2 = 0 имеет единственное неотрицательное решение. Это имеет место в следующих случаях.
Если а = 0, то уравнение имеет единственное решение t = 2.
Задание № 12
При каких значениях параметра b уравнение не имеет корней?
Заключение
При выполнении работы было изучено и проанализировано большое количество научно – популярной и учебной литературы по указанной теме.
Задачи с параметрами представляют существенную и важную часть содержания современного школьного математического образования. Они играют большую роль в формировании логического мышления и математической культуры учащихся. В школьных учебниках практически отсутствуют задачи с параметрами. В программе по математике про задачи с параметрами ничего не сказано. Материалы единого государственного экзамена, вступительные экзамены в вузы содержат уравнения и неравенства, содержащие параметры, методы решения которых не рассматриваются в школьном курсе обучения математике. Типов задач с параметрами огромное множество, и выпускник средней школы должен владеть методом решения хотя бы некоторых из них, чтобы набрать высокий балл при сдаче ЕГЭ по математике. Во многих школьных учебниках нет теории по решению таких задач.
Эта тема должна изучаться не только на элективных курсах и дополнительных занятиях, но и в школьной программе, так как она формирует логическое мышление и математическую культуру у школьников. Учащимся знания по этой теме помогут сдать Единый Государственный Экзамен и вступительные экзамены в ВУЗы.
Список используемой литературы
С. О. Иванов, Е. А. Войта, А. С. Ковалевская, Л.С. Ольховская «Математика учимся решать задачи с параметром подготовка к ЕГЭ» под редакцией Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова
А. И. Козко, В. С. Панферов, И. Н. Сергеев, В.Г. Чирский «Задачи с параметром» под редакцией А. Л. Семёнова, И. В. Ященко
«Математика подготовка к ГИА задания с параметром» под редакцией Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова
https://yourtutor.info/решение-задач-с-параметрами-из-егэ
http://открытыйурок.рф/статьи/631690/