VI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Удивительный мир многогранников
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Мое знакомство с многогранниками началось в пятом классе. На уроках мы учились строить изображения многогранников, определять количество вершин, граней и ребер, устанавливать соответствие между многогранником и его разверткой.
Я узнала о семействах многогранников: пирамидах, призмах и их свойствах. Приводя примеры из окружающего мира, где можно встретить многогранники, у меня возник вопрос: многогранники - это абстрактные геометрические тела или реальные объекты окружающего нас мира? Мне захотелось больше узнать о них. Безусловно, недостаточно узнавать и видеть многогранники в окружающем мире. Интересно уточнить их классификацию, разновидность, связь с другими науками и природой. Этим и обусловлен выбор темы моего исследования «Удивительный мир многогранников».
Цель исследования: познакомиться с видами многогранников, их применением в окружающем мире.
Объект исследования: многогранники.
Предмет исследования: многогранники и многогранные поверхности в окружающем мире.
Задачи:
- изучить исторический материал по данной теме;
- ознакомится с различными видами многогранников;
- рассмотреть область применения многогранников;
- изготовить модели многогранников.
Методы исследования: сбор информации, обработка данных, исследование, сравнение, анализ.
Виды многогранников
В течение многих веков математики проявляли живейший интерес к многогранникам. Интерес к ним обусловлен не только их красотой и оригинальностью, но и большой практической ценностью. Первые упоминания о многогранниках известны еще за три тысячи лет до нашей эры в Египте и Вавилоне.
Многогранником называется поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело. Многоугольники, из которых составлен многогранник, называются его гранями. Стороны граней – рёбра многогранника, а концы рёбер – вершины многогранника.
Бывают выпуклыми и невыпуклыми. Выпуклый многогранник расположен по одну сторону от плоскости каждой своей грани. Невыпуклый многогранник расположен по разные стороны от плоскости одной из его граней.
Правильные многогранники – это выпуклые многогранники, у которых все грани правильные и равные многоугольники. Одно из древнейших упоминаний о правильных многогранниках находится в трактате Платона (427-347 до н. э.) "Тимаус". Поэтому правильные многогранники также называются «платоновыми» телами. Оказывается, что правильных многогранников ровно пять - ни больше ни меньше. Ведь для того, чтобы получить какой-нибудь правильный многогранник, в каждой вершине, согласно его определению, должно сходиться одинаковое количество граней, каждая из которых является правильным многоугольником.
|
Название |
Внешний вид |
Описание |
|
Правильный тетраэдр |
Составлен из четырёх равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трёх треугольников. |
|
|
Правильный октаэдр |
Составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырёх треугольников. |
|
|
Правильный икосаэдр |
Составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. |
|
|
Куб (гексаэдр) |
Составлен из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трёх квадратов. |
|
|
Правильный додекаэдр |
Составлен из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников. |
Древнегреческий ученый Архимед (287 г. до н.э. – 212 г. до н.э.)обобщил понятие правильного многогранника и открыл новые математические объекты – полуправильные многогранники. Им подробно описаны 13 многогранников, которые позже в честь великого ученого были названы телами Архимеда. Множество архимедовых тел можно разбить на несколько групп. Первую из них составят пять многогранников, которые получаются из платоновых тел в результате их усечения. Так могут быть получены пять архимедовых тел: усечённый тетраэдр, усечённый гексаэдр (куб), усечённый октаэдр, усечённый додекаэдр и усечённый икосаэдр. Вторая группа архимедовых тел представлена двумя многогранниками, являющимися результатом пересечения двух платоновх тел подходящих размеров и расположенных так, что их центры совпадают. Это кубооктаэдр - результат пересечения куба и октаэдра и икосадодекаэдр - результат пересечения икосаэдра и додекаэдра. В результате усечения кубооктаэдра и икосододекаэдра получены следующие два многогранника – ромбокубооктаэдр и ромбоикосододекаэдр. Дальнейшее видоизменения могут превратить их в два других многогранника- усеченный кубооктаэдр и усеченный икосододекаэдр. Последние два архимедовых тел- «курносый» куб и «курносый» додекаэдр. Термин курносый означает, что каждую грань многогранника окружили треугольники, что каждое ребро заменили парой треугольников, а в каждой вершине добавили еще один многоугольник.
Кроме полуправильных многогранников из правильных многогранников - можно получить так называемые правильные звездчатые многогранники. Это правильные невыпуклые многогранники, у которых грани пересекаются. Их всего четыре. Иоганн Кеплер (1571 – 1630 гг.) - немецкий математик, астроном, оптик, для которого правильные многогранники были любимым предметом изучения, впервые описал малый звездчатый
додекаэдр и большой звездчатый додекаэдр. А спустя 200 лет Луи Пуансо Пуансо (1777-1859) построил большой икосаэдр и большой додекаэдр.
Многогранники вокруг нас
Многогранники в искусстве
Исторически математика играла важную роль в изобразительном искусстве.
Леонардо да Винчи (1452 — 1519) увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах.
П равильные многогранники - имели особое очарование для голландского художник Морица Корнилиса Эшера (1898-1972). Во многих его работах многогранники являются главной фигурой и в еще большем количестве работ они встречаются в качестве вспомогательных элементов. На гравюре "Четыре тела" он изобразил пересечение основных правильных многогранников, расположенных на одной оси симметрии, кроме этого многогранники выглядят полупрозрачными, и сквозь любой из них можно увидеть остальные.
Почтовые марки охватывают все значимые события в мире. Не обошли вниманием художники - филателисты и изображения многогранников. Почтовая марка, посвященная Леонарду Эйлеру с изображением икосаэдра, выпущена в 1983 г., в ГДР, к 200- летию ученого.
Н а выпущенной в 1980 году в Венгрии марке, изображен математик и астроном Иоганн Кеплер и его модель Вселенной на базе правильных многогранников.
Выпущенная в Монголии марка, содержит копию гравюры Альбрехта Дюрера «Меланхолия». Один из множества элементов гравюры многогранник – усеченная сверху и снизу призма.
Многогранники в архитектуре
И стория развития многогранников архитектуре уходит глубоко в историю. Многогранники начали использовать в архитектуре давно, более 7 тыс. лет. Великая пирамида в Гизе - эта грандиозная Египетская пирамида является древнейшим из семи чудес древности.
У Китая свои особенности использования многогранников в архитектуре. В основе лежит обязательно многогранник, который и служит основой для здания.
Многогранники не только придают прочность и устойчивость архитектурным сооружениям, но и красоту, изящество. Многие здания настолько красивы и сложны по своей форме, что требуют большого количества времени, сил. Современные архитекторы приобрели навык применения изящества, состоящие из множества сложных элементов, требующих большой работы.
П амятник правильным многогранникам в Германии
Стеклянная пирамида Лувра в Париже
З дание национальной библиотеки
г. Минск
Многогранники в химии и биологии
П равильные многогранники определяют форму кристаллических решеток некоторых химических веществ.Кристаллы многих металлов так же имеют форму куба (алюминий, серебро, свинец и др.)
Повареная соль
Интересно, что именно икосаэдр оказался в центре внимания биологов. Чтобы установить форму вируса, брали различные многогранники, направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень – икосаэдр.
В ирус краснухи
Вирус ветряной оспы
Бактериофаг
Многогранники в природе
Правильные многогранники – самые выгодные фигуры, поэтому они широко распространены в природе.
Построенные пчелами соты представляют собой правильные шестиугольные призмы.
С древности люди пытались описать все возможные типы снежинок, составляли специальные атласы. Сейчас известно несколько тысяч различных типов снежинок. Снежинки - это звездчатые многогранники.
Мир кристаллов - мир не менее красивый и разнообразный. С кристаллами человечество познакомилось в глубокой древности. Связано это, в первую очередь, с их часто реализующейся в природе способностью самоограняться, т. е. самопроизвольно принимать форму изумительных по совершенству полиэдров. Даже современный человек, впервые столкнувшись с природными кристаллами, чаще всего не верит, что эти многогранники не являются делом рук искусного мастера.
Кристалл алмаза Кристалл рубина
Кристалл можно вырастить в домашних условиях.
Растворить соль в теплой воде. (Можно использовать поваренную соль (тогда кристалл будет прозрачный), но более красивый кристалл получается при использовании медного купороса (тогда кристалл будет синим). Можно использовать и другие вещества (сахар и различные соли)).
Когда соль перестанет растворяться в вашем растворе (получится перенасыщенный раствор), перелить его в другую емкость (лучше всего в прозрачную, так как тогда вы сможете легче наблюдать за ростом кристалла).
Опустить в раствор нитку с кристалликом соли на конце (это «затравка» для роста большого кристалла) и зафиксировать так, чтобы он не касался стенок и дна сосуда.
Постепенно наш кристалл будет расти и, когда он достигнет нужного размера, аккуратно вытащите его и обсушите.
Многогранники в географии
В географии – многогранники занимают важное место в исследовании залежей полезных ископаемых, которые тянутся вдоль икосаэдровододекаэдровой сетки.
Многогранники в жизни человека
С многогранниками мы знакомы с детских лет. О них напоминают окружающие нас предметы: кирпич, комната, книга, аквариум, различные упаковки и др.
Головоломки
Футбольный мяч
В современном мире многие предметы интерьера имеют формы многогранников.
Многогранники очень декоративны, что позволяет широко применять их в ювелирной промышленности при изготовлении всевозможных украшений.
Многогранники и профессии
Ювелир. Назначение огранки - максимально выявить красоту ограненного камня, помочь продемонстрировать присущие ему свойства. Для цветных камней главным является цвет, а для бесцветных - сверкание и «игра». Стеклодув – это мастер, создающий изделия из разогретой стеклянной массы путём выдувания. Примеры многогранников: граненая посуда, граненые кувшины.
Плотник — профессия связана с механической обработкой дерева и превращением необработанной древесины в детали, конструкции и стройматериалы.
Слесарь — специалист по ручной (без использования станков) обработке металлов, включая операции по сборке и разборке на производстве или в быту.
Скульптор – это художник, занимающийся созданием скульптур, то есть произведений объемно-пространственной формы, трехмерных и осязаемых.
Модели многогранников
Практическим этапом моей работы стало изготовление моделей многогранников. Процесс изготовления моделей оказался очень увлекательным. Модели выполнены из разверток и в технике оригами.
Создание моделей правильных многогранников с помощью разверток
Чаще всего при создании моделей многогранников из плоских разверток используют такие развертки, в которых грани прилегают друг к другу ребрами, а модель строится путем загибания развертки вдоль ребер. Например, при создании моделей правильных многогранников чаще всего используют следующие развертки.
Создание моделей многогранников методами оригами
Сегодня оригами переживает очередную волну интереса. Появились новые направления оригами и области его применения. Так, математики открыли множество возможностей для решения геометрических и топологических задач. Архитекторы и строители увидели в оригамном конструировании возможности для создания многогранных структур из плоского листа. Из бумаги можно построить удивительные конструкции.
Заключение
При написании исследовательской работы я изучила дополнительную литературу и расширила свои знания по данному вопросу: узнала, что многогранники имеют красивые формы, они обладают богатой историей, познакомилась с видами многогранников. Решая поставленную проблему, я убедилась, что многогранники – это не просто геометрические тела, они окружают нас в жизни, в природе, в искусстве, архитектуре, науке. Многогранник – это величайшее открытие человечества. Систематизировав полученную информацию, я заметила, что в окружающем мире преобладают правильные многогранники.
Практическим этапом моей работы стало изготовление моделей многогранников. Процесс изготовления моделей оказался очень увлекательным. Модели выполнены из разверток и в технике оригами.
Считаю, что полученные в ходе исследования знания и навыки пригодятся мне в старших классах при изучении темы «Многогранники». А выполненные мною модели могут быть использованы на уроках математики, химии, биологии и факультативных занятиях как наглядный материал.
Цель моей работы достигнута.
Список литературы и Интернет – ресурсов
Бунимович Е.А.Математика 6. – М.: Просвещение, 2016
Ворошилов А.В. Математика и искусство. - М.: Просвещение, 1992
Шарыгин И. Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия. Учебное пособие для V – VI классов. – М: Мирос 1992.
Энциклопедия для детей. Я познаю мир. Математика. – М: Издательство АСТ, 1999
Мир многогранников http://www.sch57.msk.ru:8101/collect/smogl.htm
История математики http://mschool.kubsu.ru/
http://origamisan.com.