VII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Численное моделирование полета тела в поле силы тяготения с учетом сопротивления среды
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Для экспериментального исследования законов аэродинамики используется один из двух подходов: либо летательный аппарат, оборудованный соответствующей измерительной аппаратурой, совершает полет, либо неподвижное тело, оборудованное измерительными датчиками, обтекается воздушным потоком.
Практически все экспериментальные исследования аэродинамических явлений проводятся на маломасштабных моделях, а затем переносятся в натурные условия. Выбор метода аэродинамического исследования зависит от его цели, однако наиболее простым, дешевым и надежным средством экспериментальных исследований является аэродинамическая труба.
Модель выставляется в искусственно создаваемый воздушный поток таким образом, чтобы можно было измерить действующие на нее силы и моменты сил или исследовать особенности течения около модели. Летные испытания используются главным образом для окончательной проверки расчетных данных теории и результатов испытаний в аэродинамических трубах. Еще одним способом, используемым в некоторых специальных исследованиях, является испытание моделей в свободном полете. Модель выстреливается в длинную трубу, в которой давление может изменяться в широком диапазоне. Скорость движения модели определяется посредством сопоставления фотоснимков, полученных в различные моменты времени, а распределения температур и давлений телеметрическими средствами передаются на регистрирующий блок. В таких испытаниях можно исследовать проблемы устойчивости полета.
В задачах физики, решаемых в средней школе, как правило, не учитывается сила сопротивления воздуха, которая считается пренебрежимо маленькой. Однако, это не так.
Плотность воздуха зависит от многих параметров: температуры, давления, молекулярного состава, не говоря о воздушных течениях. Поэтому вопросы, связанные с расчетом воздушных потоков, всегда считаются наиболее сложными. Конечно, сейчас существует возможность расчета с помощью специальных программ (SolidWorks, FlowVision) и более простых. Все они достаточно дорогостоящие и недоступные для учащихся.
Целью моей работы стало изучение силы сопротивления окружающей среды и ее влияние на траекторию полета тела в поле силы тяготения.
Объектом изучения является падение тела в поле силы тяготения.
Предметом изучения будет сила сопротивления и ее влияние на полет тела.
Задачи, подлежащие решению:
Изучить различие сопротивления в разных средах;
Изучили факторы, от которых зависит сопротивление воздуха;
Разработать математическую модель падения тела с учетом силы сопротивления;
Разработать программу для расчета падения тела с учетом силы сопротивления;
Произвести расчеты траектории падения тела.
Гипотеза: сопротивление окружающей среды оказывает значительное влияние на траекторию падающего тела и пренебрегать ей в конкретных расчетах недопустимо.
МЕТОДЫ ИЗУЧЕНИЯ В АЭРОДИНАМИКЕ.
Аэродинамика – наука о движении воздуха и о механическом взаимодействии между воздушным потоком и обтекаемыми телами. Основная задача, решаемая аэродинамикой, состоит в определении сил и моментов, действующих на самолет и его части в тех или иных условиях полета.
В зависимости от метода изучения аэродинамику делят на теоретическую и экспериментальную. В теоретической аэродинамике для изучения явлений используют средства математики. Сложные явления схематизируются и упрощаются. Экспериментальная аэродинамика изучает те же явления на основе наблюдения, натурных экспериментов или моделирования явлении в аэродинамических лабораториях. Оба направления обогащают и дополняют друг друга, и служат основой для расчета различных технических устройств (парашютов, крыла самолета, форм автомобиля).
Основная среда, которая изучается в аэродинамике – воздух.
Воздух представляет собой смесь различных газов. В нем находится 78% азота, 21% кислорода и около 1% других газов. Кроме того, в воздухе содержатся водяные пары. Физико-механическое состояние воздуха характеризуется следующими параметрами: температурой, давлением, массовой плотностью, относительной плотностью, вязкостью и сжимаемостью. Температурой называется степень нагретости тела. Она характеризует скорость хаотического (теплового) движения молекул вещества: чем больше температура, тем быстрее движутся молекулы, и наоборот. Существует две основные шкалы для измерения температуры: шкала Цельсия и абсолютная шкала. Температура в градусах Цельсия обозначается – °С, а в градусах абсолютной шкалы – Т, град. Связь между ними выражается формулой. Воздух обладает большим количеством индивидуальных особенностей: сжимаемостью, плотностью, трением и т.д.
Воздух обладает массой, поэтому его вышележащие слои оказывают давление на нижележащие. Молекулы воздуха, как известно, находятся в непрерывном хаотическом движении и, ударяясь друг о друга или о какие-либо преграды, также создают некоторое давление. Давление, вызываемое массой вышележащих слоев воздуха и ударами хаотически движущихся молекул, называют атмосферным давлением.
2.КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ЧИСЛЕННЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ
Рассмотрим следующую задачу:
«Парашютист прыгнул с самолёта, летящего со скоростью 180 км/ч, на высоте 1300 м и раскрыл парашют на высоте 600 м. Сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости, а коэффициент зависит от массы и формы тела (для человека среднего веса и роста ).
Определить время падения парашютиста до момента раскрытия парашюта, зависимости скорости и перемещения от времени и траектории полёта.»
Построение математическая модели.
Исходные предположения.
Начальная скорость парашютиста равна скорости самолёта, то есть парашютист вываливается из самолёта.
Нет ветра, следовательно движение происходит в одной плоскости.
Поверхность земли плоская.
Всякое механическое движение можно рассматривать как сумму двух независимых движений: горизонтального и вертикального, что реализуется введением двух осей координат: OX и OY.
Анализ сил, действующих на парашютиста в точке с координатами X и Y
П о II второму закону Ньютона
экспериментально установлено, что при малых скоростях силы сопротивления Fсопр=k1v
k1 – коэффициент сопротивления, определяется свойствами среды и формы тела.
Сопротивление воздуха зависит от четырех факторов:
1) РАЗМЕР движущегося предмета. Большой объект, очевидно, получит большее сопротивление, чем маленький.
2) ФОРМА движущегося тела. Плоская пластина определенной площади будет оказывать гораздо большее сопротивление ветру, чем обтекаемое тело (форма капли), имеющее ту же площадь сечения для такого же ветра, реально в 25 раз большее! Круглый предмет находится где-то посередине. (Это и есть причина, по которой корпуса всех автомобилей, самолетов и парапланов имеют по возможности скругленную или каплевидную форму: она уменьшает сопротивление воздуха и позволяет двигаться быстрее при меньших усилиях на двигатель, а значит, при меньших затратах топлива).
3) ПЛОТНОСТЬ ВОЗДУХА. Нам уже известно, что один кубический метр весит около 1,3 кг на уровне моря, и, чем выше вы поднимаетесь, тем менее плотным становится воздух. Эта разница может играть некоторую практическую роль при взлете только очень с большой высоты.
4) СКОРОСТЬ. Каждый из трех рассмотренных до сих пор факторов дает пропорциональный вклад в воздушное сопротивление: если вы увеличиваете один из них вдвое, сопротивление также удваивается; если вы уменьшаете любой из них в два раза, сопротивление падает наполовину.
Сопротивление воздуха равно половине плотности воздуха, умноженной на коэффициент сопротивления, умноженной на площадь сечения и умноженной на квадрат скорости.
Введем следующие символы: D — сопротивление воздуха; р — плотность воздуха; А — площадь сечения; cd — коэффициент сопротивления; υ — скорость воздуха.
Теперь имеем: D = 1/2 х р х cd x A x υ 2
При более высоких скоростях: Fсопр=k2v2
Если k2v2>>k1v, то влиянием k1v можно пренебречь и k=k2
Тогда , где единичный вектор, определяющий направление скорости.
Анализ размерности
;
Разложим силу на горизонтальную и вертикальную составляющие и получим:
, т. к. угол = 0,
ox: ,
,
Если же угол наклона вектора скорости к линии горизонта 0, то начальная скорость
Начальные условия: , , ;
Построение компьютерной модели
Для построения компьютерной модели я использовал электронные таблицы Exсel и среду программирования Pascal ABC.
Преобразовал исходные формулы и заполнил таблицу.
Составил алгоритм и программу на Паскале. Текст программы приведён в Приложении. Тестирование модели для случая, когда сопротивление среды отсутствует, k=0, показало, что результат согласуется с теоретическими данными. Траекторией падения при k=0 является парабола. В результате численного эксперимента для k=0,004 получил таблицы расчётов и графики, приведённые в Приложении.
Выбор шага и оценка погрешности
Как оценить точность полученного решения? Исходя из каких соображений устанавливать величину шага? Существуют строгие математические методы оценки погрешности вычислений. Я воспользовался простым приёмом, часто применяемым на практике. Уменьшая t в 2 раза рассмотрим значения высоты тела через 20 секунд после начала падения.
При уменьшении шага от 0,02 до 0,01 значения высоты отличаются всего на 6 см. Следовательно, t =0,01 можно считать приемлемым. Не стоит стремиться выбрать шаг как можно меньше, т. к. чем меньше шаг, тем больше вычислений выполняет компьютер при расчётах, а т. к. каждое значение округляется, то погрешность вычислений в этом случае увеличивается.
Выводы
Проведено исследование движения тела под действием силы тяжести и силы сопротивления. Все поставленные цели достигнуты. Получены графики зависимостей скорости, перемещения и траектории движения при различных начальных условиях, коэффициентах сопротивления, начальной скорости, угла наклона скорости к линии горизонта и первоначальной высоты.
Анализ полученных результатов позволяет сделать следующие выводы:
Движение под действием силы тяжести в воздухе отличается от свободного падения в вакууме (при k=0).
Траектория падения тела в воздухе не является параболой.
Какой бы не была начальная скорость и как бы не была она направлена, через некоторое время движение под действием силы тяжести в среде с сопротивлением становится практически вертикальным и равномерным.
Скорость такого почти равномерного движения не зависит ни от начального положения, ни от величины начальной скорости, ни от ее направления.
Расстояние, проходимое телом в горизонтальном направлении, всегда ограничено. Его предельное значение зависит лишь от начальной скорости и угла наклона и не зависит от начальной высоты движущегося тела.
Конечно, интересно, чем определяется конечная скорость – ведь из эксперимента следует, что она остается постоянной для данного тела. Догадаться, глядя лишь на получающееся числовое значение, довольно трудно. Но поскольку я не менял величину земного ускорения g и наблюдал, как изменился график при увеличении коэффициента сопротивления k, можно предположить, что именно они отвечают за предельное значение скорости на излете.
Все полученные результаты можно отнести только к несжимаемым средам.
Численные эксперименты, проведенные с использованием моделей, построенных по различным компьютерным технологиям, показали одинаковые результаты.
Применение табличного процессора Excel требует меньших затрат времени, а программирование на Паскале – более глубокого понимания вычислительных методов, применяемых к непрерывным физическим процессам.
Список использованной литературы
Герасимов С.А. Об автомодельности аэродинамического сопротивления. // Вестник машиностроения. 2007. № 1. С. 34-35.
Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 2. - М.: «Лань», 2004. - 560 с.
Петров К.П. Аэродинамика тел простейших форм. - М.: «Факториал», 1998. - 432 с.
Sovran G., Morel T., Mason W.T. Aerodynamic Drag Mechanisms of Bluff Bodies and Road Vehicles. - New York: Plenum Press, 1978. - 360 p.
Pivit R. Measuring Aerodynamic Drag. // Radfahren. 1990. V. 2. P. 44-49.
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. - М.: Физматлит, 2006. 736 с.
Благодарный В.В. Маятник Максвелла в опытах по аэродинамике. // Учебная физика. 2007. № 1. С. 103-106.