Применение анизотропии ячеек Штейнера в новых композиционных материалах

VII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Применение анизотропии ячеек Штейнера в новых композиционных материалах

Драцкая А.И. 1
1МБОУ "Гимназия №5" городского округа Королёв (мкр. Юбилейный) Московской обл.
Скворцова А.А. 1
1НИУ "Московский авиационный институт", факультет "Робототехнические системы", Гимназия 5
Автор работы награжден дипломом победителя I степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

Я делаю новый композиционный материал, глядя на мыльные плёнки. Они самые лёгкие и прочные, поэтому такая форма должна быть у арматуры перед заливкой наполнителем. Я показала решение задачи самого лёгкого армирования не только квадрата, как у Штейнера, но и куба – это 13 отрезков [1,2]. Арматурные ячейки Штейнера по-разному изгибаются в разных направлениях. Я начала изучать анизотропию жёсткости, получила числа. По этим данным я изготовила несколько образцов композиционного материала. Для этого я предложила технологию эпоксидного литья в парафиновые формы. Моими результатами заинтересовались строители (Бронзовая медаль НИУ МГСУ), инноваторы (приз 10000 рублей) и металлурги (приглашение на выставку МеталлЭкспо-2019). Лауреат конкурса им. В.И.Вернадского 2019. Хочу изучить не только плоские, но и объёмные ячейки композиционного материала. Цель работы - создание нового лёгкого и прочного композиционного материала. В этой работе я изучаю арматурный каркас без наполнителя. Моей задачей было сделать каркас как можно легче. Каркас композиционного материала состоит из ячеек. Пока я изучаю только квадратные и кубические ячейки. Математическая задача для квадратной ячейки известна – это задача Штейнера о соединении четырёх вершин квадрата самой короткой линией. Решение – пять отрезков. Я получила это решение совершенно новым способом, глядя сбоку на мыльные плёнки на кубическом каркасе. Задача заключается в соединении множества самых лёгких ячеек Штейнера в одну конструкцию. Сначала нужно было соединить квадратные ячейки. Ячейка Штейнера похожа на жучка, поэтому две ячейки можно соединить двумя способами. Жёсткость и гибкость ячейки Штейнера разная в различных направлениях. Это свойство анизотропии жёсткости. Для достижения цели работы мне нужно было узнать и выразить в числах жёсткость и гибкость ячейки в разных направлениях. После этого надо было проверить правильность расчётов и сделать модель арматуры нового композиционного материала. Всё это я выполнила. Появились новые задачи.

Основная часть

Два года я решала задачу о соединении четырёх вершин квадрата самой короткой линией. Это математическая задача Штейнера. Я предложила новый способ решения этой задачи с помощью мыльных плёнок. Если посмотреть на мыльные плёнки на кубическом каркасе, то сразу видно решение этой задачи из пяти отрезков. Это квадратная ячейка Штейнера. Потом я решила задачу о соединении восьми вершин куба самой короткой линией. Сначала была гипотеза, что такая линия содержит 12 отрезков, потому что это показывали мыльные плёнки на кубическом каркасе. Но потом я поняла, что мыльные плёнки могут натягиваться по поверхностям, но не могут превратиться в тонкие линии, иначе сразу порвутся. Физическая модель не смогла показать правильное математическое решение. До него пришлось догадаться с помощью мыльных плёнок и уже известной квадратной ячейки Штейнера. Получилась линия из 13 отрезков, а не из 12, как показывали мыльные плёнки. Полученное решение я назвала кубической ячейкой Штейнера.

Потом я стала изучать физические свойства ячеек Штейнера. Квадратная ячейка Штейнера – это 5 отрезков, которые соединяют 4 вершины квадрата самой короткой линией, она показана на рис.1. Полученные короткие линии не полностью симметричны. Это значит, что ячейка Штейнера анизотропна по прочности и жёсткости. В разных направлениях она по-разному будет изгибаться.

Цель моей работы – создание нового легкого и прочного композиционного материала. Несколько моделей нового материала я изготовила, испытала и много раз показывала на разных конференциях. Для следующей работы мне понадобилось изучить прочность и жёсткость ячейки Штейнера в разных направлениях.

Ячейка Штейнера – это силовая арматура или ниточки, которые надо залить эпоксидной смолой. Арматура будет самой лёгкой, потому что ячейка Штейнера самая короткая. Это математическая основа нового лёгкого композиционного материала.

Новая задача – как соединить множество ячеек Штейнера между собой в новом материале. Для кубической ячейки я доказала, что существует три способа соединения двух ячеек. В этой работе я изучаю только квадратную ячейку. Две квадратные ячейки можно соединить двумя способами, прочность и жёсткость материала будет различной.

Рис.1. Соединение ячеек Штейнера в арматуру

На рис.1 показана одна квадратная ячейка Штейнера. Я спаяла из проволоки много таких ячеек, а потом соединила их по-разному. Я изучила три арматуры композиционного материала. В первой арматуре все перемычки лежат на одной линии, во второй расположены поперечно, в третьей чередуются. Есть много других вариантов, но их я пока не изучала.

Задача: изучить жёсткость и гибкость всех соединений и одной ячейки Штейнера в разных направлениях.

Для решения этой задачи я зажимала по очереди каждую конструкцию в штатив за один конец цепочки, а другой конец нагружала подвешиванием разного числа гаек на ниточке, измеряла прогиб линейкой. Школьные грузы с весом по 1 Н оказались очень тяжёлыми, потому что от них цепочки очень сильно прогибались. Я стала нагружать цепочки гайками М8. Сначала надо было определить массу одной гайки. Для этого я взвесила 50 гаек, весы показали 227 г. Потом 227 г поделила на 50 и получила массу одной гайки приблизительно 4,5 г. Я нанизывала гайки на ниточку и подвешивала к концу цепочки. На рис.2 показана схема лабораторной установки с цепочкой, штативом и гайками на ниточке. Прогиб цепочки измеряла школьной линейкой.

Рис.2. Лабораторная установка для измерения прогиба цепочек

Я записала результаты в таблицу, перенесла в компьютер, вычислила жёсткость и гибкость в программе EXCEL, там же строила графики, определила ошибки, а потом делала выводы. На рис.3 показаны графики прогиба каждой из трёх конструкций арматуры в двух направлениях: плашмя и рёбрами вверх.

Рис.3. Испытание трёх цепочек арматуры в двух направлениях нагрузки

Цель моей работы заключается в практическом применении анизотропии гибкости и жёсткости, поэтому я изучила полученные графики. Сначала я выбрала три графики, когда цепочки арматуры были закреплены рёбрами вверх, то есть самым жёстким способом. В таком положении прогиб цепочек был самым маленьким, но зависел от подвешенных грузов. На рис.4. Показаны графики прогиба трёх цепочек арматуры в самом жёстком направлении, когда рёбра направлены вверх. Цепочки арматуры изгибались по-разному в зависимости от положения в них ячеек Штейнера. Самая жёсткая цепочка с перемычками поперёк её линии прогнулась всего на 3 мм, при максимальной нагрузке, когда к её концу я подвесила 15 гаем М8. Самая гибкая цепочка с перемычками вдоль её линии прогнулась на 16 мм от пятнадцати гаек. Большое различие в прогибе цепочек доказало, что ячейки Штейнера в арматуре по-разному изгибаются в разных направлениях. Сразу появилась задача о создании цепочки арматуры с наперёд заданной гибкостью. Если ячейки Штейнера в цепочке чередовать перемычками вдоль-поперёк, то получится арматура со средней гибкостью. Так оно и получилось на практике. Это средний график, на котором цепочка прогнулась на 8 мм от пятнадцати гаек.

Рис.4. Большая анизотропия, гибкость различается в 5-7 раз

После этого я повернула каждую из проволочных цепочек на 90 градусов и повторила испытания на гибкость. Графики испытаний показаны на рис.5. Теперь цепочки располагались плашмя, были очень гибкими, поэтому обладали маленькой жёсткостью, прогибались сильнее. Даже самая жёсткая цепочка в положении плашмя прогнулась на 25 мм от пятнадцати гаек М8, а самая гибкая цепочка прогнулась на 38 мм. Это означает, что в направлении плашмя анизотропия гибкости и жёсткости ячеек Штейнера маленькая, потому что различие в прогибе всего в 1,5 раза. Для средней цепочки с чередованием перемычек в ячейках Штейнера вдоль-поперёк гибкость оказалась промежуточной, цепочка арматуры прогнулась на 30 мм от пятнадцати гаек.

Рис.5. Малая анизотропия, гибкость различается в 1.5 раза

После доказательства анизотропии гибкости и жёсткости ячеек Штейнера я сравнила в числах прогиб цепочек арматуры в двух направлениях: плашмя – большой прогиб, рёбрами вверх – малый прогиб. На рис.6 графики расположены парами. На каждом графике показаны свойства гибкости одной и той же цепочки арматуры в двух направлениях. Анизотропия гибкости очень большая, на первом графике гибкость различается в 12 раз. Первый график самый важный, потому что показывает, как надо располагать жёсткую цепочку, чтобы прогиб был самый маленький. Рёбрами вверх.

Рис.6. Гибкость при повороте цепочек на 90 градусов

Я провела шесть серий испытаний для трёх арматурных цепочек, для каждой цепочки в двух направлениях. В каждой серии испытаний было по 15 измерений, потому что больше гаек М8 подвешивать было нельзя, цепочки могли распаяться. Числовые данные я записала на классной доске, а потом перенесла на компьютер. Каждую серию измерений я обработала в программе Excel. На рис.7 для примера показана только одна таблица из шести, в которой записаны прогибы самой жёсткой арматурной цепочки (перемычки поперёк) в самом жёстком направлении (рёбрами вверх). В первом столбике показано число гаек, от нуля до пятнадцати. Во втором столбике показан прогиб арматурной цепочки в мм. Это очень жёсткая цепочка и очень жёсткое направление, потому что прогиб был всего 3 мм от пятнадцати гаек. В третьем столбике показан груз в граммах, одна гайка – 4,54 г. В четвёртом столбике показан вес в ньютонах, 1 Н соответствует 102 г, поэтому числа из третьего столбика поделила на 102. В пятом столбике показан вес груза в мН, поэтому числа в четвёртом столбике умножила на 1000. В шестом столбике показана жёсткость, поделила силу на прогиб, Н/м, или, что то же самое, мН/мм. Нашла среднюю величину – всё сложила и поделила на число опытов. На 0 делить нельзя, поэтому первые три строчки пустые. Поделила 1 на жёсткость и получила гибкость в мм/мН, но потом маленькое число удобно умножить на 1000 и работать в мм/Н, потому что от 1 Н цепочка прогнётся в 1000 раз сильнее, чем от 1 мН.

Рис.7. Пример компьютерной обработки результатов опыта

После компьютерных вычислений я нарисовала одну арматурную ячейку Штейнера и показала, как она изгибается в различных направлениях. Всего у ячейки Штейнера 4 гибкости, потому что её можно изгибать в четырёх направлениях. Два направления плашмя не очень важные, но могут понадобиться потом. Другие два направления рёбрами вверх очень важные, анизотропию гибкости и жёсткости можно применять сейчас на практике. Я уже изготовила несколько образцов новых композиционных с квадратными ячейками Штейнера. У новых материалов различная гибкость. Я смогла предсказать гибкость новых композиционных материалов. На рис.8 показана одна арматурная ячейка Штейнера и её гибкости в разных направлениях. На этом рисунке ячейка закрепляется жёстко на одной стороне квадрата, а сила прикладывается на другой стороне. В положении плашмя анизотропия гибкости слабая 7,8-9,7 мм/Н. Настолько мм прогнётся одна ячейка от силы 1 Н в положении плашмя. Гибкость различается меньше чем в 1,5 раза. Зато в положении рёбрами вверх анизотропия гибкости очень большая 0,6-4,0 мм/Н. В этом направлении гибкость различается в 7 раз.

Рис.8. Анизотропия гибкости квадратной ячейки Штейнера

У меня есть гибкости и жёсткости одной ячейки Штейнера. Теперь я могу создавать арматуру с заранее заданными свойствами. На рис.9 показаны три моих арматурных цепочки в положении рёбрами вверх, нагрузка прикладывалась параллельно рёбрам, как показано на рисунке. Эти цепочки уже были испытаны на прогиб подвешиванием грузов из гаек М8. В каждой цепочке 6 ячеек. В первой цепочке ячейки расположены перемычками вдоль линии цепочки. Прогиб всей цепочки я поделила на 6. То же самое сделала с цепочкой, в которой перемычки расположены поперёк. В третьей цепочке я теоретически вычислила прогиб по этим данным, а потом сравнила с опытными результатами. Ошибка около 30%. Школьная линейка имеет ошибку 4%. Ещё накапливались ошибки от других причин, поэтому результат хороший.

Рис.9. Арматура с заранее заданными свойствами.

Точно так же я предсказала свойства арматурных цепочек в положении плашмя, показанные на рис.10. Ошибка не превзошла 40%.

Рис.10. Расположение арматуры плашмя

Я практически применила полученные результаты для создания новых композиционных материалов, разработала технологию эпоксидного литься в парафиновую форму, показанную на рис.11.

Рис.11. Технология эпоксидного литья в парафиновую форму

1. Расплавила парафиновые свечи в баночке с горячей водой.

2. Вылила расплавленный парафин в форму, коробочку или ящичек.

3. Подождала, пока парафин остынет и затвердеет.

4. Сверлом и отвёрткой проделала канавки в форме ячеек Штейнера.

5. Подготовила эпоксидную смолу с отвердителем в отношении 10:1.

6. Уложила в канавки капроновые нити, можно без них для примера.

7. Залила эпоксидную смолу с отвердителем в канавки.

8. Подождала сутки, пока эпоксидная смола застынет.

9. Опустила лоток с парафином и застывшей смолой в горячую воду.

10. Парафин расплавился, конструкция арматуры готова.

Эпоксидное литьё – это простая технология. Парафин плавила в баночке в горячей воде, выливала в лоточек и остужала. В парафине вырезала канавки в форме ячеек Штейнера, то есть самые лёгкие, положила в канавки капроновые нити и залила их эпоксидной смолой. На следующий день лоточки с парафином и застывшей смолой опустила в кипящую воду, парафин вытек, остался новый композиционный материал с предсказанными мною свойствами анизотропии жёсткости. Образцы моих новых материалов и парафиновая технология показаны на рис.12.

Рис.12. Эпоксидное литьё в парафиновые формы

Особенно интересна круглая заготовка. Ею заинтересовалась большая фирма-покупатель новых видов металлопроката. Это четыре трубы в одной трубе. Получила предложение участвовать в Международной выставке металлопроката в ноябре 2019 года.

На рис. 13 показан образец эпоксидной арматуры композиционного материала с квадратными ячейками Штейнера. В нём есть ориентация ячеек перемычками вдоль и перемычками поперёк. Это демонстрационный образец. Внешняя квадратная рамка сделана для удобства, чтобы не поломать перемычки.

Рис.13. Опытный образец эпоксидной арматуры

Заключение

Выводы подтвердили гипотезу об анизотропии жёсткости и прочности ячейки Штейнера. Эта гипотеза видна сразу, потому что три спаянные мною конструкции по-разному изгибаются в разных направлениях.

1. У каждой квадратной ячейки Штейнера есть три главные гибкости, или наоборот, жёсткости. Но я работаю с гибкостью.

2. Если сила поперёк ячейки, то гибкость конструкции почти не зависит от способа соединения ячеек Штейнера и равна 8-9 мм/Н. То есть на столько мм прогибается одна ячейка от силы 1 Н.

3. Если сила вдоль ячейки, как показано на рисунке на фоне доски, то гибкость сильно зависит от способа соединения ячеек. Это означает, что гибкость одной ячейки различна в разных направлениях, то есть анизотропна.

4. Самая большая гибкость 4 мм/Н одной ячейки Штейнера будет при горизонтальном расположении перемычки, а самая маленькая гибкость 0,6 мм/Н будет при вертикальном расположении перемычки. Гибкость ячейки Штейнера в двух направлениях различается почти в семь раз.

5. Анизотропию жёсткости ячейки Штейнера можно применить практически. Я доказала это изготовлением нескольких образцов не только арматуры, но и нового композиционного материала. Арматура – это капроновые ниточки, наполнитель – это эпоксидная смола.

6. Я предлагаю парафиновую технологию отливки нового композиционного материала из эпоксидной смолы.

Работа доложена в Казани, Санкт-Петербурге, Нижнем Новгороде, Жуковском, МАИ, МФТИ, НИЯУ МИФИ, МГСУ СПбПУ, К(П)ФУ, РКК, «Энергия». Есть публикации, медаль НИУ МГСУ и 3-е место в конкурсе и приз 10000 рублей от Совета молодых учёных и специалистов города Королёва Московской области, Лауреат конкурса им. В.И.Вернадского в апреле 2019 г. Планируется приглашение на Международную выставку МеталлЭкспо-2019 в ноябре 2019 г. Заявлена на «Сахаровские чтения 2019» в Санкт-Петербурге.

Список использованных источников литературы

1. Драцкая А.И. Геометрические формы новых композиционных материалов на основе мыльных плёнок / V Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся «Старт в науке V», февраль-май 2018 г. – М.: Российская Академия естествознания (РАЕ), 2018. – Электронный ресурс: http://files.school-science.ru/pdf/5/35386.pdf

2. Драцкая А.И. Прямой метод решения задачи Штейнера о соединении восьми вершин куба самой короткой линией/ VI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся «Старт в науке VI», октябрь-декабрь 2018 г. – М.: Российская Академия естествознания (РАЕ), 2018. – Старт в науке. Научный журнал для школьников ISSN 2542-0186. -2019.№ 1 (часть 3) – С. 381-388. - Электронный ресурс: http://files.school-science.ru/pdf/6/5c08dce6bb499.pdf

Приложение

Проверка текста на уникальность в системе «Антиплагиат» text.ru

Снижение уникальности из-за участия меня как автора в конкурсах «ШУСТРИК-2019» и «Гагаринские чтения 2019» в Московском авиационном институте (НИУ)

Просмотров работы: 49