VII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Решение уравнений в целых числах
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Объектом исследования является один из наиболее интересных разделов теории чисел – решение уравнений в целых числах.
Существует множество математических задач, ответами к которым служат одно или несколько целых чисел. Однако наиболее часто можно встретить задачи, в которых предлагается решить уравнение в целых (или в натуральных) числах. Некоторые из таких уравнений довольно легко решаются методом подбора, но при этом возникает серьёзная проблема – необходимо доказать, что других решений не существует. Для этого могут потребоваться самые разнообразные приёмы, как стандартные, так и искусственные.
Предметом исследования данной работы являются методы решения уравнений в целых числах. Такие уравнения ещё называют диофантовыми, в честь древнегреческого математика Диофанта Александрийского. В данной работе представлен достаточно полный анализ уравнений в целых числах, классификация данных уравнений по способам их решения, описание алгоритмов их решения, а также практические примеры применения каждого способа для решения уравнений в целых числах.
Гипотеза: не существует единого алгоритма, позволяющего за конечное число шагов решить в целых числах произвольное диофантово уравнение, но изучив типы, классифицировав диофантовы уравнения по методам решения можно успешно справиться с решением задач данного типа.
Цель работы: выделить основные методы решения уравнений в целых числах.
Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:
изучить учебную и справочную литературу, проанализировать олимпиадные материалы, а также материалы профильного ЕГЭ по математике;
собрать теоретический материал по способам решения уравнений;
разобрать алгоритмы решения уравнений данного вида;
рассмотреть примеры решения уравнений с применением данных способов;
составить тренировочные задания.
Данная работа весьма актуальна, так как в школьной программе эта тема затрагивается вскользь. Задачи, основанные на решении уравнений в целых числах, часто встречаются на вступительных экзаменах, на олимпиадах по математике в старших классах и являются задачами повышенной сложности.
Методы исследования:
Теоретический анализ и обобщение сведений научной литературы об уравнениях в целых числах.
Классификация уравнений в целых числах по методам их решения.
Анализ и обобщение методов решения уравнений в целых числах.
Глава 1. Знакомство с уравнениями в целых числах и их классификация по методам решения
Уравнения в целых числах – это алгебраические уравнения с двумя или более неизвестными переменными и целыми коэффициентами. Решениями такого уравнения являются все целочисленные (иногда натуральные или рациональные) наборы значений неизвестных переменных, удовлетворяющих этому уравнению. Такие уравнения ещё называют диофантовыми, в честь древнегреческого математика Диофанта Александрийского, который исследовал некоторые типы таких уравнений ещё до нашей эры.
Примером диофантового уравнения является уравнение вида
Подобные уравнения называются однородными линейными уравнениями. Они имеют бесконечно много решений в целых числах. Эти решения описываются формулами, , , .
Современной постановкой диофантовых задач мы обязаны французскому математику Ферма. Именно он поставил перед европейскими математиками вопрос о решении неопределённых уравнений только в целых числах. Наиболее известное уравнение в целых числах – великая теорема Ферма: уравнение
хn + yn = zn
не имеет ненулевых рациональных решений для всех натуральных n > 2.
Теоретический интерес к уравнениям в целых числах достаточно велик, так как эти уравнения тесно связаны со многими проблемами теории чисел.
В 1970 году ленинградский математик Юрий Владимирович Матиясевич доказал, что общего способа, позволяющего за конечное число шагов решать в целых числах произвольные диофантовы уравнения, не существует и быть не может. Поэтому следует для разных типов уравнений выбирать собственные методы решения.
Для решения уравнений в целых и натуральных числах можно условно выделить множество методов, наиболее часто используемые – следующие методы:
перебора вариантов;
метод, основанный на алгоритме Евклида;
цепной (непрерывной) дроби;
рассеивания;
разложения на множители;
метод, основанный на выражении одной переменной через другую и выделении целой части дроби;
решение уравнений в целых числах как квадратных (или иных) относительно какой-либо переменной;
метод, основанный на выделении полного квадрата.
Глава 2. Линейные уравнения
2.1. Метод перебора вариантов
В способе перебора вариантов необходимо учитывать признаки делимости чисел, рассмотреть все возможные варианты равенства конечного перебора.
Перебор вариантов при нахождении натуральных решений уравнения с двумя переменными оказывается весьма трудоемким. Кроме того, если уравнение имеет целые решения, то перебрать их не всегда возможно, так как таких решений может быть бесконечное множество.
Задача 1. У нескольких велосипедов 26 колес. Сколько из этих велосипедов трёхколесных и сколько двухколёсных?
Решение: составляем уравнение , в котором х – число трёхколесных, у – число двухколёсных велосипедов.
Выразим у через х: .
х и у – целые неотрицательные числа, значит 27 – 3х должно делиться на 2 без остатка.
Воспользуемся методом перебора:
|
х |
2 |
4 |
6 |
8 |
|
у |
10 |
7 |
4 |
1 |
Таким образом, задача имеет четыре решения.
Ответ: (2; 10), (4; 7), (6; 4), (8; 1).
Задача 2. Родительский комитет закупил на 750 руб. тетради по цене 35 руб. и ручки по цене 25 руб. Сколько было куплено тетрадей и ручек, если ручек было куплено больше, чем тетрадей, а разность между числом ручек и тетрадей наименьшая.
Решение: составляем уравнение , в котором х – число тетрадей, у – число ручек.
Разделим обе части уравнения на 5 и выразим у через х: .
х и у – целые неотрицательные числа, значит 150 – 7х должно делиться на 5 без остатка.
Воспользуемся методом перебора:
|
х |
5 |
10 |
15 |
20 |
|
у |
23 |
16 |
9 |
2 |
Условию задачи удовлетворяет только одна пара чисел – (10; 16).
Ответ: 16 ручек, 10 тетрадей.
2.2. Метод, основанный на алгоритме Евклида
Применение алгоритма Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел.
Существует довольно простой прием, позволяющий находить наибольший делитель двух натуральных чисел. Этот прием называется алгоритмом Евклида. Суть алгоритма Евклида.
Чтобы найти наибольший общий делитель двух чисел:
1) надо большее из двух чисел, разделить на меньшее;
2) потом меньшее из чисел, разделить на остаток при первом делении;
3) затем остаток при первом делении на остаток при втором делении и вести этот процесс до тех пор, пока не произойдет деление без остатка.
Последний отличный от нуля остаток и есть искомый НОД двух данных чисел. Т. е. для нахождения наибольшего делителя двух чисел a и b (a и b –целые положительные числа, причем ) последовательно выполняется деление с остатком, которое даёт ряд равенств вида:
Деление заканчивается, когда , при этом
Рассмотрим пример нахождения
Решение:
Разделим с остатком 645 на 381. Мы получим: 645=381·1+264.
Далее разделим с остатком 381 на 264, получим: 381=264·1+117.
Далее разделим с остатком 264 на 117, получим: 264=117·2+30.
Далее разделим с остатком 117 на 30, получим: 117=30·3+27.
Далее разделим с остатком 30 на 27, получим 30=27·1+3.
Следующий шаг – делим 27 на 3, получаем, что 27=3·9 +0, т. е. 27 делится на 3 без остатка. Значит, наибольший общий делитель чисел 27 и 3 равен 3, следовательно, и наибольший общий делитель чисел 645 и 381 равен 3, т. е. последнему отличному от нуля остатку.
Таким образом, НОД (645; 381) = 3.
Вывод формул для решения диофантовых уравнений с использованием алгоритма Евклида.
Перейдем теперь к решению линейного уравнения с двумя неизвестными:
Возможны два случая: либо число c делится на , либо нет.
В первом случае можно разделить обе части уравнения на d и свести задачу к решению в целых числах уравнения , коэффициенты которого и взаимно просты.
Во втором случае уравнение не имеет целочисленных решений: при любых целых x и y число делиться на d и поэтому не может равняться числу c, которое на d не делится.
Итак, мы можем ограничиться случаем, когда в уравнении (1) коэффициенты a и b взаимно просты. На основании предыдущего предложения найдутся такие целые числа и , что , откуда пара удовлетворяет уравнению (1). Вместе с ней уравнению (3.1) удовлетворяет бесконечное множество пар (x; у) целых чисел, которые можно найти по формулам
Здесь t – любое целое число. Решение, записанное в виде (2), называется общим решением уравнения (1). Подставив вместо t конкретное целое число, получим его частное решение.
Примеры решения диофантовых уравнений с использованием алгоритма Евклида.
Задача 1. Решить уравнение на множестве целых чисел
Решение: Найдём значения и для решений уравнения по формулам (2). Применим алгоритм Евклида к числам 11 и 8:
Таким образом, получаем , следовательно
Запишем общее решение на множестве целых чисел:
Придавая t конкретные целые значения можно получить частные решения уравнения. Например, при t = 9, получим x = –5, y = 6.
Ответ: (–5; 6) при t = 9;
Задача 2. Туристическое бюро организует поездки на автомашинах двух типов: 22-х местных автобусах и 6-ти местных автомобилях. Группа туристов состоит из 310 человек. Сколько машин того и другого типа следует выделить, чтобы не осталось свободных мест в салоне?
Решение: составляем уравнение , в котором х – число автобусов, у – число автомобилей, х и у – неотрицательные целые числа.
Разделим обе части уравнения на 2, получим уравнение .
Найдём значения и для решений уравнения по формулам (2). Применим алгоритм Евклида к числам 11 и 3:
Запишем общее решение на множестве целых чисел:
Так как x и y – неотрицательные целые числа, то чтобы найти значение t, решим систему неравенств:
.
Таким образом, задача имеет пять решений.
При t = 52, получим x = 1, y = 48.
При t = 53, получим x = 4, y = 37.
При t = 54, получим x = 7, y = 26.
При t = 55, получим x = 10, y = 15.
При t = 56, получим x = 13, y = 4.
Ответ: (1; 48), (4; 37), (7; 26), (10; 15), (13; 4).
2.3. Метод цепной (непрерывной) дроби
Понятие цепной дроби. Представление рациональных чисел в виде цепной дроби.
Решение диофантовых уравнений, методом цепных дробей, впервые использовал Лангранж, который однако замечает, что фактически этот же способ был дан Баше де Мезириаком и другими математиками.
Обратимся к алгоритму Евклида. Из равенства вытекает, что дробь можно представить в виде суммы целой части и правильной дроби: . Из равенства получим
Значит, .
Продолжим этот процесс до тех пор, пока не придём к знаменателю qп.
В результате мы представим обыкновенную дробь в следующем виде: .
Эйлер назвал дробь, стоящую в правой части равенства непрерывной. Приблизительно в тоже время в Германии появился другой термин – цепная дробь. Так за этими дробями и сохранились оба названия. Ввиду громоздкости развёрнутой записи цепной дроби применяют компактную запись .
Рассмотрим пример представления рационального числа в виде цепной дроби.
Решение:
Очевидно, что любое рациональное число, и только оно записывается в виде конечной цепной дроби. Иррациональным числам соответствуют бесконечные цепные дроби.
Формулы для решения диофантовых уравнений с использованием цепной дроби.
Вернемся к уравнениюax + by = c. Напомним, что в нем aи b взаимно просты. Решение этого уравнения «способом цепной дроби» завершается применением готовых формул, представляющих общее решение данного уравнения.
Теорема. Общее решение в целых числах уравнения , где а, b, с – целые числа, отличные от нуля и НОД(а, b)=1, можно представить в виде
где t – произвольное целое число, а Pn1 и Qn1 – числитель и знаменатель предпоследней подходящей дроби разложения числа в цепную дробь.
Доказательство.Пусть – разложение числа в цепную дробь, а – подходящие дроби этого разложения. Тогда По условию дробь – несократимая и дробь также несократимая, поэтому . Далее по свойству подходящих дробей , то есть . Умножив обе части последнего равенства на , получим равенство . Это равенство означает, что пара чисел и является целым решением уравнения (*).
Итак, для решения уравнения , где a, b, c – целые коэффициенты, способом цепной дроби нужно:
1) представить число в виде конечной цепной дроби .
2) записать подходящие дроби
3) найти решение уравнения по формулам (3).
Примеры решения диофантовых уравнений методом цепных дробей.
Задача 1. Решить уравнение на множестве целых чисел
Решение:
1) Представим дробь в виде конечной цепной дроби.
, т. е. .
2) Запишем подходящие дроби:
3) Найдем решение уравнения по формулам (3):
Например, при t = 9 получим, что х = –5 и y = 6.
Ответ: (–5; 6) при t = 9;
Задача 2.Тёма сделал несколько мелких покупок в супермаркете, имея при себе сто рублей. Давая сдачу с этой суммы кассир ошиблась, перепутав места ми цифры, и выплатила рублями то, что должна была вернуть копейками, и, наоборот, копейками то, что полагалось вернуть рублями. Купив в аптеке набор пипеток за 1 руб. 40 коп., Тёма обнаружил ошибку кассира и, пересчитав деньги, нашел, что оставшаяся у него сумма втрое превышает ту, которую ему должны были вернуть в супермаркете. Какова стоимость всех покупок Тёмы.
Решение: пусть правильная сдача равна х рублей и y копеек, т.е. 100х + y копеек. Реально кассирша выплатила сумму y рублей и х копеек, т.е. 100y + х копеек. После покупки пипеток у Тёмы останется 100y + х − 140 копеек. По условию эта сумма в три раза больше, чем 100х + y . Это дает следующее уравнение для неизвестных х и y: .
Поскольку число копеек не может быть больше, чем 99, справедливо двойное неравенство: 1 ≤ x, y ≤ 99. Оно, в частности, влечет, что сдача не превышает первоначальную сумму в 100 рублей, которая была у Тёмы.
Уравнение решим методом цепных дробей:
1) Представим дробь в виде конечной цепной дроби.
, т. е. .
2) Запишем подходящие дроби:
3) Найдем решение уравнения по формулам (3):
3) Чтобы найти значение t, решим систему неравенств:
При t = –17, получим x = 31, y = 97.
Поэтому стоимость всех покупок Темы (в рублях) равна .
Ответ:69 рублей 43 копейки.
2.4. Метод рассеивания
Впервые способ рассеивания (размельчения) применил индийский математик Ариабхатта в начале VI века. Данный метод заключается в сведении данного уравнения к последовательности других уравнений с убывающими по абсолютной величине коэффициентами перед неизвестными.
Алгоритм, основанный на последовательном уменьшении по модулю коэффициентов уравнения при неизвестных:
1. Выбор наименьшего по модулю коэффициента (пусть |a| < |b|).
2. Проведение процедуры уменьшения коэффициентов. Это делается с помощью деления с остатком. Повторение процедуры уменьшения коэффициентов. Новое уравнение отличается от старого только тем, что его коэффициенты по модулю меньше коэффициентов старого. За конечное число шагов добьемся того, что коэффициент при одном из новых неизвестных будет равен 1.
3. Возврат от новых переменных к исходным.
Примеры решения диофантовых уравнений методом рассеивания.
Задача 1. Решить уравнение на множестве целых чисел
Решение:
1) Проведём процедуру уменьшения коэффициентов:
Пусть , тогда
Пусть , тогда
Пусть , тогда
2) Выполним возврат от новых переменных к исходным:
Например, при t = 9 получим, что х = –5 и y = 6.
Ответ: (–5; 6) при t = 9;
Задача 2. Фирма продавала чай в центре города по 7 рублей, а кофе по 10 рублей стакан, на вокзале по 4 рубля и 9 рублей, соответственно. Всего было продано за час 20 стаканов чая и 20 стаканов кофе, при этом выручка в центре и на вокзале оказалась одинаковой. Сколько стаканов кофе было продано в центре?
Решение: пусть х и у соответственно – количество стаканов чая и кофе, проданных в центре города. Тогда количество стаканов чая и кофе, проданных на вокзале, будет равно 20 − х и 20 − у соответственно. По смыслу задачи переменные х и у – неотрицательные целые числа, не превосходящие 20.
Общая выручка в центре равна рублей, а на вокзале равна рублей. По условию эти величины равны, составим уравнение:
Уравнение решим методом рассеивания:
1) Проведём процедуру уменьшения коэффициентов:
Пусть , тогда
Пусть , тогда
Пусть , тогда
2) Выполним возврат от новых переменных к исходным:
3) Так как x и y – неотрицательные целые числа, то чтобы найти значение t, решим систему неравенств:
При t = 95, получим x = 15, y = 5.
Ответ:5 стаканов кофе было продано в центре.
Глава 3. Нелинейные уравнения
3.1. Метод разложения на множители
Рассмотрим случай, когда при решении уравнения можно применить один из способов разложения на множители.
Задача 1. Найти все целочисленные решения уравнения
Решение:
Разложим левую часть уравнения на множители, получим: .
Т.е. . Число 3 можно представить в виде произведения целых чисел четырьмя способами: , значит для нахождения значений переменных составим четыре системы уравнений:
Целочисленными решениями данных систем уравнений являются соответственно пары (−1; −2), (5; 2), (1; 2), (−5; −2).
Ответ:(−1; −2), (5; 2), (1; 2), (−5; −2).
Задача 2. Найти все целочисленные решения уравнения .
Решение:
Первым действием перенесем все слагаемые в одну часть:, далее, чтобы разложить левую часть на множители к каждой из частей добавим число (–1), получим . Разложив на множители левую часть, получим .
Число (–1) можно представить в виде произведения целых чисел двумя способами: , значит для нахождения значений переменных составим две системы уравнений:
Целочисленными решениями данных систем уравнений являются соответственно пары (2; 2), (0; 0).
Ответ:(2; 2), (0; 0).
Задача 3. Решить уравнение в целых числах.
Решение:
Раскроем скобки, получим:
.
Далее приведем подобные слагаемые и разделим обе части на 3 и разложим левую часть на множители, в итоге получим уравнение:
.
Делителями 10 являются числа ±1, ±2, ±5, ±10. Заметим также, что сумма сомножителей левой части уравнения (x−y)(y−z)(z−x) = 10 равна 0. Нетрудно проверить, что сумма любых трех чисел из множества делителей числа 10, дающих в произведении 10, не будет равняться 0.
Следовательно, исходное уравнение не имеет решений в целых числах.
Ответ:нет решений.
Задача 4. Решить уравнение в целых числах.
Решение:
Разложим левую часть уравнения на множители, для этого найдём корни квадратного трехчлена , решив уравнение как квадратное относительно переменной х.
.
Получим, что .
Число 13 можно представить в виде произведения целых чисел четырьмя способами: , значит для нахождения значений переменных составим четыре системы уравнений:
Решая системы, получим, что системы (2) и (4) решений в целых числах не имеют, а решением систем уравнений (1) и (3) являются соответственно пары (2; 1), (−2; −1).
Ответ:(2; 1), (−2; −1).
3.2. Метод, основанный на выражении одной переменной через другую и выделении целой части дроби
Многие целочисленные уравнения решают, выражая одну переменную через другую, рассмотрим примеры уравнений, которые можно решить таким способом.
Задача 1. Решить уравнение в целых числах.
Решение:
Выразим y через х, получим, что . Далее выделим целую часть .
Так как , то , это возможно, если . Получим четыре системы уравнений:
Ответ:(1; 9), (0; 2), (2; 8), (−1; 3).
Задача 2. Найти все целочисленные решения уравнения .
Решение:
Выполнив преобразования, приведём уравнение к виду , делаем вывод, что 7 – х кратно 2, то есть . Значит , и из исходного уравнения находим .
Таким образом, общее решение можно записать в виде
Ответ: .
Задача 3. Найти все целочисленные решения уравнения .
Решение:
Выразим из уравнения y2, получим, что .
Значит , если , что верно, и если , что не возможно, так как х2 не может заканчиваться на 2, и на 7 если, то есть уравнение решений не имеет.
Доказательство выделенного утверждения:
|
x = |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11… |
|
х2= |
1 |
4 |
9 |
16 |
25 |
36 |
49 |
64 |
81 |
100 |
121… |
Ответ: нет решений.
3.3. Решение уравнений в целых числах как квадратных (или иных) относительно какой-либо переменной
Задача 1. Решить уравнение в целых числах.
Решение:
Решим уравнение как квадратное относительно переменной х.
.
Уравнение имеет решение только, если , то есть , а это возможно при y = –1, тогда x = 1.
Ответ: (1; –1)
Задача 2. Решить уравнение в целых числах.
Решение:
Решим уравнение как квадратное относительно переменной х.
.
Уравнение имеет решение только, если , то есть , а это возможно при y = –1, тогда x = 1.
Разделим обе части неравенства на (–3) и выделим полный квадрат в левой части неравенства, получим, что:
.
При .
При .
При .
Ответ: (0; 0), (1; 0), (0; 1), (2; 1), (1; 2), (2; 2)
3.4. Метод, основанный на выделении полного квадрата
Задача 1. Решить уравнение в целых числах.
Решение:
Перенесем все слагаемые в левую часть, добавим 1 к обеим частям и выделим полные квадраты, получим, что: .
Очевидно, что если сумма двух квадратов равна 1, то либо один из них равен нулю, а другой единице, либо наоборот. Таким образом, имеем:
.
Ответ: .
Задача 2. Решить уравнение в целых числах.
Решение:
Перенесем все слагаемые в левую часть и выделим полные квадраты, получим, что:
;
.
Получили, что сумма трёх квадратов равна 2, а это возможно в следующих случаях:
|
0 |
0 |
2 |
1 |
0 |
1 |
|
|
0 |
2 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
|
2 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
Получим шесть систем уравнений, из которых первые три решений в целых числах не имеют, а оставшиеся три дают пары чисел:
(2; 2); (0; 0); (1; 2); (1; 0); (0; 1); (2; 1).
Ответ:(2; 2); (0; 0); (1; 2); (1; 0); (0; 1); (2; 1).
Выводы
1. В результате проведённых исследований удалось классифицировать по методам решения некоторые типы диофантовых уравнений.
2. На основании проведённого анализа показаны алгоритмы решения уравнений в целых числах в соответствии с приведённой классификацией.
3. По итогам проведённой работы гипотеза исследования подтвердилась, цель исследования считаем достигнутой.
Заключение
В рамках исследования были изучены различные источники, описывающие историю открытия и математическую сущность методов решения уравнений в целых числах. Полученные знания позволили разобраться и отработать основные алгоритмы решения уравнений данного типа.
Решение уравнений в целых – один из самых интересных разделов математики, теоретические и практические сведения которого используются как в инженерии, биологии, так и повседневной жизни. Ни один крупный математик не прошёл мимо теории диофантовых уравнений. Ферма и Эйлер, Лагранж и Дирихле, Гаусс и Чебышев оставили неизгладимый след в этой теории.
В настоящее время, в связи с современными требованиями к выпускнику школы, возникает особенная необходимость в изучении данной темы. Считаем, что необходимо разрабатывать и составлять элективные и специальные курсы по обучению школьников основным приемам решения данных уравнений и поиску способов нахождения этих решений, что, безусловно, служит предметом исследования.
На основе накопленных знаний и полученного опыта были составлены задачи, решение которых возможны с помощью изложенных методов.
Список используемых источников
Литература:
Башмакова, И.Г. Диофант и диофантовы уравнения / И.Г. Башмакова. – М.: Наука, 1972. – 68 с.
Виленкин, Н.Я. За страницами учебника математики: Пособие для
учащихся 5-6 классов средней школы / Н.Я. Виленкин, И.Я. Депман. – М.: Просвещение, 1989. – 287 с.
Гринько, Е.П. Методы решения диофантовых уравнений при подготовке школьников к олимпиадам: учебно-методическое пособие / Е.П. Гринько, А.Г. Головач. – Брест.: БрГУ имени А.С. Пушкина, 2013.
Латанова, Н.И. Решение уравнений в целых числах : учебное пособие / Н.И. Латанова, А.П. Власова, Н.В. Евсеева. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012.
Фалин, Г. И. Линейные диофантовы уравнения / Г.И. Фалин, А.И. Фалин М., Изд-во Чистые Пруды, 2008.
Приложение
Задачи для самостоятельного решения
1. Решите линейное уравнение на множестве целых чисел различными способами:
1) ;
2) ;
3) .
2. Саша поехал на работу, но забыл дома кошелёк. Пошарив по карманам, он обнаружил в кармане много монет. Потом он вспомнил, что в кармане только монеты номиналом 2 рубля и 5 рублей. Что бы Саше добраться до работы, ему нужно потратить ровно 46 рублей на аренду велосипеда, потом доехать на нем до остановки, где нужно пересесть на автобус марки «ЛиАз», проезд в котором стоит как две поездки туда-обратно на велосипеде. Когда Саша выйдет из автобуса, он, как и всегда, зайдет в церковь подать милостыню нуждающимся, которая всегда составляет ровно 100 рублей, и идет пешком до работы, слушая музыку. Найдите наименьшее количество монет в кармане Саши, если денег в кармане без остатка хватило для проезда на работу и домой.
3. Решите уравнение на множестве целых чисел:
1) ;
2) ;
3) .
4. Сумма двух чисел, обратных целым, равна числу, обратному 25. О каких двух целых числах идёт речь
5. Робот стоит в координате 0. Когда он делает шаг вперед, он смещается в координату, большую своей на 2, когда делает шаг назад - меньшую на 1. Сколько шагов вперед и назад необходимо сделать роботу, если он хочетпопасть в координату 5? Выберите и укажите оптимальную стратегию, при которой роботу нужно сделать минимальное количество шагов.