Почему игральная кость кубической формы

VII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Почему игральная кость кубической формы

Левашов М.Р. 1
1МБОУ "Смоленская СОШ №"
Левашова Л.А. 1
1МБОУ "Смоленская СОШ №2"
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение.

Всем нам хорошо знаком обыкновенный игральный кубик, на гранях которого расположено от одной до шести точек. Пользуясь этим простым и надёжным генератором случайных чисел, мы совершенно не задумываемся над вполне естественным, хотя и странным на первый взгляд вопросом: а почему он имеет кубическую форму? Существуют ведь и другие многогранники…

Были определены:

Объектная область исследования - учебный предмет «математика»

Объект исследования - решение задач с игральными кубиками

Предмет исследования - игральные кости.

Изучив научную литературу по данному вопросу, выдвигаем

гипотезу исследования – игральные кости могут быть разной формы.

Цель нашего исследования: выяснить, почему игральные кости кубической формы; составить сборник исторических задач с игральными костями.

Задачи:

Изучение научной литературы и публикаций по данной теме, анализ полученной информации.

Знакомство с историей появления игральных костей.

Рассмотрение и анализ различных точек зрения по нашей проблеме.

Методы исследования:

Теоретические (анализ и синтез).

Эмпирические (сравнение).

Математические (метод визуализации данных).

Практическая значимость:

1. Использование данной работы учащимися школы при подготовке к олимпиадам, к урокам, для развития математических способностей.

2. Использование данной работы учителями для подготовки к урокам, элективным курсам и другим занятиям.

Глава 1 История игральных костей.

Доподлинная дата появления игральной кости неизвестна. Однако установлено, что игре нарды, где должны были использоваться такие древние генераторы случайных чисел, уже более 5 тысяч лет.

Согласно греческой традиции, игральные кости были изобретены Паламедом, чтобы развлечь скучающих греческих солдат, ожидающих сражения под Троей.

Своим происхождением современные игральные кости обязаны старинной игре на ловкость под названием «бабки», в которую играли преимущественно женщины и дети. Игровой процесс заключался в бросании мелких косточек копытных животных, бабок, откуда и появилось название игры. Четырёхгранная форма бабок стала первой формой игральной кости в истории, а используемый материал для изготовления дал название, которое мы применяем до сих пор — «кость». Современные монголы до сих пор используют такие четырёхгранные кости «шагай» для игры и предсказаний. Для изготовления современных игральных костей помимо классических костей домашних животных используются такие материалы, как слоновая кость, дерево и пластик — ацетилцеллюлоза. В исторических летописях часто путают игру в кости и игру в бабки, но каждая из них прошла самостоятельный путь из древних времён и до сих пор пользуется популярностью.

В Азии игральные кости были распространены еще с незапамятных времен: самые древние игральные кости были найдены в наборе для игры в нарды во время археологических раскопок города Шахри-Сухте, что на юго-востоке Ирана. Экспертиза показала, что набору более 5 000 лет. Другие раскопки древних захоронений Индской цивилизации указывают на южноазиатское происхождение игральных костей. Игра в кости упоминается как индийская игра в Риг-веде, Атхарва-веде и в списке игр Будды, в которые он не станет играть; В великом индийском эпосе Махабхарата Юдхиштхира с Кауравасом разыгрывают в кости северное княжество Хастинапура, из-за которого начинается война.

Существует несколько библейских упоминаний о «бросании костей», например, в стихе 22. Данный факт показывает, что игра в кубики была распространена в регионе, известном как царство царя Давида.

Азартные игры с двумя или тремя кубиками были очень популярным видом развлечения в Греции, особенно в высших слоях общества. И в них постоянно играли во время пиров.

Римляне были страстными игроками, особенно в период расцвета Римской Империи. Поэтому игра в кости также была широко распространена, хотя в неё было запрещено играть; запрет снимался только на время Сатурналий. Гораций высмеивал типичных молодых людей того времени, которые проводили время за игрой в кости вместо того, чтобы заниматься верховой ездой. Бросание костей на деньги стало причиной появления многих особых законов в Риме: один из них гласил, что человек, который разрешил играть в азартные игры в своем доме, не может подать иск, даже если его обманули или избили. Уже в те времена среди игроков появлялись профессиональные шулера: для того, чтобы выиграть, они умышленно утяжеляли кости с одной стороны, которыми они пользовались. Сейчас некоторые из этих костей хранятся в музеях.

Игроки в кости были завсегдатаями питейных заведений: на сохранившихся фресках есть изображения ссорящихся игроков, которых хозяин выгоняет из таверны.

Двадцатигранные кости относятся ко II веку н. э.

Тацит отмечал, что германцы были страстными поклонниками игры в кости и могли при отсутствии денег делать ставки на собственную свободу.

В XI веке в Византии сложилась астрагаломантия — искусство предсказания будущего по игральным костям.

В средние века игра в кости была любимым развлечением рыцарей, существовали школы игры и гильдии игроков. После падения феодализма ландскнехты приобрели репутацию самых скандальных игроков в кости того времени; кубики украшали искусной резьбой с изображением людей и животных. Во Франции в кости играли и рыцари, и дамы, несмотря на вновь и вновь появляющиеся законы, включая запреты Св. Людовика в 1254 и 1256 гг.

Маркировка на китайском домино произошла от маркировки кубиков.

Глава 2 Почему игральная кость кубической формы.

Одним из тех, кто пытался дать хоть сколько-нибудь обоснованный ответ, был Борис Анастасьевич Кордемский (1907-1999) – повсеместно признанный популяризатор занимательной математики бывшего СССР, а впоследствии – России. В своей широко известной книге «Математическая смекалка» он пишет:

«Почему именно кубик оказался многогранником, наиболее подходящим для игры?

Прежде всего, очевидно, что игральная кость должна быть правильным многогранником, так как только в этом случае при бросании игральной кости для каждой ее грани обеспечиваются равные шансы быть верхней. Но из пяти правильных многогранников наиболее подходящим является, очевидно, куб: изготовить его не составляет большого труда, и при бросании он довольно легко катится.

Если все пять правильных многогранников бросить с одинаковым усилием, то тетраэдр и октаэдр едва покатятся, куб покатится лучше, а додекаэдр и икосаэдр настолько «круглы», что покатятся почти как шар».

Кажется, все достаточно аргументировано и возражений не вызывает, за исключением последнего абзаца цитаты. Во-первых, не вполне понятно туманное выражение «бросить с одинаковым усилием». Во-вторых, Кордемский полагает, что по способности перекатываться правильные многогранники можно расставить в следующем порядке:

Тетраэдр (рис.1) и октаэдр(рис.2)

Куб (рис.3)

Додекаэдр (рис.4) и икосаэдр (рис.5).


рис.1 рис.2

Рис.3 рис.4

Рис.5

Надо определить какой-либо критерий способности перекатываться (далее – КСП) для правильных многогранников. Наиболее просто в качестве КСП выбрать число граней многогранника. Действительно, чем больше граней содержит многогранник, тем более «округлым» он является, и, следовательно, тем легче катится по плоскости.

Количество граней у правильных многогранников известно:

Тетраэдр – 4

Октаэдр – 8

Куб – 6

Додекаэдр – 12

Икосаэдр – 20.

Как видно, тетраэдр, додекаэдр и икосаэдр превосходным образом подтверждают гипотезу Кордемского. А вот октаэдр подкачал: у него больше граней, чем у куба. Значит, он покатится лучше?

Не будем спешить с выводами. Скорее всего, мы взяли слишком примитивный КСП. Подумаешь, граней больше! Зато сами грани более «острые» (треугольники, а не квадраты). Ну, а раз так, то более точным было бы использовать в роли КСП произведение числа граней на число ребер каждой грани. И вот что получается:

Октаэдр – 8х3=24,

Куб – 6х4=24.

Вспомним, как катится по плоскости многогранник. Обычно он переваливается с грани на грань через ребро (если, конечно, не подпрыгивает от слишком энергичного броска). Поэтому более логично считать подходящим КСП двухгранный угол между соседними гранями - чем он «тупее» тем больше способность перекатываться. Для куба и октаэдра их легко вычислить (или найти в справочнике). Они равны:

Куб - 900,

Октаэдр -

Факты – вещь упрямая: двухгранный угол у куба меньше, чем у октаэдра, то есть октаэдр должен катиться лучше. Возникает злорадная мысль: а Кордемский-то ошибся! (Всегда приятно «проехаться» по адресу корифея…).

Давайте, однако, промолчим. Корифеи редко ошибаются. И, вообще говоря, откуда следует, что величина двухгранного угла является надежным КСП? Более естественно взять в качестве КСП энергию, которую надо затратить, чтобы перекатить многогранник с одной грани на соседнюю. Очевидно, эта энергия равна работе, совершаемой при наклоне лежащего многогранника до тех пор, пока его центр тяжести (он, конечно, совпадает с центром многогранника) не окажется точно над ребром, через которое мы его перекатываем. После этого на соседнюю грань он перекатится сам, под действием собственного веса. Разумеется, чем больше эта работа, тем меньше способность перекатываться.

Но как обеспечить объективность сравнения? Другими словами, весьма непросто привести два различных многогранника к одинаковым условиям – форма-то у них разная! Самым лучшим представляется взять куб и октаэдр с одинаковой длиной ребра, изготовленные из одинакового материала и имеющие одинаковую массу, после чего определить для каждого из них величину указанной работы. Логично?

Как бы не так! Ведь, если материал один и тот же, то одинаковая масса возможна лишь при одинаковом объеме. Но при одинаковой длине ребра объемы куба и октаэдра различны. Возникшее противоречие наглядно показывает, что мы слишком многого захотели.

Действительно, достичь совпадения всех трех параметров (масса, материал, длина ребра) невозможно. Но совпадение любых двух из них вполне достижимо. Чтобы не промахнуться, рассмотрим все случаи.

Предварительно заметим следующее: если у правильного многогранника расстояние от его центра до ребра и до грани равны соответственно B и b, то работа по перекатыванию равна:

A = mg(B-b) = ρVg(B-b),

где m=ρV- масса, ρ- плотность материала, V – объем, g – ускорение свободного падения.

Значения B, b и V для куба и октаэдра выражаются через длину ребра a. Поэтому, присвоив индекс «O» характеристикам куба и индекс «K» - характеристикам октаэдра. Получаем:

куб: ; ;

октаэдр: ; ; .

Итак, рассмотрим три возможных случая:

Одинаковы масса и материал, то есть , . Так как , или . Тогда и , поэтому:

,

Одинаковы масса и длина ребра, то есть ; . Тогда:

.

Одинаковы материал и длина ребра, то есть ; . Тогда: ,

.

Как видно, повсюду имеет место убедительное преобладание значения необходимости работы куба по сравнению с октаэдром. Так что и этот КСП выявляет большую способность перекатываться именно у октаэдра, а не у куба.

Неужели все кончено, и защитить утверждение Б.А. Кордемского невозможно?

Не будем сдаваться, придумаем ещё что-нибудь. С этой целью попытаемся ответить на вопрос: «Почему игральные кубики иногда называют костями?» Любой скажет, что раньше (а порой и сейчас) их изготавливали из костей животных. Если отбросить мамонта и слона, то кости остальных по толщине сравнительно невелики, и резчик, изготавливая игральный кубик, естественно, старался сделать их покрупнее, чтобы отходы были минимальны. Итак, пусть мы имеем цилиндрическую кость радиусом R, длина которой много больше диаметра. Выразим из нее максимально возможные куб и октаэдр и определим для них ту же работу перекатывания. Вдруг для куба она окажется меньше?

Как разместить в длинном цилиндре наибольший возможный куб – ясно всем. Поперечное сечение такого цилиндра со вписанным кубом показано на рис.6.

Здесь сторона куба , и: .

Рис.6 Рис.7

С октаэдром сложнее. Например, очевидно, что просто поместить две его противоположные вершины в диаметрально противоположные точки поперечного сечения цилиндра (см. рис.7) – явно не лучший вариант. Тем не менее, приняв его за основу можно получить если не оптимальное, то, во всяком случае, достаточно «плотное» расположение октаэдра в цилиндре. Давайте октаэдр, ориентированный так, как на рис.7, повернем на некоторый угол относительно горизонтальной оси, лежащей в плоскости рисунка. Тогда его проекция на ту же плоскость станет шестиугольником (рис.8). Если подобрать такое значение угла поворота , что шестиугольник точно впишется в круг, как на рис.9, то это расположение будет весьма полным, и уж во всяком случае, близким к оптимальному – вряд ли кто-то станет это отрицать!

А

В

О

 

Рис.8 Рис.9

Потребные для этого угол и длина ребра октаэдра определяется из условий: AO = AB = R (на проекции, а не в «натуре»). Легко видеть, что:

.

Выразив из первого равенства и подставив его во второе, получим: , откуда , поэтому: .

Увы! Ситуация сохранилась – «костно-филологический» подход потерпел фиаско. Похоже, спасения нет. Или есть другое мнение?

Да, есть. И наш новый вариант, в отличие от предыдущего, назовем «костно-анатомическим». Вспомним, что многие кости круглого сечения пустотелые внутри (в этих пустотах расположен костный мозг). Для изготовления игральных кубиков такие кости не годятся. Другое дело – например, кости ребер: они сплошные. Но, правда, их сечение – не круг, а овал (они также несколько искривлены по длине, но этим можно пренебречь). Будем считать этот овал эллипсом, как раз таким, что в него можно четко спроектировать октаэдр, как на рис.10 (так сказать, создадим для октаэдра режим наибольшего благоприятствования!). При этом полуоси эллипса должны быть равны (малая) и (большая). Куб же удобнее всего вырезать из ребра, по-видимому, тогда длина ребра куба, как легко подсчитать, составляет . Из этих данных легко найти значения работ: .

Рис.10 Рис.11

Очень жаль, но и реберные кости нас не спасли - . Итак, смиримся с мыслью, что Кордемский был неправ?

В самом деле, хотя все рассмотренные КСП свидетельствовали о лучшей «катаемости» октаэдра, но это может говорить также и о том, что сами критерии были не вполне объективны. Действительно, первоначальная энергия игральной кости значительно больше работы, которая требуется для того, чтобы перевалить многогранник с одной грани на другую (иначе он не катился бы, а просто плюхнулся на грань, да так бы и валялся!). И если хотя бы с трудом, но перевалился, то что мешает ему перевалиться еще и еще? В этом смысле разница между вычислявшимися над ними работами ни о чем не говорит.

Но тогда зададим вопрос: почему при перекатывании без проскальзывания многогранник в конечном счете останавливается? Почему не катится вечно? Ответ прост: при соударении граней с плоскостью происходят потери энергии, потому что соударения не являются абсолютно упругими (иначе многогранник и впрямь бы не остановился).

Итак, найден новый аргумент в пользу гипотезы Кордемского, и притом достаточно веский. Нет сомнений, что читатели смогут изобрести еще несколько таких же убедительных КСП, свидетельствующих в ту или иную сторону.

Интересно, что американский коллега Кордемского – всемирно известный популяризатор математики Мартин Гарднер (1914-2010) в своей книге «Крестики-нолики» (Москва, «Мир», 1988, глава 10) также вскользь задается вопросом о сравнительной катаемости куба и октаедра ( а сверх того – додекаэдра и икосаэдра), предлагая свой собственный КСП: отношение радиусов описанной и вписанной сфер. И это небезосновательно: ведь все неровности, отличающие многогранник от шара, расположены как раз в шаровом слое между данными сферами. И чем тоньше слой (то есть чем ближе отношение радиусов к единице), тем более «округлым» является многогранник, и тем лучше он, по идее, должен катиться. Так вот, оказывается, для куба и октаэдра эти отношения равны (и для пары додекаэдр-икосаэдр тоже)! Чему именно они равны, читатель может определить самостоятельно. Но в целом, вопрос, увы, остался открытым.

Заключение.

Игральные кости так же стары, как и игральные карты, а история зарождения этой игры так же неясна. И все же с удивлением приходится отметить, что самые ранние из известных игральных костей древней Греции, Египта и Востока имеют точно такой же вид, как и современные, т. е. кубик с цифрами от единицы до шестерки, нанесенными на грани кубика и расположенными таким образом, что сумма их на противоположных гранях равна семи. Однако кубическая форма игральной кости объясняется тем, что только правильный многогранник обеспечивает полное равноправие всех граней, а из пяти существующих в природе правильных многогранников куб обладает явным преимуществом как атрибут игры: его легче всего изготовить, и, кроме того, он единственный из них, который перекатывается легко, но не слишком (тетраэдр перекатывать труднее, а октаэдр, икосаэдр и додекаэдр настолько близки по своей форме к шару, что быстро укатываются). Поскольку куб имеет шесть граней, то нанесение на них шести первых целых чисел напрашивается само собой, а расположение их с суммой - семеркой - представляется наиболее простым и симметричным. И это является между прочим единственным способом такого, их попарно противоположного расположения, чтобы суммы всех пар были одинаковы.

Именно этот "принцип семерки" лежит в основе большинства математических фокусов с игральными костями. В лучших из таких фокусов упомянутый принцип применяется настолько тонко, что о нем никто и не подозревает.

Но, к сожалению, доказать с научной точки зрения «правомерность» выбора кубической формы для игральных костей нам не удалось. Вопрос остался открытым.

Список литературы

1. Акулич И.Ф. Почему игральная кость кубическая?//Математика в школе.-2012.-№4,-с.47-54.

2. Афанасьев В.В., СувороваМ.А. Школьникам о вероятности в играх. Введение в теорию вероятностей для учащихся 8-11 классов. – Ярославль: Академия развития, 2006. –192 с.

3. Баврин И.И., Фрибус Е.А. Занимательные задачи по математике. – М.: ВЛАДОС, 1999. – 208 с.

4. Глейзер Г.И. История математики в школе: IX-X кл. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1983. – 351 с.

5. Дорофеева А.В. Страницы истории на уроках математике. – Львов: Квантор, 1991. – 97 с.

6. Кости игральные // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона: В 86 томах (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.

7. Лютикас В.С. Факультативный курс по математике: Теория вероятностей. Учебное пособие для 9–11 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 1990. – 160 с.

8. Миттон Ж. Галилей / пер. с англ. В. Леви. – М.: ЗАО «Ассоциация КОН», 1998. – 32с.

9. Никифоровский В.А. Великие математики Бернулли. – М.: Наука, 1984. – 180 с.

10. Пичурин Л.Ф.За страницами учебника алгебры. Кн. для учащихся 7-9 кл. общеобразоват. Учреждений. – М.: Просвещение, 1999. – 237 с.

11. Самин Д.К.100 великих ученых. – М.: Вече, 2000. – 592 с.

12. Энциклопедия для детей. Т.11. Математика / глав. ред. М.Д. Аксенова. – М.: Аванта+, 2002. – 688 с.

Приложение.

Исторические задачи с игральными костями.

1. Историческая задача Никколо Тарталья

Одним из первых подсчетом различных комбинаций при игре в кости занялся итальянский математик Никколо Тарталья (1499–1557). Настоящая его фамилия – Фонтана. Никколо родился в Брешии в бедной семье. Когда мальчику было шесть лет, он вместе с родственниками спасался в храме от французских завоевателей, осадивших его родной город Брешу. Священные стены, однако, не уберегли от несчастья: Никколо был тяжело ранен мечом французского солдата в гортань. С тех пор он говорил с трудом и на всю жизнь остался заикой. Отсюда его прозвище – Тарталья (картавый, заика).

Мальчик рос в бедной семье, рано остался без отца. Мать не могла платить за обучение сына, поэтому в школе Никколо успел выучить лишь начало азбуки до буквы «к». Стремление к знаниям и необыкновенная твердость характера проявились уже в детстве. Всеми остальными знаниями он овладел самостоятельно. Тарталья не только самостоятельно научился читать и писать, но и сумел приобрести большие познания в математике и механике.
Тарталья преподавал математику в Вероне, Венеции, Брешии. Впоследствии он создал замечательный для своего времени трактат «Новая наука», в котором рассмотрел различные вопросы механики, в том числе расчёт траекторий снарядов. Также Тарталья нашел способ решения кубических уравнений и внес вклад в развитие теории вероятностей.

Задача. На какую сумму очков, выпавших при подбрасывании двух игральных костей, разумно делать ставку?

Решение. Перечислим возможные суммы и способы их получения, представленные в таблице 1.

Таблица 1

Сумма очков

Число способов

Возможные варианты

2

1

1 + 1

3

2

1 + 2; 2 + 1

4

3

1 + 3; 3 + 1; 2 + 2

5

4

1 + 4; 4 + 1; 2 + 3; 3 + 2

6

5

1 + 5; 5 + 1; 2 + 4; 4 + 2; 3 + 3

7

6

1 + 6; 6 + 1; 2 + 5; 5 + 2; 3 + 4; 4 + 3

8

5

2 + 6; 6 + 2; 3 + 5; 5 + 3; 4 + 4

9

4

3 + 6; 6 + 3; 4 + 5; 5 + 4

10

3

4 + 6; 6 + 4; 5 + 5

11

2

5 + 6; 6 + 5

12

1

6 + 6

Видно, что  целесообразно сделать ставку на выпадение  сумме 7 очков, поскольку она получается наибольшим количеством вариантов, а, следовательно, имеет больше шансов на выпадение, чем другие суммы.

Ответ. На 7 очков.

2. Историческая задача Джироламо Кардано

П ростейшими задачами такого же типа занимался Джироламо Кардано (1501–1576).

Джироламо Кардано был истинным сыном эпохи Возрождения, воплотившим как хорошие, так и дурные стороны своего времени. С юности Джироламо обуревала жажда славы. «Цель, к которой я стремился, –  писал он на склоне лет в автобиографии, – заключалась в увековечивании моего имени, поскольку я мог этого постигнуть, а вовсе не в богатстве или праздности, не в почестях, не в высоких должностях, не во власти...» .
Джироламо окончил университет в Падуе. Его главным занятием была медицина, и Кардано всю жизнь занимался врачебной практикой. Как и многие ученые эпохи  Возрождения, он не ограничивал себя лишь одной областью науки: он вошел в историю как математик, философ, естествоиспытатель и изобретатель. Кроме того, его интересовала астрология, он составлял гороскопы Петрарки, Лютера, Христа, английского короля Эдуарда VI. Папа римский пользовался услугами Кардано-астролога и покровительствовал ему. Кардано умер в Риме. Существует легенда, будто он составил свой гороскоп и предсказал, что умрёт 21 сентября 1576г. Дабы поддержать собственную славу астролога, к назначенному сроку он уморил себя голодом в Риме. Даже если это и вымысел, суть характера Карлано передана очень верно.
Самой известной книгой Кардано стал трактат по алгебре под названием «Великое искусство», опубликованный в 1545 г. Книга содержала формулы решения кубического уравнения – секрет Даль Ферро и Тартальи. В рукописи Кардано «Книга об игре в кости» (1526), опубликованной лишь в 1663г., рассматривались многие задачи, связанные с бросанием двух и трех игральных костей и выпадением на верхних гранях определенного числа очков. Кардано полагал, что азартные игры были изобретены Галамедом во время десятилетней осады Трои. Кардано описывает даже различные приемы жульничества, связанные с играми в кости.

Задача. Составить таблицу совпадений шансов: а) при метании двух костей; б) при метании трех костей.

Ответ. а) – в таблице 2, б) – в таблице 3.

Таблица 2

Сумма очков

2 или 12

3 или 11

4 или 10

5 или 9

6 или 8

7

Число способов

1

2

3

4

5

6

Таблица 3

Сумма очков

3 или 18

4 или 17

5 или 16

6 или 15

7 или 14

8 или 13

9 или 12

10 или 11

Число способов

1

3

6

10

15

21

25

27

3. Историческая задача Галилео Галилея

Наиболее полное решение задачи о числе всех возможных исходов при бросании трёх игральных костей дал Галилео Галилей (1564–1642) в работе «О выходе очков при игре в кости». Впервые она была опубликована в 1718 году.

Галилео Галилей родился в Пизе, теперешней Италии, в знатной, но обедневшей семье музыканта. Галилео был похож на своего отца: учился играть на лютне и органе, любил музицировать. Свои первые уроки Галилео получил дома, с учителем. Особенно ему нравились рисование, поэзия, математика. Когда ему исполнилось одиннадцать, лет семья переехала во Флоренцию и Галилео продолжил образование в монастыре бенедиктинцев, где изучал грамматику, арифметику, риторику и другие предметы. В семнадцатилетнем возрасте он поступает в университет и готовится стать врачом. Но это ему не нравилось. Он озорничал, дерзил, постоянно возражал преподавателям, за это они его прозвали крикуном. Из любознательности  Галилео читал труды по математике, механике, астрономии. В 25 лет он становится профессором кафедры математики в Пизанском университете и делает свои открытия.
Рассказывают, что однажды к Г. Галилею явился солдат и попросил помочь ему в решении вопроса, который длительное время не давал ему покоя. [6]

Задача. Какая сумма 9 или 10 очков при бросании трех костей выпадает чаще?

Решение. Может показаться, что шансы равны, так как каждая сумма из 9 и 10 очков может быть получена одним их шести способов:

9 = 1 + 2 + 6 = 1 + 3 + 5 = 1 + 4 + 4 = 2 + 2 + 5 = 2 + 3 + 4 = 3 + 3 + 3;
10 = 1 + 3 + 6 = 1 + 4 + 5 = 2 + 2 + 6 = 2 + 3 + 5 = 2 + 4 + 4 = 3 + 3 + 4.

Однако с учетом перестановок для суммы 9 очков получается 25 различных способов (6 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1), а для суммы 10 очков – 27 различных способов (6 + 6 + 3 + 6 + 3 + 3). Как видно, шансы этих случайных событий довольно близки между собой и относятся к друг другу как 25 : 27, что и вызвало затруднения солдата.

Ответ. Чаще выпадает сумма 10.

4. Историческая задача Христиана Гюйгенса

Гюйгенс Христиан (1629–1695) нидерландский математик, физик, механик и астроном. Он один из основоположников волновой оптики. Автор одного из первых трудов по теории вероятностей.

Одаренность Христиана проявилась уже в раннем возрасте. Восьми лет он уже изучил латынь и арифметику, учился пению, а десяти лет познакомился с географией и астрономией. В 1641 его воспитатель писал отцу ребенка: «Я вижу и почти завидую замечательной памяти Христиана», а двумя годами позже: «Я признаюсь, что Христиана нужно назвать чудом среди мальчиков». А мальчик в это время, изучив греческий, французский и итальянский языки и освоив игру на клавесине, увлекся механикой. Также он охотно занимается и плаваньем, танцами и верховой ездой.
Шестнадцатилетний Христиан вместе со старшим братом Константином поступает в Лейденский университет для подготовки по праву и по математике (последнее охотнее и успешнее; одну из его работ преподаватель решает переслать Декарту). Через 2 года а Христиан с младшим братом переезжает в Бреду, в «Оранскую коллегию». Отец готовил и Христиана к государственной службе, но у того были другие устремления. В 1650 г. он возвращается а Гаагу, где его научной деятельности мешали только преследовавшие его некоторое время головные боли. Круг научных интересов Гюйгенса продолжал расширяться. Он увлекается трудами Архимеда по механике и Декарта по оптике, но не перестает заниматься и математикой.
Научную деятельность Гюйгенс начал в 1651-м г. сочинением о квадратуре гиперболы, эллипса и круга. Он изобрел способ замены дробей с громоздкими числителями и знаменателями на так называемые «подходящие дроби», участвовал в применении методов математического анализа для определения числа , использовал свойство циклоидов в часовом механизме, изучал касательные к различным кривым. В 1655 он самостоятельно занялся поиском метода решения задач справедливого разделения ставки. В 1657 появляется труд Гюйгенса «О расчетах при игре в кости» – одна из первых работ по теории вероятностей. В 1665 он избирается членом Парижской академии наук. [9]
Однажды к Гюйгенсу обратился наемный ландскнехтский солдат – азартный игрок с проблемой о том, что, его многолетний опыт показывал:  11 очков появляется несколько чаще, чем 12 очков. Так ли это?

Задача. При одновременном бросании трех игральных костей какая сумма выпавших на них очков должна появляться чаще – 11 или 12?

Решение. Представим 11 и 12 очков шестью различными способами:

11 = 1 + 4 + 6 = 1 + 5 + 5 = 2 + 3 + 6 = 2 + 4 + 5 = 3 + 3 + 5 = 3 + 4 + 4;
12 = 1 + 5 + 6 = 2 + 4 + 6 = 2 + 5 + 5 = 3 + 3 + 6 = 3 + 4 + 5 = 4 + 4 + 4.

С учетом возможных перестановок для 11очков получили 27 различных случаев (6 + 3 + 6 + 6 + 3 + 3), а для 12 очков – 25 случаев (6 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1). В своем трактате «О расчете в азартных играх» Гюйгенс указал, в частности, сколькими способами при бросании двух костей можно получит ту или иную сумму очков. Для одновременного бросания трех костей Гюйгенс составил таблицу для числа очков различных возможных случаев.

Ответ. Чаще появляется 11 очков.

5. Историческая задача Исаака Ньютона

Ньютон Исаак (1643–1727), английский математик, механик, астроном и физик, создатель классической механики.

Он  появился на свет в небольшой деревушке в семье мелкого фермера, умершего за три месяца до рождения сына. Младенец был недоношенным. Бытует легенда, что он был так мал, что его поместили в овчинную рукавицу, лежавшую на лавке, из которой он однажды выпал и сильно ударился головкой об пол. Когда ребенку исполнилось три года, его мать вторично вышла замуж и уехала, оставив его на попечении бабушки. Ньютон рос болезненным и необщительным, склонным к мечтательности. Его привлекала поэзия и живопись, он, вдали от сверстников, мастерил бумажных змеев, изобретал ветряную мельницу, водяные часы, педальную повозку. Трудным было для Ньютона начало школьной жизни. Учился он плохо, был слабым мальчиком, и однажды одноклассники избили его до потери сознания. Переносить такое унизительное положение было для самолюбивого Ньютона невыносимо, и оставалось одно: выделиться успехами в учебе. Упорной работой он добился того, что занял первое место в классе.
Интерес к технике заставил Ньютона задуматься над явлениями природы; он углубленно занимался и математикой. За шесть лет Ньютоном были пройдены все степени колледжа и подготовлены все его дальнейшие великие открытия. В 1665 г. Ньютон стал магистром искусств. В этом же году, когда в Англии свирепствовала эпидемия чумы, он решил временно поселиться в Вулсторпе. Именно там он начал активно заниматься оптикой.  В 1668 Ньютон вернулся в Кембридж и вскоре он получил Лукасовскую кафедру математики. Эту кафедру до него занимал его учитель И. Барроу, который уступил кафедру своему любимому ученику, чтобы материально обеспечить его. К тому времени Ньютон уже был автором бинома и создателем (одновременно с Лейбницем, но независимо от него) метода флюксий — того, что ныне называется дифференциальным и интегральным исчислением. 1687 г. вышел в свет его основной труд «Математические начала натуральной философии» — основа механики всех физических явлений, от движения небесных тел до распространения звука.
С именем Ньютона связаны задачи и по теории вероятностей, в частности, с расчетами в азартных играх. Когда-то Самуэль Пепайс послал Ньютону длинное и запутанное письмо по поводу новых игр с костями, которые он собирался опробовать. Для выяснения, какая из них выгоднее, Пепайсу нужен был ответ на сформулированный в условии задачи вопрос.  Ньютон дал исчерпывающее решение задачи, опираясь на формулу Я.Бернулли.

Задача. Какое из событий более вероятно:

появление, по крайней мере, одной шестерки при подбрасывании шести костей;

появление хотя бы двух шестерок при подбрасывании 12 костей;

появление не менее трех шестерок при бросании 18 костей?

Решение. Вероятность появления не менее i (i = 1, 2, 3) шестерок соответственно при подбрасывании 6i (i = 1, 2, 3) костей равна:

Ответ. Предпочтительнее поставить пари на появление, по крайней мере, одной шестерки при подбрасывании 6 костей.

6. Историческая задача Готфрида Вильгельма Лейбница

Готфрид ВильгельмЛейбниц(1646–1716) родился в семье юриста. Отец рано распознал гениальную натуру сына. И старался развить в ребенке любознательность, рассказывая эпизоды из священной и светской истории. Мальчику не было и семи лет, когда он потерял отца. Мать, заботясь об образовании сына, отдала его в школу Николаи, одной из лучших в Лейпциге.

В двенадцатилетнем возрасте он пытался во всем отыскивать «единство и гармонию» и понять, что наука существует для человека, а не наоборот. Ему легко давались иностранные языки. В четырнадцать лет в нем открылся талант поэта.  Натура Лейбница отличалась жаждой новизны. Он стал вдумываться в истинную задачу логики как классификации элементов человеческой деятельности.
Пятнадцатилетним юношей он становится студентом Лейпцигского университета. По своей подготовке Готфрид значительно превосходил многих студентов. Характер его занятий был крайне разносторонним: он читал все без разбора, богословские трактаты наряду с медицинскими. Но много терял от плохой математической подготовки. Кроме лекций по юриспруденции, он усердно посещал философию, математику. Политическая деятельность отвлекала его от занятий математикой. Но, тем не менее, все свободное время он посвящал обработке изобретенного им дифференциального исчисления. В июле 1697 года Лейбниц впервые встретился с Петром Великим. А в 1711 году набросал план реформы учебного дела и проект учреждения Петербургской академии наук.

Задача. Найти количество исходов (без повторений) при одновременном бросании n игральных  костей, если n = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Ответ. Количество исходов (без повторений) для nкостей будет    равно   ,  где    n = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Искомые результаты можно свести  в таблицу 4.

Таблица 4

Число костей n

1

2

3

4

5

6

Количество сходов (без повторений)

6

21

56

126

252

462

7. Историческая задача шевалье де Мере

В средние века среди феодальной знати были широко распространены азартные игры. Большим любителем таких игра был француз шевалье де Мере. Страстного игрока в кости, придворного французского короля шевалье де Мере можно отнести к числу основателей теории вероятностей. Заслуга его состоит в том, что он настойчиво заставлял математиков решать различные задачи, на которые наталкивался сам во время своей практики игры. Он хотел разбогатеть при помощи игры в кости. Для этого шевалье придумывал различные усложненные правила игры. Страстному игроку, но плохому математику, де Мере посчастливилось иметь такого друга, как Паскаль.

Блез Паскаль  (1623–1662) –  французский математик, физик, религиозный философ и писатель автор работ по арифметике, теории чисел, алгебре, теории вероятностей, теории воздушного давления; один из основоположников гидростатики, установил ее основной закон сформулировал одну из основных теорем проективной геометрии; сконструировал суммирующую машину. Работу над ней он начал в 19-летнем возрасте, наблюдая за расчетами отца – сборщика налогов. Суммирующая машина Паскаля представляла собой механическое устройство с многочисленными шестеренками. С ее помощью можно было складывать числа, вращая колесики с делениями от 0 до 9, связанные друг с другом таким образом, что избыток над девяткой переносился на следующее колесико, продвигая его на единицу вперед. Были отдельные колесики для единиц, десятков, сотен. Машина не могла выполнять никаких других арифметических действий, кроме сложения. Вычитать, умножать или делить на ней можно было лишь путем многократного сложения (вычитания). Изобретенный Паскалем принцип связанных колес стал основой для вычислительных устройств следующих трех столетий.
В 1654 г. шевалье де Мере обратился к французскому физику, математику и философу Блезу Паскалю за помощью в разрешении проблем связанных с вероятностью благоприятных результатов при бросании игральных костей. Де Мере часто побеждал, и с каждым разом найти партнера на такую игру было все сложнее, и он изменял условия пари. Когда де Мере стал чаще проигрывать, чем выигрывать, пришлось обратился к Блезу Паскалю: при каких условиях игра стала бы благоприятной для него.

Задача. Игральная кость бросается четыре раза. Рыцарь бился об заклад, что при этом хотя бы один раз выпадет шесть очков. Какова вероятность выигрыша для рыцаря?

Решение. Так как при каждом бросании игральной кости имеется 6 различных возможностей, то при четырех бросаниях кости число различных возможных случаев будет  6 · 6 · 6 · 6 = 1296. Но среди этих 1296 случаев будет 5 · 5 · 5 · 5 = 625 таких, где шестерка не появлялась ни разу, а в 1296 – 625 = 671 случае хотя бы один раз из четырех выпадает шестерка. Следовательно, вероятность выпадения хотя бы одной шестерки при четырех бросаниях кости равна 671/1296, т.е. больше 1/2. Это значит, что, чем больше рыцарь играл, тем больше он выигрывал. Оказываясь постоянно в проигрыше, противники рыцаря перестали играть по этим правилам с де Мере.

Ответ. Больше 1/2.

8. Историческая задача Якоба Бернулли

Якоб Бернулли (1654 – 1705) родился в семье великих математиков. По желанию отца он готовился к званию протестантского священника. Окончил Базельский университет, где изучал философию, богословие и языки. Испытывая непреодолимое влечение к математике, изучал ее тайком от отца. В 1671 году получил степень магистра философии. Читал проповеди. В тоже время продолжал пополнять свои знания по математике без учителя, почти без учеников. Несколько лет молодой человек, самоучкой овладевший математикой, учительствовал в частных домах. В 1687 году Бернулли становится профессором математики Базельского университета.

Основные научные интересы Якоба были сосредоточены на развитии и приложении математического анализа, а также он обнаружил фундаментальный факт теории вероятностей, получивший название закон больших чисел.

Задача. Рассмотрим некоторые события, которые могут произойти в результате подбрасывания игральной кости: А – выпадает «шестерка»; В – выпадает нечетное число очков; С – выпадает число очков, кратное трем; D – выпадает число очков, некратное трем; Е – выпадает меньше семи очков; F – выпадает больше шести очков. Опишите совокупность всех исходов каждого из описанных событий при подбрасывании игральной кости. Найдите вероятности этих событий.

Решение. Совокупность всех исходов при подбрасывании игральной кости опишем следующим образом: = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Таким образом, общее число исходов равно 6. Совокупности исходов для событий опишем следующим образом:

А={6}, В={1, 3, 5}, С = {3, 6}, D={1, 2, 4, 5}, Е ={1, 2, 3, 4, 5, 6}, F={ }. Таким образом, число исходов, благоприятствующих событию А, равно 1, событию В – 3, событию С – 2, событию D – 4, событию Е – 6 и событию F – 0. Найдем вероятности этих событий как число, равное отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к общему числу исходов, которые являются еще и несовместными, и равновозможными.

Таким образом, мы показали, что число благоприятных исходов всегда больше, либо равно 0 и меньше, либо равно общему числу исходов.

Ответ. Вероятность случайного события может изменяться от 0 до 1.

Просмотров работы: 161