Комбинаторика в нашей жизни

VII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Комбинаторика в нашей жизни

Обыденная В.А. 1
1Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение средняя школа №8
Толкачева Н.С. 1Коптелова Т.А. 1
1МАОУ СШ № 8
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

« Учимся не для школы, а для жизни»

(Сенека)

Как часто, мы жалуемся, что приходится заниматься математикой, которая нам вообще может не пригодиться. Научились считать, и хватит! А эти противные задачки, формулы! Зачем они нам вообще нужны! Где же мы ими будем пользоваться?!

Я открываю шкаф. Вещей много, а надеть нечего. Мама говорит: «Учись комбинировать!»

Сажусь делать аппликацию. Передо мной различные цвета бумаги, а выбрать какие - не знаю. И, опять мама: «Комбинируй! Учись сочетать цвета!»

Что же это такое «комбинируй, сочетай»? Оказывается, это комбинаторика - раздел математики!

Умея рассуждать, перебирать различные варианты решений, т.е., владея техникой решения комбинаторных задач, людям легче найти выход, казалось бы, из самой безвыходной ситуации.

Проблема: моих знаний по комбинаторике недостаточно, поэтому я захотела узнать об этом больше и выяснить, какие задачи можно решать с помощью комбинаторики.

Актуальность этой работы определяется тем, что комбинаторику успешно применяют в различных областях науки и сферы. С комбинаторными величинами приходится иметь дело представителям многих специальностей: ученому-химику, биологу, конструктору, диспетчеру и т.п. В последнее время интерес к комбинаторике усилился из-за бурного развития кибернетики и вычислительной техники.

Объект исследования: область математики – комбинаторика.

Цель исследования: применение комбинаторики в различных сферах жизнедеятельности.

Гипотеза: часто ли мы используем раздел математики комбинаторику в практической жизни.

Задачи исследования для подтверждения выдвинутой гипотезы:

собрать, изучить и систематизировать материал о комбинаторике;

рассмотреть использование комбинаторики в различных сферах жизнедеятельности;

показать практическую значимость комбинаторики.

При работе над проектом применялись следующиеметоды исследования:поисковый, практический, метод сравнения, анализ, метод изучения данных.

Работа «Комбинаторика в нашей жизни» имеетпрактическое значение, потому что, зная основные правила комбинаторики и умея их применять на практике, у нас появится больший шанс для выигрыша в различных играх и решении различных житейских задач с пользой и выгодой для нас.

Структура работы: работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и приложений.

Глава 1. Понятие о комбинаторике

Сами того не замечая, мы почти всегда используем математику: расстановка мебели в комнате, подбор наряда, составление расписания в школе и многое другое - для всего нужна математика, а точнее ее раздел - комбинаторика.

А откуда же взялась, эта загадочная и столь нужная комбинаторика?

С задачами, в которых приходилось выбирать те или иные предметы, располагать их в определенном порядке и отыскивать среди разных расположений наилучшие, люди столкнулись еще в доисторическую эпоху, выбирая наилучшее положение охотников во время охоты, воинов – во время битвы, инструментов – во время работы.

Что же это такое комбинаторика?

Комбинаторика – раздел математики, изучающий комбинации и перестановки предметов, – возник в XVI в., когда большое место занимали азартные игры в жизни общества того времени. Проблема азартных игр и явилась движущей силой развития комбинаторики.

Большой вклад в развитие комбинаторики внесли итальянский математик НикколоТарталья и Галилео Галилей. Тарталья одним из первых занялся подсчетом числа различных комбинаций при игре в кости. Он составил таблицу, показывавшую, сколькими способами могут выпасть р костей. Однако при этом не учитывалось, что одна и та же сумма очков может быть получена разными способами. [4]

Со временем появились различные игры (нарды, карты, шашки, шахматы и т.д.). В каждой из этих игр приходилось рассматривать различные сочетания фигур, и выигрывал тот, кто их лучше изучил, знал выигрышные комбинации и умел избегать проигрыш­ных.

Но, не только игры наводили на размышление математиков того времени о комбинаторике.

Еще с давних пор дипломаты, стремясь к тайне переписки, изобретали сложные шифры, а секретные службы других государств пытались эти шифры разгадать. Стали применять шифры, основанные на комбинаторных принципах, например, на различных перестановках букв с использованием ключевых слов и т. д.

Стали выходить журналы по комбинаторике, печататься книги, посвященные этой науке. Элементы комбинаторики находили отражение и в школьном курсе математики. [1]

Комбинаторика – это область математики, в которой изучаются комбинаторные задачи.

Комбинаторная задача – это задача, где идет речь о тех или иных комбинациях Комбинаторику можно рассматривать как часть теории множеств – любую комбинаторную задачу можно свести к задаче о конечных множествах и их отображениях.

Комбинаторика как наука стала развиваться в XVIII в. параллельно с возникновением теории вероят­ностей, так как для решения вероятностных задач необходимо было подсчитать число различных ком­бинаций элементов. Первые научные исследования по комбинаторике принадлежат итальянским ученым Дж. Кардано, Н. Тарталье (ок. 1499-1557), Г. Гали­лею (1564-1642) и французским ученым В. Паскалю (1623-1662) и П. Ферма. Комбинаторику, как само­стоятельный раздел математики, первым стал рассмат­ривать немецкий ученый Г. Лейбниц в своей работе «Об искусстве комбинаторики», опубликованной в 1666 г. Он также впервые ввел термин «комбинато­рика». Значительный вклад в развитие комбинато­рики внес Л. Эйлер.

Отцом современной комбинаторики считается Пал Эрдёш. [4]

Рассмотрим несколько задач по комбинаторике.

Задача 1. Наверное, вы знаете фильм «Кин-дза-дза». Жители планеты Кин-дза-дза обходились для всех случаев одним словом «ку». А если бы алфавит у них состоял из двух букв К и У, то сколько слов было бы у них в словаре, при условии, что буквы в слове могут повторяться, и слова состоят только из двух букв?

Решение: Можно составить слова: «Ку», «Кк», «Уу», «Ук».

Ответ: 4

В задаче нам пришлось перебрать все возможные варианты, или, как обычно говорят в таких случаях – все возможные комбинации. Поэтому подобные задачи называют комбинаторными.

Почти каждый человек слышал такие слова, как «код», «программа», «пароль», которые относятся к жизни человека. Чтобы запустить ту или иную программу нужно ввести соответствующий верный пароль.

В качестве кода, в зависимости от рода программы, могут выступать всевозможные цифры, слова или комбинации слов, поведение или действие, и так далее...

В соответствии с использованием различных паролей, одна и та же программа будет выполняться по-разному. [3]

Например, возникновение отношений между двумя учениками. При знакомстве возникает программа взаимоотношений. В зависимости от того, что будет делать или говорить каждый из них, программа отношений примет определенный характер.

Так, если один из учеников будет использовать негативные слова или действия это один пароль, который приведет к вражде, а если наоборот, ученик будет использовать положительные эмоции, слова и действия это другой пароль, который приведет если не к дружбе, то к просто хорошим взаимоотношениям.

Разные пароли – разные результаты.

Когда мы узнаем что-то новое, развиваемся, к нам приходит жизненный опыт, он- то как раз и есть ничто иное как набор всевозможных паролей, комбинаций. Ведь опытный человек всегда найдет лучшее решение в конкретной ситуации, потому – что он располагает большей комбинацией паролей.

Мир вокруг нас постоянно меняется, однако все происходящие изменения вовсе не хаотичны, как может показаться на первый взгляд. Любые изменения внутри Вселенной могут быть классифицированы.

В зависимости от правил составления комбинаций можно выделить три типа комбинаций: перестановки, размещения, сочетания. [2]

Изучив эти типы комбинаций, я решила выполнить несколько задач и проанализировать полученные результаты.

Заметим, что в любую перестановку входят все элементы множества Х, причём ровно по одному разу. То есть перестановки одна от другой отличаются только порядком следования элементов и могут получиться одна из другой перестановкой элементов (отсюда и название). [2]

Пример 1: Возьмем произведение русского писателя, баснописца, журналиста Ивана Андреевича Крылова – «Квартет» и узнаем, сколько существует различных способов посадки этих животных?

Давайте рассуждать:

Проказница Мартышка

Осел,

Козел,

Да косолапый Мишка

Затеяли играть квартет.

Мишка может сесть на одно из 4 мест, Козел может сесть на одно из 3 мест,

Осел может сесть на одно из 2 мест, Мартышка может сесть на оставшееся 1 место. Итого: 4 * 3 * 2 * 1 = 24 (способа).Ответ: 24 способа.

Размещения – это соединения, содержащие по m элементов из числа n данных, различающихся или порядком предметов, или самими предметами. [2]

Пример 1: Сколько различных двузначных чисел можно составить при помощи цифр 4, 7, 9? (Цифры в записи числа не повторяются).

Решение: 47, 79, 49, 94, 74, 97

Ответ: 6.

Сочетания – это соединения, содержащие по m предметов из n, различающиеся друг от друга, хотя бы одним предметом. [2]

Рассмотрим примеры задач на сочетания.

Пример 1: Встретились 6 друзей, и каждый пожал руку каждому своему другу. Сколько было рукопожатий?

Решение.

Первый способ. Можно, как и в примере 1, составить таблицу рукопожатий 6 друзей. Затем, рассуждая аналогично, получим, что общее число рукопожатий равно

(6(6-1))/2 = 15.

Второй способ. Условно перенумеруем друзей. Первый поздоровался со вторым, третьим, …, шестым. Всего 5 рукопожатий Для второго неучтёнными остались рукопожатия с третьим, четвёртым, пятым, шестым. Всего 4 рукопожатия, и т.д. Получаем, что рукопожатий было всего 5+4+3+2+1 = 15.

Это рассуждение верно и в общем случае выбора двух элементов из n данных. Оказывается, что всегда количество выборок двух элементов без учета порядка будет ровно в два раза меньше, чем количество выборок с учётом порядка.

Комбинаторика имеет широкий спектр применений:

в быту (рукоделие, выбор наряда, составление меню);

на производстве (распределение нескольких видов работ между рабочими);

в агротехнике (размещение посевов на нескольких полях);

в криптографии (разработка методов шифрования);

в сфере общественного питания (составление меню);

пересылка почты (рассмотрение вариантов доставки);

на спортивных соревнованиях (составление расписания спортивных турниров);

в военном деле (расположение подразделений);

в астрономии (анализ расположения планет и созвездий);

в логистике (рационально организовать движение товаров и услуг от поставщика потребителю). (Приложение 2)

Знание элементов комбинаторики, в частности сочетаний, могут пригодиться не только на уроках математики, но и информатики, русского языка, истории и даже физической культуры. Знания комбинаторики широко применяются в различных областях. С их помощью можно находить решения в различных жизненных ситуациях.

Глава 2. Комбинаторика в моей жизни

В повседневной жизни нередко перед нами возникают проблемы, которые имеют не одно, а несколько различных вариантов решения. Чтобы сделать правильный выбор, очень важно не упустить ни один из них. Для этого надо осуществить перебор всех возможных вариантов или хотя бы подсчитать их число.

С какими выборами мы часто встречаемся в повседневной жизни?

Завтрак. Какое разнообразие на столе: булочки, пирожки, печенье, чай. Вот и выбери, сколько вариантов завтрака можно себе составить.

А извечная проблема женщин, когда есть полный шкаф одежды, но «нечего» надеть.

А когда мы занимаемся каким-либо рукоделием, например, лоскутная техника.

А номер домашнего телефона подруги, у которого знаем, какие цифры есть, но забыли, в каком порядке их надо набирать. Что мы делаем? Правильно, начинаем подбирать различные комбинации.

И таких примеров из жизни великое множество.

Надеюсь, что все вышеизложенное доказывает, что комбинаторика практически не имеет границ.

Комбинаторика используется в музыке, в мебельном производстве, в различных играх (нарды, шашки, шахматы), где приходится рассматривать различные сочетания фигур, и выигрывать, изучив и зная выигрышные комбинации и умея избегать проигрышных.

Применяя полученные знания, можно облегчить жизнь, зная, что всегда есть беспроигрышные комбинации, есть выбор!

Меня подруга пригласила на свой День рождения, поэтому мне надо подготовить подарок и, конечно же, букет. А так же подобрать наряд, в котором я пойду.

Подарок я подготовила, а вот небольшой букет решила сделать сама, из конфет. Хочется чего-то необычного, да и такой букет дольше будет радовать мою подругу.

Начинаем.

У меня в наличии четыре цвета бумаги: желтая, малиновая, розовая, фиолетовая. В букете я хочу использовать сочетание двух цветов. Начинаем комбинировать: желтый -малиновый, желтый - розовый, желтый - фиолетовый, малиновый-розовый, малиновый - фиолетовый, розовый - фиолетовый. Получилось 6 вариантов сочетания двух цветов из четырех имеющихся.

Больше всего мне понравилось сочетание малинового и фиолетового цветов, поэтому букетик будет в этой цветовой гамме. (Приложение 3) Подарок есть, букет готов. Осталось подобрать наряд, в котором я пойду.

Я выбрала: три джемпера (белый, розовый и желтый), джинсы и юбку. Начинаем комбинировать.

Джинсы белый джемпер, джинсы розовый джемпер, джинсы желтый джемпер, аналогично перебираем джемпера с юбкой: юбка белый джемпер, юбка розовый джемпер, юбка желтый джемпер. Получилось 6 вариантов комплектов.

Учитывая то, что на дне рождении будет дискотека, мне понравился комплект: джинсы и розовая водолазка. Красиво и удобно. (Приложение 4)

Чтобы было веселей на празднике, я приготовила и провела несколько конкурсов для подружек, применяя различные комбинации в раскладке картинок.

Конкурс 1.

Фокус, который называется «Пять кучек карт».

Ведущий садится за стол вместе с четырьмя зрителями. Он сдает каждому (включая себя) по пять карт, предлагает всем посмотреть их и одну задумать. Затем собирает карты, раскладывает их на столе в пять кучек и просит кого-нибудь указать ему на одну из них. Далее берет эту кучку в руки, раскрывает карты веером, лицевой стороной к зрителям, и спрашивает, видит ли кто-нибудь из них задуманную карту. Если да, то ведущий (так и не заглянув ни разу в карты) сразу же её вытаскивает. Эта процедура повторяется с каждой из кучек, пока все задуманные карты не будут обнаружены. В некоторых кучках задуманных карт может вовсе не оказаться, в других же их может быть и две и более, но в любом случае карты отгадываются безошибочно. (Приложение 5)

Секрет фокуса:

Расположение загаданной карты в стопке соответствует номеру зрителя, считая слева направо вокруг стола. То есть когда загаданную карту видит зритель номер 2, то эта карта будет 2-ой, считая снизу. Если свою карту видит 4-ый зритель, то она будет 4-ой в стопке. И так далее.

Этот фокус основан на перестановке карт.

Конкурс 2.

В парке 4 пруда. Было решено засыпать песком дорожки между ними так, чтобы можно было пройти от одного пруда к другому кратчайшим путем, т.е. не нужно было идти в обход. Задание: покажи, какие дорожки надо сделать.

Решение:

Конкурс 3. 4 парусника готовились к соревнованиям. У каждого был свой корабль. Судьи решили, что надо раскрасить паруса, чтобы парусники были видны издалека и было ясно, кто из спортсменов идет впереди, кто запаздывает.

Задание: покажи, как по-разному раскрасить паруса, если есть всего две краски.

Решение:

Конкурс 4. Представим, что у нашей именинницы есть 2 кофты и 3 юбки – все разного цвета. Может ли она в течение 7 дней недели надевать каждый день разные костюмы?

Решение:

Ответ: не может

Конкурс 5. Сколько слов можно получить, переставляя буквы в слове Гора?

Решение.

1) В слове «гора» четыре буквы, все они различны, поэтому можно получить всего N= 1*2*3*4=24 различных слова.

Ответ: 24

Конкурс 6.В шахматном турнире принимали участие 15 шахматистов, причем каждый из них сыграл только одну партию с каждым из остальных. Сколько всего партий было сыграно в этом турнире?

Решение:

Первый игрок сыграл 14 партий (с2-м, 3-м, 4-м, и так до 15-го), 2- ой игрок сыграл 13 партий (3-м, 4-м, и т.д. до 15-го, исключаем то, что с первым партия уже была), 3-ий игрок − 12 партий, 4-ый − 11 партий, 5 – 10 партий, 6 – 9 партий, 7 – 8 партий, 8 – 7 партий, 9 – 6, 10 – 5 ,11 – 4, 12 – 3, 13 – 2, 14 – 1, а 15-ый уже играл со всеми.

Итого: 14+13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=105 партий

Ответ: 105 партий.

Конкурс 7. Имеются три слова “ДРУЖБА”, “ДЕЛО”, “ЛЮБИТ”. Сколькими способами из этих слов можно составить фразу?

Решение:

Обозначим предложенные слова заглавными буквами:

ДРУЖБА – Д

ЛЮБИТ – Л

ДЕЛО – Е (возьмем вторую букву этого слова)

Тогда все названные вами способы можно просто перечислить: ДЛЕ, ДЕЛ, ЛДЕ, ЛЕД, ЕДЛ, ЕЛД.

Ответ: 6 способов.

Заключение

Человеку часто приходится иметь дело с задачами, в которых приходится выбирать, подсчитывать число всевозможных способов расположения некоторых предметов или число всевозможных способов осуществления некоторых действий. Различные варианты, которые приходится выбирать, складываются в самые разнообразные комбинации. И комбинаторика - целый раздел математики, занимается поиском ответов на вопросы: сколько всего есть комбинаций в том или другом случае

Изучая данную тему, я кратко рассказала об истоках комбинаторики, великих математиках, которые занимались данным разделом математики. Привела примеры задач с решениями по комбинаторике, которые, кстати, часто встречаются в олимпиадных заданиях.

Комбинаторика – это раздел математики, который имеет широкую практическую направленность, потому что используется человеком в разных областях.

В своей работе я постаралась доказать, что комбинаторика сопровождает нас по жизни. Просто мы, не задумываясь, обращаемся к ней. Комбинаторика везде! Комбинаторика вокруг нас!

Таким образом, подтвердили гипотезу: комбинаторика - имеет широкую практическую направленность. Можно сделать вывод, что дальнейшее развитие комбинаторики необходимо для человечества.

Работая над проектом, я расширила свой кругозор и базу математических знаний. Все поставленные задачи решены, цель достигнута. Работа «Комбинаторика в нашей жизни» имеет практическое значение. Оно заключается в следующем: знание основных правил комбинаторики и умение их применять позволяет решать различные задачи.

Литература

Виленкин Н.Я., Виленкин А.Н., Виленкин П.А. Комбинаторика. - М.: Просвещение, 2006

Бродский Я. Об изучении элементов комбинаторики, вероятности, статистики в школе // Математика. – 2004. – № 31. – 2–8 с.

Игнатьев Е. И. В царстве смекалки / Под редакцией М. К. Потапова, текстол. Обработка Ю. В. Нестеренко. – 3-е изд. – М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1982 г., 208 с.

Мордкович А.Г., Семенов П.В. События. Вероятности. Статистическая обработка данных. М.: Мнемозина, 2005

Просмотров работы: 19819