VII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Загадочное число Пи
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение.
В математике существует бесконечное множество различных чисел. Большинство из них совершенно не привлекает внимания. Однако некоторые, на первый взгляд, абсолютно неинтересные числа известны настолько, что имеют даже свои имена. К одной из таких констант относится и иррациональное число Пи, изучаемое ещё в школе и используемое для расчёта площади или периметра окружности по заданному радиусу. Это число встретилось мне на уроке математики при изучении темы: «Длина окружности и площадь круга» в 6 классе. Меня это число заинтересовало, и я решил остановиться на данной теме проекта, а также выяснить, какие же интересные факты и события связаны с числом Пи.
Цель проекта: исследовать число Пи.
Задачи проекта:
Проанализировать информационные источники по данной теме;
Изучить историю числа Пи;
Рассмотреть интересные факты о числе Пи;
Провести практические вычисление с помощью простейших измерений и окружности.
Объект исследования: число Пи.
Предмет исследования: практические вычисления числа Пи.
Гипотеза: Если правильно провести практические вычисления числа Пи с помощью простейших измерений и окружности, то можно самостоятельно просчитать примерную величину числа Пи.
Данная работа может быть полезна как для учителя математики, так и для ученика с целью более глубокого изучения данной темы. Каждый, кто познакомиться с этой работой, узнает историю числа Пи, интересные факты и события, относящиеся к данной теме.
Теоретическая часть
1. История числа Пи
Само число Пи возникает в нашем мире как длина окружности, диаметр которой равен единице. Но, несмотря на то, что отрезок равный Пи вполне себе конечен, число Пи начинается, как 3.1415926 и уходит в бесконечность рядами цифр, которые никогда не повторяются. Первый удивительный факт состоит в том, что это число, используемое в геометрии, нельзя выразить в виде дроби из целых чисел. Иначе говоря, вы не сможете его записать отношением двух чисел a/b. Кроме этого число Пи трансцендентное. Это означает, что нет такого уравнения (многочлена) с целыми коэффициентами, решением которого было бы число Пи.
То, что число Пи трансцендентно, доказал в 1882 году немецкий математик фон Линдеман. Именно это доказательство стало ответом на вопрос, можно ли с помощью циркуля и линейки нарисовать квадрат, у которого площадь равна площади заданного круга. Эта задача известна как поиск квадратуры круга, волновавший человечество с древнейших времен. Казалось, что эта задача имеет простое решение и вот-вот будет раскрыта. Но именно непостижимое свойство числа Пи показало, что у задачи квадратуры круга решения не существует.
В течение как минимум четырех с половиной тысячелетий человечество пыталось получить все более точное значение числа Пи. Например, В Библии в Третьей Книги Царств (7:23) число Пи принимается равным 3.
Замечательное по точности значение Пи можно обнаружить в пирамидах Гизы: соотношение периметра и высоты пирамид составляет 22/7. Эта дробь дает приближенное значение Пи, равное 3.142… Если, конечно, египтяне не задали такое соотношение случайно. Это же значение уже применительно к расчету числа Пи получил в III веке до нашей эры великий Архимед.
В папирусе Ахмеса, древнеегипетском учебнике по математике, который датируется 1650 годом до нашей эры, число Пи рассчитано как 3.160493827.
В древнеиндийских текстах примерно IX века до нашей эры наиболее точное значение было выражено числом 339/108, которое равнялось 3,1388…
После Архимеда почти две тысячи лет люди пытались найти способы рассчитать число Пи. Среди них были как известные, так и неизвестные математики. Например, римский архитектор Марк Витрувий Поллион, египетский астроном Клавдий Птолемей, китайский математик Лю Хуэй, индийский мудрец Ариабхата, средневековый математик Леонардо Пизанский, известный как Фибоначчи, арабский ученый Аль-Хорезми, от чьего имени появилось слово «алгоритм». Все они и множество других людей искали наиболее точные методики расчета Пи, но вплоть до 15 века никогда не получали больше чем 10 цифр после запятой в связи со сложностью расчетов.
В Китае, математик и придворный астроном, Цзу Чунчжи в V веке до н. э. обозначил более точное значение числа Пи, рассчитав его до семи цифр после запятой и определил его значение между числами 3, 1415926 и 3,1415927. Более 900 лет понадобилось ученым, чтобы продолжить дальше этот цифровой ряд.
Наконец, в 1400 году индийский математик Мадхава из Сангамаграма рассчитал Пи с точностью до 13 знаков (хотя в двух последних все-таки ошибся).
В XV веке самаркандский математик и астроном Ал-Каши вычислил число Пи с шестнадцатью знаками после запятой. Его результат считался наиболее точным в течение последующих 250 лет.
У. Джонсон, математик из Англии, одним из первых смог обозначить отношение длины окружности к ее диаметру буквой π. Пи — это первая буква греческого слова «περιφέρεια» — окружность. Но этому обозначению удалось стать общепринятым лишь после того, как им воспользовался в 1736 году более известный ученый Л. Эйлер.
Современные ученые продолжают работать над дальнейшими вычислениями значений числа Пи. Для этого уже используют суперкомпьютеры. В 2011 г. ученый из Японии Сигэру Кондо, сотрудничая с американским студентом Александром Йи, произвели правильный расчет последовательности из 10 триллионов цифр. Но до сих пор так и неясно, кто открыл число Пи, кто впервые задумался над этой проблемой и произвел первые расчеты этого, по-настоящему мистического числа.
2. Интересные факты о числе Пи.
Изучив различную литературу про число Пи, можно сделать вывод, что существует очень много интересных фактов и теорий на данную тему.
Например, ежегодно 14 марта отмечается Международный день числа «Пи». Это событие на первый взгляд совсем малозначительное. Ведь что такое это число «Пи»? Просто отношение длины окружности к ее диаметру. Однако это загадочное число волнует с глубокой древности умы многих математиков. Поэтому несколько десятков лет назад ученые договорились отмечать ежегодный праздник числа «Пи». Почему именно 14 марта? Тоже очень просто. В американском исчислении этот день пишется как 3.14 – то есть три первые цифры числа «Пи».
Вообще число Пи - самая известная константа в математическом мире.
В эпизоде сериала Стар Трек «Волк в овчарне» Спок командует компьютеру из фольги «вычислить до последней цифры значение числа Пи».
Комик Джон Эванс однажды язвительно заметил: «Что Вы получите, если разделите окружность фонаря из тыквы с прорезанными отверстиями в виде глаза, носа и рта на его диаметр? Тыкву π!».
Учёные в романе Карла Сагана «Связь» пытались разгадать довольно точное значение числа Пи, чтобы найти скрытые сообщения от создателей человеческой расы и открыть людям доступ к "более глубоким уровням вселенских знаний".
Символ Пи (π) используется в математических формулах уже на протяжении 250 лет.
Во время знаменитого суда над О.Дж.Симпсоном возникли споры между адвокатом Робертом Бласиером и агентом ФБР о фактическом значении числа Пи. Задумано это всё было для того, чтобы выявить недостатки в уровне знаний агента госслужбы.
Мужской одеколон от компании Гивенчи, названный «Пи», предназначен для привлекательных и дальновидных людей.
В греческом («π» (piwas)) и английском («p») алфавитах этот символ располагается на 16 позиции.
Первые 144 цифры числа Пи после запятой заканчиваются цифрами 666, которые упоминаются в Библии как «число зверя».
Если рассчитать длину экватора Земли с использованием числа π с точностью до девятого знака, ошибка в расчетах составит около 6 мм.
В 1995 году Хирюки Гото смог воспроизвести по памяти 42 195 знаков числа Пи после запятой, и до сих пор считается действительным чемпионом в этой области.
Людольф ван Цейлен (род.1540 – ум.1610 гг.) провёл большую часть своей жизни над расчетами первых 36 цифр после запятой числа Пи (которые были назваными «цифрами Лудольфа»). Согласно легенде, эти цифры были выгравированы на его надгробной плите после смерти.
Уильям Шэнкс (род.1812-ум.1882 гг.) работал в течение многих лет, чтобы найти первые 707 цифр числа Пи. Как оказалось позже, он допустил ошибку в 527 разряде.
В 2002 году японский учёный просчитал 1,24 триллиона цифр в числе Пи с помощью мощного компьютера HitachiSR 8000. В октябре 2011 года число π было рассчитано с точностью до 10.000.000.000.000 знаков после запятой.
Так как 360 градусов в полном круге и число Пи тесно связаны, некоторые математики пришли в восторг, узнав, что цифры 3, 6 и 0 находится на триста пятьдесят девятом разряде после запятой в числе Пи.
Люди изучают число π уже на протяжении 4000 лет. Существуют люди, которые поставили рекорды по запоминанию цифр в числе Пи. Например, одним из самых известных является японец Харакучи Акира, который смог озвучить более 83 тыс. знаков. Китаец Чао Лю запланировал за сутки написать более 93 тыс. знаков, но он сделал ошибку, так что смог написать только 67890 цифр.
Кстати, существует сайт pi.com, на котором можно найти лишь запись из нескольких знаков числа Пи. Если обратиться к автору, то необходимо для этого перечислить любым из предлагаемых способов 3 доллара.
Есть предположения, что число Пи использовалось при возведении Вавилонской башни. А рухнула она из-за того, что расчеты были неверными (неточными). Кстати такая же история есть и о храме Соломона.
Можно сделать вывод, что числоПи является самой популярной и незаменимой константой в вычислениях. Хотя оно используется уже несколько тысячелетий, его современное название появилось только 300 лет назад, а полное значение не установлено, ведь человечество никогда не сможет высчитать его точно. Вот почему это число является одним из самых интересных в математике.
Практическая часть.
3. Практическое вычисление числа Пи с помощью простейших измерений.
Н ачертим на плотном картоне окружность радиуса r=8 см и вырежем получившийся круг. Далее обмотаем вокруг данного круга тонкую нить. Измерив длину нити получили l=51,1 см.
Разделим длину нити на длину диаметра dокружности: 51,1:16=3,19. Данный способ вычисления числа Пи довольно грубый и в обычных условиях дает приближенное значение числа с точностью до 1.
Практическое вычисление числа Пи с помощью окружности.
Для более точного вычисления, возьмем для расчета 3 четверти окружности. Найдем площадь внутри ее и снаружи. Получим:
1 .
Имеем:
2 . Имеем:
3. Имеем:
Проведя данные вычисления, найдем среднее значение .
Таким образом, для вычисления числа Пи мы использовали три четверти окружности. Находили площадь внутреннюю и площадь ограниченную ломаной снаружи. Вычислив среднее значение мы получили число Пи равное 3,1558, практически приближенное к 3,14.
Заключение.
Из курса математики мы знаем, что число Пи выражает отношение длины окружности к длине ее диаметра. Данное число бесконечно, ведь на данный момент никто не знает его последних цифр. Также данное число трансцендентно и иррационально. Большинство даже и не знают, что эта математическая константа интересная и загадочная. В своей работе я рассмотрел различные факты о числе Пи. Для этого я изучил большое количество информации, обработал ее, выделил в ней главное. Разобрав историю данного числа, я понял, что оно корнями уходит в древность. Еще тогда ученые пытались различными способами вычислить его значение.
Проведя практические вычисления числа Пи, я получил приближенное значение данной величины. В своей работе были использованы два основных метода: с помощью простейших измерений и при помощи окружности. Наиболее точные результаты показал способ вычисления при помощи окружности. Вычислив среднее значение мы получили число Пи равное 3,1558, практически приближенное к 3,14.
Таким образом, можно сделать вывод, что поставленные задачи решены и цель достигнута. В дальнейшем можно изучить другие числа, которые известны в математике.
Список литературы.
1. Атанасян Л.С. Геометрии: учеб. для 7-9 кл. общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 13-е изд. – М.: Просвещение, 2014.
2. Груденов Я.И. Изучение определений, аксиом, теорем: пособие для учителей/Я.И. Груденов. М.: Просвещение, 1981. 95 с.
3. Глейзер Г.И. История математики в школе IV- VI классы. – М.: Просвещение, 1982.
4. Жуков А.В. Вездесущее число Либроком М: 2011
5. Жуков А.В. Вездесущее число «пи». - М.: Едиториал УРСС, 2004.
6. Костовский А.Н. Геометрические построения одним циркулем/А.Н.Костовский; 3-е изд. М.: Наука, 1988. Вып. 29: Популярные лекции по математике.
7. Кымпан Ф. История числа пи М.: Наука, 1971. -216 с
8. Мантуров О.В. Толковый словарь математических терминов: Пособие для учителей / О.В.Мантуров, Ю.К.Солнцев, Ю.И.Соркин, Н.Г.Федин. – М.: Просвещение, 2013г
9. Математический энциклопедический словарь/гл. ред. Ю.В.Прохоров. М.: Советская энциклопедия, 1998.
10. Митропольский А.К. Краткие математические таблицы/А.К.Митропольский; ред. А.З.Рывкин. М.: ФМ, 1962. 96 с.
11. Рывкин А.А. Справочник по математике/А.А.Рывкин, А.З.Рывкин, Л.С.Хренов. М.: Высшая школа, 1964. 520 с.
12. Симонов Р.А. Математическая мысль древней Руси/Р.А Симонов. М.: Наука, 1977. 120 с. (История науки и техники).
13. Свечников А.А. Путешествие в историю математики – М.: Педагогика – Пресс, 1995.
14. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. Перевод с немецкого и дополнения И.Б. Погребысского - М.: «Наука» Главная редакция физико-математической литературы, 2012 г.
15. Цыпкин А.Г. Справочник по математике для средней школы/А.Г.Цыпкин; под ред. С.А.Степанова. М.: Наука, ФМ, 1980. 400 с. Чистяков В.Д. Три знаменитые задачи древности: пособие для внеклассной работы/В.Д.Чистяков. М.: Учпедгиз, 1963. 95 с.
16. Шевелев И.Ш. Золотое сечение: три взгляда на природу гармонии/И.Ш.Шевелев, М.А.Марутаев, И.П.Шмелев. М.: Стройиздат, 1990. 343 с.
17. Яковлев В.И. Математические начала: учеб. пособие для вузов по специальности (направлению) "Математика"/В.И.Яковлев. М.; Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2005. 224 с.