Логические задачи

VII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Логические задачи

Носков Я.Д. 1
1МБОУ "Средняя общеобразовательная школа №13" г. Калуги
Регеда Е.А. 1
1МБОУ "Средняя общеобразовательная школа №13" г.Калуги
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

Развитию творческой активности, инициативы, любознательности, смекалки способствует решение нестандартных задач, логических.

Логические задачи – это неотъемлемая часть сегодняшнего дня. Они не покидают ученика в течение всего обучения в школе.

Логические задачи вызывают массу трудностей у школьников. Чтобы помочь справиться с этими задачами надо изучить типы логических задач и способы их решения. Только решение трудной, нестандартной задачи приносит радость победы. При решении логических задач предоставляется возможность подумать над необычным условием, рассуждать. Это вызывает и сохраняет интерес к математике.

В наше время очень часто успех человека зависит от его способности четко мыслить, логически рассуждать и ясно излагать свои мысли. Без приобретения навыков умственного труда, культуры мышления невозможно успешное овладение основами наук.

Поэтому целью этой работы является изучение видов логических задач, методов их решения, а также возможности развивать свои способности, умения рассуждать и делать правильные выводы.

Задачи:

1. Ознакомление с понятиями «логика» и «математическая логика».

2. Используя литературу, изучить типы логических задач.

3. Изучение основных методов решения логических задач.

4. Проведение диагностики на выявление уровня логического мышления учащихся 6 класса.

Актуальность темы очевидна, так как логические задачи помогают расширить свой кругозор и развить логическое мышление.

I. Что такое логика?

Итак, логика - одна из древнейших наук. Отдельные истоки логического учения можно обнаружить еще в Индии, в конце II тысячелетия до н. э. Основоположником логики как науки является древнегреческий философ и ученый Аристотель. Именно он обратил внимание на то, что в рассуждениях мы из одних утверждений выводим другие, исходя не из конкретного содержания утверждений, а из определенной взаимосвязи между их формами, структурами.

Чтобы правильно рассуждать, надо изучить правильные способы и методы рассуждении. Научится правильно составлять высказывания, или, как говориться в математической логике, выполнять операции над высказываниями. При этом необходимо знать, вытекает ли истинность сложных высказываний из истинности составляющих их более простых предложений. Анализом методов рассуждений занимается наука логика, а исследованием и изучением математических рассуждений – математическая логика.Логика служит одним из инструментов почти любой науки.

II. Типы логических задач.

Нечисловые задачи очень разнообразны по сложности, содержанию и способности решения. Логическиезадачи составляют обширный класс нестандартных задач. Сюда относятся, прежде всего, текстовые задачи, в которых требуется распознать объекты или расположить их в определенном порядке по имеющимся свойствам. При этом часть утверждений условия задачи может выступать с различной истинностной оценкой (быть истинной или ложной).

Все логические задачи делятся на определенные группы (типы):

Истинноностные задачи

Задачи, решаемые с конца

Задачи на переливание

Задачи на взвешивание

Задачи типа «Кто есть кто?»

Задачи на пересечение и объединение множеств

Математические ребусы

III. Методы решения логических задач.

Решать логические задачи очень увлекательно. В них вроде бы нет никакой математики - нет ни чисел, ни треугольников, а есть только лжецы и мудрецы, истина и ложь. В то же время дух математики в них чувствуется ярче всего - половина решения любой математической задачи (а иногда и гораздо больше половины) состоит в том, чтобы как следует разобраться в условии, распутать все связи между участвующими объектами.

При решении определенного типа задач существует свой оптимальный метод решения:


Истинноностные задачи

При решении задач данного типа лучше всего использовать метод рассуждений. Он позволяет проводить рассуждения, используя последовательно все условия задачи, и приходить к выводу, который и будет являться ответом задачи.


Задачи на пересечение и объединение множеств

Это тип задач, в которых требуется найти некотороепересечение множеств или их объединение, соблюдая условия задачи. Метод Эйлера является незаменимым при решении задач этого типа, а также упрощает рассуждения. Однако, прежде чем приступить к решению задачи, нужно проанализировать условие.


Задачи на переливание

При решении текстовых логических задач на переливание применяется метод построения таблиц. Таблицы не только позволяют наглядно представить условие задачи или ее ответ, но в значительной степени помогают делать правильные логические выводы в ходе решения задачи.


Задачи на взвешивание

В таких задачах от решающего требуется локализовать отличающийся от остальных предмет по весу за ограниченное число взвешиваний. Поиск решения в этом случае осуществляется путем операций сравнения, правда, не только одиночных элементов, но и групп элементов между собой. Задачи данного типа чаще всего решаются методом рассуждений.


Математические ребусы


Записи восстанавливаются на основании логических рассуждений. При этом нельзя ограничиваться отысканием только одного решения. Испытание нужно доводить до конца, чтобы убедиться, что нет других решений, или найти все решения.


Задачи, решаемые с конца


Такие задачи очень часто ребята задают друг другу в виде головоломок на задуманное число. Задачи решаются методом математических вычислений, основанных на конечном результате в условии.


Задачи типа

«Кто есть кто?»


Смысл задач под кодовым названием «Кто есть кто?» довольно прост. Нам даются отношения между предметами и следуя по цепочке этих отношений, мы приходим к правильному результату. Задачи данного типа чаще всего решаются методом графов.

IV. Подробное рассмотрение трёх способов решения логических задач.
Разнообразие логических задач очень велико. Способов их решения тоже немало. Рассмотрим три самых часто используемых способов решения логических задач:
- метод графов;

-круги Эйлера;
- табличный;

1) Метод графов.

Даны отношения между предметами и следуя по цепочке этих отношений, мы приходим к правильному результату. Граф – это несколько точек, часть которых соединены друг с другом отрезками или стрелками. Рассмотрим метод графов на примере решения задачи.
Задача “Любимые мультфильмы”: Жила-была одна дружная семья: мама, папа и сын. Они все любили делать вместе. Но вот мультфильмы любили разные: «Ну, погоди!», «Покемоны», «Том и Джерри». Определите, какой мультфильм любит каждый из них, если мама, папа и любитель мультфильма «Покемоны» никогда не унывают, а папа и любитель мультфильма «Том и Джерри» делают зарядку по утрам?
Решение.Рассмотрим множество людей: мама, папа, сын и множество мультфильмов «Ну, погоди!», «Покемоны», «Том и Джерри». Обозначим элементы этих двух множеств точками.
Поэтому граф на рисунке будет выглядеть следующим образом:

Если точке из одного множества соответствует точка другого множества, будем соединять эти точки сплошной линией, если не соответствует – то штриховой. Заметим, что по условию задачи у человека только один любимый мультфильм. Поэтому нужно найти единственно возможное соответствие между элементами двух множеств.

Правило: если какая-то точка оказывается соединенной с двумя точками другого множества штриховыми линиями, то с третьей точкой она должна быть соединена сплошной.
Поэтому граф на рисунке будет выглядеть следующим образом:

Теперь мы установили, что папа любит мультфильм «Ну, погоди!», сын – «Покемоны». В обеих множествах остается только по одной точке, следовательно мама любит мультфильм «Том и Джерри».

Задача решена.
2) Круги Эйлера. Второй способ, которым решаются такие задачи круги Эйлера – задачи на пересечение или объединение множеств.
Это новый тип задач, в которых требуется найти некоторое пересечение множеств или их объединение, соблюдая условия задачи.
Круги
Эйлера геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления.
Метод Эйлера является незаменимым при решении некоторых задач, а также упрощает рассуждения. Однако, прежде чем приступить к решению задачи, нужно проанализировать условие. Иногда с помощью арифметических действий решить задачу легче.

Задача "Обитаемый остров" и "Стиляги" : Некоторые ребята из нашего класса любят ходить в кино. Известно, что 15 ребят смотрели фильм «Обитаемый остров», 11 человек – фильм «Стиляги», из них 6 смотрели и «Обитаемый остров», и «Стиляги». Сколько человек смотрели только фильм «Стиляги»?

Решение. Чертим два множества таким образом:

6 человек, которые смотрели фильмы «Обитаемый остров» и «Стиляги», помещаем в пересечение множеств.
15 – 6 = 9 – человек, которые смотрели только «Обитаемый остров».
11 – 6 = 5 – человек, которые смотрели только «Стиляги».

Получаем:


Ответ: 5 человек смотрели только «Стиляги».

3) Решение логических задач табличным способом.
Основной прием, который используется при решении текстовых логических задач, заключается в построении таблиц. Таблицы не только позволяют наглядно представить условие задачи или ее ответ, но в значительной степени помогают делать правильные логические выводы в ходе решения задачи. Рассмотрим способ решения на конкретной задаче.

Задача. Три клоуна Бим, Бам и Бом вышли на арену в красной, зеленой и синей рубашках. Их туфли были тех же цветов. У Бима цвета рубашки и туфель совпадали. У Бома ни туфли, ни рубашка не были красными. Бам был в зеленых туфлях, а в рубашке другого цвета. Как были одеты клоуны?

Решение. Составим таблицу, в столбцах которой отметим возможные цвета рубашек и туфель клоунов. Будем заполнять таблицу, используя условия задачи. Туфли Бама зеленые, а рубашка не является зеленой. Следовательно, у Бима и Бома туфли уже не могут быть зелеными, так же как не могут быть туфли Бама синими или красными.

Отметим все это в таблице:

Ответ: Бом – в синих туфлях и зелёной рубашке, Бим – во всём красном, Бам – в зеленых туфлях и синий рубашке.

V. Интересны ли логические задачи учащимся 6 класса ?

В практической части моей научной работы я подобрал несколько логических задач типа «Кто есть кто?», соответствующие уровню 6 класса, и раздал их для решения своим одноклассникам. Задачи были решены. После чего мною были проанализированы полученные результаты.

Задачи следующего содержания:

Задача 1. Леня, Женя и Миша имеют фамилию Орлов, Соколов и Ястребов. Какую фамилию имеет каждый мальчик, если Женя, Миша и Соколов - члены математического кружка, а Миша и Ястребов занимаются музыкой? (Ответ: Алёша Соколов, Женя Ястребов, Миша Орлов).

Задача 2. В семье четверо детей им 5, 8, 13 и 15 лет.
Зовут их Таня, Юра, Света и Лена.
Сколько лет каждому из них, если одна девочка ходит в детский сад, Таня старше, чем Юра, а сумма лет Тани и Светы делится на 3? (Ответ: Свете 5, Юре 8, Тане 13, Лене 15).

Среди учеников моего класса, в количестве 30 человек, с двумя предложенными задачами типа "Кто есть кто?" справилось 19 человек, среди которых 11 девочек и 8 мальчиков. С первой задачей справились почти все учащиеся. Вторая задача, вызвала у затруднения.

Результаты решения представлены на диаграмме:

Из диаграммы видно, что 63% (19 человек) успешно справились с двумя задачами, только с первой задачей — 73% (22 человека). Не решили ни одну из задач верно — 27%

(8 человек).

Ребята со всей ответственностью и большим интересом отнеслись к решению логических задач. Несмотря на то, что с задачами справились не все ученики, этот процесс их очень увлек. Подводя итог, можно сделать вывод, что если при обучении математике использовать решение нестандартных задач, то это приведет к повышению интереса к урокам математики и развитию математических способностей учащихся.

VI. Логические задачи на уроках математики в общеобразовательных школах.

Я решил составить таблицу соответствия некоторых логических задач темам, изучаемым на уроках математики.

Вот, что у меня получилось:

Логические задачи

Тема урока по математике

1. Деду, отцу и сыну вместе 100 лет. Отцу и сыну вместе 45 лет. Сын на 25 лет моложе отца. Сколько кому лет?

Решение: деду 100-45=55 лет; сыну10 лет; отцу 35 лет.

Устный счет

2. Разделите 5 яблок поровну между шестью детьми, не разрезав никакое яблоко больше, чем на 3 части

Решение: 3 яблока разрезать на две равные части. 2 яблока на три. Получим 6 половин и 6 третей. Дать каждому половину и треть.

Дроби

3. Белка за 20 минут приносит орех в гнездо. Далеко ли орешник от гнезда, если известно, что налегке белка бежит со скоростью 5 м/с , а с орехом — 3 м/с?

Решение: Пусть х – искомый путь. 20мин=20∙60=1200с. 
х/5 +х/3 =1200
х = 1200*15:8
Ответ: 2250 м.

Средняя скорость

4. Решите: К · О · Т = У · Ч · Ё · Н · Ы · Й

Решение:

8х9х10=1х2х3х4х5х6

720=720

Разложение на множители

5. Груша тяжелее яблока,а яблоко тяжелее персика. Что тяжелее: груша или персик?

Решение: Груша тяжелее всех, затем яблоко, и самый лёгкий это персик

Неравенства

Основные выводы: применение логических задач на уроках математики в общеобразовательных школах помогает развитию логического мышления у учащихся, расширяет математический кругозор, а также способствуют развитию силы воли, трудолюбия, настойчивости в преодолении трудностей, упорства в достижении целей.

VII. Заключение

В данной работе мы познакомились с понятием «логика» и «математическая логика», изучили логические задачи. Узнали на какие типы они делятся, какие бывают методы и способы их решения. Некоторые методы мы рассмотрели более подробно. Из этого можно сделать вывод, что применяя только изученные способы решения логических задач, невозможно решить все математические задачи. Мною была составлена таблица соответствия некоторых логических задач с темами, изучаемыми на уроках математики. Также, я предложил своим одноклассникам решить пару нестандартных логических задач. Несмотря, на то что не все ученики с ними справились, это задание вызвало у них большой интерес.

Из вышеизложенного можно сделать вывод — необходимо включить изучение логических задач в программу по математике в общеобразовательных школах. Так как это способствует повышению интереса учащихся к данному предмету, развитию нестандартного мышления, трудолюбия и внимания.

VIII. Библиография:

1.Математическая логика // Википедия /http://ru.wikipedia.org.

2.Тысяча и одна задача по математике: Кн. Для учащихся 5-7 кл./А.В.Спивак.-3-е изд.-М.: Просвещение, 2010.-207 с.: ил.-ISBN 978-5-09-023442-9.

3. Кэрролл Л. Логическая игра. – М., 1991.

4. Интернет-ресурсы:

http://wiki.iteach.ru

http://dic.academic.ru

http://bibliofond.ru

http://tolkslovar.ru

Просмотров работы: 13632