VII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Геометрические фракталы как математический объект и не только...
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Предмет исследования: способы построения геометрических фракталов и их применение в науке.
Объект исследования: геометрические фракталы.
Цель исследования: изучение механизмов построения геометрического фрактала.
Задачи исследования:
дать определение понятия фрактал
изучить существующие виды фракталов
построить геометрический фрактал, на основе треугольников, составляющих ромб.
рассмотреть применение фракталов в различных областях науки
Методологическую базу составили геометрические фракталы: треугольник Серпинского, ковер Серпинского, кривая Коха, снежинка Коха, кривая Леви, кривая Минковского, дракон Хартера-Хайтвея, дерево Пифагора.
Самые гениальные открытия в науке способны кардинально изменить человеческую жизнь. Но есть и такие открытия, которым мало кто придает значение, хотя они тоже влияют на нашу жизнь. К числу таких открытий и относятся фракталы.
В настоящее время фрактал стал одной из самых популярных фигур и является неотъемлемой частью нашей жизни в самых различных ее областях. Мы используем фракталы, не задумываясь о том, что, фракталы, это не только красивые картинки, а обширная область в математике, имеющая практическое значение. В связи с этим нам представляется актуальным рассмотреть геометрический фрактал как математический объект, который находит все большее применение в науке.
Глава 1. Геометрические фракталы как математический объект
1.1. Понятие фрактал и его классификации
Прежде, чем приступить к рассмотрению непосредственно геометрических фракталов, нам представляется необходимым, рассмотреть само понятие «фракталы» и их классификацию.
Согласно классическому определению, фрактал (от лат fractus – изломанный) – это бесконечно самоподобная геометрическая фигура, каждый фрагмент которой повторяется при уменьшении масштаба. Другими словами, если взять часть фрактала, то по ней можно восстановить весь фрактал.
Такие математические формы, как фракталы, стали известны благодаря французскому и американскому математику Бенуа Мандельброту. В своих научных трудах, посвященных изучению «фрактальной геометрии» или «геометрии природы», он разбивал случайные, на первый взгляд, математические формы на составные элементы, оказавшиеся при ближайшем рассмотрении повторяющимися. Определение фрактала, данное Мандельбротом, звучит так: «Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому» [6].
Анализируя процессы, наблюдаемые в окружающем мире, Мандельброт пытается найти логичность происходящего и вывести некоторую закономерность. Свои фрактальные теории он продвигал, встречая большое сопротивление ортодоксальных математиков, привыкших к стандартным решениям.
«Природа демонстрирует нам не просто более высокую степень, а совсем другой уровень сложности. Число различных масштабов длин в структурах всегда бесконечно. Существование этих структур бросает нам вызов в виде трудной задачи изучения тех форм, которые Евклид отбросил как бесформенные – задачи исследования морфологии аморфного. Математики, однако, пренебрегли этим вызовом и предпочли все больше и больше отдаляться от природы, изобретая теории, которые не соответствуют ничему из того, что можно увидеть или почувствовать» [6].
Согласно Мандельброту, даже в хаосе можно найти связь между событиями, и эта связь – фрактал. Можно сказать, что фракталы – это уникальные объекты, порожденные непредсказуемыми движениями хаотического мира. Век компьютерных технологий позволил нам увидеть фракталы, которые встречаются в самых различных областях: медицине, архитектуре, биологии, литературе и т.д. Глядя на них, сложно поверить, что за ними скрываются математические формулы. Тем не менее, с математической точки зрения, фрактал – это, прежде всего, множество с дробной (промежуточной, «не целой») размерностью. В то время как гладкая евклидова линия заполняет в точности одномерное пространство, фрактальная кривая выходит за пределы одномерного пространства, вторгается за границы в двумерное пространство. Это, прежде всего, означает, что у фрактального объекта невозможно точно измерить его длину. В книге Бенуа Мандельброта «Фрактальная геометрия природы» рассматривается проблема измерения длины границы побережья. Мандельброт выяснил, что при разных масштабах карты, длина побережья меняется. При более крупном масштабе граница становится более подробной, появляются новые более мелкие подробности [6]. Это и есть одна из краеугольных проблем фрактальной геометрии.
В научном мире известны различные классификации фракталов. Мы постарались объединить их, представив на следующей схеме:
Так как, в небольшой исследовательской работе не представляется возможным подробно рассмотреть все типы фракталов, представленные на схеме, мы посчитали уместным более подробно остановиться на исследовании геометрических фракталов.
1.2. Известные геометрические фракталы и способы их построения
Геометрические фракталы с одной стороны, являются предметом серьезного научного изучения, а с другой — даже человек, далекий от математики, найдет в них что-то для себя. Такое сочетание редко встречается в современной математике, где все объекты задаются с помощью непонятных слов и символов. Многие геометрические фракталы можно нарисовать на листочке бумаги в клетку. Например, на большом листе миллиметровой бумаги можно вручную нарисовать такое точное приближение к ковру Серпинского, что с расстояния в несколько метров невооруженный глаз будет воспринимать его как настоящий фрактал. Современные технологии позволяют увеличить точность рисования и получить удивительные по красоте изображения.
Вообще, все геометрические фракталы обладают так называемым жестким самоподобием, которое не меняется при изменении масштаба, в связи с чем, они являются одними из самых наглядных.
Геометрические фракталы получаются путем простых геометрических построений. Для их построения характерно задание "основы" и "фрагмента", повторяющегося при каждом уменьшении масштаба. В двухмерном случае их получают с помощью некоторой ломаной (или поверхности в трехмерном случае), называемой генератором. Простейшие геометрические фракталы: треугольник Серпинского, ковер Серпинского, кривая Коха, снежинка Коха, кривая Леви, кривая Минковского, дракон Хартера-Хейтуэя, дерево Пифагора.
Рассмотрим правила построения этих геометрических фракталов.
Кривая Коха
Процесс построения кривой Коха следующий:
Берём отрезок единичной длины
Делим на три равные части
Заменяем средний интервал равносторонним треугольником без основания.
Каждое из полученных звеньев вновь поделим на три равные части
Опять заменим средний интервал равносторонним треугольником без основания.
Если продолжать этот процесс до бесконечности, то получиться фрактал, который известен как кривая Коха.
Три копии кривой Коха, построенные (остриями наружу) на сторонах правильного треугольника, образуют замкнутую кривую, называемую снежинкой Коха.
Снежинка Коха
Для построения снежинки Коха выполним следующие операции:
1. Возьмем равносторонний треугольник.
2. Затем каждую из сторон этого треугольника разделим на три равные части.
3. Уберем среднюю часть и в середине достроим равносторонний треугольник.
4. Каждая из сторон новой фигуры подвергается такой же процедуре деления на три равные части и достраивания равностороннего треугольника, и так до бесконечности [1].
В результате возникает симметричная, похожая на снежинку, бесконечно изломанная кривая, называемая снежинкой Коха.
Кривая Леви
Существуют различные вариации построения кривой Леви. Одна из них следующая:
Взять половину квадрата вида ⅂.
Каждую сторону заменить таким же фрагментом.
Повторяя эту операцию, в пределе получим кривую Леви.
Кривая Минковского (или сосиска Минковского)
Берется отрезок.
Отрезок преобразуется в ломаную.
Процедура применяется к каждому из 8 звеньев ломаной и до бесконечности.
Предельная кривая называется кривой Минковского.
Треугольник Серпинского
Для получения этого фрактала используется равносторонний треугольник.
Необходимо разделить этот треугольник средними линиями на 4 треугольника
Изъять внутренний треугольник.
Эти же действия повторить с каждым из оставшихся трех треугольников, и т.д.
Ковер Серпинского (или квадрат Серпинского)
1. Квадрат делится двумя горизонтальными и двумя вертикальными линиями на девять равных частей-квадратов, подобных исходному квадрату.
2. Затем удаляется центральный квадрат.
3. Получается множество, состоящее из 8 оставшихся квадратов, к которым применяется та же процедура.
Продолжая этот процесс бесконечно, получим бесконечную последовательность или ковер Серпинского.
Кривая дракона (или дракон Хартера — Хейтуэя)
Кривая дракона или дракон Хартера — Хейтуэя, названный в честь исследователей физиков Джона Хейтуэя и Уильяма Хартера был описан математиком и составителем головоломок Мартином Гарднером [2]:
Возьмем отрезок.
Повернем его на 90 градусов вокруг одной из вершин и добавим полученный отрезок к исходному. Получим уголок из двух отрезков.
Повторим описанную процедуру. Повернем уголок на 90 градусов вокруг вершины и добавим полученную ломаную к исходной.
Повторяя названные действия и уменьшая ломаные, будем получать все более сложные линии, напоминающие фигуру дракона.
Дерево Пифагора
Пифагор, доказывая свою знаменитую теорему (а2 + b2 = c2 – сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы), построил фигуру, где на сторонах прямоугольного треугольника расположены квадраты, так называемые «пифагоровы штаны».
Процесс построения дерева Пифагора следующий:
Рисуем квадрат.
Строим прямоугольный треугольник на одной из его сторон.
Затем на катетах этого треугольника строим квадрат.
Потом процесс повторяется для этих квадратов и т.д.
Глава 2. Экспериментальная модель построения геометрического фрактала и применение фракталов в различных областях науки
2.1. Построение геометрического фрактала
Как уже говорилось ранее, в двухмерном случае фракталы получают с помощью некоторой ломаной, называемой генератором. Простейшие геометрические фракталы получаются следующим образом:
фигура, служащая основой для построения фрактала
определенный набор правил, который ее преобразует
бесконечное повторение набора правил
геометрический фрактал
Согласно этим правилам, мы построили фрактал на основе треугольников, составляющих ромб и применив в качестве исходной фигуры генератора треугольник. Далее, применили к нему следующий набор правил:
Делим ромб горизонтальной линией на два равносторонних (правильных) треугольника.
В получившихся треугольниках от середины сторон строим равносторонний треугольник.
Потом процесс повторяется для этих треугольников и так до бесконечности.
2.2. Практическое применение геометрических фракталов
Бенуа Мандельброт [6] и другие ученые, такие как Клиффорд А. Пикковер [8], Джеймс Глейк [3] или Г. О. Пайтген [7] пытались расширить область фрактальной геометрии так, чтобы она могла быть применена практически ко всему в мире, от предсказания цен на рынке ценных бумаг до совершения новых открытий в теоретической физике. Фрактальный анализ произвел революцию в характере исследований в различных областях науки.
Вот несколько примеров:
В физике:
Фракталы помогаютсмоделировать турбулентные потоки, что позволяет им лучше понять их динамику. Фракталы также используются для описания кривизны поверхностей. «…фрактальные алгоритмы позволяют точно описывать и предсказывать свойства твердых, пористых, губчатых тел. Это помогает в создании новых материалов с необычными и полезными свойствами». [10]
В геологии и геофизике:
Можно очень точно вычислить длины побережий, зная фрактальную размерность побережий островов и континентов. «Фрактальный анализ помогает в поиске и разработке месторождений полезных ископаемых…. Геофизика использует фракталы и фрактальный анализ для исследования аномалий магнитного поля, для исследования климата, для изучения распространения волн и колебаний в упругих средах». [10]
В компьютерной графике:
Геометрические фракталы используются для получения изображений листьев, кустов, деревьев, объемных текстур и т.д.
В телекоммуникациях:
Фракталы используются «для создания фрактальных антенн, …нового класса электрически малых антенн». «В сфере сетевых технологий ведутся разработки и исследования возможности фрактального сжатия трафика передаваемого по сетям для более эффективной передачи информации». [10]
В медицине:
Рентгеновские снимки, обработанные с помощью фрактальных алгоритмов, дают более качественную картинку и как следствие более качественную диагностику.
«Еще одна область в медицине, где активно могут применяться фракталы – это гастроэнтерология…. Применение фрактального анализа к получаемым биоэлектрическим сигналам от органов, позволяет …успешно диагностировать различные заболевания». [10]
«В человеческом организме множество фракталоподобных образований — в структуре кровеносных сосудов и различных протоков, а также в нервной системе. Наиболее тщательно изучена фрактальная структура дыхательных путей, по которым воздух поступает в легкие. … Фракталоподобные структуры играют важную роль в нормальной механической и электрической динамике сердца». [5]
В биологии:
Фрактальный принцип заложен в геноме человека и животных, когда одна клетка живого организма содержит всю информацию обо всем организме в целом.
Фрактальную геометрию считают «необычайно эффективным средством для описания морфологических свойств природы и человека». [10]
В архитектуре:
«Фрактальные построения … новый способ проектирования архитектурных форм, который существенно обогащает язык архитектурной теории и практики».[9] «…современный фрактальный подход может быть успешно применен не только для анализа, но и для поиска архитектуры, адекватной гармонии порядка и хаоса природной среды, архитектуры, которая может стать смысловой доминантой в природном и историческом контексте». [9]
Заключение
При написанииработы по теме исследования была изучена специальная литература, рассматривающая геометрический фрактал с разных сторон.
При решении задач исследования, в работе:
дано определение понятия фрактал;
были проанализированы существующие типы фракталов;
на основе треугольников, составляющих ромб, построен геометрический фрактал;
рассмотрено применение фракталов в различных областях науки.
Таким образом, задачи, поставленные в исследовании, решены, цель достигнута.
На основании проведённых исследований можно сделать вывод о том, что благодаря изучению фракталов ученые, возможно, смогут использовать более точные методы анализа в различных областях науки. Однако не следует забывать о том, что фрактал, это, прежде всего математический объект, который служит новым полезным открытиям в других науках.
Практическая значимость работы заключается в систематизации информации о геометрических фракталах и привлечении интереса к этой теме.
В дальнейшем, нам представляется целесообразным, более подробно рассмотреть другие типы фракталов, а также, в связи с нашей предыдущей темой исследования, рассмотреть фракталы в математических головоломках.
Список литературы:
Азевич А.И. Симфония фракталов // Информатика: электронный журнал. – 2008. - № 23 (576).
Гарднер М. 1000 развивающих головоломок, математических загадок и ребусов для детей и взрослых. – М.: АСТ, 2010. – С.199, 206.
Глейк Дж. Хаос. Создание новой науки. – СПб.: Амфора, 2001. – 398 с.
Деменок С.Л. Просто фрактал. – СПб.: ООО «Страта», 2014. – 172 с.
Есламгалиева Ш.Н. Понятие фрактал. Фракталы в медицине// Сборник статей по материалам Международной 64-й научной студенческой конференции им. Н.И. Пирогова / Под ред. проф. В. В. Новицкого, д. м. н. Л. М. Огородовой. – Томск, 2005.
Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. – Москва: Институт компьютерных исследований, 2002. – 656 с.
Пайтген Х.-О., Рихтер П.Х. Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем М.: Мир, 1993. 176 с.
Пиковер Клиффорд. Великая математика. От Пифагора до 57-мерных объектов. 250 основных вех в истории математики. – Издательство: Бином. ЛЗ, 2014. – 543 с.
Поморов С.Б., А.А. Филиппов. Фракталы и их участие в архитектурном проектировании// Ползуновский вестник. – 2014. № 1. – С. 141-147.
Интернет-ресурсы:
Практическое применение фрактальных алгоритмов https://m-rush.ru/theory/item/184