Решение алгебраических задач геометрическими методами

VII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Решение алгебраических задач геометрическими методами

Сиднев А.А. 1
1МБОУ "Школа № 48"
Лисятникова О.В. 1
1МБОУ "Школа № 48"
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

«Алгебра - не что иное, как записанная в символах геометрия, а геометрия — это просто алгебра, воплощенная в фигурах».

София Жермен

Большинство воспринимают алгебру и геометрию как совершенно разные науки , но на самом деле они очень близки. Поэтому на современном этапе развития школьного математического образования должна решаться задача интеграции математических знаний , формирования целостных представлений о математике как науке. А для успешного изучения математики надо не только знать основные формулы и теоремы , но и владеть различными способами решения задач. Необходимо знать и уметь применять такие методы, которые позволят сэкономить время и будут наглядны, т.е. решение задачи будет выглядеть очевидным.

Для успешного изучения математики надо не только знать основные формулы и теоремы, но и владеть различными способами решения задач. Необходимо знать и уметь применять такие методы, которые позволят сэкономить время и будут наглядны, т.е. решение задачи будет выглядеть очевидным.

Существуют алгебраические задачи, которые трудно решить аналитическим путем. Облегчить решение задачи можно путем представления условий в виде чертежа или рисунка. Многие сложные задачи в ЕГЭ можно решить с помощью геометрического метода.

Основной особенностью данного метода являются «законы геометрии и геометрические представления, в которых отражаются свойства геометрических фигур»[9]. Геометрические методы могут использоваться при решении уравнений, нахождения наименьших и наибольших значений уравнений, при решении неравенств и их систем с параметрами. Подобные задачи могут встречаться как в конкурсных заданиях, так и в заданиях ЕГЭ. Таким образом, выбранная тема перспективна и актуальна. Из-за нестандартности данного подхода при решении алгебраических задач, геометрический метод не изучается в школьном курсе математики. Этим обстоятельством определяется важность данной темы исследования.

Основная цель моей работы: подбор и решение интересных алгебраических задач, в которых используются геометрические методы и приемы.

Актуальность работы заключается в поиске оптимальных способов решения задач. А также нахождение преимуществ геометрического метода при решении алгебраических задач, который позволяет сделать решение наглядным, поскольку данных подход помогает получить изящное, красивое и доступное решение.

Объект исследования: алгебраические задачи

Предмет исследования: геометрические методы решения алгебраических задач

Гипотеза исследования: Мы предположили, что геометрический метод позволяет успешно решать сложные алгебраические задачи (в том числе задания ЕГЭ), упрощая решения и делая его наглядным

Задачи исследования:

1.Изучить литературу по теме исследования

2.Выявить особенности и преимущества геометрических методов решения алгебраических задач

3.Показать практическое применение геометрического метода при решении задач

4.Сделать выводы

Глава 1. Особенности методов решения задач

Для достижения оптимального результата при решении задач необходимо интегрировать разные способы решения. Таким образом, красота любой задачи заключается в оптимальности способа ее решения.

Понятие «интеграция» [лат. integratio — восстановление, восполнение; integer— целый] трактуется как восстановление, объединение в целое каких-либо частей, элементов; «как состояние связанности в целое отдельных дифференцированных частей, а также как процесс, ведущий к такому состоянию. В обучении интеграцию часто понимают как взаимовлияние, взаимопроникновение и взаимосвязь содержания различных учебных дисциплин»[10].

Так как в обучении математике основным видом деятельности учащихся является решение задач, то целесообразно интеграцию геометрии и алгебры осуществлять относительно применяемых в них методов[3].

Алгебраический метод (по отношению к элементарной математике) трактуется как метод, «заключающийся в употреблении букв и буквенных выражений, над которыми по определенным правилам производятся преобразования. Его называют еще методом буквенных вычислений»[6] .

Геометрический метод характеризуют как метод, «идущий от наглядных представлений» [5]. Существенными признаками этого понятия являются геометрические (наглядные) представления и законы геометрии, в которых отражены свойства геометрических фигур. «При этом необходимо учитывать, что наиболее простое решение может быть совершенно неочевидным» [7]. Очень часто геометрический метод и является одним из таких неочевидных, но эффективных (и эффектных!) способов решения задачи.

Если за основу классификации алгебраических и геометрических методов принять систему знаний, на которых основан метод, то получим следующие методы.

Алгебраические: «метод тождественных преобразований; метод уравнений и неравенств( т.е. аналитический метод); функциональный метод; векторный метод; координатный метод» [17].

Геометрические: метод длин; метод треугольников; метод параллельных прямых; метод соотношений между сторонами и углами треугольника; метод четырехугольников; метод площадей; метод подобия треугольников; тригонометрический метод (метод, основанный на соотношениях между сторонами и углами треугольника, выраженными через тригонометрические функции); метод геометрических преобразований; графический метод (хотя данный метод изучается в курсе алгебры, но он основан на использовании геометрических представлений функций и связанных с ними законов геометрии); метод дополнительных построений[15].

Каждый метод состоит из определенных приемов, а каждый прием — из действий. «Под интеграцией алгебраического и геометрического методов будем понимать процесс сочетания данных методов или связи их приемов в один метод» [8].

В следующих главах своей работы я покажу преимущества тех или иных методов при решении разнообразных задач. Замечу, что в моей работе я отдаю предпочтение геометрическому методу.

Глава 2. Практическое применение геометрического метода для решения алгебраических задач

2.1.Применение формулы расстояния между двумя точками

Пример 1. Решить систему уравнений

Решение:

Рассмотрим слагаемые второго уровня:

= =

Пусть это расстояние между «текущей» точкой М (х;у) и точкой А (2; -1).

= =

Пусть это расстояние между точками М (х;у) и В (10;5). Найдем расстояние между точками А и В: АВ = = 10

Откуда следует, что АМ+ВМ = АВ, М АВ. Составим уравнение прямой АВ, проходящей через точки А и В.

у = kx+b

Имеем: у = 0,75х – 2,5 или 3х – 4у = 10. Получим новую систему:

Ответ: (6;2)

2.2.Применение свойств прямоугольного треугольника

Применение геометрического метода возможно при решении несложных систем уравнений. Особенность данного метода заключается в том, «чтобы в алгебраических выражениях увидеть формулировки теорем геометрии» [1], например, теорему о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике, теорему Пифагора, формулу площади прямоугольного треугольника.

Пример 2: Решить систему уравнений

Решение:

Внимательно посмотрим на первое уравнение системы. Очевидно, что согласно теореме, обратной теореме Пифагора, то катетами прямоугольного треугольника являются числа х и у. Построим данный треугольник KLP, у которого угол P – прямой с гипотенузой KL = 6. Аналогично второе уравнение системы, 82, где у и z – катеты, LM = 8 - гипотенуза . Третье уравнение систему показывает, что число у является средним пропорциональным чисел х и z.

По теореме, обратной теореме о пропорциональных отрезках, угол KLP = 90°

KM = (x + z) = = 10,

Тогда KL2 = KP·KM , 36 = х ·10, х =

LM2 = PM·KM, 64 = z · 10 , z = , следовательно

LP = у =

Однако, такой прием может давать потерю корней, можно убедиться, что

х = ± , у = ± , z = ±

Ответ: ( ; ; ); (- ; ; - ); ( ; - ; ); (- ; - ; - )

2.3. Применения векторов к решению иррациональных уравнений

В следующих примерах применение геометрического метода построено на понятии коллинеарных векторов и формуле скалярного произведения векторов в координатах [14].

Пример 3. Решить уравнение:

x · + = 2 ·

Решение:

Пусть вектор ,

Скалярное произведение векторов

| = · = 2 ·

Получаем = | . Следовательно, =

Возведение обеих частей в квадрат помогает получить корни уравнения:

х = 1, х = 1 ±

Ответ: х = 1, х = 1 ±

Пример 4. Решить уравнение

=

Решение:

Приведем данное уравнение к виду . Рассмотрим векторы Тогда

Следовательно, . Так как , то

Поэтому . Значит равенство не выполняется ни при каких значениях х и у. Т.е. данное уравнение не имеет решений.

Ответ: уравнение не имеет решения

2.4. Использование уравнения прямых

Пример 5. Решить систему уравнений

Решение:Рассмотрим на координатной плоскости точки А(6;0),В(0;4), С(9;0), D(0;3). Решить систему - означает найти все точки М(х;у) , для каждой из которых

Поэтому точку М можно найти как точку пересечения отрезков АВ и CD. - уравнение прямой АВ, - уравнение прямой CD.

Ответ: (3;2)

2.5.Применение теоремы косинусов при решении иррациональных уравнений

«Теорема косинусов может применяться при решении иррациональных уравнений»[12]. Рассмотрим примеры.

Пример 6.

Решить уравнение

+ = 5 (1')

Решение: Сначала докажем, что выполняется неравенство:

+ 5

З аметим, что если х ⩽ 0,

= = 3

= =4

Поэтому значение левой части неравенства в этом случае не меньше, чем 3+4=7.

Чтобы убедиться в истинности неравенства при х > 0, рассмотрим треугольник ACD, в котором АС=3, CD=x, а угол ACD = а = 45°. В силу теоремы косинусов имеем:

Аналогично, если СВ=4, CD=x, а угол BCD = β = 45°, то из треугольника BCD имеем

Так как угол АСВ - прямой, то Следовательно, с помощью неравенства треугольника получаем:

Таким образом, в основу неравенства (1) прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5.

Равенство(1') не может быть истинным при х 0, а при х>0 значение его левой части равно AD+ DBи АВ = 5. Ясно, что AD+ DB= АВ в том, и только том случае, когда точка D лежит на отрезке АВ. Следовательно, поскольку CD - биссектриса угла С, то единственным корнем уравнения (1') является x=CD*.

Длина биссектрисы треугольника АВС, проведенной из вершины С, может быть вычислена по формуле нахождения биссектрисы прямого угла прямоугольного треугольника, получаем: CD* = · = =

И это единственный корень. Ответ: х =

Глава 3. Применение геометрических методов при решении задач с параметрами из ЕГЭ

Задачи с параметрами достаточно часто бывают достаточно сложными и требуют нестандартного подхода к решению[4].

Зачастую при формулировке той или иной задачи, содержащей параметр, нет никакого намёка на применение геометрических формул и теорем. Однако при использовании графического способа решения задач с параметрами без геометрии просто не обойтись[2]. Часто используется теорема Пифагора, соотношения между сторонами и углами треугольника, уравнение окружности и другие геометрические факты. Геометрический метод решения очень часто позволяет сделать решение простым и наглядным, быстро получить ответ. Рассмотрим несколько примеров[11].

Пример 7. Найти значение параметра а, при которых система уравнений имеет два решения

Решение:

- окружность в центре в начале координат и радиусом 1

Уравнение задает семейство графиков данной функции на оси Оу.

График данной функции касается окружности при а = -

Ответ мы может увидеть на рисунке.

Таким образом, система имеет два решения при а = и (1;1)

Ответ: а = и (1;1)

Пример 8. При каких значениях параметра а система уравнений не имеет решений?

Решение: Построим два множества точек в одной координатной плоскости: замкнутую область с модулем и уравнение с центром в точке (0;а) радиуса 3.

Ответ: система уравнений не имеет решений при а ˂ -6, а ˃ 6.

Пример 9. При каких значениях параметра а система уравнений имеет 4 решения ? 8 решений? Не имеет решений?

Решение:

Построим множества точек координатной плоскости, определяющее первое уравнение и окружность с центром (0;0) радиуса r =

АВС – прямоугольный, равнобедренный; Проведем ОК АВ, ОВ = 3,

АВ = 3 , ОК = КВ = АК = 1,5

Находим границы изменения R : 2 < R< 4

Ответ:

4 решения при а = 4,5 и а = 9

Система уравнений имеет 8 решения при 4,5˂а˂9

Не имеет решений при а˂4,5 и а˃9

Пример 10. При каких значениях параметра а система уравнений не имеет решений?

Решение:

Выделим полный квадрат в первом уравнении системы и перепишем ее в виде:

Построим первую окружность с центром в точке (2;а) радиуса 2 и вторую с центром (5,3) радиуса 1.

Ответ: Система уравнений не имеет решений при а ≠ 3

Заключение

В данной работе представлены интересные алгебраические задачи, решаемые с помощью средств геометрии; рассмотрены различные подходы к их решениям. Таким образом, можно говорить о том, что цель исследовании достигнута.

Полезность работа заключатся в том, что она помогает научиться строить геометрические модели к алгебраическим задачам. В процессе работы было выявлено, что геометрические интерпретации помогают найти ответ к задаче. Рисунок не просто облегчает решение, а является существенным его этапом.

Я сделал вывод, что эффективность геометрического метода состоит в наглядности и быстроте решения, в красоте математических выкладок, эстетике графического подхода к их решению алгебраических задач.

Также хочется отметить, что геометрический метод просто незаменим при решении многих задач, содержащих параметры. Решение задач с помощью данного метода основано на наглядно-геометрических интерпретациях, связанных с геометрическим смыслом модуля, неравенством треугольника, формулой расстояния между двумя точками на плоскости[16]. При исследованиях с параметрами геометрический метод нагляден, позволяет сэкономить время, увидеть и рассмотреть все возможные варианты решений.

Также хочется отметить, что знание приёмов решения негеометрических задач геометрическим методом позволяют успешно решать задачи ЕГЭ, конкурсные и олимпиадные задачи. Данные приёмы упрощают решение, делают его более наглядным и красивым.

Я получил много новых знаний, разобрал и решил реальные задачи ЕГЭ по математике. Надеюсь, что полученные выводы помогут мне впоследствии определить способ решения задачи с параметрами. Думаю, что материалы этой работы смогут использовать учителя математики на факультативных занятиях, а также учащимся при подготовке к конкурсами, олимпиадам и экзамену по математике.

Список использованных источников

Генкель Г.З. «Геометрические решения негеометрических задач», -Москва: Просвещение 2007.

Генкин Г. 3. Геометрические решения алгебраических задач. - «Математика в школе», №7- 2001, с. 61.

Готман Э.Г. , Скопец З.А., Решение геометрических задач аналитическим методом. - М.: Просвещение, 1979.

Ефимов Н. В. Краткий курс аналитической геометрии: Учебн. пособие. - М.: Физматлит, 2005.

Игошин В.И. Аналитическая геометрия. - Саратов: Наука, 2007.

Кравцев С. Ю., Макаров Ю. И., Максимов М. И. и др. Методы решения задач по алгебре: от простых до самых сложных. - М.: Экзамен, 2001.

Киселева Ю. С., Методическое пособие по теме: Использование геометрических методов.

Лысенко Ф.Ф. Учимся решать задачи с параметром. Ростов-на-Дону Легион, 2012.

Куликова Л. В., Литвинова С. А., За страницами учебника математики, М. - Глобус, 2008.

Мигина А. Решение уравнений с применением оригинальных приемов. - Газета «Математика», №37 - 2001, с. 26.

Окунев А.А. Графическое решение уравнений с параметрами. - М.: Школа-Пресс, 1996.

Попов В. А. Иррациональные уравнения, неравенства и теорема косинусов. - «Математика в школе», №6- 1998, с. 52.

Потоскуев Е. В. Векторы и координаты как аппарат решения геометрических задач. -М., Дрофа,2008.

Сборник задач по математике с решениями 8-11 кл./ В.К, Егерев, В.В. Зайцев, Б.А. Кордемсксий и др.; Под ред. М.И Сканави – Москва: Мир и Образование, 2017 – 624 с.: им.

Филимонов В.А, Геометрия помогает решить задачу - Математика в школе № 2-3, 1992

Шевкин А.В. «Тестовые задачи в школьном курсе математики» М.: Педагогический университет «Первое сентября». 2009.

Сайты и интернет-ресурсы : alexlarin.net, abiturient.ru (МИЭТ),mathus.ru/math/, reshuege.ru,Ege-ok.ru/category/zadachi-s-parametrom/

Просмотров работы: 3581