Введение
Математика – один из моих любимых школьных предметов. А самое сложное и одновременно самое интересное в математике - решение задач. Задачи в учебнике и сборниках попадаются самые разные и способов решения каждой задачи можно придумать несколько. Но один вид задач, как мне кажется, не похож на другие. Это задачи на клетчатой бумаге. Они кажутся необычными, более занимательными.
А встречаются ли такие задачи старшеклассникам? Я решила посмотреть открытый банк заданий ОГЭ и ЕГЭ по математике, посетить сайты по подготовке выпускников 9 и 11 классов к экзаменам. Оказалось, что задачи на нахождение площадей многоугольников на клетчатой бумаге достаются на экзаменах почти каждому выпускнику.
Вывод прост: уметь решать задачи на сетке (в т.ч. на нахождение площадей) разными способами нужно уметь каждому школьнику. В этом я вижу актуальность моей работы, а ее новизну в том, что один из рассматриваемых способов решения не разбирается в школьных учебниках математики.
Цель исследования – изучить способы вычисления площадей фигур на клетчатой бумаге, и выбрать самый эффективный.
Для достижения данной цели необходимо выполнить следующие задачи:
Предмет исследования: площади фигур на клетчатой бумаге.
Объект исследования: фигуры на клетчатой бумаге.
Гипотеза: самым эффективным способом вычисления площадей фигур на клетчатой бумаге является – формула Пика.
Глава 1. Способы нахождения площадей фигур на клетчатой бумаге. 1.1Площадь фигуры как сумма площадей ее частей
Задача №1. Найти площадь фигуры на рисунке 1 (клетки размером 1х1 см).
Разбиваем данную фигуру на четыре части, и находим площадь каждой части. Затем складываем все части, и получаем площадь данной фигуры.
S=S1+ S2+ S3+S4
S4 |
S1 |
S1=2*3= 6 см2; S2= *2*1=1 см2;
S2 |
S3 |
S3= *2*1= 1 см2; S4= *3*1= 1,5 см2
S= 6+1+1+1,5= 9,5 см2.
Рис. 1. Ответ: 9,5 см2
Задача №2. Найти площадь фигуры на рисунке 2 (клетки размером 1х1 см).
Разбиваем данную фигуру на четыре части, и находим площадь каждой части. Затем складываем все части, и получаем площадь данной фигуры.
S=S1+ S2+ S3+S4
S1 |
S1= *1*5= 2,5 см2; S2=4*2=8 см2;
S3 |
S2 |
S3= *1*2= 1 см2; S4= *2*4= 4 см2;
S4 |
S= 2,5+8+1+4= 15,5 см2.
Ответ: 15,5 см2.
Рис. 2.
Задача №3. Найти площадь фигуры на рисунке 3 (клетки размером 1х1 см).
Разбиваем данную фигуру на три части, и находим площадь каждой части. Затем складываем все части, и получаем площадь данной фигуры.
S=S1+ S2+ S3
S3 |
S2 |
S1 |
S1= *2*5= 5 см2;
S2=5*5=25 см2;
S3= *2*5= 5 см2;
S= 5+25+5= 35 см2
Рис. 3. Ответ: 35 см2.
1.2. Площадь фигуры как часть площади прямоугольника
Задача № 4. Найти площадь фигуры на рисунке 4 (клетки размером 1х1 см).
Опишем около данной фигуры прямоугольник. Из площади прямоугольника (в данном случае квадрата) вычтем площади полученных фигур:
S=Sпр – S1 – S2 – S3
S1 |
S3 |
Sпр=5*5=25 см2; S1= *5*4=10 см2;
S2= *5*2=5 см2; S3= *1*3=1,5 см2;
S2 |
S=25-10-5-1,5=8,5 см2
Ответ: 8,5 см2.
Рис.4.
Задача №.5. Найти площадь фигуры на рисунке 5 (клетки размером 1х1см).
Опишем около данной фигуры прямоугольник. Из площади прямоугольника (в данном случае квадрата) вычтем площади полученных фигур:
S=Sпр – S1 – S2 – S3 – S4
S1 |
Sпр=7*7= 49 см2; S1= *2*5=5 см2;
S4 |
S2= *2*5=5 см2; S3= *2*5=5 см2;
S2 |
S4= *2*5=5 см2;
S3 |
S= 49-5-5-5-5= 29 см2
Ответ: 29 см2.
Рис.5.
Задача №.6. Найти площадь фигуры на рисунке 6 (клетки размером 1х1см).
Опишем около данной фигуры прямоугольник. Из площади прямоугольника (в данном случае квадрата) вычтем площади полученных фигур:
S=Sпр – S1 – S2
Sпр=5*5=25 см2;
S1 |
S1= *3*1=1,5 см2; S2= *4*5=10 см2;
S= 25-1,5-10=13,5 см2.
S2 |
Ответ: 13,5 см2.
Рис. 6.
1.3. Формула Пика
Георг Александр Пик – австрийский математик. Родился Георг Пик в еврейской семье. Его отец Адольф Йозеф Пик возглавлял частный институт. В шестнадцать лет Пик сдал выпускные экзамены и поступил в университет в Вене. Уже в следующем году Пик опубликовал свою первую работу по математике. После окончания университета в 1879 году он получил право преподавать математику и физику. В 1880 году Пик защитил докторскую диссертацию, а в 1881 году получил место ассистента на кафедре физики Пражского университета. В 1888 году он был назначен экстраординарным профессором математики, затем в 1892 году в Немецком университете в Праге был назначен ординарным профессором (полным профессором).
В 1900 – 1901 годах занимал пост декана философского факультета.
После того как Пик вышел в отставку в 1927 году, он получил звание почётного профессора и вернулся в Вену – город, в котором он родился. Однако в 1938 году после аншлюса Австрии 12 марта он вернулся в Прагу. 13 июля 1942 года Пик был депортирован в созданный нацистами в северной Чехии лагерь Терезиенштадт, где умер две недели спустя в возрасте 82 лет.
Круг математических интересов Георга Пика был чрезвычайно широк: 67 его работ посвящены многим темам, таким как линейная алгебра, интегральное исчисление, функциональный анализ, геометрия и др. Но больше всего он известен своей теоремой о вычислении площади многоугольника, которая появилась в его восьмистраничной работе 1899 года.
Эта теорема оставалась незамеченной в течение некоторого времени после того, как Пик её опубликовал, однако в 1949 году польский математик Гуго Штейнгауз включил теорему (или как её ещё называют – формулу) в свой знаменитый «Математический калейдоскоп». С этого времени теорема Пика стала широко известна. В Германии формула Пика включена в школьные учебники.
Пусть В – число узлов решетки, расположенных строго внутри многоугольника, Г – число узлов решетки, расположенных на его границе, включая вершины, S – его площадь. Тогда справедлива следующая формула:
S = В+ – 1 ,
Это и есть формула Пика.
Задача №7. Вычислить площадь многоугольника на рисунке 7. Воспользуемся формулой Пика.
Отметим узлы:
Г=9 (синие)
В=48 (красные)
Подставив в формулы наши данные, получаем:
Рис.7. S=48 + – 1 = 51,5 см2 .
Задача №8. Вычислить площадь многоугольника на рисунке 8. Воспользуемся формулой Пика.
Отметим узлы:
Г=9 (синие)
В=16 (красные)
Подставив в формулы наши данные, получаем:
S=16 + – 1 = 19,5 см2 .
Рис. 8.
Задача № 9. Вычислить площадь многоугольника на рисунке 9. Воспользуемся формулой Пика.
Отметим узлы:
Г=8 (синие)
В=24 (красные)
Подставив в формулы наши данные, получаем
S=24 + – 1 = 19 см2 .
Рис. 9.
Глава 2. Проведение эксперимента
2.1. Результаты эксперимента
Изучив все способы нахождения площадей фигуры на клетчатой бумаге, мы решили провести эксперимент. Исследование проводилось в объединении «Знаю и считаю» Дворца творчества детей и молодежи, в котором я обучаюсь. Вместе с нашим педагогом, который также является моим научным руководителем, мы объяснили ребятам все способы вычисления площадей фигур. Затем, мы им раздали задания: по три задачи по каждому способу, и предложили решить их на время. Мы с моим научным руководителем засекали время, а ребята решали задачи.
В Таблице 1 представлены результаты каждого обучающегося по трем способам:
№ |
Ф.И. учащихся |
Время, затраченное на решение задач 1-м методом (мин) |
Время, затраченное на решение задач 2-м методом (мин) |
Время, затраченное на решение задач 3-м методом (Формула Пика) (мин) |
1 |
Алина |
3,23 |
4,33 |
1,04 |
2 |
Дана |
4,12 |
4,54 |
1,43 |
3 |
Дарина |
5,07 |
4,46 |
2,15 |
4 |
Алина |
2,32 |
2,45 |
1,12 |
5 |
Инал |
2,17 |
2,34 |
0,52 |
6 |
Лалина |
5,43 |
6,31 |
3,23 |
7 |
Залина |
4,43 |
4,23 |
2,38 |
8 |
Руслан |
2,34 |
3,43 |
1,15 |
9 |
Алина |
3,56 |
4,52 |
2,43 |
10 |
Даяна |
3,15 |
3,49 |
1,34 |
11 |
Алихан |
2,24 |
2,15 |
0,54 |
12 |
Милена |
3,12 |
4,37 |
1,32 |
13 |
Артур |
5,34 |
5,12 |
2,33 |
14 |
Александр |
4,47 |
5,42 |
2,46 |
15 |
Ислам |
5,36 |
6,13 |
3,52 |
Всего: |
3,43 |
4,22 |
1,07 |
Как видно из таблицы, меньше всего времени ребята затратили, решая задачи формулой Пика. В среднем на три задачи ребята потратили 1 минуту, 7 секунд – формулой Пика, а на задача другими способами – 3 минуты 43 секунды и 4 минуты 22 секунды. Но быстро не всегда означает правильно, поэтому мы посчитали количество допущенных ошибок каждого обучающегося по всем способам. Результаты представлены в Таблице 2:
№ |
Ф.И. учащихся |
Количество допущенных ошибок в задачах, решенных 1 методом |
Количество допущенных ошибок в задачах, решенных 2 методом |
Количество допущенных ошибок в задачах, решенных 3 методом |
1 |
Алина |
1 |
2 |
0 |
2 |
Дана |
2 |
1 |
1 |
3 |
Дарина |
2 |
3 |
2 |
4 |
Алина |
0 |
0 |
0 |
5 |
Инал |
0 |
0 |
0 |
6 |
Лалина |
3 |
3 |
2 |
7 |
Залина |
1 |
2 |
1 |
8 |
Руслан |
1 |
1 |
0 |
9 |
Алина |
2 |
2 |
1 |
10 |
Даяна |
1 |
2 |
0 |
11 |
Алихан |
0 |
0 |
0 |
12 |
Милена |
1 |
1 |
0 |
13 |
Артур |
2 |
3 |
2 |
14 |
Александр |
2 |
2 |
1 |
15 |
Ислам |
3 |
3 |
1 |
Всего ошибок из 45 задач: |
21 |
25 |
11 |
Из таблицы видно, что меньше всего ошибок ребята сделали, решая задачи формулой Пика. По первому методу 21неправильных задач из 45, по второму методу 25 неправильных, а по третьему методу всего 11 неправильных задач из 45, причем 7 учеников из 15 сделали все три задачи правильно, пользуясь этим методом. Это означает, что формула Пика не только сокращает время, но и помогает избежать ошибок.
Заключение
В данной работе мы рассмотрели все способы вычисления площадей фигур на клетчатой бумаге. В ходе исследования, наша гипотеза подтвердилась. В результате эксперимента, мы выяснили, что формула Пика является самым эффективным способом решения таких задач. Она проста в понимании и удобна в применении. Во-первых, достаточно уметь считать, делить на 2, складывать и вычитать. Во-вторых, можно найти площадь и сложной фигуры, не затратив много времени. В-третьих, эта формула работает для любого многоугольника. Недостаток в том, что Формула Пика применима только для фигур, которые нарисованы на клетчатой бумаге и вершины лежат на узлах клеток.
Я уверена, что при сдаче выпускных экзаменов, задачи на вычисление площади фигур не будут вызывать затруднения, если ребята будут использовать формулу Пика.
Список использованной литературы
Приложения
Приложение 1
Площадь фигуры равна сумме площадей ее частей.
Площадь фигуры как части площади прямоугольника.
Формулу Пика.