VII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Основные способы решения полных квадратных уравнений
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Актуальность выбранной темы продиктована желанием показать разнообразие способов решения квадратных уравнений. Необходимость решать уравнения первой, но и второй степени ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площади земельного участка и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики.
Начиная с 8 класса, умение решать квадратные уравнения является основополагающим, так как они находят широкое применение в решении тригонометрических, логарифмических, иррациональных, показательных и других видов уравнений. Квадратное уравнение широко распространено: во многих строительных и архитектурных расчётах, сооружениях, спорте, описании траектории движения планет. Поэтому исследование способов решения полных квадратных уравнений считаю актуальным.
Проблема: какие существуют способы решения полных квадратных уравнений?
Цель работы: изучить и систематизировать способы решения полных квадратных уравнений.
Задачи:
Изучить литературу по теме исследования.
Выбрать и изучить способы решения полных квадратных уравнений.
Сделать выводы.
Объект исследования: полные квадратные уравнения.
Методы исследования: теоретический (изучение литературы), математический (построение графиков, вычисления).
Рассмотрим основные способы решения таких уравнений в нашей работе.
2.1 Квадратное уравнение: определение, виды, способы решения
Квадратным уравнением называется уравнение вида ax² + bx + c =0, где х-переменная, a,b и c – некоторые числа, причём а¹0. Коэффициенты имеют свои названия: а – первый или старший коэффициент, в – второй коэффициент, с – свободный член. Если а=1, то уравнение называется приведённым. Если в=0 или с=0, то квадратное уравнение называют неполным (рис.1).
Рис.1 Виды квадратных уравнений
Примеры полных квадратных уравнений: 3x2-5x+2=0, x2-16x+24=0;
неполные: x2 + 3x=0, 2x2 - 128=0, 62x2 = 0.
Корнями квадратного уравнения называются значения переменной, при которых уравнение обращается в верное равенство. Квадратное уравнение может иметь два, один или ни одного корня. [1]
В школьном курсе математики изучается несколько способов решения полных квадратных уравнений. Однако имеются и другие способы, которые позволяют очень быстро и рационально решать многие уравнения, всего насчитывается более десятка способов. Рассмотрим основные: решение квадратных уравнений по формуле, решение уравнения выделением полного квадрата, решение уравнения путём разложения левой части на множители, решение с помощью теоремы Виета и графический способ. Но сначала обратимся к историческим сведениям: как давно возникли квадратные уравнения и как их решали раньше?
2.2 Из истории квадратных уравнений
Квадратные уравнения в Индии.
Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом тракте «Ариабхаттиам», составленном в 499г. индийским математиком и астрономом Ариабахаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:
ах2 + bх = с, а > 0
В уравнении все коэффициенты, кроме а, могут быть отрицательными. Правило Брахмагупта (приложение 1) по существу совпадает с ныне существующими.
Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне
Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н.э. вавилоняне. Если применить современную алгебраическую запись, то в их клинописных текстах можно встретить неполные и полные квадратные уравнения, например:
х2 + х = , х2 – х = 14
Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. [5]
Квадратные уравнения в Европе XIII-XVII вв.
Формулы решения квадратных уравнений по образцу аль-Хорезми (приложение 1) в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объемный труд, в котором отражено влияние математики как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошёл к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из «Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI-XVII вв. и частично XVIII век.
Общее правило решения квадратных уравнений, приведённых к единому каноническому виду
х2 + bх = с,
при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b и с было сформулировано в Европе лишь в 1544г. М.Штифелем.
Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, кроме положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других учёных способ решения квадратных уравнений принимает современный вид. [3]
2.3 Решение квадратных уравнений по формуле
Решение квадратных уравнений сводится к нахождению дискриминанта, чтобы определить количество корней: D=b2 - 4aс.
Если D>0, то уравнение имеет два корня и находим эти корни по формуле:
Если D=0, то уравнение имеет один корень
Если D<0, то уравнение не имеет вещественных корней. [1]
Рассмотрим пример 1: нужно найти корни уравнения 3x2 - 2x - 16=0.
Записываем сначала, чему равны числовые коэффициенты a, b и c:
a=3,b= -2,c= -16. Находим дискриминант: D=b2-4ac = (-2)2-4∙2∙(-16)=4+192=196
Дискриминант больше нуля, следовательно, у нас два корня, найдем их:
Х1= (2 – 14) /6 = -2 Х2 = (2 + 14) /6 = 8/3
Ответ: x1= -2; x2= 8/3.
Рассмотрим пример 2: найти корни уравнения x2 - 6x + 11=0.
a=1,b= -6,c= 11. Находим дискриминант: D=b2-4ac = (-6)2-4∙1∙11= 36 - 44= - 8
Дискриминант меньше нуля, следовательно, корней нет.
Ответ: корней нет.
Рассмотрим пример 3: найти корни уравнения 4x2 - 12x + 9=0.
a=4,b= -12,c= 9. Находим дискриминант: D=b2-4ac = (-12)2-4∙4∙9= 144 -144= 0
Дискриминант равен нулю, следовательно, у нас один корень:
Х = 12/8=1,5
Ответ: х=1,5.
2.4 Решение квадратных уравнений методом выделения полного квадрата
Поясним этот метод на примере 4: решим уравнение х2 + 6х – 7 = 0.
Выделим в левой части полный квадрат. Для этого запишем выражение
х2 + 6х в виде: х2 + 6х = х2 + 2· х ·3.
В полученном выражении первое слагаемое – квадрат числа х, а второе – удвоенное произведение х на 3, поэтому, чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 32 , так как х2 + 2· х ·3 + 32 = (х + 3)2 .
Преобразуем теперь левую часть уравнения х2 + 6х – 7 = 0, прибавляя к ней и вычитая 32. Имеем:
х2 + 6х – 7 = х2 + 2· х ·3 + 32 – 32 – 7 = (х + 3)2 – 9 – 7 = (х + 3)2 – 16.
Таким образом, данное уравнение можно записать так:
(х + 3)2 –16 = 0, т.е. (х + 3)2 = 16.
Следовательно, х + 3 = 4, х1 = 1, или х + 3 = - 4 , х2 = – 7.
Ответ: x1= 1; x2= - 7.
2.5 Разложение левой части квадратного уравнения на множители
Рассмотрим пример 5: решим уравнение х2 + 10х – 24 = 0.
Разложим левую часть уравнения на множители:
х2 + 10х – 24 = х2 + 12х – 2х – 24 = х(х + 12) – 2(х +12) = (х + 12)(х – 2).
Следовательно, уравнение можно переписать так:
(х + 12)(х – 2) = 0.
Так как произведение равно нулю, то, по крайне мере один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается в нуль при х = 2, а также при х = - 12. Это означает, что числа 2 и – 12 являются корнями уравнения х2 + 10х – 24 = 0.
Ответ: x1= 2; x2= - 12.
2.6 Графический способ решения
Если в уравнении x2 + bx + c = 0
перенести второй и третий члены в правую часть, то получим x2 = – bx – c .
Построим графики зависимостей у = х2 и у = – bx – c .
График первой зависимости – парабола, проходящая через начало координат.
График второй зависимости – прямая. Возможны следующие случаи:
прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;
прямая и парабола могут касаться (только одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение;
прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней. [2]
Пример 6: решим графически уравнение х2 –3х – 4 = 0.
Запишем уравнение в виде х2 = 3х + 4. Построим параболу у = х2 и прямую у = 3х + 4. Прямую у = 3х + 4 можно построить по двум точкам М(0;4) и N (3;13).
Прямая и парабола пересекаются в двух точках А и B с абсциссами х1 = – 1 и х2 = 4. (Рис.2)
Ответ: х1 = – 1; х2 = 4.
2.7 Решение квадратных уравнений с помощью теоремы Виета
1. Приведенное квадратное уравнение имеет вид х2 + px + q = 0.
Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а = 1 имеет вид
Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и qможно предсказать знаки корней).
Если свободный член qприведенного уравнения положителен (q >0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависит от второго коэффициента p.
Если p>0, то оба корня отрицательные, если p<0, то оба корня положительны.
Например,
х2 – 3х + 2 = 0; х1 = 2 и х2 = 1, так как q = 2 > 0 и p = – 3 <0;
х2 +8х + 7 = 0; х1 = – 7 и х2 = – 1, так как q = 7 > 0 и p = 8 >0.
Если свободный член qприведенного уравнения отрицателен (q < 0), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p<0, или отрицателен, если p>0.
Например,
х2 + 4х – 5 = 0; х1 = – 5 и х2 = 1, так как q = – 5<0 и p = 4 > 0;
х2 – 8х – 9 = 0; х1 = 9 и х2 = – 1, так как q = – 9<0 и p = – 8 >0.
2. Теорема Виета для квадратного уравнения ах2 +bх +с = 0 имеет вид
Справедлива теорема, обратная теореме Виета:
Если числа х1 и х2 таковы, что х1+х2 = -b, х1х2 = c, то х1 и х2 – корни квадратного уравнения х2 +bх + c = 0.
Эта теорема позволяет в ряде случаев находить корни квадратного уравнения без использования формулы корней. [4]
Пример 7: решим уравнение х2 – 9х + 14 =0.
Найдём два числа х1 и х2 , такие, что
х1 +х2 = 9
х1х2 = 14
Такими числами являются 2 и 7. По теореме, обратной теореме Виета, они и служат корнями заданного квадратного уравнения.
Ответ: х1 = 2; х2 = 7.
Заключение
При решении квадратного уравнения не надо ограничиваться одним
способом решения уравнения, который изучается в школьном курсе математики, а для каждой ситуации можно использовать свой способ решения.
Особенно популярным способом является решение квадратного уравнения по формуле и теорема Виета. Изучив материалы для подготовки к ГИА, я пришла к выводу: материалы содержат много квадратных уравнений, при решении которых можно использовать различные способы.
Интересным для меня оказался графический способ решения квадратного уравнения. Но недостаток этого способа – не всегда значения абсцисс точек пересечения графиков будут являться целыми и точными значениями.
Более подробно изучив тему «Решение полных квадратных уравнений», я углубила знания в истории развития математики и открыла много полезного и нового для себя. Кроме вышеперечисленных мною основных способов решения квадратных уравнений в разных источниках выделяют ещё: решение уравнений способом «переброски», решение с помощью циркуля и линейки, решение с помощью номограммы, геометрический способ и использование свойств коэффициентов квадратного уравнения.
Такая широкая тема позволяет всем желающим находить в книгах, научных журналах, сайтах всё новые пути решения уравнений, создавать основу для дальнейших исследований в мире математики, получать необходимые интересующие сведения, применение которых на практике способствует развитию мышления и повышению уровня знаний. Каждый из способов удобен по-своему, интересен и значим в общей копилке умений каждого.
Список использованных источников и литературы
Мерзляк А.Г. Алгебра: 8 класс: учебник для общеобразовательных организаций/А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С.Якир. – М.:Вентана – Граф, 2017.
Окунев А.К. Квадратичные функции, уравнения и неравенства / Пособие для учителя. - М.: Просвещение, 2016.
Соломник В.С., Милов П.И. Сборник вопросов и задач по математике. Изд. - 4-е, дополн. - М.: Высшая школа, 2017.
Якушева Г.Н. Математика. Справочник школьника. - М., Просвещение, 2015.
История возникновения квадратных уравнений: [Электронный ресурс]. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Квадратное_уравнение (Дата обращения 26.03.2019).
Приложение 1
Индийский математик Брахмагупта и среднеазиатский учёный, математик, астроном Абу́ Абдулла́х Муха́ммад ибн Муса́ аль-Хорезми́