VII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Нестандартные задачи по геометрии
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение.
Для многих людей раздел математики - геометрия - кажется очень скучной, но, на самом деле, есть много интересных задач, любопытных и неожиданных. Я хочу познакомить вас с геометрическими загадками, представленными известным русским ученым Яковом Перельманом.
В век информационных технологий, мы не задумываемся о том, что отсутствие гаджетов и навигаторов может поставить проблемы, которые были давно решены, но могут возникнуть в форс-мажорных обстоятельствах. Например, если ты окажешься в лесу или в пустыне совсем без техники.
Забивая гвоздь, делая механическую работу, человек даже не понимает,почему целесообразно использовать определенную форму гвоздя при работе.
В данной работе я попробую рассмотреть эти вопросы на примерах придуманных мной задач.
Э ксперимент на площади Святого Марка.
Вот один опыт, произведенный в Венеции
на площади Св.Марка. Людям завязывали глаза,
ставили их на одном конце площади, напротив
собора, и предлагали до него дойти.
Казалось бы, надо пройти всего лишь 175 м. Но все же, ни один человек не дошел.
Почему? Давайте рассмотрим.
Площадь Святого Марка в Венеции.
Поскольку обе половины тела человека развиты неодинаково: правая нога не равна левой по силе мускулов. Поэтому человек делает левой ногой более длинные шаги. (Рисунок № 5).
Представьте себе, что, занося левую ногу человек делает шаг на мм длиннее, чем правой. Тогда сделав попеременно каждой ногой 1000 шагов, человек опишет левой ногой на 1 м длинней, чем правой. На прямых параллельных путях это невозможно. Зато вполне осуществимо на окружностях.
Расстояние между линиями отпечатков правой и левой ноги при ходьбе равно примерно 10 см., т.е.0,1м. Когда человек описывает один полный круг, его правая нога проходит путь 2пR, а левая
2п (R + 0,1), где R– радиус этого круга в метрах. Разность 2п (R + 0,1) - 2пR = 2п0,1, т.е. 0,624 м
или 624мм, составились из разницы между длиною левого и правого шагов, повторённой столько
раз, сколько сделано было шагов.
Для участников этого опыта на площади Марка, мы можем установить наибольшую величину радиуса кругов, описанных ими при ходьбе. Действительно, т.к. ни один из них не дошел до фасада здания, то по стрелке АС = 41 м и хорде ВС, не превышающей 175 м, можно вычислить максимальный радиус дуги АВ. Он определяется изравенства:Откуда R, максимальный радиус, будет около 370 м. Зная это, мы из полученной ранее формулы Rx = 0,14 определяем наименьшую величину разности длины шагов: 370х = 0,14, откуда х = 0,4 мм. Итак, разница в длине правых и левых шагов у участников опыта не менее 0,4 мм.
Я думаю, что если по площади Св.Марка пройдёт манекенщица с завязанными глазами,
то она обязательно дойдет до собора. Т.к. походка по подиуму предполагает движение по
одной линии без отклонения левой ноги от правой .
3. ЗАДАЧА на круговое движение и её решение.
Папа рассказал сыну, что в незнакомом лесу люди ходят по кругу. Это происходит из-за того, что левая нога делает более длинный шаг, чем правая. Сын не поверил. Тогда они решили провести эксперимент. Арбитром позвали маму.
Они вышли в поле. Мама завязала им глаза и они отправились в разные стороны.
Кому и сколько минут придётся ждать на месте встречи, если известно, что:
- у папы длина шага левой ноги больше, чем правой на 0,4мм, а у сына – на 0,3мм;
- скорость движения папы – 5 км\ч, а сына – 4 км\ч;
- длина шага папы – 0,7м, сына – 0,6м;
- отклонение левой ноги от линии движения у обоих – 0,1м
4. Свойства гвоздей в зависимости от площади поперечного
сечения
Какой гвоздь труднее вытащить: круглый, квадратный или треугольный – если они забиты одинаково глубоко и имеют одинаковую площадь поперечного сечения?
Конечно, крепче держится тот гвоздь, который соприкасается
с окружающим материалом по большей поверхности.
Мы знаем, что при равных площадях периметр квадрата
меньше периметра треугольника, а окружность меньше периметра квадрата.
Если сторону квадрата принять за единицу, то вычисление даёт для
этих трёх величин значения: 4,53; 4; 3,55.
Следовательно, крепче других должен держаться треугольный гвоздь.
5. Доказательство целесообразности применения круглых гвоздей относительно квадратных.
П– принять равным ~ 3,14
Рассмотрим сечение гвоздей при условии, что их площади равны.
Таким образом, силы трения при вбивании гвоздя, действующие на одинаковые по массе гвозди с разной геометрией, будут у круглого гвоздя меньше приблизительно на 12 %, чем у квадратного.
Кроме того, вследствие прямоугольной геометрии гвоздя будут возникать различные проблемы в зависимости от цели использования:
Углы гвоздя будут способствовать возникновению трещин в древесине, дополнительного напряжения металла в самом гвозде;
Прямоугольные гвозди будут чаще ломаться из-за разного расстояния от геометрического центра точки А до поверхности.
6.Выводы.
а) При движении в незнакомой местности, во избежание кругового движения, необходимо найти ориентиры, благодаря которым можно сохранять направление движения. Это могут быть и звезды, и мох на деревьях, и солнце…
б) Мы применяем гвозди с различными целями. Если необходимо что-то повесить на стену, берем круглый обычный гвоздь, но если нам необходимо закрепить висячую деталь, которая может раскачиваться, тогда лучше использовать квадратный гвоздь для повышения выносливости.
Целесообразность применения гвоздей с различной формой поперечного сечения зависит от отношения периметра к площади поперечного сечения.
7.Список литературы.
«За страницами учебника математики» Виленкин Н.Я., Депман И.Я.
«Занимательная геометрия между делом и шуткой». Перельман Я.И.
Своими руками – как сделать самому» 2009-2019. Гвозди и их применение. [Электронный ресурс] - //http//www.Kak-svoimi-rukami.com [дата обращения 20.02.2019]
Строительный справочник. Материалы-конструкции – технологии. [Электронный ресурс]-//http//www.NOVOSIBDOM.RU [дата обращения 21.02.2019]