Числа Фибоначчи

VII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Числа Фибоначчи

Лаптева Е.Д. 1
1МБОУ лицей №40 при Ульяновском государственном университете
Гуськова А.Г. 1
1Лицей №40 при ульяновском государственном университете
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

1. Введение.

Актуальность выбранной мной темы заключается в том, что за многовековую историю познания чисел Фибоначчи и их различные инварианты отражаются во всех творениях мироздания. Все они продуманы и подчинены единым законам природы и имеют практический и теоретический интерес во многих науках.

ЦЕЛЬ:

Изучение проявление чисел Фибоначчи и связанного с ним закона золотого сечения в строении живых и неживых объектов, найти примеры использования чисел Фибоначчи.

Объект исследования : человек, различные области науки, техники и окружающий природный мир

Предмет исследования : числовой ряд и золотое сечение Фибоначчи в строении исследуемых предметов и явлений

ЗАДАЧИ:

Описать способ построения ряда Фибоначчи и спирали Фибоначчи.

Увидеть математические закономерности в строении человека, растительного мира и неживой природы с точки зрения феномена Золотого сечения.

Опытным путем доказать достоверность математических открытий Фибоначчи через задачи и анализ форм науки, природы и искусства.

ГИПОТЕЗА:

Числовой ряд, который определяет золотое сечение , прослеживается во всех отраслях живой природы и рукотворного мира нашей планеты

2. Краткая биография Фибоначчи (Леонардо Пизанского).

Леонардо Пизанский (1180-1240)—первый крупный математик средневековой Европы. Наиболее известен под прозвищем Фибоначчи. Он был ,безусловно , самым значительным математиком средневековья.

Родился в Пизе в 1180 году. Начальное образование получил в Алжире, под руководством местного учителя овладел арифметикой и алгеброй арабов. Посетил многие страны Европы и Востока, пополняя свои знания по математике.

Издал 3 книги: «Книгу об абаке» (1202г.), «Практическую геометрию» (1220г) и «Книгу квадратов» (1225г).

3. Числа Фибоначчи и золотое сечение.
Числа Фибоначчи или золотое сечение составляют основу разгадки окружающего мира, построения его формы и оптимального зрительного восприятия человеком, с помощью которых он может ощущать красоту и гармонию. Принцип определения размеров золотого сечения лежит в основе совершенства целого мира и его частей в своей структуре и функциях, его проявление можно видеть в природе, искусстве и технике.
Учение о золотой пропорции было заложено в результате исследований древними учеными природы чисел. Свидетельства использования древними мыслителями золотой пропорции приведены в книге Эвклида «Начала», написанной еще в 3 в. до н.э., который применял это правило для построения правильных 5-угольников. У пифагорейцев эта фигура считается священной, поскольку является одновременно симметричной и асимметричной. Пентаграмма символизировала жизнь и здоровье.

4. Наследие Фибоначчи и его открытия.

Знаменитая «Книга об абаке» математика из Италии Леонардо Пизанского увидела свет в 1202 г. В ней ученый впервые приводит закономерность чисел, в ряду которых каждое число является суммой 2-х предыдущих цифр.
Также ученый привел ряд закономерностей:

Любое число из ряда, разделенное на последующее, будет равно значению, которое стремится к 0,618. Причем первые числа Фибоначчи не дают такого числа, но по мере продвижения от начала последовательности, это соотношение будет все более точным. Если же поделить число из ряда на предыдущее, то результат устремится к 1,618. Одно число, поделенное на следующее через одно, покажет значение, стремящееся к 0,382.

5. Проявление чисел Фибоначчи в окружающей действительности.

Применение связи и закономерностей золотого сечения, числа Фибоначчи (0,618) можно найти не только в математике, но и в природе, в истории, в архитектуре и строительстве и во многих других науках.
Спираль наблюдается повсеместно:
- Семена в большинстве растений расположены по спирали
- Паук плетет паутину по спирали
- Спиралью закручивается ураган
- Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали
- Молекула ДНK закручена двойной спиралью.( Молекулу ДНК составляют две вертикально переплетенные спирали длиной 34 ангстрема и шириной 21 ангстрема. Числа 21 и 34 следуют друг за другом в последовательности Фибоначчи.)
- Вода уходит в слив по спирали
- Спиральная динамика показывает развитие личности человека и его ценностей по спирали.

-Ну и ,конечно, сама Галактика имеет форму спирали.

5.1. числа Фибоначчи в математике

Задача Фибоначчи с кроликами.
Для выполнения задачи автором были поставлены следующие условия: есть пара новорождённых крольчат (самка и самец), отличающихся интересной особенностью – со второго месяца жизни они производят новую пару кроликов – тоже самку и самца. Кролики находятся в замкнутом пространстве и постоянно размножаются. И ни один кролик не умирает.
Задача: определить количество кроликов через год.

Решение:
У нас: есть одна пара кроликов в начале первого месяца, которая спаривается в конце месяца;
две пары кроликов во втором месяце (первая пара и потомство);
три пары кроликов в третьем месяце (первая пара, потомство первой пары с прошлого месяца и новое потомство);
пять пар кроликов в четвёртом месяце (первая пара, первое и второе

потомство первой пары, третье потомство первой пары и первое потомство второй пары)
Количество кроликов в месяц «n» = количеству кроликов прошлого месяца + количество новых пар кроликов, другими словами, вышеназванная формула: Fn = Fn-1 + Fn-2. Отсюда следует :
1 месяц: 1 + 1 = 2
2 месяц: 2 + 1 = 3
3 месяц: 3 + 2 = 5
4 месяц: 5 + 3 = 8
5 месяц: 8 + 5 = 13
6 месяц: 13 + 8 = 21
7 месяц: 21 + 13 = 34
8 месяц: 34 + 21 = 55
9 месяц: 55 + 34 = 89
10 месяц: 89 + 55 = 144
11 месяц: 144 + 89 = 233
12 месяц: 233+ 144 = 377
И эта последовательность может продолжаться бесконечно долго, но учитывая, что задачей является узнать количество кроликов по истечении года, получается 377 пар.

5.2. Числа Фибоначчи в архитектуре.

«Золотое сечение» проявляется и во многих замечательных архитектурных творениях на протяжении всей истории человечества. Оказывается, еще древнегреческие и древнеегипетские математики знали эти коэффициенты задолго до Фибоначчи и называли их «золотым сечением».

Принцип «золотого сечения» греки использовали при строительстве Парфенона, египтяне – Великой пирамиды в Гизе. Достижения в области строительной техники и разработки новых материалов открыли новые возможности для архитекторов ХХ века.

Польско-израильский архитектор Цви Хекер использовал спиральные конструкции в проекте школы имени Хайнца Галински в Берлине, построенной в 1995 году. Хекер начал с идеи подсолнечника с центральным кругом, откуда расходятся все архитектурные элементы. Здание представляет собой сочетание ортогональных и концентрических спиралей, символизируя взаимодействие ограниченных человеческих знаний и управляемого хаоса природы. Его архитектура имитирует растение, которое следует за движением Солнца, поэтому классные комнаты освещены в течение всего дня.

5.3. Числа Фибоначчи в строение человека.

Числа Фибоначчи отражают основную закономерность роста организмов, следовательно проявляются и в строении человеческого тела.  Рассмотрим это поподробнее.

У человека одно туловище, одна голова, одно сердце и т. д.  Многие части тела и органы парные, например, руки, ноги, глаза, почки. Из трех частей состоят ноги, руки, пальцы рук. На руках и ногах по пять пальцев, а рука вместе с пальцами состоит из восьми частей.

Можно рассмотреть части тела и с другой стороны. У человека 2 руки, пальцы на каждой руке состоят из 3 фаланг (за исключением большого пальца). На каждой руке имеется по 5 пальцев, только 8 пальцев трехфаланговые. Все эти цифры 2, 3, 5 и 8 есть числа последовательности Фибоначчи.

5.4. практическая работа, исследование

Чтобы убедиться, что пропорции различных частей нашего тела действительно соответствуют числу близкому к золотому сечению , воспользуюсь собственными расчетами . Все данные собственных измерений и вычислений представлю в таблице.

Измерение руки и кисти.

Таблица расчетов

По результатам таблицы наглядно видно, что пропорция «фи», которая равна соотношению соседних чисел из ряда Фибоначчи, проявляются и в различных соотношениях человеческого тела. Я рассмотрела лишь некоторые примеры, но они убеждают, что кости человека выдержаны в интересной закономерности пропорции золотого сечения. Считается, если эти пропорции совпадают с числом Фибоначчи, то тело человека считается идеально сложенным.

5.5. Числа Фибоначчи в литературе.

Золотое сечение было использовано, чтобы привнести красоту, баланс и гармонию в некоторые величайшие произведения искусства.

Многие произведения А.С.Пушкина тесно связаны с числами Фибоначчи. Наиболее часто в творчестве поэта встречаются стихи с таким количеством строк, которые тяготеют к данной числовой последовательности: 5, 8, 13, 21, 34. Многими исследователями было замечено, что в стихотворениях существуют кульминационные пункты, которые делят стихотворение в пропорции золотого сечения.

Рассмотрим, например, стихотворение А.С. Пушкина «Сапожник».

Стихотворение состоит из 13 строк. В нем выделяется две смысловые части: первая в 8 строк и вторая (мораль притчи) в 5 строк (13, 8, 5 - числа Фибоначчи).

Картину раз высматривал сапожник Есть у меня приятель на примете:
И в обуви ошибку указал; Не ведаю, в каком бы он предмете
Взяв тотчас кисть, исправился художник, Был знатоком, хоть строг он на словах,
Вот, подбочась, сапожник продолжал: Но черт его несет судить о свете:
«Мне кажется, лицо немного криво ... Попробуй он судить о сапогах!
А эта грудь не слишком ли нага?»
Тут Апеллес прервал нетерпеливо:
«Суди, дружок, не выше сапога!»

5.6. Числа Фибоначчи в живописи.
Великий Леонардо да Винчи является едва ли не самым известным поклонником «золотого принципа» в живописи. Композиция многих его картин построена именно на основе «Божественной пропорции».

Гармоничность всегда будет востребованной визуальной характеристикой для всех объектов творчества: картин, фотографий, проектов интерьера и т.д. «Божественная пропорция», золотое сечение, проявление структурного совершенства – названий много, и все они достаточно точно описывают восхищение красотой и формулой, которая позволяет её созерцать.

5.7.Числа Фибоначчи в музыке.
Метод золотого сечения применяется и в музыке. Оказалось, что в музыкальных произведениях очень часто встречается эта золотая пропорция.

Доклад музыковеда Э.К. Розенова «Закон золотого сечения в музыке и поэзии» положил начало исследованиям математических закономерностей, связанных с золотой пропорцией, в музыке. Он проанализировал музыкальные произведения Моцарта, Баха, Бетховена, Глинки и других композиторов и показал, что в их произведениях присутствует эта «божественная пропорция».

Кульминация многих музыкальных произведений располагается не в центре, а немного смещена к концу произведения в соотношении 62:38 – это и есть точка золотой пропорции.

Доктор искусствоведения, профессор Л. Мазель считал, что практически у каждого композитора – приверженца гармонического стиля можно найти подобную музыкальную структуру: пять тактов подъёма и три такта спуска.

Это говорит о том, что метод золотого сечения активно применялся композиторами сознательно либо бессознательно. Вероятно, такое структурное расположение кульминационных моментов придает музыкальному произведению гармоническое звучание и эмоциональную окраску.

5.8. Числа Фибоначчи в природе.

Во Вселенной все известные человечеству галактики и все тела в них существуют в форме спирали, соответствующей формуле золотого сечения.

У большинства улиток, которые обладают раковинами, раковина растет в форме логарифмической спирали, которая точно соответствуют «золотой пропорции»

Бивни слонов и вымерших мамонтов, когти львов и клювы попугаев являют собой логарифмические формы и напоминают форму оси, склонной обратиться в спираль.
Спиралевидную форму можно увидеть и в расположении семян подсолнечника, и в шишках сосны, в ананасах, кактусах, строении лепестков роз и т.д.

5.8. Числа Фибоначчи в современной жизни.

Применительно к фотографическому искусству правило золотого сечения делит кадр двумя горизонтальными и двумя вертикальными линиями на 9 неравных прямоугольников. Чтобы облегчить себе задачу съемки сбалансированных изображений, фотографы немного упростили задачу и стали делить кадр на 9 равных прямоугольников в соответствии с числами Фибоначчи.

Так правило золотого сечения трансформировалось в правило третей, которое относится к одному из принципов построения композиции.

Золотое сечение также используется, чтобы придать стиль и привлекательность в области маркетинга и дизайна повседневных потребительских товаров.

6. Заключение и вывод.

Изучив и проанализировав проявление чисел последовательности Фибоначчи в окружающей нас действительности, я обнаружила удивительную математическую связь между числом спиралей в объектах природного мира и продуктов науки и искусства с числами Фибоначчи. Строение человека подчинено строгой математике. Так молекула ДНК, в которой зашифрована вся программа развития человеческого существа, дыхательная система, строение уха, - всё подчиняется определённым числовым соотношениям. Сосновые шишки, раковины улиток, волны океана, рога животных, облака циклона и галактики – все они образуют логарифмические спирали. Даже человеческий палец, который составлен из трех фаланг, находящихся по отношению друг к другу в Золотой пропорции, принимает спиральную форму, когда сжимается. Строение спирали остаётся неизменным: коэффициент 1,618! Возможно, это первостепенный закон, управляющий природными явлениями.

Таким образом, моя гипотеза о существовании особых числовых закономерностей, которые отвечают за гармонию, подтверждается. Действительно, всё в мире продуманно и просчитано самым точным математическим образом, где принцип золотого сечения Фибоначчи наглядно действует. Я убедилась, что в любой области окружающего нас мира есть свои законы, выраженные с помощью математики. И математика – это очень важный инструмент для познания тайн Вселенной.

7. Список использованных источников и литературы.

1. Баландин Б.1001 вопрос для очень умных (с подсказками для остальных)/Б.Баландин.­ М.:РИПОЛ КЛАССИК, 2003.-480 с.

2. Васютинский Н.А. Золотая пропорция /Н.А.Васютинский .- М.: Молодая

гвардия, 1990. — 238[2] с. –Серия: Эврика

3. Воробьёв Н.Н. Числа Фибоначчи/ Н.Н.Воробьёв.-5-е изд. – М.: Наука, 1984.-144с.

4. Гарднер М. Математические чудеса и тайны/М.Гарднер.- М.: Наука, 1978.-128 с.

5. Лаврус В. Золотое сечение /В.Лаврус // Наука и техника.- 15 марта 2000.

6. Энциклопедия для детей: в 15 т. Т 11/ Математика/ под ред. М.Д.Аксеновой,-

М.: Мир энциклопедий Аванта +, 2011.-621с.

7. Википедия. Свободная энциклопедия. [Электронный ресурс]. Золотое сечение. Режим доступа: http://ru.wikipedia.org. Свободный.

8. Золотое сечение Фибоначчи. Божественная мера красоты.-Режим доступа: http://thejizn.com/

9. Последовательность Фибоначчи и принципы Золотого сечения. –Режим доступа: https://www.syl.ru/

10. Ряд Фибоначчи. Ключ. Матрица Золотого Сечения.-Режим доступа.- https://samopoznanie.ru/

11. Числа Фибоначчи и золотое сечение: взаимосвязь. – Режим доступа: http://fb.ru/

Спасибо за внимание!

Просмотров работы: 1482