VII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Невозможные фигуры: от иллюзии до модели

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Балашов А.А. 1

---

1МБОУ Лицей №1

Балашова Е.А. 1

---

1МБОУ Лицей №1

Работа в формате PDF

5.6 MB

Автор работы награжден дипломом победителя II степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

ВВЕДЕНИЕ

Однажды нам попалась на глаза книга Н. Лэнгдона, Ч. Снейпа «С математикой в путь», на обложке которой изображена непонятная фигура, в нижней части которой – три колонны, идущие вверх, а в верхней части этих колонн всего две. Мне стало интересно, это такая хитрость художника или такие фигуры существуют в реальности? Мы с мамой полистали эту книгу, познакомились с палиндромами, танграмом, башней Брамы. Больше всего меня заинтересовали невозможные фигуры.

поискав в интернете, мы нашли несколько определений невозможных фигур:

Невозможная фигура — один из видов оптических иллюзий, фигура, кажущаяся на первый взгляд проекцией обычного трёхмерного объекта, при внимательном рассмотрении которой становятся видны противоречивые соединения элементов фигуры. Создаётся иллюзия невозможности существования такой фигуры в трёхмерном пространстве. [7]

Невозможные фигуры — оптическая иллюзия, которая является довольно популярной [11]

«Невозможная фигура — это выполненный на бумаге трехмерный объект, который не может существовать в действительности, но который, однако, можно видеть, как двухмерное изображение» [9]

Каждое из определений сходится в одном: невозможные фигуры – это разновидность оптической иллюзии, однако точного определения невозможных фигур нет.

Если это оптическая иллюзия, то можно изготовить невозможную фигуру?

Объект исследования: невозможные фигуры.

Предмет исследования: свойства невозможных фигур, возможность существования невозможных фигур.

Цель исследования – изучить невозможные фигуры, попытаться их смоделировать.

Задачи исследования:

1. Изучить литературу по данной теме.

2. Рассмотреть существование невозможных фигур в реальности.

3. Рассмотреть применение невозможных фигур в искусстве.

4. Собрать модели невозможных фигур.

Методы исследования:

Сбор и обработка информации.

Анализ собранной информации.

Эксперимент.

Виды невозможных фигур

Невозможные фигуры можно разделить на два класса: одни имеют реальные трехмерные модели, а для других такие создать невозможно. Мы изучили различные модели невозможных фигур, попытались создать модели некоторых из них:

Трибар (треугольник Пенроуза) Это геометрически невозможная фигура, элементы которой не могут быть соединены. Однако невозможный треугольник стал возможным благодаря шведскому художнику Оскару Рейтесвэрду. В честь этого события в Швеции была издана почтовая марка. Трибар можно сделать из бумаги. Однако нас обманывают собственные глаза, когда мы смотрим на проекцию трехмерного объекта из трех перпендикулярных линий. Наблюдателю кажется, что он видит треугольник, хотя на самом деле это не так [8].

Бесконечная лестница. Конструкция, которая не имеет ни конца, ни края, была придумана биологом Лейонелем Пенроузом и его сыном-математиком Роджером Пенроузом. Впервые модель была опубликована в 1958 г., после чего получила большую популярность, стала классической невозможной фигурой, а ее основная концепция нашла применение в живописи, архитектуре, психологии. Модель ступеней Пенроуза обрела самую большую популярность по сравнению с остальными нереальными фигурами в сфере компьютерных игр, головоломках, оптических иллюзиях. «Вверх по ступеням, ведущим вниз» — так можно охарактеризовать лестницу Пенроуза. Идея этой конструкции заключается в том, что при движении по часовой стрелке ступени ведут все время вверх, а в обратном — вниз. При этом «вечная лестница» состоит всего из четырех пролетов. А значит, всего через четыре лестничных марша путник оказывается там же, откуда начал движение [3].

Космическая вилка. Среди всех невозможных фигур особое место занимает невозможный трезубец («космическая вилка»). Если закрыть рукой правую часть трезубца, то мы увидим вполне реальную картину — три круглых зуба. Если закрыть нижнюю часть трезубца, то мы тоже увидим реальную картину - два прямоугольных зубца. Но, если рассматривать всю фигуру целиком, то получается, что три круглых зубца постепенно превращаются в два прямоугольных. Таким образом, можно увидеть, что передний и задний планы данного рисунка конфликтуют. То есть, то что было изначально на переднем плане уходит назад, а задний план (средний зуб) вылезает вперед. Кроме смены переднего и заднего планов в данном рисунке присутствует еще один эффект — плоские грани правой части трезубца становятся круглыми в левой. Эффект невозможности достигается за счет того, что наш мозг анализирует контур фигуры и пытается подсчитать количество зубцов. Мозг сравнивает количество зубцов фигуры в левой и правой части рисунка, из-за чего возникает ощущение невозможности фигуры. Если количество зубцов у фигуры было значительно больше (например, 7 или 8), то этот парадокс был бы менее ярко выражен. Изготовление моделей невозможных фигур по чертежам Трехмерная модель — это физически представимый объект, при рассмотрении которого в пространстве становятся видимыми все щели и изгибы, которые уничтожают иллюзию невозможности, и данная модель теряет свое «волшебство». При проецировании данной модели на двухмерную плоскость получается невозможная фигура. Эта невозможная фигура (в отличие от трехмерной модели), создает впечатление невозможного объекта, который может существовать только в воображении человека, но не в пространстве [9].

Невозможные («сумасшедшие») ящики. Еще один невозможный объект появился в 1966 году в Чикаго, штат Иллинойс, в результате оригинальных экспериментов фотографа доктора Чарльза Ф. Кокрана. «Волшебная» фотография этой фигуры была опубликована в июньском номере Scientific American magazine от 1966 года. «Сумасшедший ящик» – это вывернутый наизнанку каркас куба. Фигуру можно воспринять двояко, но какого-либо последовательного решения нет. Как и многие другие невозможные объекты, «сумасшедший ящик» основан на неправильных соединениях, допущенных при рисовании.

Многие любители невозможных фигур проводили эксперименты с "Сумасшедшим ящиком", в результате чего эта фигура вошла в классическую "Большую Четверку" вместе с "Невозможным треугольником", "Бесконечной лестницей" и "Космической вилкой". Первоначально автор назвал ее "Свободным ящиком" и заявил, что она была "сконструирована для пересылки невозможных объектов в большом количестве". Многие также замечали, что ящик вполне подходит для помещения в него разных штуковин и других неопознанных объектов [10]

Графические иллюзии и невозможные фигуры в искусстве

Ошибки пространственного построения встречались у художников и тысячу лет тому назад. Но первым построившим и проанализировавшим невозможные объекты по праву считается шведский художник Оскар Рейтерсвэрд, нарисовавший в 1934 г. первый невозможный треугольник, состоявший из девяти кубиков. Сам автор писал в одной из своих статей: «Знакомя читателя со своим

собственным "производством" невозможных фигур, я должен сказать, что их тематика весьма ограничена. Все они без исключения представляют собой геометрические композиции, состоящие из простых основных форм с прямыми сторонами и прямоугольных соединений. Сферы и спирали в них не встречаются, также, как и мотивы с волнистыми формами.) [5]

Независимо от Рэйтерсвэрда английский математик и физик Роджер Пенроуз повторно открывает невозможный треугольник и публикует его изображение в британском журнале по психологии в 1958 г. В иллюзии использована "ложная перспектива". Иногда такую перспективу называют китайской, так как подобный способ рисования, когда глубина рисунка "двусмысленна", часто встречался в работах китайских художников.

В 1961 г. голландец М. Эшер, вдохновленный невозможным треугольником Пенроуза, создает известную литографию "Водопад". Вода на картине течет бесконечно, после водяного колеса она проходит дальше и попадает обратно в исходную точку. По сути это изображение вечного двигателя, но любая попытка в реальности построить данную конструкцию обречена на неудачу [4].

Картины с невозможными фигурами стали классикой невозможного искусства. Часто невозможные фигуры возникали на картинах непреднамеренно, когда художники осознанно или неосознанно нарушали правила перспективы, чтобы скрыть недостатки композиции. Существует огромное множество таких картин-иллюзий. Вот лишь некоторые из них:

Возможность использования невозможных фигур в иллюстрациях позволила применять невозможные фигуры для создания графических иллюзий. Например, таких:

Или таких…

Изготовление невозможных фигур

И всё-таки мы решили попробовать смастерить некоторые из невозможных фигур. В этом нам очень помогла страничка в интернете «Невозможный мир» [12].

Там мы нашли развертки некоторых моделей невозможных фигур. Сначала мы пытались изготовить модели из бумаги (приложение 1), затем попробовали в качестве материала использовать пенопласт (приложение 2) и даже металлический конструктор (приложение 3). Бумажные модели были очень хрупкими, модели из пенопласта оказалось очень сложно соединить, и конструкция тоже была некрепкой. Металлический конструктор не смог передать объемного изображения.

В результате мы решили попытаться использовать в качестве основного материала дерево. Поскольку я еще не совсем умею владеть лобзиком и отверткой, мне в изготовлении моделей помогал мой дедушка.

Как оказалось, невозможные фигуры на фото и в реальности – это две разные вещи. Вот что у нас получилось. На первом фото – фигура из интернета, на втором фото – наша модель, как нам кажется, похожая на фото из интернета. На третьем фото – модель «вживую».

Трибар. Нам удалось смастерить две модели трибара, которые немного отличаются друг от друга. Причем отличие видно только на третьем фото, где показана фигура в другом ракурсе.

Фигура, показывающая два прямоугольника, находящихся в разных плоскостях. Оказалось, что непросто поймать угол съемки, надеюсь, что у нас получилось.

Здесь мы попытались создать фигуру, которая как будто бы рассечена поперечной плоскостью, причем эта плоскость не горизонтальная, а наклонная. Эта фигура оказалась самой сложной для сборки.

Здесь мы смоделировали лестницу, у которой ступени расположены как бы в разных плоскостях.

Заключение

В результате проведенных исследований нам удалось создать модели четырех невозможных фигур. Изученная литература помогла убедиться в том, что невозможные фигуры являются очень даже реальными и их можно изготовить самому.

Если просто смотреть на модель невозможной фигуры, то ничего невозможного вы не увидите. Однако, если посмотреть на неё под определённым углом, то обычная «деревяшка» становится той самой невозможной фигурой!

Во время работы над темой исследования я узнал много нового, и я хочу продолжить работу над этой темой. У нас не получилось создать модель сумасшедшего ящика, но у моего дедушки уже появились идеи, как это можно сделать. Существует еще множество моделей невозможных фигур, свойства которых не изучены, модели которых тоже не придуманы.

Список использованной литературы:

Асеева А. В., Симакова М. Н. Невозможные фигуры и их моделирование // Юный ученый. — 2018. — №4. — С. 29-34.

Лэнгдон Н. Снейп Ч. С математикой в путь. – М.: Педагогика, 1987, 48с.

Пенроуз Л., Пенроуз Р. Невозможные объекты, Квант, № 5,1971, с.26

Раков Д. Парадоксальный мир невозможных объектов.

Рутерсвард О. Невозможные фигуры. — М.: Стройиздат,1990, 206 с.

Ткачева М. В. Вращающиеся кубики. — М.: Дрофа, 2002. — 168 с.

Интернет- ресурсы:

Википедия. Свободная энциклопедия [Электронный ресурс]. URL: https://ru.wikipedia.org. (Дата обращения: 20.12.2018)

Раков Д. Парадоксальный мир невозможных объектов:// Невозможный мир. URL: https://im-possible.info/russian/articles/rakov-impossible. (Дата обращения 11.01.2019)

Рутерсвард О. Невозможные фигуры: // Невозможный мир. URL: https://im-possible.info/russian/articles/reut_imp/index.html. (Дата обращения 15.01.2019)

Анрах Дж.Т. Удивительные фигуры. Часть 4. Сумасшедший ящик: // Невозможный мир. URL: https://im-possible.info/russian/articles/unruch/part4.html (дата обращения 17.01.2019)

Красильникова Ю. Невозможные фигуры – оптическая иллюзия:// Мир оптических иллюзий. Блог оптических иллюзий и визуальных явлений. URL: http://illjuzija.ru/zritelnye-iskazheniya/nevozmozhnye-figury-opticheskaya-illyuziya.html (Дата обращения 17.01.2019)

Невозможный мир. URL: https://im-possible.info/russian/about/index.html. (дата обращения 18.12.2019)

Приложение 1.

Бумажные модели невозможных фигур

Приложение 2

Модели невозможных фигур из пенопласта

Приложение 3.

Модели невозможных фигур из металлического конструктора