Финансовые задачи

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Шинкарёв Е.А. 1

---

1МБОУ "СОШ №30"

Кудрявцева Н.Н. 1

---

1МБОУ "СОШ №30"

Работа в формате PDF

499.3 KB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение

Предлагаемая вниманию читателя исследовательская работа посвящена изучению финансовых задач. На ЕГЭ (задание B17) и олимпиадах предлагают задачи, которых нет в школьной программе, к примеру, задачи на оптимальный выбор или на бизнес-план. Задача на бизнес-план была впервые представлена в московском пробном ЕГЭ 2016 по математике, она застала врасплох не только учеников, но и некоторых учителей. Условие данной задачи было абсолютно новым. В целом экономические задачи появились на ЕГЭ в 2015 году.

Результаты выпускных экзаменов 2018 года по математике в 11 классах показали, что учащиеся не умеют решать задание 17 (99,6% набрали 0 первичных баллов [1 24с.]). Задание 17 профильного уровня ЕГЭ проверяет умение строить и исследовать математические модели – решать текстовые экономические задачи. По результатам ЕГЭ 2018 года только 0.4% выпускников справились с заданием. Типичные ошибки, при решении задания номер 17, связаны, в первую очередь, с непониманием условия задания и с неумением построить верную математическую модель.

Проанализировав результаты опроса, проведенного среди учащихся 9-11 классов (результаты анкетирования в приложении 1,2) выяснил, что школьники не умеют решать задачи на бизнес-план и оптимальный выбор.

Среди экономических задач есть немало их видов, к примеру, банковские задачи, но они всем нам знакомы, в то время, как задачи на бизнес-план и оптимальный выбор многие школьники на экзамене или олимпиаде встречают впервые. Именно поэтому для исследования были выбраны именно задачи, которые условно можно отнести к следующим группам:

·Задачи на бизнес-план

·Задачи на оптимальный выбор

Актуальность: Учащиеся 9-11 классов заинтересованы в получении дополнительных знаний, позволяющих решать финансовые задачи.

Объект исследования:Финансовые задачи.

Предмет исследования:методы решения задач на бизнес-план и оптимальный выбор.

Цель:Исследованиеметодов решения задач на бизнес-план и оптимальный выбор.

Задачи:

·Проанализировать финансовые задачи, предложенные в материалах олимпиад.

·Ознакомиться с задачами открытого банка задач ЕГЭ (B17) ·Систематизировать задачи по типам.

·Изучить методы решения задач данных типов

·Привести примеры и решения задач данных типов.

·Составить сборник задач

Гипотеза: Умение решать финансовые задачи помогает успешно сдать экзамены.

Методы:

Эмпирические: Тестирование учащихся 9-11 классов

Теоретические: Анализ, синтез, обобщение, систематизация, классификация

I. Задачи на бизнес-план

Задачи на бизнес-план волне решаемы, несмотря на это при решении многие школьники допускают ошибки. Связанно это с тем, что многие выпускники не могут построить верную математическую модель, понять условие задачи или отличить задачи на бизнес-план от задач на вклады, которые решаются с использованием формулы. Задачи на бизнес-план делятся на 2 типа: задачи на бизнес-план с одной переменной и задачи на бизнес-план с двумя переменными.

1.1. Задачи на бизнес-план с одной переменной

В задачах данного типа обычно нужно найти такие наименьшие начальные вложения, что при фиксированных дополнительных вложениях и процентной ставке по итогам второго года начальные вложения станут больше a, а по итогам четвёртого больше b, где b>a, a и b известны. Решили верно лишь 11% опрошенных.

Задача на бизнес-план с одной переменной в общем виде:

По бизнес-плану предполагается вложить в четырёхлетний проект целое число миллионов рублей. По итогам каждого года планируется прирост средств вкладчика на p % по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме эт сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: по n миллионов рублей в первый и второй годы, а также по m миллионов в третий и четвёртый годы. Найдите наименьший размер первоначальных вложений, при котором они за два года станут больше a миллионов, а за четыре года станут больше b миллионов рублей.

Решение: Если первоначальный вклад равен k млн рублей, то после увеличения на p% вклад станет равен k+ p×k/100= k(1+0.01p) Составим таблицу.

По условию: l ≥ a; v ≥ b

Д

(k(1+0.01p) + n) (1+0.01p)+n ≥ a

(l(1+0.01p)+m)(1+0.01p)+m ≥ b

анные неравенства должны выполняться одновременно, т.е. ответом задачи будет минимальное целое решение системы неравенств:

Для удобства стоит сначала решить первое неравенство и найти наименьшее целое k. Затем используя это значение найти l и подставить во второе неравенство, после этого найти значение k из второго неравенства.

Пример задачи на вложение в бизнес с одной переменной:

По бизнес-плану предполагается вложить в четырёхлетний проект целое число миллионов рублей. По итогам каждого года планируется прирост средств вкладчика на 20 % по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: по 20 миллионов рублей в первый и второй годы, а также по 10 миллионов в третий и четвёртый годы. Найдите наименьший размер первоначальных вложений, при котором они за два года станут больше 125 миллионов, а за четыре года станут больше 200 миллионов рублей. [7]

Решение:

1 .2(1.2k + 20)+20>125 1.44k + 44>125 k>

1 .2(1.2l+10)+10>200; 1.44 × (1.44k + 44) + 22 > 200; 2,0736k >114,64

k>56,25

k>55,29

Целым решением системы будет k=57

Ответ: 57

1.2. Задачи на бизнес-план с двумя переменными

В задачах данного типа обычно нужно найти такие наименьшие дополнительные вложения в первые два года и в последние два года, что при фиксированных начальных вложениях и процентной ставке по итогам второго года начальные вложения увеличатся как минимум в a раз, а по итогам четвёртого возрастут как минимум в b раз, где b>a, a и b известны. Решили верно лишь 10% опрошенных.

Задача на бизнес-план с двумя переменным в общем виде:

По бизнес-плану предполагается вложить в четырёхлетний проект k млн. рублей. По итогам каждого года планируется прирост вложенных средств на p% по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: целое число n млн. рублей в первый и второй годы, а также целое число m млн. рублей в третий и четвёртый годы.

Найдите наименьшие значения n и m, при которых первоначальные вложения за два года возрастут как минимум в a раз, а за четыре года возрастут как минимум в b раз.

Решение: Если первоначальный вклад равен k млн рублей, то после увеличения на p% вклад станет равен k+ p×k/100= k(1+0.01p)

Составим таблицу.

По условию:

l ≥ a×k; v ≥ b×k

Е

(k(1+0.01p) + n) (1+0.01p)+n ≥ a×k

(l(1+0.01p)+m)(1+0.01p)+m ≥ b×k

сли расписать l и v, то неравенства будут выглядеть так:

В первом неравенстве неизвестно только n, решаем его относительно n.

В первом неравенстве неизвестно только m, решаем его относительно m.

Стоит сначала решить первое неравенство и найти наименьшее целое n. Затем используя это значение найти l и подставить во второе неравенство, после этого найти значение m. Ответом задачи будут наименьшие целые значения n и m.

Пример задачи на бизнес-план с двумя переменными:

По бизнес-плану предполагается вложить в четырёхлетний проект 10 млн рублей. По итогам каждого года планируется прирост вложенных средств на 15 % по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: целое число n млн рублей в первый и второй годы, а также целое число m млн рублей в третий и четвёртый годы. Найдите наименьшие значения n и m, при которых первоначальные вложения за два года как минимум удвоятся, а за четыре года как минимум утроятся. [8]

Решение: Если первоначальный вклад равен 10 млн руб, то после увеличения на 15 % вклад станет равен 10+10×0,15=11,5млн. Составим таблицу:

По условию:

(10 ×1.15+n) × 1.15 + n ≥ 20; 13.225 + 2.15n ≥ 20

n ≥ ; n≥3.15; n=4; l=21.825

(1,15l + m)1.15 + m≥ 30; 28.8635625 + 2.15m ≥ 30; m≥ ; m≥0.53; m=1

Ответ: 4 и 1 млн. руб.

II. Задачи на оптимальный выбор

Задачи данного типа появились на экзамене по математике в 2016 году. Основные проблемы, с которыми сталкиваются школьники при решении задач на оптимальный выбор, это неумение построить математическую модель, неумение работать с функцией и производной, непонимание условия задачи. В данной работе рассматриваются задачи на оптимальный выбор, которые можно отнести к шести типам: распределение по классам, распределение площади, формула прибыли, наибольшая прибыль, количество совместной продукции и задачи, решаемые при помощи производной.

2.1. Задачи на распределение по классам

В задачах данного типа нужно распределить детей по двум классам так, чтобы сумма процентов девочек в классах была максимальной. Решать их можно алгебраическим методом, используя свойства функции, или арифметическим. Несмотря на то, что на первый взгляд задача кажется простой решили её лишь 21% респондентов.

Пример задача на распределение по классам:

В 1-е классы поступает 45 человек: 20 мальчиков и 25 девочек. Их распределили по двум классам: в одном должно получиться 22 человека, а в другом - 23. После распределения посчитали процент девочек в каждом классе и полученные числа сложили. Каким должно быть распределение по классам, чтобы полученная сумма была наибольшей? [3]

Решение: Метод 1 (алгебраический)

Пусть в меньший класс распределено х девочек (где 2≤x≤22, так как девочек не может быть здесь 0 или 1, иначе в другом классе их будет 25 или 24, что невозможно из-за требуемого количества в 23 человека), тогда в больший класс попало (25 – x) девочек. Значит, суммарная доля девочек в двух классах равна   + = − + = +  и представляет собой линейную функцию с положительным угловым коэффициентом k= . Значит, эта функция возрастает и достигает своего наибольшего значения на правом конце промежутка [2; 22], то есть при x = 22. Таким образом, меньший класс полностью должен состоять из девочек, а в большем классе должно быть 3 девочки и 20 мальчиков.

Метод 2(арифметический)

Вместо суммарного процента будем считать суммарную долю девочек, очевидно, эти числа отличаются в 100 раз и достигают своего максимума одновременно. Каждая девочка в классе из 22 человек составляет   от общего числа учащихся в этом классе, а в классе из 23 человек -   от общего числа учащихся. Значит, если поменять местами девочку из большего класса и мальчика из меньшего, суммарный процент девочек вырастет, поскольку >. Таким образом, максимум достигается, когда все подобные перестановки сделаны, то есть, когда меньший класс полностью состоит из девочек, а в большем классе - 3 девочки и 20 мальчиков.

Ответ: в одном классе - 22 девочки, в другом - 3 девочки и 20 мальчиков. [5]

2.2. Распределение площади

В задачах данного типа необходимо распределить площадь так, чтобы она приносила наибольшую прибыль. Решать их можно алгебраическим методом, или арифметическим. Решили верно её лишь 14% учеников.

Пример задач на распределение площади: У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свеклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 400ц/га, а на втором 300ц/га. Урожайность свеклы на первом поле составляет 300ц/га, а на втором 400ц/га. Фермер может продавать картофель по цене 5000р\ц, а свеклу - по цене 6000руб\ц. Какой наибольший доход может получить фермер? [6]

Пример задач на распределение площади:

У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свеклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 400ц/га, а на втором - 300ц/га. Урожайность свеклы на первом поле составляет 300ц/га, а на втором - 400ц/га.Фермер может продавать картофель по цене 5000руб. за центнер, а свеклу - по цене 6000руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер? [6]

Решение:

Метод 1 (алгебраический)

Обозначим прибыль

s=5000(400x+300y)+6000(3000−300x+4000−400y)=200000x−900000y+42000000

Прибыль будет наибольшей, если x принимает наибольшее возможное значение, а y - наименьшее возможное значение, то есть x=10,y=0 и s=200000×10+42000000 = 44 млн.

Метод 2 (арифметический)

Продавать свеклу более выгодно, поэтому второе поле, где ее урожайность выше, следует засадить только свеклой. Она принесет доход 10 га×400 ц/га×6000 руб/ц=24 млн.руб.  На первом поле урожайность свеклы составляет =0,75 урожайности картофеля, а стоимость свеклы  =1,2 стоимости картофеля. Произведение этих показателей меньше 1, поэтому выращивать свеклу невыгодно: потери от меньшей урожайности не компенсируются более высокой выручкой. Следовательно, все поле следует засеять картофелем, он принесет доход 10 га×400 ц/га×5000 руб/ц=20 млн.руб.  Тем самым, наибольший возможный доход фермера равен 44 млн руб.

Ответ: 44 млн руб.

2.3. Наибольшая прибыль

Для решения задач данного типа необходимо на основе условия составить функцию и исследовать её при помощи производной, найти набольшее или наименьшее значение функции.Из опрошенных с данной задачей справились 6% учащихся.

Пример задачи на нахождение набольшей прибыли:

Фабрика, производящая пищевые полуфабрикаты, выпускает блинчики со следующими видами начинки: ягодная и творожная. В данной ниже таблице приведены себестоимость и отпускная цена, а также производственные возможности фабрики по каждому виду продукта при полной загрузке всех мощностей только данным видом продукта.

Для выполнения условий ассортиментности, которые предъявляются торговыми сетями, продукции каждого вида должно быть выпущено не менее 15 тонн. Предполагая, что вся продукция фабрики находит спрос (реализуется без остатка), найдите максимально возможную прибыль, которую может получить фабрика от производства блинчиков за 1 месяц. [9]

Решение: Примем всю производимую продукцию на заводе за 1. Пусть x - доля мощностей завода, занятых под производство блинчиков с ягодной начинкой, а y- доля мощностей, занятых под производство блинчиков с творожной начинкой. Тогда x+y=1, при этом блинчиков с ягодной начинкой производится 90x тонн, а с творожной начинкой -75y тонн. Кроме того, из условия ассортиментности следует, что 90x≥15, откуда x≥ , а  75y≥15, откуда y≥ . Прибыль завода с одной тонны продукции с ягодной начинкой равна 100−70=30 тыс. руб., а прибыль с одной тонны продукции с творожной начинкой равна 135−100=35 тыс. руб. Общая прибыль с произведённой за месяц продукции равна30×90x+35×75y+35=2700x+2625y=75×(36x+35y). Таким образом, нам необходимо найти наибольшее значение выражения 75×(36x+35y)при выполнении следующих условий:

x+y=1 y=1-x

x≥ , y≥ ; ≤x≤

Подставляя y=1−x в выражение 36x+35y, получаем: 36x+35(1−x)=x+35. Наибольшее значение этого выражения при условии  ≤x≤ достигается при наибольшем x= , которому соответствует y= .

Поэтому максимально возможная прибыль завода за месяц равна:

75×(36× +35× )=75× =2685(тыс. руб.)

при этом фабрика производит 72 тонны блинчиков с ягодной начинкой и 15 тонн блинчиков с творожной начинкой.

Ответ: 2685тыс. руб. [5]

2.4. Количество совместной продукции

В задачах данного типа необходимо найти, какую набольшую прибыль способно принести предприятие, для этого нужно определить, какую продукцию более выгодно производить предприятию. Среди респондентов с задачей данного типа справились 15%.

Пример задачи на нахождение количества совместной продукции:

В двух шахтах добывают алюминий и никель. В первой шахте имеется 20 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 1 кг алюминия или 2 кг никеля. Во второй шахте имеется 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 2 кг алюминия или 1 кг никеля.

Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом шахты договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Решение: Чтобы выплавлять максимальный объем сплава, необходимо на завод доставлять алюминия в 2 раза больше, чем никеля. В первой шахте работает всего 20 рабочих и они больше добывают никеля, чем алюминия. Поэтому все 20 рабочих следует направить на добычу никеля, получим:2×20×5=200 кг никеля. На второй шахте 100 рабочих следует распределить так, чтобы получилось соотношение 2:1. Обозначим через x число рабочих, направляемых на добычу алюминия, получим уравнение:

= ; 10x=400+1000-10x; 20x=1400; x=70

То есть на добычу алюминия следует направить 70 рабочих, имеем:

2×70×5=700 кг алюминия и 1×30×5=150 кг никеля.

Таким образом, на завод ежедневно будет поступать 700 кг алюминия и 350 кг никеля, из которых будет изготовлено 1050 кг сплава.

Ответ: 1050. [4]

2.5. Формула прибыли

В задачах данного типа необходимо найти количество продукции двух видов, произведённой двумя предприятиями, при условии, что из этой продукции позже делают конечное изделие. Для производства изделия виды начальной продукции нужны в определённом соотношении. Задачу решили всего 7% учащихся, участвовавших в тестировании.

Пример:

Строительство нового завода стоит 78 млн. рублей. Затраты на производство х тыс. ед. продукции на таком заводе равны 0,5х²+2x+6 млн. рублей в год. Если продукцию завода продать по цене р тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн. рублей) за один год составит px–(0,5х²+2x+6). Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении р строительство завода окупится не более, чем за 3 года? [6]

Решение: Чтобы прибыль за три года была не меньше 78 млн. руб. необходимо, чтобы ежегодная прибыль была не меньше 26 млн. руб., то есть, чтобы выполнялось неравенство px−(0,5 х²+2x+6)≥26, x∈N откуда,

Используя неравенство ≥ между средним арифметическим  и средним геометрическим  , получаем: 

p≥ ; p≥0,5x+ +2; p≥2 +2; p≥2 +2; p≥10.

Тем самым, искомое наименьшее значение параметра равно 10.

Ответ: 10 [5]

2.6. Задачи, решаемые при помощи производной

Для решения задач данного типа необходимо на основе условия составить функцию и исследовать её при помощи производной, найти набольшее или наименьшее значение функции. Решили верно всего 7% опрошенных.

Пример:

В двух областях есть по 160 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,1 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи x кг алюминия в день требуется человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется y² человеко-часов труда. Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причем 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно добыть в двух областях суммарно для нужд промышленности? [1]

Решение:

1) За сутки в первой области добывают 160×5×0,1=80кг металла. Значит, можем составить функцию f=80+x+y (x≥0,y≥0), с помощью которой можно посчитать суммарную массу металлов, добытую за сутки в двух областях. Требуется найти наибольшее значение этой функции.

2)  Человеко-час × Количество работников = Количество часов на рабочих местах. Следовательно,   - это количество людей во второй области, занятых на добыче алюминия, а   - количество людей, добывающих никель во второй области. С другой стороны, 160− - это то же самое количество. Выразим из этого равенства 160−=   одну из переменных y= и подставим в функцию:

f=80+x+ , и найдем ее наибольшее значение на отрезке [0 ].

f′(x)=1− ,

f′(x)=0 при 1− =0,

=x,

x²=400

x≥0 , значит x=20.

При x, меньших 20, производная положительна, а при x, больших 20, производная отрицательна, поэтому в точке 20 функция достигает максимума f(20)=80+20+ =120, равного наибольшему значению функции на исследуемом промежутке.

Ответ: 120 кг

Заключение

В процессе работы над темой была реализована цель и поставленные задачи, и можно сделать следующие выводы:

Изучив дополнительную литературу и электронные ресурсы по данной теме, я узнал, какого типа задачи по данной теме встречаются на олимпиадах и экзаменах, рассмотрел методы их решения.

В процессе знакомства с задачами открытого банка задач ЕГЭ я познакомился со многими интересными задачами, но остановился лишь на финансовых задачах.

Охватить все задачи по данной теме невозможно, поэтому из всех финансовых задач, мне необходимо было отобрать задачи и отнести их к той или иной группе задач, что заставило анализировать условие задачи, сопоставлять, обобщать и делать определенные выводы, что в дальнейшем пригодится в жизни.

В результате проделанной работы я научился решать задачи данных типов, и провел несколько занятий для желающих, что безусловно поможет при сдаче экзамена и выполнении олимпиадных задач.

В ходе проделанной работы был составлен сборник задач, в котором представлены подборки задач каждого типа с ответами. В сборнике приведены подробные решения задач каждого типа и предложены задачи для самостоятельного решения. Данную подборку задач можно использовать для отработки навыков решения задач данного типа при подготовке к ЕГЭ и олимпиадам по математике. Сборник может быть полезен для учащихся 9-11 классов, учителям для организации закрепления и повторения финансовых задач, как на уроке, так и внеклассных занятиях.

Литература

1. Марков, С.Н. Результаты государственной итоговой аттестации в форме единого государственного экзамена по математике профильного уровня в Иркутской области в 2018 году /С.Н. Марков, Л.А. Осипенко, Е.С. Лапшина. - Иркутск: ГАУ ДПО ИРО, 2018. - 55с.

2. Александр Ларин подготовка к ЕГЭ [Электронный ресурс]. - Режим доступа: alexlarin.com, свободный (дата обращения: 17.02.2019).

3. Альфа-школа [Электронный ресурс]. - Режим доступа: https://myalfaschool.ru, свободный (дата обращения:14.02.2019).

2019. - 79, [1] с. (Серия «ЕГЭ. ОФЦ. Тесты от разработчиков»)

4. ЕГЭ и ОГЭ для всех [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://self-edu.ru, свободный (дата обращения:16.02.2019).

5. Павел Бердов. Репетитор по математике [Электронный ресурс]. - Режим доступа: https://www.berdov.com, свободный (дата обращения: 16.12.2019).

6. Решим всё [Электронный ресурс]. - Режим доступа: https://reshimvse.com/, свободный (дата обращения: 14.02.2019).

7. Решу ЕГЭ [Электронный ресурс]. - Режим доступа: https://ege.sdamgia.ru/, свободный (дата обращения: 07.02.2019).

8. Школьные Знания [Электронный ресурс]. - Режим доступа: https://znanija.com, свободный (дата обращения: 14.02.2019).

9. Pandia [Электронный ресурс]. - Режим доступа: https://pandia.ru/, свободный (дата обращения: 11.02.2019).

Приложение 1

Тестирование

1) По бизнес-плану предполагается вложить в четырёхлетний проект целое число миллионов рублей. По итогам каждого года планируется прирост средств вкладчика на 20 % по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: по 20 миллионов рублей в первый и второй годы, а также по 10 миллионов в третий и четвёртый годы. Найдите наименьший размер первоначальных вложений, при котором они за два года станут больше 125 миллионов, а за четыре года станут больше 200 миллионов рублей.

2) По бизнес-плану предполагается вложить в четырёхлетний проект 10 млн рублей. По итогам каждого года планируется прирост вложенных средств на 15 % по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: целое число n млн рублей в первый и второй годы, а также целое число m млн рублей в третий и четвёртый годы. Найдите наименьшие значения n и m, при которых первоначальные вложения за два года как минимум удвоятся, а за четыре года как минимум утроятся.

3) В 1-е классы поступает 45 человек: 20 мальчиков и 25 девочек. Их распределили по двум классам: в одном должно получиться 22 человека, а в другом - 23. После распределения посчитали процент девочек в каждом классе и полученные числа сложили. Каким должно быть распределение по классам, чтобы полученная сумма была наибольшей?

4) У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свеклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 400ц/га, а на втором - 300ц/га. Урожайность свеклы на первом поле составляет 300ц/га, а на втором - 400ц/га. Фермер может продавать картофель по цене 5000руб. за центнер, а свеклу - по цене 6000руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?

5) В двух областях есть по 160 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,1 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи x кг алюминия в день требуется человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется y² человеко-часов труда. Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причем 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно добыть в двух областях суммарно для нужд промышленности?

6) Фабрика, производящая пищевые полуфабрикаты, выпускает блинчики со следующими видами начинки: ягоднаяи творожная. В данной ниже таблице приведены себестоимость и отпускная цена, а также производственные возможности фабрики по каждому виду продукта при полной загрузке всех мощностей только данным видом продукта.

Для выполнения условий ассортиментности, которые предъявляются торговыми сетями, продукции каждого вида должно быть выпущено не менее 15 тонн. Предполагая, что вся продукция фабрики находит спрос (реализуется без остатка), найдите максимально возможную прибыль, которую может получить фабрика от производства блинчиков за 1 месяц.

7) В двух шахтах добывают алюминий и никель. В первой шахте имеется 20 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 1 кг алюминия или 2 кг никеля. Во второй шахте имеется 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 2 кг алюминия или 1 кг никеля.

Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом шахты договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

8) Строительство нового завода стоит 78 млн. рублей. Затраты на производство х тыс. ед. продукции на таком заводе равны 0,5х²+2x+6 млн. рублей в год. Если продукцию завода продать по цене р тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн. рублей) за один год составит px–(0,5х²+2x+6). Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении р строительство завода окупится не более, чем за 3 года?

Приложение 2

Результаты тестирования 9 класса

Результаты тестирования 10 класса

Результаты тестирования 11 класса

Результаты тестирования 9-11 классов

Приложение 3

Сборник задач

Научный руководитель проекта Кудрявцева Наталья Николаевна

Шинкарев Е.А.

Финансовые задачи/ сборник задач 9 – 11 класс /

Е.А. Шинкарев. – Изд.: МБОУ «СОШ №30», 2019 год- 28 страниц

В сборнике приведены подробные решения задач, условно отнесенных к следующим группам: на бизнес-план, на оптимальный выбор и предложены задачи для самостоятельного решения. Данную подборку задач можно использовать для отработки навыков решения задач данного типа при подготовке к ЕГЭ и олимпиадам по математике. Сборник может быть полезен для учащихся 9-11 классов, учителям для организации закрепления и повторения финансовых задач, как на уроке, так и внеклассных занятиях.

Введение

Интересные финансовые задачи предлагают на различных олимпиадах и на выпускных экзаменах. В данном сборнике собраны только задачи, условно отнесенные к следующим группам: задачи на бизнес-план и на оптимальный выбор.

В каждой группе выделены подгруппы, отличающиеся друг от друга способами решения.

В данном сборнике задач представлены подборки задач каждого типа с ответами. В сборнике приведены подробные решения задач каждого типа и предложены задачи для самостоятельного решения. Данную подборку задач можно использовать для отработки навыков решения задач данного типа при подготовке к ЕГЭ и олимпиадам по математике. Сборник может быть полезен для учащихся 9-11 классов, учителям для организации закрепления и повторения финансовых задач, как на уроке, так и внеклассных занятиях.

§1.1 Задачи на бизнес-план с одной переменной

Задача: По бизнес-плану предполагается вложить в четырёхлетний проект целое число миллионов рублей. По итогам каждого года планируется прирост средств вкладчика на 20 % по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: по 20 миллионов рублей в первый и второй годы, а также по 10 миллионов в третий и четвёртый годы. Найдите наименьший размер первоначальных вложений, при котором они за два года станут больше 125 миллионов, а за четыре года станут больше 200 миллионов рублей.

Решение:

1.2(1.2k + 20)+20>125

1 .2(1.2l+10)+10>200

1.44k + 44>125

1.44 × (1.44k + 44) + 22 > 200

k >

2,0736k >114,64

k >56,25

k>55,29

Целым решением системы будет k=57

Ответ: 57

Задачи для самостоятельного решения:

1.По бизнес-плану предполагается вложить в четырёхлетний проект целое число млн. рублей. По итогам каждого года планируется прирост средств вкладчика на 30 % по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: по 10 млн. рублей в первый и второй годы, а также по 9 млн. в третий и четвёртый годы. Найдите наименьший размер первоначальных вложений, при котором общая сумма средств вкладчика к началу третьего года станет больше 140 млн., а к концу проекта — больше 250 млн. рублей. [4]

2. По бизнес-плану предполагается вложить в четырёхлетний проект целое число миллионов рублей. По итогам каждого года планируется прирост средств вкладчика на 20% по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начисления процентов нужны дополнительные вложения: по 20 миллионов рублей в первый и второй годы, а также по 10 миллионов в третий и четвёртый года. Найдите наименьший размер первоначальных вложений, при котором они за два года станут больше 100 миллионов, а за четыре года станут больше 170 миллионов рублей. [16]

3. По бизнес-плану предполагается вложить в четырёхлетний проект целое число млн. рублей. По итогам каждого года планируется прирост средств вкладчика на 40 % по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: по 40 млн. рублей в первый и второй годы, а также по 20 млн. рублей в третий и четвёртый годы. Найдите наименьший размер первоначальных вложений, при котором общая сумма средств вкладчика к началу третьего года станет больше 270 млн. рублей, а к концу проекта — больше 490 млн. рублей. [16]

4. По бизнес-плану предполагается вложить в четырёхлетний проект целое число миллионов рублей. По итогам каждого года планируется прирост средств вкладчика на 20 % по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: по 20 млн. рублей в первый и второй годы, а также по 10 млн. рублей в третий и четвёртый годы. Найдите наименьший размер первоначальных вложений, при котором общая сумма средств вкладчика к началу третьего года станет больше 150 млн. рублей, а к концу проекта — больше 250 млн. рублей [10]

5. По бизнес-плану предполагается вложить в четырёхлетний проект целое число млн рублей. По итогам каждого года планируется прирост средств вкладчика на 30 % по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: по 20 млн рублей в первый и второй годы, а также по 15 млн в третий и четвёртый годы. Найдите наименьший размер первоначальных вложений, при котором общая сумма средств вкладчика к началу третьего года станет больше 190 млн, а к концу проекта — больше 360 млн рублей. [13]

§1.2. Задачи на бизнес-план с двумя переменными

Задача: По бизнес-плану предполагается вложить в четырёхлетний проект 10 млн рублей. По итогам каждого года планируется прирост вложенных средств на 15 % по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: целое число n млн рублей в первый и второй годы, а также целое число m млн рублей в третий и четвёртый годы. Найдите наименьшие значения n и m, при которых первоначальные вложения за два года как минимум удвоятся, а за четыре года как минимум утроятся. [13]

Решение:

Если первоначальный вклад равен 10 млн рублей, то после увеличения на  15 % вклад станет равен 10+ 10×0,15=11,5млн. Составим таблицу:

По условию:

(10 × 1.15+n) × 1.15 + n ≥ 20

13.225 + 2.15n ≥ 20

n ≥

n≥3.15

n=4

l=21.825

(1,15l + m)1.15 + m≥ 30

28.8635625 + 2.15m ≥ 30

m ≥

m ≥0.53

m=1

Ответ: 4 и 1 млн. руб.

Задачи для самостоятельного решения:

6. По бизнес-плану предполагается вложить в четырёхлетний проект 20 млн рублей. По итогам каждого года планируется прирост вложенных средств на 13 % по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: целое число n млн рублей в первый и второй годы, а также целое число m млн рублей в третий и четвёртый годы. Найдите наименьшие значения n и m, при которых первоначальные вложения за два года как минимум удвоятся, а за четыре года как минимум утроятся. [10]

7. По бизнес-плану предполагается вложить в четырёхлетний проект 12 млн рублей. По итогам каждого года планируется прирост вложенных средств на 15 % по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: целое число n млн рублей в первый и второй годы, а также целое число m млн рублей в третий и четвёртый годы. Найдите наименьшие значения n и m, при которых первоначальные вложения за два года как минимум удвоятся, а за четыре года как минимум утроятся. [17]

8. По бизнес-плану предполагается вложить в четырёхлетний проект 30 млн рублей. По итогам каждого года планируется прирост вложенных средств на 20 % по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: целое число n млн рублей в первый и второй годы, а также целое число m млн рублей в третий и четвёртый годы. Найдите наименьшие значения n и m, при которых первоначальные вложения за два года как минимум удвоятся, а за четыре года как минимум утроятся.

9. По бизнес-плану предполагается вложить в четырёхлетний проект 5 млн рублей. По итогам каждого года планируется прирост вложенных средств на 10 % по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: целое число n млн рублей в первый и второй годы, а также целое число m млн рублей в третий и четвёртый годы. Найдите наименьшие значения n и m, при которых первоначальные вложения за два года как минимум удвоятся, а за четыре года как минимум утроятся.

10. По бизнес-плану предполагается вложить в четырёхлетний проект 15 млн рублей. По итогам каждого года планируется прирост вложенных средств на 15 % по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: целое число n млн рублей в первый и второй годы, а также целое число m млн рублей в третий и четвёртый годы. Найдите наименьшие значения n и m, при которых первоначальные вложения за два года как минимум удвоятся, а за четыре года как минимум утроятся.

Глава 2

Задачи на оптимальный выбор

§1.4. Задачи на распределение по классам

Задача:В 1-е классы поступает 45 человек: 20 мальчиков и 25 девочек. Их распределили по двум классам: в одном должно получиться 22 человека, а в другом - 23. После распределения посчитали процент девочек в каждом классе и полученные числа сложили. Каким должно быть распределение по классам, чтобы полученная сумма была наибольшей? [3]

Решение:

Метод 1 (алгебраический)

Пусть в меньший класс распределено х девочек (где 2≤x≤22, так как девочек не может быть здесь 0 или 1, иначе в другом классе их будет 25 или 24, что невозможно из-за требуемого количества в 23 человека), тогда в больший класс попало (25 – x) девочек. Значит, суммарная доля девочек в двух классах равна  + = − + = + и представляет собой линейную функцию с положительным угловым коэффициентом k= . Значит, эта функция возрастает и достигает своего наибольшего значения на правом конце промежутка [2; 22], то есть при x = 22. Таким образом, меньший класс полностью должен состоять из девочек, а в большем классе должно быть 3 девочки и 20 мальчиков.

Метод 2 (арифметический)

Вместо суммарного процента будем считать суммарную долю девочек, очевидно, эти числа отличаются в 100 раз и достигают своего максимума одновременно. Каждая девочка в классе из 22 человек составляет   от общего числа учащихся в этом классе, а в классе из 23 человек -   от общего числа учащихся. Значит, если поменять местами девочку из большего класса и мальчика из меньшего, суммарный процент девочек вырастет, поскольку  > . Таким образом, максимум достигается, когда все подобные перестановки сделаны, то есть, когда меньший класс полностью состоит из девочек, а в большем классе - 3 девочки и 20 мальчиков.

Ответ: в одном классе - 22 девочки, в другом - 3 девочки и 20 мальчиков. [10]

Задачи для самостоятельного решения:

11. В 1-е классы поступает 43 человека: 23 мальчика и 20 девочек. Их распределили по двум классам: в одном должно получиться 22 человека, а в другом - 21. После распределения посчитали процент мальчиков в каждом классе и полученные числа сложили. Каким должно быть распределение по классам, чтобы полученная сумма была наибольшей? [10]

12. В 1-е классы поступает 34 человек: 10 мальчиков и 24 девочек. Их распределили по двум классам: в одном должно получиться 16 человек, а в другом -18. После распределения посчитали процент девочек в каждом классе и полученные числа сложили. Каким должно быть распределение по классам, чтобы полученная сумма была наибольшей?

13. В 1-е классы поступает 21 человек: 8 мальчиков и 13 девочек. Их распределили по двум классам: в одном должно получиться 11 человек, а в другом - 10. После распределения посчитали процент девочек в каждом классе и полученные числа сложили. Каким должно быть распределение по классам, чтобы полученная сумма была наибольшей?

14. В 1-е классы поступает 41 человек: 25 мальчиков и 16 девочек. Их распределили по двум классам: в одном должно получиться 20 человек, а в другом - 21. После распределения посчитали процент девочек в каждом классе и полученные числа сложили. Каким должно быть распределение по классам, чтобы полученная сумма была наибольшей?

15. В 1-е классы поступает 35 человек: 15 мальчиков и 20 девочек. Их распределили по двум классам: в одном должно получиться 15 человек, а в другом - 20. После распределения посчитали процент девочек в каждом классе и полученные числа сложили. Каким должно быть распределение по классам, чтобы полученная сумма была наибольшей?

§2.2. Распределение площади

Задача: У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свеклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 400ц/га, а на втором - 300ц/га. Урожайность свеклы на первом поле составляет 300ц/га, а на втором - 400ц/га. Фермер может продавать картофель по цене 5000руб. за центнер, а свеклу - по цене 6000руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?[11]

Решение:

Метод 1 (алгебраический)

Обозначим прибыль

s=5000(400x+300y)+6000(3000−300x+4000−400y)=200000x−900000y+42000000

Прибыль будет наибольшей, если x принимает наибольшее возможное значение, а y — наименьшее возможное значение, то есть x=10,y=0 и s=200000×10+42000000 = 44 млн.

Метод 2 (арифметический)

Продавать свеклу более выгодно, поэтому второе поле, где ее урожайность выше, следует засадить только свеклой. Она принесет доход 10 га×400 ц/га×6000 руб/ц=24 млн.руб.  На первом поле урожайность свеклы составляет =0,75 урожайности картофеля, а стоимость свеклы  =1,2 стоимости картофеля. Произведение этих показателей меньше 1, поэтому выращивать свеклу невыгодно: потери от меньшей урожайности не компенсируются более высокой выручкой. Следовательно, все поле следует засеять картофелем, он принесет доход 10 га×400 ц/га×5000 руб/ц=20 млн.руб.  Тем самым, наибольший возможный доход фермера равен 44 млн руб.

Ответ: 44 млн руб.

Задачи для самостоятельного решения:

16. Предприниматель купил здание и собирается открыть в нём отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 27 квадратных метров и номера «люкс» площадью 45 квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 981 квадратный метр. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 2000 рублей в сутки, а номер «люкс» — 4000 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на своём отеле предприниматель? [10]

17. У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 500 ц/га, а на втором — 300 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором – 500 ц/га.

Фермер может продать картофель по цене 5000 руб. за центнер, а свёклу — по цене 8000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер? [10]

18. У фермера есть два поля, каждое площадью 8 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 350 ц/га, а на втором — 200 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 250 ц/га, а на втором — 300 ц/га. Фермер может продавать картофель по цене 2500 руб. за центнер, а свёклу — по цене 3000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер? [13]

19. У фермера есть два поля, каждое площадью 20 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 230 ц/га, а на втором — 150 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 250 ц/га, а на втором — 300 ц/га. Фермер может продавать картофель по цене 1800 руб. за центнер, а свёклу — по цене 1600 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер? [5]

20. Предприниматель купил здание и собирается открыть в нем отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 30 квадратных метров и номера «люкс» площадью 40 квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 940 квадратных метров. Предприниматель может определить эту площадь между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 4000 рублей в стуки, а номер «люкс» — 5000 рублей в стуки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в стуки на своем отеле предприниматель? [10]

§2.3. Задачи, решаемые при помощи производной

Задача: В двух областях есть по 160 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,1 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи x кг алюминия в день требуется человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется y² человеко-часов труда. Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причем 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно добыть в двух областях суммарно для нужд промышленности? [2]

Решение:

1) За сутки в первой области добывают 160×5×0,1=80кг металла. Значит, можем составить функцию f=80+x+y (x≥0,y≥0), с помощью которой можно посчитать суммарную массу металлов, добытую за сутки в двух областях. Требуется найти наибольшее значение этой функции.

2)  Человеко-час × Количество работников = Количество часов на рабочих местах. Следовательно,   — это количество людей во второй области, занятых на добыче алюминия, а   — количество людей, добывающих никель во второй области. С другой стороны, 160−  — это то же самое количество. Выразим из этого равенства 160 −  =   одну из переменных y= и подставим в функцию:

f=80+x+ и найдем ее наибольшее значение на отрезке [0; ].

f′(x)= 1−

f′(x)=0 при 1− =0,

=x,

x²=400

x≥0

x=20.

При x, меньших 20, производная положительна, а при x, больших 20, производная отрицательна, поэтому в точке 20 функция достигает максимума f(20)=80+20+ =120, равного наибольшему значению функции на исследуемом промежутке.

Ответ: 120 кг

Задачи для самостоятельного решения:

21. В двух областях работают по 160 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,1 кг алюминия или 0,3 кг никеля. Во второй области для добычи x

кг алюминия в день требуется x² человеко-часов труда, а для добычи y кг никеля в день требуется y² человеко-часов труда. Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причём 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно добыть в двух областях суммарно для нужд промышленности? [10]

22. Антон является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производится абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно t² часов в неделю, то за эту неделю они произведут t единиц товара. За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Антон платит рабочему 250 рублей, а на заводе, расположенном во втором городе, — 200 рублей. Антон готов выделять 900 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах? [10]

23. Григорий является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно t² часов в неделю, то за эту неделю они производят 3t единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t² часов в неделю, то за эту неделю они производят 4t единиц товара. За каждый час работы (на каждом из заводов) Григорий платит рабочему 500 рублей. Григорий готов выделять 5 000 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах? [10]

24. В двух областях есть по 20 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,1 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи x кг алюминия в день требуется x² человеко-часов труда, а для добычи y кг никеля в день требуется y² человеко-часов труда. Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 3 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод? [10]

25. В двух областях есть по 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,3 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи x кг алюминия в день требуется x² человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется y² человеко-часов труда. [13]

Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 1 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

§2.4. Наибольшая прибыль

Задача:По Фабрика, производящая пищевые полуфабрикаты, выпускает блинчики со следующими видами начинки: ягодная и творожная. В данной ниже таблице приведены себестоимость и отпускная цена, а также производственные возможности фабрики по каждому виду продукта при полной загрузке всех мощностей только данным видом продукта.

Для выполнения условий ассортиментности, которые предъявляются торговыми сетями, продукции каждого вида должно быть выпущено не менее 15 тонн. Предполагая, что вся продукция фабрики находит спрос (реализуется без остатка), найдите максимально возможную прибыль, которую может получить фабрика от производства блинчиков за 1 месяц. [18]

Решение:

Примем всю производимую продукцию на заводе за 1. Пусть x — доля мощностей завода, занятых под производство блинчиков с ягодной начинкой, а y— доля мощностей, занятых под производство блинчиков с творожной начинкой. Тогда x+y=1, при этом блинчиков с ягодной начинкой производится 90x тонн, а с творожной начинкой —75y тонн. Кроме того, из условия ассортиментности следует, что 90x≥15, откуда x≥ , а 75y≥15, откуда y≥ . Прибыль завода с одной тонны продукции с ягодной начинкой равна 100−70=30 тыс. руб., а прибыль с одной тонны продукции с творожной начинкой равна 135−100=35 тыс. руб. Общая прибыль с произведённой за месяц продукции равна 30×90x+35×75y+35=2700x+2625y=75×(36x+35y). Таким образом, нам необходимо найти наибольшее значение выражения 75×(36x+35y) п ри выполнении следующих условий:

x+y=1

x≥ , y≥ .

y=1-x

≤x≤ .

Подставляя y=1−x в выражение 36x+35y, получаем: 36x+35(1−x)=x+35. Наибольшее значение этого выражения при условии   ≤x≤ достигается при наибольшем x= , которому соответствует y= .

Поэтому максимально возможная прибыль завода за месяц равна:

75×(36× +35× )=75× =2685(тыс. руб.)

при этом фабрика производит 72 тонны блинчиков с ягодной начинкой и 15 тонн блинчиков с творожной начинкой.

Ответ: 2685 тыс. руб. [10]

Задачи для самостоятельного решения:

26. Консервный завод выпускает фруктовые компоты в двух видах тары — стеклянной и жестяной. Производственные мощности завода позволяют выпускать в день 90 центнеров компотов в стеклянной таре или 80 центнеров в жестяной таре. Для выполнения условий ассортиментности, которые предъявляются торговыми сетями, продукции в каждом из видов тары должно быть выпущено не менее 20 центнеров. В таблице приведены себестоимость и отпускная цена завода за 1 центнер продукции для обоих видов тары.

Предполагая, что вся продукция завода находит спрос (реализуется без остатка), найдите максимально возможную прибыль завода за один день (прибылью называется разница между отпускной стоимостью всей продукции и её себестоимостью). [10]

27. Фабрика, производящая пищевые полуфабрикаты, выпускает блинчики со следующими видами начинки: ягодная, творожная и мясная. В данной ниже таблице приведены себестоимость и отпускная цена, а также производственные возможности фабрики по каждому виду продукта при полной загрузке всех мощностей только данным видом продукта.

Для выполнения условий ассортиментности, которые предъявляются торговыми сетями, продукции каждого вида должно быть выпущено не менее 15 тонн. Предполагая, что вся продукция фабрики находит спрос (реализуется без остатка), найдите максимально возможную прибыль, которую может получить фабрика от производства блинчиков за 1 месяц. [19]

28. Один из цехов фабрики, производящей пищевые полуфабрикаты, выпускает вареники со следующими видами начинки: картофельная и грибная. В данной ниже таблице приведены себестоимость и отпускная цена, а также производственные возможности фабрики по каждому виду продукта при полной загрузке всех мощностей только

Для выполнения условий ассортимента, которые предъявляются торговыми сетями, продукции каждого вида должно быть выпущено не менее 44 тонн. Предполагая, что вся продукция цеха находит спрос (реализуется без остатка), найдите максимально возможную прибыль (в млн. рублей), которую может получить фабрика от производства вареников за 1 месяц. [14]

29. Мясокомбинат производит котлеты из свиного фарша и котлеты из говяжьего фарша. Ниже приведена таблица, в которой указаны себестоимость, отпускная цена, а также производственные способности комбината по каждому виду продукта при полной загрузке всех мощностей только данным видом продукта.

Для выполнения условий ассортиментности, которые предъявляются торговыми сетями, продукции каждого вида должно быть выпущено не менее 12 центнеров. Предполагая, что вся продукция находит спрос (реализуется без остатка), найдите максимально возможную прибыль, которую может получить мясокомбинат от производства котлет за 1 месяц. [2]

30. По Фабрика, производящая пищевые полуфабрикаты, выпускает блинчики со следующими видами начинки: ягодная и творожная. В данной ниже таблице приведены себестоимость и отпускная цена, а также производственные возможности фабрики по каждому виду продукта при полной загрузке всех мощностей только данным видом продукта.

Для выполнения условий ассортиментности, которые предъявляются торговыми сетями, продукции каждого вида должно быть выпущено не менее 15 тонн. Предполагая, что вся продукция фабрики находит спрос (реализуется без остатка), найдите максимально возможную прибыль, которую может получить фабрика от производства блинчиков за 1 месяц.

§2.5. Количество совместной продукции

Задача: В двух шахтах добывают алюминий и никель. В первой шахте имеется 20 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 1 кг алюминия или 2 кг никеля. Во второй шахте имеется 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 2 кг алюминия или 1 кг никеля.

Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом шахты договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Решение: Чтобы выплавлять максимальный объем сплава, необходимо на завод доставлять алюминия в 2 раза больше, чем никеля. В первой шахте работает всего 20 рабочих и они больше добывают никеля, чем алюминия. Поэтому все 20 рабочих следует направить на добычу никеля, получим:

2×20×5=200 кг никеля.

На второй шахте 100 рабочих следует распределить так, чтобы получилось соотношение 2:1. Обозначим через x число рабочих, направляемых на добычу алюминия, получим уравнение:

=

10x=400+1000-10x

20x=1400

x=70

То есть на добычу алюминия следует направить 70 рабочих, имеем:

2×70×5=700 кг алюминия и 1×30×5=150 кг никеля.

Таким образом, на завод ежедневно будет поступать 700 кг алюминия и 350 кг никеля, из которых будет изготовлено 1050 кг сплава.

Ответ: 1050. [7]

Задачи для самостоятельного решения:

31. На каждом из двух комбинатов работает по 100 человек. На первом комбинате один рабочий изготавливает за смену 3 детали А или 1 деталь В. На втором комбинате для изготовления t деталей (и А, и В) требуется  человеко-смен. Оба эти комбината поставляют детали на комбинат, где собирают изделие, причем для его изготовления нужна 1 деталь А и 3 детали В. При этом комбинаты договариваются между собой изготавливать детали так, чтобы можно было собрать наибольшее количество изделий. Сколько изделий при таких условиях может собрать комбинат за смену?[10]

32. В двух шахтах добывают алюминий и никель. В первой шахте имеется 60 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 2 кг алюминия или 3 кг никеля. Во второй шахте имеется 260 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 3 кг алюминия или 2 кг никеля.

Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом шахты договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод? [10]

33. В двух шахтах добывают алюминий и никель. В первой шахте имеется 80 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 1 кг алюминия или 2 кг никеля. Во второй шахте имеется 200 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 2 кг алюминия или 1 кг никеля.
Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом шахты договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?[12]

34. В двух шахтах добывают алюминий и никель. В первой шахте имеется 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 1кг алюминия или 3 кг никеля. Во второй шахте имеется 300 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 3 кг алюминия или 1 кг никеля. Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом шахты договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод? [9]

35.  В двух областях есть по 50 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,2 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи х кг алюминия в день требуется  человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется   человеко-часов труда. Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 1 кг алюминия приходится 2 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металла так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод? [9]

§2.6. Формула прибыли

Задача: Строительство нового завода стоит 78 млн. рублей. Затраты на производство х тыс. ед. продукции на таком заводе равны 0,5х²+2x+6 млн. рублей в год. Если продукцию завода продать по цене р тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн. рублей) за один год составит px–(0,5х²+2x+6). Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении р строительство завода окупится не более, чем за 3 года? [12]

Решение: Чтобы прибыль за три года была не меньше 78 млн. руб. необходимо, чтобы ежегодная прибыль была не меньше 26 млн. руб., то есть, чтобы выполнялось неравенство px−(0,5 х²+2x+6)≥26, x∈N откуда,

Используя неравенство ≥ между средним арифметическим  и средним геометрическим  , получаем: 

p≥ ; p≥0,5x+ +2; p≥2 +2; p≥2 +2;

p≥10.

Тем самым, искомое наименьшее значение параметра равно 10.

Ответ: 10 [10]

Задачи для самостоятельного решения:

36. Производство x тыс. единиц продукции обходится в q= 0,5 +x+ 7рублей в год. При цене p тыс. рублей за единицу годовая прибыль от продажи этой продукции (в млн рублей) составляет px−q. При каком наименьшем значении p через три года суммарная прибыль составит не менее 75 млн рублей? [10]

37. Производство x тыс. единиц продукции обходится в q= 0,5 + 2x+ 5 млн рублей в год. При цене p тыс. рублей за единицу годовая прибыль от продажи этой продукции (в млн рублей) составляет px−q. При каком наименьшем значении pp через четыре года суммарная прибыль составит не менее 52 млн рублей? [10]

38. Производство x тыс. единиц продукции обходится в q = 0,5 +2x+8 млн рублей в год. При цене p тыс. рублей за единицу годовая прибыль от продажи этой продукции (в млн рублей) составляет px − q. При каком наименьшем значении p через год наибольшая прибыль составит не менее 24 млн. рублей.

39.Производство x тыс. единиц продукции обходится в q = 0,5 +2x+5 млн рублей в год. При цене p тыс. рублей за единицу годовая прибыль от продажи этой продукции (в млн рублей) составляет px − q. При каком наименьшем значении p через год наибольшая прибыль составит не менее 27 млн. рублей. [15]

40. Строительство нового завода стоит 78 млн. рублей. Затраты на производство х тыс. ед. продукции на таком заводе равны х²+2x+6 млн. рублей в год. Если продукцию завода продать по цене р тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн. рублей) за один год составит px–(х²+2x+6). Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем целом значении р строительство завода окупится не более, чем за 3 года?

Ответы на задачи:

Список используемой литературы:

1. Академия ЕГЭ – информационный портал для подготовки к ЕГЭ [Электронный ресурс]. - Режим доступа: https://academyege.ru/task/1010.html, свободный (дата обращения: 11.02.2019).

2. Александр Ларин подготовка к ЕГЭ [Электронный ресурс]. - Режим доступа: alexlarin.com, свободный (дата обращения: 17.02.2019).

3. Альфа-школа [Электронный ресурс]. - Режим доступа: https://myalfaschool.ru, свободный (дата обращения:14.02.2019).

4. База задач репетитора математики в Санкт-Петербурге [Электронный ресурс]. - Режим доступа: https://egeprof.ru/, свободный (дата обращения: 16.01.2019).

5. ЕГЭ / ОГЭ по математике [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://www.ege-math.ru/, свободный (дата обращения:17.02.2019).

6. ЕГЭ 2019. Математика. Профильный уровень. 14 вариантов. Типовые текстовые задания от разработчиков ЕГЭ / И. В. Ященко, М. А. Волчкевич, И. Р. Высоцкий, Р. К. Гордин, П. В. Семёнов, О. Н. Косухин, Д. А. Фёдоровых, А. И. Суздальцев, А. Р. Рязановский, В. А. Смирнов, А. В. Хачатурян, С. А. Шестаков, Д. Э. Шноль; под ред. И. В. Ященко. - М.: Издательство «Экзамен», 2019. - 79, [1] с. (Серия «ЕГЭ. ОФЦ. Тесты от разработчиков»)

7. ЕГЭ и ОГЭ для всех [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://self-edu.ru, свободный (дата обращения:16.02.2019).

8. ЕГЭ. Математика, Профильный уровень: типовые экзаменационные варианты: 36 вариантов / под ред. И. В. Ященко. - М.: Издательство «Национальное образование», 2019. – 256 с. - (ЕГЭ. ФКР - школе).

9. Инфоурок – ведущий образовательный портал России [Электронный ресурс]. - Режим доступа: https://infourok.ru/, свободный (дата обращения: 14.03.2019).

10. Павел Бердов. Репетитор по математике [Электронный ресурс]. - Режим доступа: https://www.berdov.com, свободный (дата обращения: 16.12.2019).

11. Поиск Лекций [Электронный ресурс]. - Режим доступа: https://poisk-ru.ru/s41860t9.html, свободный (дата обращения:17.02.2019).

12. Решим всё [Электронный ресурс]. - Режим доступа: https://reshimvse.com/, свободный (дата обращения: 14.02.2019).

13. Решу ЕГЭ [Электронный ресурс]. - Режим доступа: https://ege.sdamgia.ru/, свободный (дата обращения: 07.02.2019).

14. Социальная сеть работников образования [Электронный ресурс]. - Режим доступа: nsportal.ru, свободный (дата обращения: 03.03.2019).

15. Узнай! - сервис ответов для школьников [Электронный ресурс]. - Режим доступа: https://yznay.com/, свободный (дата обращения: 18.03.2019).

16. Школьные Знания [Электронный ресурс]. - Режим доступа: https://znanija.com, свободный (дата обращения: 14.02.2019).

17. Ягубов.РФ - Ягубов Роман Борисович [Электронный ресурс]. - Режим доступа: https://yagubov.ru/lesson/0-530-17/, свободный (дата обращения: 02.03.2019).

18. Pandia [Электронный ресурс]. - Режим доступа: https://pandia.ru/, свободный (дата обращения: 11.02.2019).

19. ∀ x, y, z [Электронный ресурс]. - Режим доступа: https://forany.xyz/, свободный (дата обращения: 01.03.2019).