VII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Введение

Жизнь нам даётся в кредит,

и вернуть мы её должны с процентами,

которые одни зовут мудростью, другие — опытом.

Все началось с ремонта. Этим летом мы наконец-то решились на грандиозную перепланировку. И как всегда в самый неподходящий момент из-за непредвиденных расходов семья столкнулась с финансовыми трудностями, решить которые мог бы банковский кредит. А так как мой старший брат является сотрудником одного крупного российского банка, то он-то и посоветовал сравнить условия разных финансовых учреждений и выбрать наиболее оптимальный. Так был дан старт нашему проекту.

Итак, мы обратились сразу в несколько банков. Но вот что интересно: все они предлагали, на первый взгляд, кредиты под сходные проценты, однако итоговая сумма переплат получалась разной. Столкнувшись с подобным, я заинтересовался: в чем же причина? Может быть, дело в особых условиях или расчетах? И вообще: насколько актуальна проблема кредитования сегодня?

Действительно, в настоящее время банковские предложения поражают своим многообразием и уже более трети россиян имеют кредитные обязательства по одному или нескольким договорам, и эта цифра с каждым годом увеличивается. Неужели брать кредиты выгодно, или у наших соотечественников просто нет выхода? Как говорится, «…если бы брать кредиты в банке было так выгодно, то никто бы их не грабил».

Однако часто заемщик встает перед выбором: в каком банке взять кредит, и почему низкий процент иногда оборачивается высокими выплатами?

Эти размышления навели меня на мысль: а можно ли минимизировать выплаты за кредит, выбрав наиболее оптимальные условия? Вот тут на помощь и приходит математика!

Таким образом, мы определили цель работы: исследовать роль процентов в финансовой сфере на примере анализа кредитных предложений различных банков и решения задач с экономическим содержанием.

Для достижения этой цели были поставлены следующие задачи:

Познакомиться с понятиями «простые проценты», «сложные проценты», научиться вычислять их на примере задач уровня ЕГЭ.

Разработать программу расчета формулы сложных процентов в программе MicrosoftExsel (с рекомендациями пользователям).

Разработать и провести игру «Математический квест» для 10-11 классов.

Расширить собственные знания в области банковского кредитования.

Пробудить интерес учащихся к теме «Проценты»; мотивировать их к решению задач экономического содержания.

Для достижения намеченных целей необходимо было осуществить следующие этапы:

Провести анализ учебной и специализированной литературы, рекламных предложений, Интернет-сайтов по теме.

Прорешать задачи на проценты экономического содержания и научиться применять полученные навыки для выполнения практической части работы.

Проанализировать условия кредитования различных банков с применением формулы сложных процентов и определить наиболее выгодные.

Разработать и провести «Математический квест» для учащихся 10-11 классов.

Обобщить результаты практического этапа исследования и оформить их в форме презентации.

Объект исследования: простые и сложные проценты.

Предмет исследования: практическое применение процентов в банковских расчетах.

Практическая значимость данного исследования состоит в:

- формировании навыков применения формулы сложных процентов в банковских расчетах для сравнения и выбора наиболее выгодных условий, а также для решения задач с экономическим содержанием на ЕГЭ;

- формирование профориентационных ориентиров в экономической сфере деятельности.

Теоретическая часть исследования

1.1. Из истории процентов

Слово «процент» происходит от латинских слов procentum, что буквально означает «за сотню» или «со ста». Процентами очень удобно пользоваться на практике, так как они выражают части целых чисел в одних и тех же сотых долях. Это дает возможность упрощать расчеты и легко сравнивать части между собой и с целым. [1]

Проценты были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. От римлян проценты перешли к другим народам Европы. Были известны проценты и в Индии, где для их вычисления пользовались пропорцией.

В далекой древности было распространено ростовщичество – дача денег взаймы под проценты. Разность между той суммой, которую возвращали ростовщику, и той, которую первоначально взяли у него, называлась лихвой. Так, в древнем Вавилоне она составляла 20% и более!

В средние века в Европе в связи с широким развитием торговли особенно много внимания обращали на умение вычислять проценты. В то время приходилось рассчитывать не только проценты, но и проценты с процентов, т.е. сложные проценты, как называют их в наше время. [3]

ВХIV-ХV вв. в западной Европе широко распространялись банки – учреждения, которые давали деньги в долг князьям, купцам, ремесленникам, финансировали дальние путешествия, завоевательные походы и т.д. Конечно, банки давали деньги небескорыстно: за пользование предоставленными деньгами они брали плату, как ростовщики в древности. Эта плата выражалась обычно в виде процентов к величине выданных в долг денег. [1]

Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль или убыток на каждые 100 рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике. Ныне процент — это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого.

Знак % происходит, как полагают, от итальянского слова cento (сто), которое в процентных расчетах часто писалось сокращенно cto. Отсюда путем дальнейшего упрощения в скорописи буквы t в наклонную черту произошел современный символ для обозначения процента %. [3]

Таким образом, проценты незримо сопровождает нас повсюду, и от того, насколько мы способны правильно осуществить расчеты, зависит наше финансовое благополучие.

Проценты в повседневной жизни

Часто можно прочитать или услышать, например, что «в выборах приняли участие 75,8% избирателей», «промышленное производство сократилось на 9,3%», «банк начисляет 4% годовых».

Давайте оглянемся по сторонам: значения в процентах указаны на упаковках с любыми продуктами. Значок процента «%» смотрит на нас с рекламных плакатов скидок и распродаж. В новостях проценты сразу бросаются в глаза, когда речь идет о повышении цен на товары или коммунальные услуги. Разве мы сможем расшифровать все эти послания, если не научимся решать задачи с процентами?

А самый близкий школьникам пример связан с ЕГЭ, ведь процент ребят, сдавших экзамен по математике на «хорошо» и «отлично» косвенно говорит о том, сколько абитуриентов с высокими баллами подадут документы в вузы на технические специальности. Чем их больше, тем выше конкурс. Если сравнивать их результаты со своими оценками, можно прикинуть собственные шансы на поступление.

Таким образом, изучение процента продиктовано самой жизнью и необходимо каждому человеку. Это важнейший инструмент экономики, одна из сложнейших тем математики, но очень многие учащиеся затрудняются или вообще не умеют решать задачи на проценты. А ведь понимание процентов и умение производить процентные расчеты в настоящее время необходимо каждому человеку, это способствует «вхождению» в современную информационно-экономическую среду и, в конечном счете, облегчает социализацию.

Поэтому мы считаем, что знать проценты и банковские расчёты просто необходимо, и чтобы не попасть в неловкую ситуацию или не стать жертвой обмана, нужно уже в школьном возрасте научиться вычислять проценты.

Решение задач на проценты разными способами.

Тема «Проценты» изучается только в 5 классе, а далее в школьном курсе задачи на проценты встречаются крайне редко. Зато они обязательно входят в экзаменационные задания. Поэтому я попытался разобраться в той теме на примере задач с экономическим содержанием из ЕГЭ 11 класса.

Итак, все задачи можно поделить на три типа:

1 тип: нахождение процента от числа.

Чтобы найти процент от числа, надо это число умножить на соответствующую дробь.

Пример: Плата за телефон в Воскресенске составляет 380 рублей в месяц. В следующем году она увеличится на 12%. Сколько рублей придется платить ежемесячно за телефон следующем году?

2 тип: нахождение числа по его части.

Чтобы найти число по его проценту, надо часть, соответствующую этому проценту, разделить на дробь.

В 2016 году в Воскресенском районе выпускной экзамен по обществознанию в 9 классах сдавало 1135 учеников, что составляет 87% от всех выпусников. Сколько выпускников 9 классов насчитывали школы района в 2016 году?

3 тип: нахождение процентного отношения двух чисел.

Чтобы узнать, сколько процентов одно число составляет от второго, надо первое число разделить на второе и результат умножить на 100%.

Пример¹: Магазин объявил акцию «Скидка отличникам²» на определенное количество процентов от стоимости покупки. Пакет сока стоит в магазине 70 рублей, а ученик заплатил за сок 65 руб.10 коп. Сколько процентов составляет скидка для отличников?

Существует несколько способов решения задач на проценты:

с помощьюуравнений:

составлением пропорции:

с помощью вычислений по действиям:

c помощью арифметической или геометрической прогрессии.

(Приложение 1)

Сложные проценты в банковских расчетах.

Решение задач по формуле сложных процентов.

Представьте, что вы хотите купить в кредит автомобиль под n% годовых. И вот каждый месяц в одно то же число банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга, и только затем вы можете перевести очередной транш³. Если вы будете платить в месяц 27337 р., то выплатите долг за 4 года, а если по 48937, то за 2 года. Вопрос: какой платеж выгоднее?

Вы думаете, что это просто задача из «Реальной математики»? Нет, это задача из РЕАЛЬНОЙ ЖИЗНИ! И чтобы решить ее и не наказать себя и семью на неоправданные расходы, нужно понимать, что такое сложные проценты и как их решать.Так что же такое – сложный процент?

Сложные проценты - это проценты, полученные на начисленные проценты. Это сумма дохода, которая образуется в результате инвестирования денег при условии, что сумма начисленного простого процента не выплачивается в конце каждого периода, а присоединяется к сумме основного вклада и в следующем платежном периоде сама приносит доход. В случае займа сложные проценты начисляются на остаток долга, сокращая таким образом ежемесячные выплаты.

Формула сложных процентов по вкладами кредитам
S = P(1+ )n
по вкладу S – общая сумма («тело» вклада + проценты), причитающаяся к возврату вкладчику по истечении срока действия вклада; Р – первоначальная величина вклада; n - общее количество операций по капитализации процентов за весь срок привлечения денежных средств (в данном случае оно соответствует количеству лет); r – годовая процентная ставка.	по кредиту S – это конечная сумма, выплачиваемая банку. P – первоначальная сумма займа. r - ставка процентов по кредиту. t – продолжительность периода кредитования

Мы отобрали некоторые задания из сборников для подготовки к ЕГЭ и предложили их для решения одноклассникам. Сначала в классе с заданием не справился никто, но после демонстрации формулы сложных процентов и объяснения учителя три ученика, с трудом докопавшись до истины, на один шаг приблизились к сдаче Единого госэкзамена (Приложение 2).

«Подводные камни» экспресс-кредитования. Микрозаймы.

Недавно в новостной ленте «Яндекс» была опубликована информация о

жителе города N, который оказался должен какой-то конторе более 2000 % от суммы займа. Как такое могло произойти? Очень просто: быстрые кредиты рассчитаны на неосведомленных граждан, готовых за минимальные хлопоты подписаться на любые условия. Организации, выдающие микрозаймы, предлагают процент пользования займом –1,5-2 % в день, казалось бы немного, но это уже 548-732 % годовых! Как избежать финансовой кабалы? Очень просто - научиться считать!

Микрозаймы, экспресс-кредиты рассчитаны на людей, которые не смотрят в перспективу, им кажется, что они берут заем ненадолго. Но в реалии 2% в день прирастают к сумме основного долга и новые проценты уже начисляются и на него. Таким образом, мы пришли к выводу о необходимости применения математических расчетов в практической деятельности.

Практическая часть

Составление программы для расчета сложных процентов.

Практическая часть исследования состояла из нескольких этапов.

Н а первом этапе мы в программе MicrosoftExcel заложили формулу для вычисления сложных процентов, которая по нашему мнению, должна была облегчить расчет кредитных обязательств.

К сожалению, а может быть, к счастью, через некоторое время мы обнаружили, что наша разработка не является оригинальной, и Интернете достаточно калькуляторов для подобных расчетов. Однако, навыки, которые мы приобрели в ходе выполнения этого задания, помогли нам осознать принцип вычисления сложных процентов. (Приложение 3)

В дальнейшем мы использовали эту программу для вычисления выплат по кредитам в некоторых банках, а для вычисления прибыли по депозитам создали еще одну. (Приложение 3)

Анализ кредитных предложений банков

по формуле сложных процентов.

Предлагая тот или иной способ погашения кредита, банк в первую очередь печется о собственной выгоде. Денежное выражение этой выгоды – проценты. Именно по способу начисления процентов кредитные выплаты делятся на аннуитетные⁴ и дифференцированные⁵. Но большинство заемщиков, приходя в банк, куда больше волнуются на тему одобрения кредитной заявки, чем по поводу вида платежей. Хотя им неплохо было бы знать, как можно сэкономить на процентах.

Так какой же способ начисления процентов все-таки выгоднее?

Давайте посчитаем! Для этого составим две таблицы, в которых сравним выплаты для ипотечного кредита в размере 1 миллион рублей при разных сроках (чем больше срок кредитования, тем выше процент). Процентные ставки – примерные и усредненные.

Таблица 1. Ежемесячные аннуитетные платежи по кредиту 1 млн. рублей.

Срок кредитования	Процентная ставка	Аннуитетный платеж	Итоговая сумма выплат
5	13,75	23 140	1 390 000
10	14	15 530	1 860 000
15	14,25	13 490	2 430 000
20	14,5	12 800	3 070 000
25	14,75	12 610	3 780 000
30	15	12 640	4 550 000

Таблица 1. Ежемесячные дифференцированные платежи по кредиту 1 млн. рублей.

Срок кредитования	Процентная ставка	Дифференцированный платеж		Итоговая сумма выплат
		Первый платеж	Последний платеж
5	13,75	28 130	16 860	1 350 000
10	14	20 000	8 430	1 710 000
15	14,25	17 430	5 620	2 070 000
20	14,5	16 250	4 220	2 460 000
25	14,75	15 630	3 370	2 850 000
30	15	15 280	2 210	3 260 000

Прямое сравнение показывает, что переплаты при аннуитетной схеме выше, чем при дифференцированной, а чем больше и срок кредитования, тем разница ощутимей. Иначе говоря, если вы взяли ипотеку на 30 лет, то разница в «цене» кредитов будет 1,29 млн. – мягко говоря, совсем немало!

Итак, простые математические вычисления показывают, что при длительном сроке кредитования переплаты по кредитам с дифференцированной схемой выплат выгоднее, чем с аннуитетной (поскольку итоговая сумма выплат меньше).

Мы решили сравнить кредитные условия различных банков, филиалы которых расположены в Воскресенском районе.

Посетив их офисы, мы получили информацию по процентным ставкам на кредиты и заложили эти данные в созданную программу. Сравнительные данные по кредитам в «Сбербанке», «Банке «Возрождение» и «Банке Москвы» мы оформили в таблицы.

(Приложение 4).

Однако реальные начисления в банках значительно отличались от наших расчетов. (Сумма кредита на 200 000р., на 36 мес.)

Банки	Расчеты по данным сайта % / сумма выплат	Расчеты при личном посещении % / сумма выплат
Сбербанк	15,9% - 245 945р.	17,9% - 286 488р. (с учетом финансовой защиты)
Банк «Возрождение»	13,9% - 239 882р.	18,067% - 267 509,38р.(с учетом финансовой защиты)
«Банк Москвы»	14,9% - 242 903р.	14,9% - 249 228р.

Из таблицы мы видим, что сумма выплат по кредиту со ставкой 17,9% годовых в Сбербанке выше, чем сумма выплат по ставке 18% . К тому же 18% по нашим расчетам «несколько ниже», чем предлагает банк! Как такое может быть? Я обратился к брату за разъяснением, и он, улыбась, объяснил, что схемы начисления процентов в банке «немного» отличаются от «стройных» математических формул.

Оказывается, существуют такие понятия как «финансовая защита» (в среднем 2,99% от суммы кредита в год), «страховка платежа» и т.п., без которых банк не будет с Вами сотрудничать. Также банк учитывает уровень Вашего дохода, количество членов семьи, долговые обязательства перед другими кредитными организациями и много-многое другое. Понятно, что банк никогда не останется в убытке и самое главное для любого клиента понимать это и обладать всей информацией об условиях займа.

Расчет сложных процентов по депозитам

(сравнительный анализ)

Кроме кредитов банки все чаще предлагают вклады с повышенными процентами в конце срока. Но это всего лишь маркетинговый ход, с помощью которого банкиры стимулируют вкладчиков хранить средства на депозите до истечения периода его действия. Мы решили проверить, «работают» ли сложные проценты в этой области и сравнили начисления дохода по различным вкладам в нескольких банках (данные взяты с официальных сайтов банков). Результаты оформили в диаграмму.

Диаграмма 1.

«Начисления дохода по вкладам с дифференцированной ставкой».

 

6 мес 12 мес 18 мес24 мес

6,15

7,65

8,5

10,75

8,05

9

10

9,5

8%

9,5	годовые процентные ставки за период
	средняя или эффективная ставка за весь период вложений

Проведенные расчеты показали, что не всегда высокий процент в начале доходного периода гарантирует средний доход выше, чем при более низких процентах на старте. Доходность по таким депозитам в действительности не выше, чем по простым рублевым вкладам, по которым на протяжении всего периода действия депозита начисляется единая ставка.

Таким образом, умение оринтироваться в вычислениях сложных процентов поможет в будущем не только не ошибиться в банковских операциях, но и эффективно заработать.

Математический квест «Бюджет семьи или

Стратегия начинающего финансиста»

В самом начале работы над проектом мы даже не планировали разработку и проведение математического квеста. Но когда я презентовал свою работу классу и предложил ребятам прорешать задачи на проценты, то особого энтузиазма не заметил. Этот факт навел на мысль, что тему «Проценты» нельзя изучать в отрыве от реалии, ее нужно буквально «потрогать» в условиях обычной жизни, которую мы и попытались симитировать в игре.

Под впечатлением экологического квеста «Стратег», прошедшего в феврале во всех школах района (в том числе и в нашей), мы разработали свой вариант Математического квеста «Бюджет семьи или Стратегия начинающего финансиста» для учащихся 10-11 классов. (Приложение 5)

В начале игры ребята разделились на три команды. Правда, по условию мы планировали создать команды из разного количества игроков, чтобы проиграть экономику семьи в разных условиях. Однако мои одноклассники решили, что на старте равные условия для всех будут справедливее, и мы не стали спорить.

«Семьи» получили стартовый капитал в 50 т.р., микроклимат в 70 % и здоровье членов семьи 80%.

Игра состояла из 12 этапов-месяцев, а каждый этап – из 4 фаз: получение зарплаты, оплата коммунальных услуг, покупка продуктов, транспортные расходы и т.п. Каждый игровой месяц «членам семьи» предстояло также делать отчисления на непредвиденные расходы, которые были определены нами заранее (подготовка к школе, поломка машины, приезд гостей и т.п.).

Необходимые вычисления ребята выполняли в созданной нами программе на ноутбуках, хотя я замечал, что некоторые ничуть не хуже иногда выполняли их вручную.

В ходе игры команды должны были заботиться не только о финансовом блаполучии, но и здоровье членов семьи, сохранении ее микроклимата (последние позиции в игре можно убрать, чтобы не усложнять и затягивать процесс).

Задача также заключалась в создании определенных накоплений, которые обеспечили бы членам семьи полноценный отдых в финальной фазе «Август» (о чем мы игроков специально не предупреждали заранее).

В процессе игры одна семья была вынуждена взять кредит, другая удачно воспользовалась микрозаймом, успев вовремя выплатив его, а третья даже сделала вклад на три месяца, при этом немного заработав!

Конечно же в финале все семьи отправились в долгожданный отпуск, хотя некоторые уехали «в долг».

Мои одноклассники играли с таким азартом, что это убедило нас в том, что тема процентов не пройдет мимо них, и навсегда останется усвоенной и осмысленной.

Таким образом, благодаря практическому применению тема «Проценты» для нас не стала какой-то очередной абстракцией. Ребята на личном опыте убедились в ее связи с жизнью и надеюсь, что в будущем успешно будут решать самые сложные задачи, и не только математические.

Заключение.

В ходе работы над проектом я в очередной раз убедился, что проценты и их роль в повседневной жизни неоспорима. Работа над данной темой способствовала моему знакомству с миром финансов. Я неоднократно обращался за консультацией к своему брату и в результате проблема с выбором профессии уже не стоит, ведь работать в финансовой сфере так увлекательно!

Практическая значимость нашей работы очевидна. Мы научились применять формулу сложных процентов при решении задач, которая обязательно пригодится в повседневных расчетах. Умение внимательно и тщательно выполнять сложные вычисления уберегут нас от неоправданных переплат и помогут в будущем сэкономить семейный бюджет.

Таким образом, цель исследовательской работы достигнута. Ребята в очередной раз убедились в прикладном характере математики, ее связи с экономикой и жизнью, а также необходимости изучения этих наук.

Все мы когда-нибудь станем взрослыми, и будем работать кто на предприятии, а кто в финансовых кругах. Но всем нам неоднократно придется столкнуться с темой «Проценты». И от того, насколько хорошо она будет усвоена СЕГОДНЯ, зависит наше благосостояние ЗАВТРА.

P.S. Мой брат, служащий банка, прекрасно зная о маленьких и коварных «хитростях» кредитования, отговорил нас от займа, предложив свою финансовую поддержку.

А ремонт мы обязательно завершим в самое ближайшее время. И пусть он затянулся почти на год, зато банкам мы ничего не должны. Ведь какие бы низкие проценты они не начисляли, все равно вы заплатите больше, чем взяли.

И завершить работу я бы хотел словами одного очень мудрого современника: «Если человек не берет кредиты под нынешние проценты, значит полученное им образование можно считать качественным».

Литература

Виленкин Н.Л. За страницами учебника математики / Н.Л. Виленкин. – М. Просвещение, 1989.

Виленкин Н.Я. Математика. 5 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. организаций. / Н.Я.Виленкин, В.И.Жохов, А,С,Чесноков, С.И.Шварцбурд. – 33-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2014. – 280с.

Высоцкий И.Р. ОГЭ 2017. Математика. 3 модуля. Основной государственный экзамен. 50 вариантов типовых тестовых заданий / И.Р. Высоцкий, Л.О. Рослова, Л.В. Кузнецова, В.А. Смирнов, А.В. Хачатурян, С.А. Шестаков, Р.К. Гордин, А.С. Трепалин, А.В. Семенов, П.И. Захаров; под ред. И.В.Ященко. – М.: Экзамен, 2017. – 279с.

Дорофеев Г.В., Седова Е.А. Процентные вычисления: 10-11 классы: учебно-методическое пособие. – М.: Дрофа, 2003. – 142с.

КьяртанПоскитт: Математика для взрослых. Лайфхаки для повседневных вычислений. – М.: Манн, Иванов и Фербер, Серия МИФ. Кругозор. - 2016. - 192с.

Симонов А.С. Проценты и банковские расчеты // Математика в школе, № 4, 1998.

Интернет – ресурсы:

Как считать проценты по кредиту?: портал [Электронный ресурс] . - Режим доступа: http://thedifference.ru/kak-schitat-procenty-po-kreditu/

Кредит ру. Ивелич А. Всё о банках: портал [Электронный ресурс] . - Режим доступа: http://credits.ru/publications/376892/annuitetnyj-ili-differencirovannyj-platezhi-chto-vygodnee-zaemschiku

Монгуш А.С., Танова О.М. О методике обучения решению задач с социально-экономическим содержанием.[Электронный ресурс] .– Режим доступа: http://www.tuvsu.ru/vestnik/sites/default/files/archives/2015_4/o_metodike_obucheniya_resheniyu_zadach_ege_s_socialno-ekonomicheskim_soderzhaniem.pdf

Поскитт К. Математика для взрослых. Лайфхаки для повседневных вычислений: [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://www.labirint.ru/books/542809/

Открытый банк данных ОГЭ и ЕГЭ: портал [Электронный ресурс] . - Режим доступа: http://www.fipi.ru/

Приложение 1

Способы решения задач на проценты.

Способ решения с помощью уравнений:

Задача 1⁶. Имеются два сплава серебра с медью. В первом содержится 10% серебра, во втором – 25%. Сколько килограмм второго сплава нужно добавить к 10 кг первого, чтобы получить сплав с 20% содержанием серебра?

Решение: Обозначим за Х искомый вес второго сплава, а за У – массу получившегося сплава.

Масса серебра в первом сплаве –10%⋅ 10 кг=0,1⋅10 кг=1 кг, во втором–25%⋅x=0,25x, в новом сплаве –20%⋅y=0,2y.

Теперь у нас есть два уравнения 10 + х =10 и 1 + 0,25х = 0,2у составим систему уравнений, решив которую найдем искомый x:  получаем х = 20.

Получается, добавив  10 килограммов 10% сплава, 20 килограммов 25% сплава - мы получим 30 килограммов 20% сплава.

Ответ: 20.

Способ решения составлением пропорции:

Задача 2. Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. После удержания налога на доходы Мария получила 13920 рублей. Сколько рублей составляет заработная плата Марии?

Решение:

13 920 руб. – 87% х руб. – 100%

х=(13920*100)/87 х=1600

Ответ: 1600.

Способ решения с помощью вычислений по действиям:

Задача 3.Тетрадь стоит 40 рублей. Какое наибольшее количество таких тетрадей можно купить на 650 рублей, после понижения на 15%?

Решение: 

1) 40 – 6 = 34 (руб.) стала стоить тетрадь

2) 650 * 34 = 19 (тетрадей) можно купить на 650 рублей

ОТВЕТ: 19 тетрадей можно купить на 650 рублей.

Способ решения c помощью арифметической или геометрической прогрессии.

Задача 4.На первый счет положили 100000 руб. под 30% в год (простые), на второй счет – 300000 руб. под 10% в год (простые). На каком из счетов через 50 лет будет сумма больше?

Решение:

Первый счет:

а1 = 100 000	а51= а1+50d, d = a1.p/100 = 100000.30/100= 30000
p = 30%	a51 = 100000 + 50.30000 = 1600000
n = 50
а51 – ?

Второй счет:

а1=100 000	a51 = a1 + 50d, d = a1.p/100 = 300000.10/100= 30000
p = 10%	a51 = 300000 + 50.30000 = 1800000
n = 50
а51 – ?

Ответ: на втором счету больше.

Задача 5. Под какие проценты сделан вклад в банк, если сумма на счете каждый месяц увеличивается:

1). в 1,1 раза
2). 1,05 раза, 
3). в 1,5 раза
4). в 1,15 раза?

В каждом случае определить сумму на счете через 4 месяц, считая, что начальный вклад составляет 100000 руб.

Решение:

q1 = 1,1 q2 = 1,05 q3 = 1,5 q4 = 1,15 q = 1 + p/100 p1 = 10% p2 = 5% p3 = 50% p4 = 15% b1 = 100000 b5=b1.q4 n = 4,

1). b5 = 100000.1,14 = 146410 (руб.) 2). b5 = 100000.1,054 = 121550146410 (руб.) 3). b5 = 100000.1,54 = 506250146410 (руб.) 4). b5 = 100000.1,154 = 174900146410 (руб.)

Вывод: чем больше ставка, тем больше доход.

Приложение 2

Примеры задач на сложные проценты.

Задача 1:

Вкладчик открыл счет в банке, внеся 2000 рублей на вклад, годовой доход по которому составляет 12%, и решил в течение шести лет не брать процентные начисления. Какая сумма будет лежать на счете через шесть лет?

Решим эту задачу по формуле сложных процентов. Первоначальный вклад процент годовых - 12 n - 6 лет, значит 2000(1 + 0,12) = 2000*1,126 = 2000*1, = 3947,65

ОТВЕТ: Через 6 лет на счете будет лежать сумма в виде 3947 руб. и 65 коп..

Задача 2:

После двух последовательных снижений цен на одно и то же число процентов стоимость товара с 400 рублей снизилась до 324 рублей. На сколько процентов стоимость товара снижалась каждый раз?

Решение: 400*(1-0,01а)=324 20(1 - 0,01а) = ,01а = 0,9 а = 10

ОТВЕТ: стоимость товара каждый раз снижалась на 10%

Задача 3:

В соответствии с договором фирма с целью компенсации потерь от инфляции была обязана в начале каждого квартала (3 месяца) повышать сотруднику зарплату на 2%. Однако в связи с финансовыми затруднениями она смогла повышать ему зарплату только раз в полгода (в начале следующего полугодия). На сколько % фирма должна повышать зарплату каждые полгода, чтобы первого января следующего года зарплата сотрудника была равна той, которую он получил бы в режиме повышения, предусмотренной договором?

Решение: Для решения составим таблицу Через какое время повышается на сколько % повышается Какая зарплата будет Через каждые 3 месяца 2%х(1+0,02) 4 Через каждые полгода а%х (1+0,01а) 2

По таблице составим уравнение: х(1+0,02) = х(1+0,01а)² (1+0,02)² = (1+0,01а) 1+0,04+0,0004=1+0,01а 0,0404=0,01а а = 4,04%

ОТВЕТ: через каждый полгода зарплату сотрудникам надо поднимать на 4,04%

Задача 4:

Тимофей хочет взять в кредит 1,1 млн рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10% годовых. На какое минимальное количество лет может Тимофей взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 270 тысяч рублей?

Решение: Ставка процентов 10% годовых в конце каждого года банк умножает долг на 1.1
1 год 1100*1,1-270= 1210-270=940
2 год 940*1,1-270= 1034-270=764
3 год 764*1,1-270= 840,4-270=570
4 год 570*1,1-270= 627-270=357
5 год 357*1,1-270= 392-270=122
6 год 122*1,1-270= 134-270 = отрицательное число
Значит после 6 года долг Тимофея будет равен нулю.
Ответ: 6 лет

Приложение 3.

Рассчет сложных процентов в MS EXCEL «Вклады»

Р ассчет сложных процентов в MS EXCEL «Кредиты»

Приложение 4.

Сравнительный анализ кредитных предложений банков

Название банка	Процентная ставка по кредиту	Итоговая сумма выплат
Сбербанк	15,9%	245 945р.
Банк «Возрождение»	13,9%	239 882р.
Банк Москвы	14,9%	242 903р.

Расчет производился исходя из процентной ставки банков (данные с официальных сайтов), суммы кредита 200 000 р., сроком на 36 мес.

Сравнительный анализ расчетов кредитных предложений банков по открытым данным и при личном посещении.

Банки	Расчеты по данным сайта %/сумма выплат	Расчеты при личном посещении % / сумма выплат
Сбербанк	15,9% - 245 945р.	17,9% - 286 488р. (с учетом финансовой защиты)
Банк «Возрождение»	13,9% - 239 882р.	18,067% - 267 509,38р. (с учетом финансовой защиты)
«Банк Москвы»	14,9% - 242 903р.	14,9% - 249 228р.

Приложение 5

Математический квест

«Бюджет семьи или Стратегия начинающего заемщика»

Цель и задачи игры: пробудить интерес одноклассников к познавательной деятельности, расширить их представления о прикладной и практической направленности математики; популяризировать экономические знания среди учащихся нашей школы.

Участники игры: учащиеся 10-11 классов.

Оборудование и материалы: ПК, мультимедийный экран, ноутбуки с необходимым программным обеспечением, комплект для каждой команды входят: игровое поле, набор карточек, фишки.

Правила игры.

Квест состоит из 12 этапов-месяцев, охватывающих календарный год.

Играют 3-5 команд. Каждая команда – семья из 3,4,5 человек (по выбору или жеребьевке). Количество человек в семье имеет значение для начисления заработной платы и оплаты услуг ЖКХ.

Услуги ЖКХ начисляются из расчета 2 000 р. на человека.

Каждый этап состоит из 4 фаз:

1 фаза – начисление зарплаты.

2 фаза – оплата необходимых услуг.

3 фаза – распределение бюджета по категориям.

4 фаза – формирование финансовой «подушки безопасности».

Доход каждой «семьи» складывается из з/п отца (40 т.р.), матери (30 т.р.) и пенсии бабушки-дедушки (15 т.р.)

На каждом этапе в зависимости от ситуации происходит пополнение бюджета, изменение в микроклимате семьи, здоровья ее членов.

На старте у всех команд равные условия: 50 т.р. в бюджете, по 70 % микроклимата и здоровья.

Дни рождения членов семьи идентичны дням рождения игроков (ценность подарков определяет жеребьевка)

Суммарные траты на членов семьи не должны быть ниже прожиточного минимума: для взрослых - 10,5 т.р., для детей 9,7 т.р, для пенсионеров – 8 т.р.

Каждая семья в течение года может взять 2 микрозайма от 10 до 30 тысяч под 1,5% в день, и кредит до 200 т.р. под 15% годовых.

Фазы игры:

Сентябрь – «Собираем детей в школу»

Шопинг в модные магазины, брендовая одежда: - 20т.р. на ребенка

Поход на рынок: -10 т.р. на ребенка

Донашиваем прошлогодние вещи – (микроклимат -10%, здоровье -5%)

Октябрь – «Сломалась стиральная машина» (в зависимости от ситуации)

Отдать в ремонт -5 .т.р.; - 5% микроклимата

Купить новую -20т.р.; +5% микроклимата

Взять машинку в кредит на 6 мес. 14, 8% годовых, стоимость –

- 20т.р. (выплаты каждый месяц, первоначальный взнос 10% от стоимости)

Ноябрь – «Приехали родственники» (- 20 т.р., +10% микроклимат)

Поселили в комнате детей (-15% микроклимата)

Экскурсия в Москву (-5 т.р., +5 % м-т, -5% здоровья)

Покупка дополнительного спального места (-3,5 т.р., - 5% м.т)

Декабрь – «Отмечаем Новый год!» (м-т +20 %, здоровье -5%)

Домашняя вечеринка с подарками (-30 т.р)

Идем в гости (-20 т.р.)

Поездка в пансионат (-10 т.р. на чел., + 10% м-т, 10% здоровья)

Январь – «Рост тарифов ЖКХ на 8,5 %, (+5 т.р. единовременное пособие)

Приостановить платежи (+10 % пени)

Ввести режим экономии (+3 т.р., -5% м-т)

Написать на сайт правительству МО (+5% м-т, -5% здоровья)

Февраль – «Эпидемия гриппа» (-5 т.р, -10 м-т, -10% здоровья)

Сократить общение вне семьи (- 5% м-т)

Взять абонемент в бассейн (-2 т.р., +5% здоровья)

На выходные на природу (лыжи, шашлыки) (-5 т.р., + 10 м-т, +10% здоровья)

Март «Приглашение на юбилей»

Подарок в конверте (-5 т.р., +5% м-т)

Отказ от приглашения (-10% м-т, -5% здоровья)

Подарки женщинам (- 5 т.р., +5%)

Апрель - «Подготовка к дачному сезону» (-15 т.р., - 5% микроклимат, -5% здоровье)

Покупка качелей (-15 т.р.)

Покупка барбекю (-10т.р.)

Сделать беседку своими руками (-5.т.р., +10% м-т, -5% здоровья)

Май - «Ура! Премия!» (+15% к зарплате, микроклимат +5%)

Вложить в банк на 3 мес.(+7% годовых)

Отложить на отпуск (+10 м-т)

Купить телевизор ( -15 т.р., +5% м-т)

Июнь – «Повышение по службе» (+15 % м-т)

Мама (+20%)

Папа (+10%)

Индексация пенсии бабушке (+30%)

Июль – «Работа на даче» (+5% здоровья, -5 т.р. на расходы)

Посадка овощей (-1 т.р. на рассаду)

Торговля на рынке зеленью (+5 т.р.)

Посадка сада (-5 т.р., +5% м-т)

Август – «Едем в отпуск!» (от выбора места отдыха, +15% м-т, +10% здоровье)

В Крым – 30 т.р. на чел.

В Тунис – 50 т.р. на чел.

На дачу – 5 т.р. на чел.

Задача игроков сохранить микроклимат в семье на уровне не менее 50%, здоровье – не менее 70%, и вести семейный бюджет таким образом, чтобы к последней фазе «Август» вся семья могла отправиться в отпуск (тур выбирается в зависимости от накоплений).

Побеждает команда, сохранившая микроклимат и здоровье семьи, а также сумевшая купить путевки.

ОГЭ. Математика: типовые экзаменационные варианты: 36 вариантов/ под ред. И.В. Ященко. – М.: Издательство «Национальное образование», 2015. – 224 с.

В тексте задачи слово «пенсионерам» заменено на «отличникам»

Транш в кредитовании – это определенная доля кредитных средств, которую банк-кредитор выдает заемщику при условии выполнения им определенных финансовых обязательств, которые оговорены в рамках кредитного договора.

равные ежемесячные платежи на протяжении всего срока кредитования.

неравные ежемесячные платежи, пропорционально уменьшающиеся в течение срока кредитования, процент насчитывается на остаток задолженности.

ОГЭ. Математика: типовые экзаменационные варианты: 50 вариантов/ под ред. И.В. Ященко. – М.: Издательство «Национальное образование», 2017. – 279 с.